《数理统计》试题库填空题

合集下载

概率论与数理统计习题及答案填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________；（2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________；（3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________. 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤. 52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅==12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球 31113553()()(|)()3568120iiP B P A P B A ==++=∑22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A =故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22xx x f x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2220001()12244xx x A A A A xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________；（2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________；（3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a -∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X=在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X XY Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________. 解：011Z Ppqpq- 121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===10== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑12361101010iX P61812101010i EX =⨯+⨯= 81010810i EX EX ==⨯= 42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X ==⋅⋅= 12132132326(1)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X ==⋅⋅= 326183642EX ⨯+==25269623648EX ⨯+⨯== 2223185()888DX EX EX =-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.解：0.220.80.3EXY b b =+=⇒= 10.40.20.40.1a b a +=--=⇒= 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aY E X aY E X aY -+=-+⇒-+=.10EX aEY -+=，1102a a -+=⇒=.令 21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY =-+==+=. ~(0,1)Z N ∴2220|||z zE Z z dx ze dz --+∞+∞-∞∴====⎰⎰ 45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=.46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯= 222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________.解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.解：X不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niX nEXX EXU Nα--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u Pμ-<=⨯<=EX的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X-⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)Nμ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x=，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n uαχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=±∴置信区间为(4.412, 5.588)。

(完整版)概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。

正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。

三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则分分分四解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分，分布列对一组得 2分；五解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则代B 至少有一个不发生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是的极大似然估计量(C ) X 1是的相合(一致)估计量(D ) X i 不是的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。

《概率论与数理统计》习题及答案--填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________；（2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________；（3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______. 38．设随机变量X 的概率密度为 ,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________. 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=. 7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅== 12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球31113553()()(|)()3568120i iP B P A P B A ==++=∑ 22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A = 故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X e e λλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22x x xf x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2220001()12244x x x A A AA xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________；（2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________；（3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a-∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X X Y Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.解： 011Z P pq pq-121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑012361101010iXP61812101010iEX=⨯+⨯=81010810iEX EX==⨯=42．有3个箱子，第i个箱子中有i个白球，4i-个黑球(1,2,3)i=.今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EX=_________，DX=__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X==⋅⋅=12132132326(1)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X==⋅⋅=326183642EX⨯+==25269623648EX⨯+⨯==2223185()888DX EX EX=-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X YP a b若()0.8E XY=，a=_________，b=__________.解：0.220.80.3EXY b b=+=⇒=10.40.20.40.1a b a+=--=⇒=44．设,X Y独立，且均服从11,5N⎛⎫⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aYE X aY-+=-+，则a=__________，|1|E X aY-+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aYE X aY E X aY-+=-+⇒-+=.10EX aEY-+=，1102a a-+=⇒=.令21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY=-+==+=.~(0,1)Z N∴222|||zzE Z z dx ze dz--+∞+∞-∞∴====⎰⎰45．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X--=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯=222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________. 解：X 不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niXnEXX EXU N α--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u P μ-<=⨯<= EX 的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X -⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n u αχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=± ∴置信区间为(4.412, 5.588)。

概率论和数理统计期末考试题库

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫乞一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：：丫乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。

《概率论与数理统计》复习题

《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是独立。

2．已知,A B 互相对立，则A B 与的关系是互相对立。

3.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。

4. 已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ⋃= 0.7 。

5.B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，()0.5P A B =，则()P B A =__23__。

6．已知()P B A =0.3 ，()P A B -=0.2，则()P A = 2 / 7 。

7．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。

8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。

9. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___61___。

10. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。

11．每次试验成功的概率为p ，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3次成功的概率为___5327)1(p p C -___。

12. 已知3次独立重复试验中事件A 至少成功一次的概率为1927，则一次试验中事件A 成功的概率p =___13___。

13．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。

14．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=_0.4_。

15.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。

(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc

一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。

2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。

（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。

（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。

（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。

3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为：0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。

7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。

8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

数理统计期末测试题

数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ，则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。

0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ，则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

数理统计试题

<数理统计>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已知，令∑==161161i i X X ，则统计量σ-164X 服从分布为（必须写出分布的参数）。

