泰勒公式
泰勒公式介绍
泰勒公式介绍
泰勒公式是一种用来将任意函数表示为无限项幂级数的工具。
它由18世纪英国数学家布鲁克·泰勒提出，因此得名。
泰勒公式可以将一个连续可导的函数在某个点的邻域内展开为一个幂级数。
幂级数表达式的形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + (f'''(a)/3!)(x-a)^3 + ...
其中，f(x) 是待展开的函数，f(a) 是函数在点 a 处的值，f'(a)
是函数在点 a 处的一阶导数的值，以此类推。
泰勒公式的展开项是通过函数在给定点处的导数来确定的。
利用泰勒公式，可以用更简单的函数逼近较为复杂的函数，并且可以在给定点附近进行近似计算。
幂级数的项数可以任意取，但是通常只取前几项来进行近似计算，以便简化计算过程。
泰勒公式在数学分析、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
它可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、优化问题等。
在实际应用中，通常需要根据函数的性质和所需精度选择适当的展开点和展开项数，以得到满足要求的近似解。
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式摘要：1.泰勒展开的定义和背景2.泰勒展开常用公式3.泰勒展开的应用领域4.总结正文：泰勒展开是微积分学中一种重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
泰勒展开，又称泰勒公式，是由英国数学家布鲁克·泰勒在17 世纪提出的。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过它，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的多项式之和，从而简化问题。
泰勒展开常用公式如下：对于一个函数f(x)，在点x=a 的泰勒展开公式为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! + ...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + R_n(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数f 在点a 的各阶导数值；n! 表示n 的阶乘；R_n(x) 是余项，表示多项式逼近的误差。
泰勒展开的应用领域非常广泛，主要包括以下几个方面：1.近似计算：通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算过程。
例如，在数值分析中，泰勒展开可以用于插值和逼近问题。
2.分析函数性质：泰勒展开可以揭示函数的某些性质，如奇偶性、单调性、极值等。
这些性质对于研究函数的内在规律具有重要意义。
3.求解微分方程：泰勒展开可以用于求解一些微分方程，例如常微分方程和偏微分方程。
通过对函数进行泰勒展开，可以将微分方程转化为关于多项式的代数方程，从而求解。
4.构建概率分布：在概率论中，泰勒展开可以用于构建一些常见的概率分布，如正态分布、指数分布等。
通过对概率密度函数进行泰勒展开，可以得到这些概率分布的参数。
总之，泰勒展开作为一种重要的数学工具，在理论研究和实际应用中具有广泛的应用价值。
泰勒公式通式
泰勒公式通式常用的泰勒公式：e^x=1+x+x^2/2+x。
泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
相关内容解释：函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B 和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，常用的泰勒公式如下所示：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料泰勒公式介绍：泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
泰勒公式
一、泰勒公式
x − sin x lim x→0 x3
x − f ( x) x − ( x + x3 + x5 ) lim = lim 3 x →0 x →0 x x3
在 3.1 节微分中， 已知
若 f ( x ) 在 x 0 可导，有
(1)
f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
(a )
x (4)
= a x (ln a ) 4
a (ln a ) 4 r4 ( x ) = x 4!
ξ
4
(ξ 在 0 与 x 之间)
(2) 注意求哪一点处的泰勒公式．
例如求 e 在 x = 1 处带皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式．
x
e = e⋅e
x
x −1
1 1 2 n n = e 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + " + ( x − 1) + o ( x − 1) 2! n!
f
(k )
( x) =
( −1)
k −1
( k − 1)!
k
(1 + x )
f
(k )
(0) = ( −1)
k −1
( k − 1)!
