2020高中数学第十章《概率与统计》复习备考策略

高中数学第十章《概率与统计》复习备考策略【命题热点】

概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.

命题热点一概率与统计的综合应用

[典例1](2019·仙桃模拟)(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．学/审/题►

①看到表格，想到表中最高气温与天数的对应关系

②看到估计概率，想到频率与概率的关系可得估计值

③看到酸奶的利润，想到进货成本与售价，注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理

(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ①，(2

分)

由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，(4分) 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(5分)

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，

则Y ＝6×450－4×450＝900

②；(6分) 若最高气温位于区间[20,25)，

则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300

③；(7分) 若最高气温低于20，

则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100

④；(8分)

所以Y 的所有可能值为900,300，－100.(10分)

Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20

的频率为36＋25＋7＋490

＝0.8，(11分) 因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.(12分)

防/失/误 ►

①处注意结合题意将需求量不超过300瓶转化为最高气温的关系问题，再利用频率估计概率，易不理解题意失误．

②③④处注意结合气温区间及需求量的关系，计算出Y 值，易忽视卖不完的要降价处理．

通/技/法 ►

解决概率与统计综合问题的一般步骤

1．(2019·桂林、贺州、崇左联考)在某大学的自主招生考试中，所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．

(1)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分；

(2)求该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的考生人数；

(3)如果参加本次考试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率．

解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有考生10÷0.25＝40(人)．

“数学与逻辑”科目中成绩等级为D的频率为1－0.075－0.2－0.25－0.375＝0.1.

该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分为

[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40＝2.9(分)．

(2)依题意知该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.

(3)因为两科考试中，共有6人次的成绩等级为A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目的成绩等级为A.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲，乙是两科成绩等级都是A的学生，在至少一科成绩等级为A的4位考生中，随机抽取2人进行访谈包含的基本事

件有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6个，

其中所抽取的2人的两科成绩等级均为A 的事件为{甲，乙}，

所以所抽取的2人的两科成绩等级均为A 的概率为16.

命题热点二 随机变量的期望及综合应用

[典例1] (2017·全国Ⅲ卷)(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

学/审/题 ►

①看到表格，想到表中最高气温与天数的关系及气温与酸奶的需求量的关系 ②看到一天中酸奶的需求量，想到表格中关系可求解

③看到EY 的最值问题，想到利用进货量n 表示EY ，建立函数关系后可求解． 学/规/范 ►

(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500

①，(2分)

由表格数据知，

P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，

P (X ＝500)＝25＋7＋490

＝0.4.(5分) 因此X 的分布列为