2．设),(~2σμN X ，而，，，，是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为。

3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为。

4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。

5．θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计，如果有成立，则称θˆ是比βˆ有效的估计。

6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________。

7．设总体X~N （μ，σ²），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ²），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。

若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。

9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x,x, …，x ）落入W 的概率为，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。

11．设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于，则样本容量n 至少要取__ __。

12．设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，，则假设：的检验使用的统计量是。

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)概率论试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。

试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。

则P(B A)＝3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词__的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)A=______________7. 已知随机变量X的密度为f(x)k(k 1,2, )则ax b,0 x 1,且P{x 1/2} 5/8,则0,其它a ________b ________28. 设X～N(2, ),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是280，则该射手的命8111.设P{X 0,Y 0}34，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b} 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

15.已知X~N( 2,0.4)，则E(X 3)＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)22D(3X Y)x2，则D(X)＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 219.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～或2～。

《数理统计》试题库填空题

第一章1. 设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则()Var X Y -= 。

2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,3)N 的简单随机样本，221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

4. 设总体()2Xk χ，12,,,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1ni i X =∑服从2χ分布，且自由度为。

5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，2212()X a X X =+，则a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为。

6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为。

7．X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为。

8. 设随机变量 X 服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则统计量()22212919U X X X =+++服从。

9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 和 129,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++=服从。

10. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)kk EX k α== 则当n充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，其分布参数为____________11. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数分布，则∑=ni i X 12λ服从____________分布.12. 设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知，则2.DS =____________ 13. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，统计量1n iX Y =__________。

概率论与数理统计试题与答案(1_2)

8分
12分
四、(本题12分)设二维随机变量联合概率密度为
=
(1) 确定常数 .
(2) 求边缘概率密度及 ,并问与是否独立,为什么?
(3) 求 .
[解答]
(1)由密度函数的性质有
故 .3分
(2)如果 ,则 ;
如果 ,则
故的边缘密度数为
5分
如果 ,则 ;
如果 ,则
故的边缘密度数为
Hale Waihona Puke 7分由于 ,故与相互独立..9分
解 (1) 3分
6分
(2) 9分
12分
六、(本题12分)设随机变量的密度函数为
= 其中为未知参数, 是的简单随机样本, 是的样本观察值,求参数的极大似然估计值.
解似然函数
.4分
取对数
6分
令得 10分
所以的极大似然估计值为 12分
七、(本题10分)某厂生产的某种电子元件的寿命其中都是未知的参数,现在观测25个样本,得样本观察值计算得 .试问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平下是否为 (小时)?
小时.10分
(3) 对于给定的检验水平 ,查表确定临界值
,
于是拒绝域为 5分
(4) 根据样本观察值计算统计量的观察值:由已知 ,故
8分
(5)判断: 由于 ,故接受H0,即这种电子元件的平均使用寿命为
小时.10分
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、或 2、 3、
4、 5、-6,256、0.57、0.875
8、 9、 10、
则 0.875.
8、设与是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
,
则的联合概率密度 =.

数理统计试题及答案

数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知，则=________；3、设总体，若和均未知,为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________;4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;5、设总体,已知，在显著性水平0.05下,检验假设，，拒绝域是________。

1、；2、0.01;3、；4、；5、.二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）(B) (C）(D)2、设为取自总体的样本,为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B) （C）（D）3、设是来自总体的样本，存在, ，则( )。

(A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

(A) （B)（C）（D)5、设总体，已知，未知,是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5。

69)，则取显著性水平时,检验假设的结果是（）。

（A）不能确定(B)接受(C）拒绝（D）条件不足无法检验1、B；2、D；3、C；4、A;5、B。

三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本,求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1) ,令，得为参数的矩估计量。

（2)似然函数为：，而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为.四、(本题14分)设总体，且是样本观察值,样本方差，(1）求的置信水平为0.95的置信区间;(2）已知，求的置信水平为0。

95的置信区间；(，)。

解:（1)的置信水平为0。

95的置信区间为,即为(0。

概率论与数理统计试卷及参考答案

概率论与数理统计试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。

2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。

3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。

4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。

5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。

二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。

做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。

解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品，则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。