ln(1 + x ) = x −
1 2 1 3 n n −1 1 n x + x − " + ( −1) x + o( x ) n 2 3
( 5)
f ( x ) = (1 + x )µ
或 f ( x) ≈ P( x)
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
8个泰勒公式总结
8个泰勒公式总结1. 一阶泰勒公式一阶泰勒公式是数学中用来近似计算函数值的重要公式。
它基于函数在某一点的导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个线性函数。
一阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数。
2. 二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒公式的推广，可以更精确地近似计算函数值。
它基于函数在某一点的导数和二阶导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个二次函数。
二阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数。
3. 多项式泰勒公式多项式泰勒公式是泰勒公式的另一种表现形式。
它通过将函数展开成一系列幂函数的和，来近似计算函数值。
多项式泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a) (x-a)^n其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数，f^(n)(a)是函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
4. 常用的泰勒公式展开函数在实际计算中，有一些常见的函数的泰勒公式展开式被广泛使用。
这些函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。
正弦函数的泰勒公式展开式为：sin(x) ≈ x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - (1/7!)x^7 + ...余弦函数的泰勒公式展开式为：cos(x) ≈ 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + ...以及指数函数的泰勒公式展开式为：e^x ≈ 1 + x + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 + ...5. 泰勒级数泰勒级数是指将一个函数展开成一系列幂函数的和的无穷级数。
基本的泰勒公式
基本的泰勒公式
泰勒公式是一种在数学领域非常重要的工具，它能够将一个复杂的函数近似表示为一系列项的和。
泰勒公式在很多领域都有广泛的应用，例如数值分析、工程设计、科学研究等。
泰勒公式的基本形式可以表示为：f(x) = b +
Σ(h_n(x)*x^n)，其中f(x)是要近似表达的函数，b是泰勒公式的截断点，Σ代表求和运算，h_n(x)是f(x)在n阶导数上的值，x是自变量。
这个公式表明，通过将函数展开为一系列项的和，我们可以得到一个近似表达。
在实际应用中，泰勒公式有多种表现形式和应用场景。
例如，在数值分析中，我们可以通过泰勒级数来近似求解微分方程，或者对复杂函数进行插值和逼近。
在工程设计领域，泰勒公式可以用来分析零件的应力分布，或者对复杂曲面进行近似建模。
在科学研究领域，泰勒公式也可以用来近似表达一些复杂的物理现象。
总之，泰勒公式是一种非常重要的数学工具，它能够帮助我们更好地理解和处理一些复杂的问题。
通过使用泰勒公式，我们可以得到更加精确和可靠的近似表达，从而更好地解决实际问题。
泰勒公式
泰勒公式泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n .接下来就要求误差的具体表达式了。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式1. e^x的泰勒展开公式：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + + x^n/n! +其中，n!表示n的阶乘。
2. sinx的泰勒展开公式：sinx = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1)! +其中，n为正整数。
3. cosx的泰勒展开公式：cosx = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! + + (1)^n x^(2n)/(2n)! +其中，n为正整数。
4. ln(1+x)的泰勒展开公式：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + + (1)^(n1) x^n/n +其中，n为正整数。
5. (1+x)^a的泰勒展开公式：(1+x)^a = 1 + ax + a(a1)x^2/2! + a(a1)(a2)x^3/3! + +a(a1)(a2)(an+1)x^n/n! +其中，n为正整数，a为实数。
6. 1/(1x)的泰勒展开公式：1/(1x) = 1 + x + x^2 + x^3 + + x^n +其中，n为正整数。
7. sqrt(1+x)的泰勒展开公式：sqrt(1+x) = 1 + 1/2x 1/8x^2 + 1/16x^3 + (1)^(n1) (2n3)!! x^n/(2n)!! +其中，n为正整数，!!表示双阶乘。
8. arctanx的泰勒展开公式：arctanx = x x^3/3 + x^5/5 x^7/7 + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1) +其中，n为正整数。
9. 1/sqrt(1x^2)的泰勒展开公式：1/sqrt(1x^2) = 1 + 1/2x^2 + 3/8x^4 + 5/16x^6 + +(2n1)/2^n x^(2n) +其中，n为正整数。
10. 1/(1+x^2)的泰勒展开公式：1/(1+x^2) = 1 x^2 + x^4 x^6 + + (1)^n x^(2n) +其中，n为正整数。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学中的一个重要概念，它可以用来表示函数在某一点的光滑性质。
通过泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数表示为一个无穷级数的形式，这对于分析函数在某一点的性质和行为非常有帮助。
