三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

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【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226

x y π

=

+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．

（１）

32； 14π；26x π+；6

π （2）函数2sin(2)3

y x π

=-

的对称中心是 ；对称轴方程是

；单调增区间是 ． （２）(

,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤

-++∈⎢⎥⎣⎦

,06a π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

平移，

(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析

式是（ ）

A ．sin()6y x π

=+ B ．sin()6y x π

=- C ．sin(2)3y x π=+

D ．sin(2)3

y x π

=- ,06a π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

平移，

（３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量平移后的图象所对应的解析式为sin ()6

y x π

ω=+

，由图象知，73(

)1262

πππ

ω+=

，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(2π

的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点

（ ）

（A ）向左平移

6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变）

（B ）向右平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1

倍（纵坐标不变）

（C ）向左平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移

6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

（４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移

6

π

个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，

再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π

的图像

［例2］

已知函数2

()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3

x π=为其一条对称轴。（1）试求ω

的值 （2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．

解：（1

）2

()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω==++

3

x π

=

是()y f x =的一条对称轴2sin(

)136

ωππ

∴+=±

2

［例4

］设函数2

()sin cos f x x x x a ωωω=++

（其中0,a R ω>∈）。且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是

6

π

． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间5[,

]36ππ

-

，求a 的值．

解：（I

）1()2sin 2sin(2)23f x x x x a πωωαω=

+=+ 依题意得 1

26

3

2

2

π

π

π

ωω⋅

+

=

⇒=． （II ）由（I

）知，()sin()3f x x π

α=+

．又当5[,]36

x ππ

∈-时， 7[0,

]3

6x π

π+

∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

，

122a =-

++

，故1

.2

a = 【课内练习】

1.若把一个函数的图象按a =（3

π-，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图象的函数解析式是

（ ）

（A ）2)3

cos(-+=πx y （B ）2)3

cos(--=πx y （C ）2)3

cos(++=πx y （D ）2)3

cos(+-=π

x y

１．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -平移可得原图象的函数解析式

3．若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是 （ ）

A.ω=1，ϕ=3π

B.ω=1，ϕ=－3π

C.ω=21，ϕ=6π

D.ω=21，ϕ=－6

π

３．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ω=2

1

.

又当x =3π2时，y =1，∴sin （21×3

π

2+ϕ）=1，

3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π

. 4．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6

x π

=对称，则ϕ的最小值为

（ ）

()

A 512π ()

B 116π ()

C 1112

π

()D 以上都不对 ４．A 提示：平移后解析式为sin(22)y x ϕ=-，图象关于6

x π

=对称，

∴226

2

k π

π

ϕπ⋅

-=+

（k Z ∈），∴2

12

k

π

ϕπ=--

（k Z ∈），

∴当1k =-时，ϕ的最小值为

512

π

．