解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。

概率论与数理统计试题库

概率论及数理统计一、填空题1．已知()()(),5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则()=B A B P （ 0.25 ） 2．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）3．理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。

即当n →0，p →∞，且np →λ（常数）时，有关系式lim ∞→n C mnpmmn q-=e m mλλ-!成立。

4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）5．若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6．写出随机变量X 服从参数为λ（正常数）的泊松分布的概率公式{}==k X P （!k e k λλ-）7．当随机变量R.V. ξ~N （μ,σ2）时，有P{a<ξ≤b}=（F （b ）-F （a ））8．写出样本k 阶中心矩公式=k B （ ()∑==-ni k i k X X n 1,3,2,1 ）9．已知()()(),21,31,41===B A P A B P A P 则()=B A P （ 1/3 ） 10．设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。

独立地分别在两只盒子中各取一只球，则至少有一只蓝球的概率是（ 5/9 ）11．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则正品次品各有一只的概率为（ 16/45 ）二、判断题1、对立事件一定是互斥事件。

（）2、明天下雨是随机事件。

（）3、若事件A 和事件B 相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B). ( )4、设随机变量X 的概率密度为a, 则E （X ＋1）＝1 。

（）5、设随机变量X 及Y 相互独立，且D(X)=1,D(Y)=2,则D （X+Y ）＝3 。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。

解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。

又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数理统计试题库-----填空题（每题3分）第一章1. 设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则()Var X Y -= 。

2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,3)N 的简单随机样本，221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

4. 设总体()2Xk χ，12,,,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1ni i X =∑服从2χ分布，且自由度为。

5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，2212()X a X X =+，则a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为。

6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为。

7．X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为。

8. 设随机变量 X 服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则统计量()22212919U X X X =+++服从。

9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N , 而129,,,X X X 和 129,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++=服从。

10. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)k k EX k α== 则当n 充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，其分布参数为____________11. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数分布，则∑=ni i X 12λ服从____________分布.12. 设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知，则2.DS =____________ 13. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，统计量1n iX Y =__________。

14. 某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布为____________15. 已知~()X t n ，则2X 服从____________分布. 16. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，则统计量21221ni i n mi i n m X Y n X =+=+=∑∑的概率分布为____________17.设621,,,X X X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，264231)()(∑∑==+=i i i iX XY 则当c＝时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .18.设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知，则2.DS 为：第二章19. 设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体的样本，要使统计量2(1)kX k S +-是λ的无偏估计量。

则常数k =____ ______。

20. 设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 的矩估计为__________。

21. 设总体X 有期望12,,,,n X X X μ为一样本，则统计量(1)()1()2n X X +是否为μ的无偏估计量_________（回答是、否）。

22. 设总体212~(,),,,,n X N X X X μσ为来自X 的样本，问2211()1ni i S X X n ==--∑是否为2σ的相合（一致）估计______ （回答是、否）。

23. 从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少为____________ （975.0)96.1(=Φ） 24. 设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他12,,,n X X X 为来自该总体的样本，则参数α的矩估计为__________。

25.设总体X 的数学期望EX μ=已知，统计量211()n i i X n μ=-∑是否为总体方差2DXσ=的无偏估计_________（回答是、否）。

26. 设总体X 有期望12,,,,n X X X μ为一样本，则统计量(1)X 是否为μ的无偏估计量______不是____（回答是、否）。

27.假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的一个样本值或观测值，则样本均值x 表示样本值的集中位置或平均水平，样本方差S 2和样本修正方差S *2表示样本值对于均值x 的_______________.28. 样本方差S 2和样本修正方差S *2之间的关系为_______________.29. 矩估计法由英国统计学家皮尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易行，性质良好，一直沿用至今. 其基本思想是：以样本平均值（一阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本方差（二阶中心矩）2S 或者以样本修正方差2*S 作为相应总体ξ的_________________________.30. 总体未知参数θ的最大似然估计θˆ就是__________________函数的极大值点.31. 我们在估计某阶层人的月收入时可以说：“月收入1000元左右”，也可以说：“月收入在800元至1200元间”. 前者用的是___________，后者就是_________________. 32. 在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. 一般来讲，信度α较大，其置信度（1－α）较小，对应置信区间长度也较短，此时这一估计的精确度升高而可信度降低；相反地，信度α较小，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这一估计的精确度_________而可信度_____________.33. 无论总体方差2σ是否已知，正态总体均值μ的置信区间的中心都是_______________. 34. 设12,,,n X X X 是来自X 的样本，()E X μ=，则常数12,,,n C C C 满足条件：1nii C==∑ 时，1ˆn i i i C X μ==∑是()E X μ=的无偏估计量。