在本文中，我们将为您详细介绍泰勒公式的展开式，并给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以用来近似表示函数在某一点的取值。
泰勒公式的一般形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要表示的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的一阶导数，\( f''(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的二阶导数，以此类推。
通过泰勒公式，我们可以将函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处展开为一个无穷级数的形式，这对于研究函数在该点的性质和行为非常有帮助。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
1. 指数函数的泰勒展开式：指数函数 \( e^x \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ e^x = e^a + e^a(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^a}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]2. 三角函数的泰勒展开式：正弦函数 \( \sin(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \sin(x) = \sin(a) + \cos(a)(x-a) \frac{\sin(a)}{2!}(x-a)^2 \frac{\cos(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots \]余弦函数 \( \cos(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \cos(x) = \cos(a) \sin(a)(x-a) \frac{\cos(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\sin(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]通过以上的例子，我们可以看到泰勒展开式的具体表达形式。
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一个非常重要的概念，用于将一个函数在其中一点的邻域展开成无穷级数的形式。
它是由苏格兰数学家布鲁克·泰勒于18世纪提出并发展起来的，被广泛应用于数学、物理、工程等科学领域。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是待展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶、三阶...导数。
泰勒公式的展开式可以有多个不同形式，根据被展开函数的性质和所需要的精度选择不同的展开。
1.一阶泰勒展开式（线性近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这是最简单的展开形式，适用于在展开点附近做小幅度的近似计算。
一阶泰勒展开式将函数以直线近似表示。
2.二阶泰勒展开式（二次近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2二阶泰勒展开式考虑了函数的二阶导数，可以提供更精确的近似计算。
3.麦克劳林展开（多项式近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊形式，用于将函数展开成无穷级数的形式。
它假设被展开函数在展开点附近的各阶导数都存在。
麦克劳林展开常用于求解初等函数的近似表达式。
4.泰勒级数：有时，麦克劳林展开可以表示为泰勒级数的形式：f(x) = ∑(n=0 to ∞) [fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!]其中，fⁿ(a)表示函数f(x)的n阶导数在点a处的值。
【泰勒展开】常见泰勒公式大全
【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)另外\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align}习题中常见(x \rightarrow 0) ：\begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ tanx - x &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ x-arctanx&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{align}即有\begin{align*} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\\ x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\\ arcsinx - x &\sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\\ x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{align*}还可以得到(x\rightarrow0) ：\begin{align} x-\ln \left( 1+x \right) \,&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x\,&\sim \frac{x^2}{2} \\ 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \\ f\left( x \right)^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right)\left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x\right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right)\end{align}注：上述四结论来自：有时还会用到\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right) [2]一般地\begin{align} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} x^{n}+\cdots \\ \ sinx&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\\ \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !}x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \\ \ ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x\in(-1,1) \\ (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2\pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \\ \end{align}{\LARGE \begin{align} \arcsin x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152}x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)}x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \\ \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \csc x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} =\frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{}x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\\ \cot x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !}x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)\end{align}}相关链接：1.^利用arccosx = pi/2 - arcsinx即可得出。
常用十个泰勒展开公式
泰勒公式bai是将一个在x=x0处具有n阶导数的函du数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近zhi函数的方法。
若函数f（x）在包含daox0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。
（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：。
泰勒公式常用展开式
泰勒公式常用展开式泰勒公式是数学中常用的工具，用于将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。
这个级数称为泰勒级数，而泰勒公式则是计算泰勒级数的方法之一。
泰勒公式的一般形式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + cdots$$其中，$f(a)$表示函数在点$a$处的函数值，$f'(a)$表示函数在点$a$处的一阶导数值，$f''(a)$表示函数在点$a$处的二阶导数值，依此类推。
$(x-a)$表示$x$与$a$之间的差值。
泰勒公式的展开系数可以通过函数在给定点处的导数值来确定。
如果已知$f(x)$在点$a$的$n$阶导数存在，那么泰勒公式的展开式实际上是一个$n$次多项式。
泰勒公式的展开式在数学和物理学中有着广泛的应用。
通过使用泰勒公式，我们可以近似计算函数在某个点附近的值，尤其是当函数难以直接计算时。
此外，通过截取泰勒级数的有限项，我们可以得到一个多项式函数，这个多项式函数可以在点$a$的附近代替原函数进行计算，从而简化问题的求解过程。
虽然泰勒公式在一般情况下是无限级数，但在实际应用中，通常只需要考虑前几项即可达到所需的精度。
因为随着项数的增加，展开式中的高阶导数会越来越小，所以高阶项对于整个级数的贡献逐渐减弱。
需要注意的是，泰勒公式只适用于那些具有足够光滑性质的函数，即在展开点附近具有足够次数的导数存在和连续性。
对于不满足这些条件的函数，泰勒公式可能会引入较大的误差，因此在使用泰勒公式进行近似计算时需要谨慎。
总的来说，泰勒公式是一种非常实用的数学工具，通过将函数展开为无穷级数的形式，可以简化复杂的计算过程，并且在数学和物理学中有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
这个结论叙述出来就是：如果函数f（x）在x=x0处存在三阶导数，则只是这个三次多项式的三次项的分母是3！此外，上述公式是预期的。
并且我们立刻对我们猜测的结论做了严格的证明。
证明：为了方便起见，我们把等式右端三次的多项式记为p3（x），即对于结论的正确性我们只需要验证而通过简单的计算可知，所以，用两次洛必达法则，我们得到到了这里就不能再用洛必达法则求极限了，因为，我们只知道函数f（x）在x=x0处存在三阶导数，即函数f（x）在x0的邻域内二阶导函数连续，在xo的邻域内是否存在三阶导数不知道，所以不再满足洛必达法则的条件，但是对于上式极限，我们只需要对二阶导函数应用导数的定义就能得到：这就证明了我们猜想的结论正确。
现在，我们再总结一下得到的结论：如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f （x）在x0处有三阶导数，则f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
好，按照这种规律，一般情况下，如果函数f（x）在x0处有n阶导数呢？学生一定会毫不犹豫地齐声回答：那么f（x）就等于一个n次的多项式加（x-x0）n的高阶无穷小。
这就是泰勒中值定理的第一个定理：泰勒中值定理1：如果函数f（x）在x=x0处存在n阶导数，则是非常小的一项，所以，我们可以用n次多项式近似表示f （x），但是这种近似表示的误差只是（x-x0）n的高阶无穷小，具体小到多少，我们不能量化，也就是说佩亚诺型余项只是一个定性的表示，不能量化，那我们能不能得到一个定量的误差项呢？只要对函数f（x）的要求加强一点点，就得到了一个可以量化的误差项，这就是泰勒中值定理的第二个定理：泰勒中值定理2：如果函数f（x）在x0的邻域内存在n+1阶导数，则这样我们就引入了泰勒公式，这是非常重要的一步，然后就可以按照平常教材的安排，进一步介绍麦克劳林公式、常见函数的麦克劳林公式、泰勒公式的应用、举例等等。
