统计计算课件 第二章 正态分布

k

(2k 1)!! 1 [1 (1) ] 2 k (2 x ) x k 1
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
取以上展开式的前 n项，得： (2k 1)!! erf ( x) 1 [1 (1) ] 2 k (2 x ) x k 1 e
n k x2
利用分位数展开式的算法
取初值，
u p u0
n
Ck (u0 ) k ( p ( u )) 0 k k 1 k! ( u0 )
n

Ck (u0 ) k p (u0 ) u0 Z0 Z0 k! (u0 ) k 1
' (u0 ) ' 其中 C1 (u 0 ) 1, Ck 1 (u0 ) Ck (u0 ) kCk (u0 ) (u ) k 1,2, 0 上式右边可表示为：
x2 2
n
一、连分式逼近法
( x）的两个连分式展开式 为： 1 ( x) x x 2 2 x 2 kx 2 ( x) 2 1 3 5 ( 1) k (2k 1) ( 1) k 1 ( x) x 1 2 k ( x) 1 x xx x 其中： ( x) 1 e 2

则 可把 u p作为新的初始值，反复迭代， 直至达到精度要求。

8
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ③山内的近似公式（ 1965 年） u

5.7262204 y 2.0611786 y 11 . 640595 y ln(4 (1 ))
以上公式的相对误差小 于4.9 10 4。
4
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ②Toda近似公式（ 1967 年） i u y bi y , y ln4 (1 ) i 0 其中b0 0.1570796288 10, b1 0.3706987906 101 ,
4
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 (2)用二阶展开的迭代求根 法 (3)利用分位数展开式的算 法
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 由分位数的定义， u p 满足：(u p ) p.
令u u1 , u 称为上侧分位数。对给 定 的 (0,0.5), u 0, 且p分位数与上侧分
数或分位数的计算公式进行计算。
n
正态分布分布函数和分位数计算
设X ~ N ( , 2 ),则X的分布函数为： F ( x) ( x ); ( x）是标准正态分

布分布函数。 X的p分位数为：x p u p , u p是 标准正态分布的 p分位数。 故仅讨论标准正态分布分布函数 ( x）和分位数u p的计算方法。
正态分布，这点可由概率论的极限定理证明。
概述
另一方面，正态分布具有许多良好 的性质，许多分布可用正态分布来近似，
另外一些分布又可以通过正态分布来导
出，因此在理论研究中，正态分布十分
重要 。
概述
由于正态分布在概率计算中的重要 性，利用计算机进行有关正态分布的计 算问题时，经常涉及到其分布函数或分 位数的计算。最好的办法是利用分布函
正态分布的分布函数 和分位数的计算
概述
正态分布是概率论中最重要的分布。一
方面，正态分布是自然界中最常见的一种分
布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、 人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品 的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说， 若影响某一数量指标的随机因素很多，而每
个因素所起的作用不太大，则这个指标服从
Z u p u0 Z0 C1 (u0 ) 0 2
Z0 C ( u ) C ( u ) 2 0 3 0 3
利用分位数展开式的算法
用递推算法，令
Z0 gn Cn (u0 ) n g k 1 Z 0 (Ck 1 (u0 ) g k )(k n, n 1,,1) k 1 u p u0 g1
x2 2
。
n
一、连分式逼近法
截有限节连分式作为 ( x）的近似值： 1 ( x) x x 2 2 x 2 nx2 (0 x 3) 2 1 3 5 (2n 1) ( x) 1 ( x) x 1 2 n ( x 3) x xx x 12 以上近似值，当 n 28时，精度可达 10 。
由以上近似值可计算 erf ( x)的值。再 由( x)与erf ( x)的关系，计算 ( x)的 近似值。
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
导出误差函数的近似计 算公式的方法很多， 下面介绍两个常用的计 算公式： erf ( x) 1 (1 ai x )
i 1 6 i 16
位数有以下关系：
u , u p 0, u ,
当0 p 0.5, p 当p 0.5 当0.5 p 1, 1 p
以下仅给出 0 0.5时，u 的近似计算公式。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ①Hastings 有理近似式（ 1955 年）
3 1 i i u y ci y d i y 1 , y 2 ln 2 i 0 i 1 其中c0 2.515517 , d1 1.432788 , 2
c1 0.802853 , d 2 0.189269 , c2 0.010328 , d 3 0.001308 . 以上公式的最大绝对误 差是4.4 10 。
10 12
b2 0.8364353589 103 , b3 0.2250947176 103 ,
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u p的近似计算公式 ②Toda近似公式（ 1967 年） b4 0.6841218299 105 , b5 0.5824238515 105 , b6 0.1045274970 105 , b7 0.8360937017 107 , b8 0.3231081277 108 , b9 0.3657763036 1010 , b8 0.6936233982 1012. 以上公式的最大绝对误 差是1.2 10 。
三、利用误差函数的 近似公式计算
4 x i 4 erf ( ) 1 (1 bi x ) (2) 2 i 1 其中b1 0.196854 , b2 0.115194 ,
b3 0.000344 , b4 0.019527 , 以上近似公式的最Fra Baidu bibliotek绝 对误差是2.5 10 。 (1)与(2)是最简单且实用的近似 公式， 在精度要求不高时使用 起来比较方便。
n
标准正态分布分布函数的计算
因为 ( x）是对称函数，只需给 出 x 0时， ( x）的计算方法；当 x 0时， ( x） 1 ( x）计算。 ( x）有三种计算方法。
n
基本公式

利用分部积分法可以得到 ( x ) 的两 个级数展开式
x3 x5 1 x 2 k 1 ( x) ( x) x 2 3 3 5 (2k 1)!! 1 1 1 k ( 2k 1)!! ( x ) 1 ( x ) 3 5 ( 1) 2 k 1 x x x x 1 ( x) e 2
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
误差函数erf ( x)的定义： 称函数erf ( x) 2


x
0
e dt( x 0)
t 2
为误差函数；erfc( x) 1 erf ( x) 2



x
e dt为余误差函数。
t 2
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
( x)与误差函数erf ( x)有以下关系： （1 erf ( 0.5 ( x) 0.5 （1 erf ( x )， x 0 2 x )， x 0 2
用二阶展开的迭代求法
1 5.7262204 u0 sign( p ) y 2 . 0611786 2 y 11 . 640595 y ln4 p1 p
初始值取为 u0，用二阶展开的迭代求根公式计算 后，用 u1 u0 作为新的初值 u0 重复迭代， 直至达到所要求的精度。
(1)
其中a1 0.0705230784 , a2 0.0422820123 ， a3 0.0092705272 ，a4 0.0001520143 ， a5 0.0002765672 ，a6 0.0000430638 以上近似公式的最大绝 对误差是 1.3 10 。
7
n
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
利用分部积分法可得出 误差函数erf ( x)的幂级数展开式： erf ( x) 2 2 ex
2 2

2 3 22 5 2k [x x x x 2 k 1 3 35 (2k 1)!!
ex e
x2
2k 2 k 1 x ! k 0 ( 2k 1)!