35. 设总体X 服从（0-1）分布，p 为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体的样本，则参数p 的矩估计量是。

36. 设总体X 的分布律为其中θ是未知参数，且30<<θ，则θ的矩估计量为。

37. 设总体X 的分布律为其中θ是未知参数，且30<<θ，总体X 有如下样本值为1，2，1，1，0，则θ的矩估计值为。

X 的概率分布列为其中)20(<<p p 是未知参数，总体X 的样本值为3，1，0，2，3，3，1，2，3，则p 的矩估计值为。

()~,1X N μ， μ未知，设12,,,n X X X 为来自该总体的一简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则μ的置信度为1α-的置信区间为。

40．设某种清漆干燥时间()2~,X N μσ（单位：h ），取9n =的样本，得样本均值和方差分别为26,0.33X S ==，则μ 。

41. 设某种保险丝融化时间2~(,)X N μσ（单位：s ），取16n =的样本，得样本均值和样本方差分别为215,0.36X S ==，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为。

42. 设总体2~(,0.9)X N μ，当样本容量为9时，测得5x =，则μ 。

43. 已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布(,1)N μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ 。

44.设1ˆθ和2ˆθ都是无偏估计量，如果_______________，则称1ˆθ比2ˆθ有效. 45.设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为46.设总体X 服从正态分布212(,),,,,n N X X X μσ是其样本，∑-=+-=11212)(n i i i X X C σ是2σ的无偏估计量；则=C47.设总体X 服从区间[1,]θ上的均匀分布，1θ>未知，1,,n X X 是取自X 的样本。

则θ的矩估计为： .48.θˆ具有无偏性的意义是：θˆ取值因随机性而偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.第三章49. 假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为弃真错误，显著水平α就是犯这类错误的概率；第二类为取伪错误，记犯这类错误的概率为β. 则关系式α＋β＝1是_______________(正确、错误)的.50. 假设检验中做出判断的根据是_____________________________________________. 51.对于单正态总体，当均值μ已知时，对总体方差 2σ的假设检验用统计量及分布为_________________________________.52.在进行抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选入样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满足下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.53.假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为__________________，第二类为__________________.54.常用的假设检验方法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、4）__________________. 55.设样本12n X X X ，，，来自()2N μσ，且2σ已知，则对检验035H μ=:，采用的统计量是_____ ___.56.某纺织厂生产维尼纶.在稳定生产情况下，纤度服从()20.048Nμ，分布,现抽测5根.我们可以用_________检验法检验这批纤度的方差有无显著性变化.第四章57. 若回归方程为y a bx =+，则xy xxL b L =，a =__________.填空题参考答案第一章:1.221212n n σσ+2.11,20100 3. 11,4518. 4. nk 5. 1，2 6. 6,327. 4(1,)N n- 8. 2(9)χ 9. (9)t 10. 22421211~(,)n i X N n nααα=-∑ 0,1,i k =，1,2,,,i n =11. 212~(2).ni i X n λχ=∑. 12. 24215DS σ∴=13. 1~();nniX Y t m ==14.112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑. 0,1,i k =，1,2,,,i n =15. 22~(1,)/Z X F n Y n=16. 222112222111/~(,).1/nnii n i n mn mi ii n i n m XXnY F n m n X Xmσσ==++=+=+==∑∑∑∑ 17. 1/3 2 18. 2215()21530S D σ=⨯=，2422530DS σ=，24215DS σ∴=. 第二章: 19. 任意 20. ˆXN p=，*21S p X =-. 21. 不是 22. 2S 是2σ的相合估计。