[1]总之，泰勒公式的教学目标是要求学生理解泰勒公式并了解其应用，然而，对于刚步入大学的学生而言，许多大学生并没有转变好角色，适应大学的思维方式，他们对抽象深奥的泰勒公式及泰勒中值定理的学习变现出畏难情绪。
学生在学完之后，并不能理解其意义所在，往往不知所云。
用这种方式引入泰勒公式，学生对泰勒公式的理解及记忆非常清楚，再没有难的感觉。
在实际教学过程中，已经用这种方式介绍了泰勒公式，反应非常好。
希望这种教学方法能够推广，以增强学生的学习兴趣，提高教学效果。
[2][3]多元函数张量表示勒公式在多元微分学中占据着十分重要的地位，在多元函数逼近、计算机图形学以及工程近似计算等分支中有成功的应用.在高等数学教材中，多元函数泰勒展开式中的高阶项通常是借助于多项展开式进行表达，这种抽象的表达形式导致本知识点艰涩难懂.为了克服此授课难点，基于张量与张量积运算为泰勒公式引人一种直观且简洁的新表达形式.该新形式有利于学生对泰勒公式的理解与记忆，从而激发起他们运用数学工具解决实际问题的兴趣。
[4]具体形式如下：从上述例子可看出，一阶导数中每个元素针对X,Y,Z，二个方向分别求偏导，通过这种扩展就得到二阶导数矩阵，二阶导数中每个元素针对X,Y,Z，三个方向分别求偏导，通过这种扩展就得到量更高阶导数可以依次类推得到。
基于上述函数导数的张量表示，给出三元函数泰勒展开式的一种新表达形式.回顾高等数学教材里的泰勒展开式：基于导数的张量表示以及张量积运算，不难验证：将上述等式代入教材里提到的泰勒公式，我们得到多元函数泰勒展开式的一种新表达如下：从上述新表达可看出：(1)诸项的导数可通过几何拓展的方法得到，导数越高，通过几何拓展得到的张量阶数也越高种新导数表达具有直观的几何意义；(2)右端展开式中的每项都由导数与坐标差分行向量的张量积组成，张量某模态与行向量的张积就是张量切面与该行向量的线性组合之和，这种表示具有明确的几何含义；(3)右端展开式可认为是一元泰勒公式的直接推广，因此新表达具有形式上的统一性.综上所述，多元函数泰勒公式的新表达具有直观的几何含义和形式上的统一性，这些优点有利于学生们的理解和掌握，从而提高学生学习和应用泰勒公式的兴趣。
[5][6][7]应用泰勒公式源于微积分学，在其有广泛的应用，例如求极限,判断级数的敛散性，计算函数的极值等等。
一、利用泰勒公式求极限例1：求极限[8]分析：这是一道分式形式的求极限题目，若我们用罗比达法则求解将会非常麻烦，此时我们可用泰勒公式展开了，就可以将计算进行简化。
[9]代入原式得：二、利用泰勒公式解决近似计算问题使用泰勒公式能够获得抑制函数的近似计算式和一些无理数的近似值例2：估算ln1.2的近似值，误差是不超过10一4。
解：写出带有拉格朗日余项的麦克劳林展开式：则取n=5即可，可得In1-2 0.2—0.02+0．00267—0.00040+0.00006=0.1832其误差项lRsl 0.0001。
泰勒公式在求近似值时非常方便，这也是泰勒公式最重要，最广泛的应用。
三、泰勒公式在证明等式和不等式中的应用当我们得到的不等式是由若干个多项式和一些简单的初等函数组成的时候，我们可以做一个辅助函数，并利用泰勒公式进行分析验证．这样会使证明更加的简单。
可见当x>o时，函数．f(x)大于等于o，所以不等式成立。
在数学领域中泰勒公式的重要性不言而喻，通过对它的学习，可以提高我们的数学解题能力，我们称之为数学思维。
这种数学思维可以在以后的其他课程中发挥重要作用。
泰勒公式在解决很多数学问题上都起到了重要的作用，我们仅仅介绍了他的几个简单应用，实际上泰勒公式的应用远非如此，他在小波分析，通信领域都有着广泛的应用，我们将在以后的日子中慢慢体会泰勒公式的强大作用。
[10]四、求解偏微分方程例４设u(x,y)对x 和y 的高阶偏导数存在，求解变系五、求行列式的值首先根据行列式的特点构造对应的行列式函数,然后将这个行列式按泰勒公式在具体的点展开,通过求出行列式函数的各阶导数值代入公式即可：Dn(a),将行列式函数Dn(x)按泰勒公式在x ＝c 展开得接下来求出Dn (x)在的x＝c各阶导数:最后令行列式函数中的x＝a就能求出行列式Dn 的值。
[11][12]六、求微分方程的解例6求微分方程(１－x)y′＝x２－y的解七、在农田排水沟（管）间距的计算中的应用(一）研究背景及潜水蒸发计算公式根据水量平衡原理，建立考虑蒸发影响的地下水位下降的表达式，通过对设定的潜水下降速度函数V，采用泰勒公式展开，可以取展开式的前几项作为计算公式。
(二）蒸发影响下的农田排水沟（管）计算方法根据水量平衡恒原理，任意时段dt内地下水位下降狀满足微分方程为：式中，L:排水沟管间距，m ;g d :单位面积的排水强度，m /d E :地下水埋深为H 时的蒸发强度，m/d心含水层的给水度地下水面线形状系数。
通常取：明沟为0.7〜0.8,暗管为0.8〜1.0。
gd 可以表示为：式中，K :含水层的平均渗透系数，m / d: 渗流阻抗系数。
整理得到地下水下降速度表达式为：通过分析得知，地下水位下降速度和作用水头两者满足指数变化关系，即可以设为：为提高计算结果的精确性，取展开式的前3 项，代入式(4)得到:对上式（6)进行变量分离，两边分别取其定积分，t:o t，h:h i h2，即得到：应用式（5)求出当h= 0.95 h ，h2=0.73h ，h3=0.05 h(h 为临界深度)Vi（i= 1 ，2 , 3 )，由式（6)得到参数A 、B 、C 满足：为了在计算时更准确，取泰勒展开式前4 项，即得到：对于式中的Ai、Bi 、Ci 、Di 采用同前面展开3 项方法可以取值：h=0.95h、h 2=0.73h 、h3= 0.36h 、h4=0.05h 。
由式（9)得到参数满足:(三）数值实验对特定案例代入得出具体的计算结果，而在文献中有实际数值，通过相互比较验证公式的精确性。
案例为：某排水地段，采用埋深hq=2.5m，直径=0.1m的暗管排水，其设备处在轻壤土区域，有关参数为=0.01m/d土壤渗透系数是=1.0m /cl,给水度§ =0.05, 土壤参数a=1.4 , 6=10.6。
计算得出两排水区暗管之间的间距，分别如下表2 和表3所示。
得到的结果为L=107.6 m ，而文献中数据为 L=108.16 m ，即在对指数型变化关系用泰勒展开作近似时，如果取展开式的前三项在实际应用中只存在0.6% 的误差。
由表得知，取展开式的前四项的计算的结果为L=108.19m，而文献中的数据为L=108.16m，误差为0.03%。