非齐次线性微分方程组有解的充要条件
关于常系数非齐次线性微分方程通解的注释
关于常系数非齐次线性微分方程通解的注释
常系数非齐次线性微分方程是一类重要的常用方程，它们经常出现在物理、化学和工程等学科中，解决这样一类方程的关键在于求解微分方程的通解，从而可以充分了解这一类问题中的所有特性。
常系数非齐次线性微分方程的通解是指将非齐次线性微分方程的所有根列式表示出来的求解过程，它寻找的不仅仅是特解，也可以求解出该方程的通解。
与此同时，还可以根据方程存在的特殊解的形式，推出通解的表达式。
通常，求解常系数非齐次线性微分方程的通解，可以采用Yurkevich余子定理或Laplace变换的方法。
Yurkevich余子定理是一种有效的求解常系数非齐次线性微分方程的方法，它可以降低方程求解的复杂度，使得求解起来更快更便捷。
借助Yurkevich余子定理，可以把遇到的复杂方程分解成几个简单的次级微分方程，从而解决原方程的求解问题。
而Laplace变换法，则是把常系数非齐次线性微分方程转化为求解复拉格朗日变换（Laplace Transform）形式的微分方程，从而转化问题，用一个简单的微分方程求解这一复杂的原方程。
常系数非齐次线性微分方程具有特殊的解析解，这些解析解能够揭示出该方程的特征，并且可以极大地帮助我们求解原方程。
因此，求解常系数非齐次线性微分方程的通解对于研究问题极其重要，它可以深入理解原问题，准确地预测其行为，也可以帮助我们更加准确地控制系统。
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程在微积分学中，非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程形式。
本文将介绍非齐次线性微分方程的定义、求解方法以及实际应用。
一、定义非齐次线性微分方程是指形如以下形式的方程：$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)$$其中，$p(x), q(x), g(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
二、求解方法为了求解非齐次线性微分方程，我们首先要求解对应的齐次线性微分方程：$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0$$对于齐次线性微分方程的解法，我们可以使用特征方程的方法，找到其特征方程的根，并据此求解通解。
假设齐次线性微分方程的通解为$y_h(x)$，则非齐次线性微分方程的一般解为：$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$其中，$y_p(x)$是非齐次线性微分方程的特解。
求解非齐次线性微分方程的特解$y_p(x)$可以使用以下方法：1. 常数变易法：假设特解为常数函数$y_p(x) = C$，代入非齐次方程，求出$C$的值。
2. 叠加原理：对于非齐次方程的形式$g(x) = g_1(x) + g_2(x)$，可以分别求解$y_p(x) = y_{p1}(x)$和$y_p(x) = y_{p2}(x)$，再将两个特解相加得到非齐次方程的特解$y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x)$。
3. 变参数法：对于非齐次方程的形式$g(x) = Ae^{\lambda x}$，其中$A$和$\lambda$为常数，可假设特解为$y_p(x) = Ce^{\lambda x}$，代入非齐次方程，求出$C$和$\lambda$的值。
三、实际应用非齐次线性微分方程在科学和工程问题的建模和求解中具有广泛的应用。
以下列举几个实际应用的例子：1. 弹簧振动：非齐次线性微分方程可以用于描述弹簧振动的运动方程。
高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法作者：耿丽芳来源：《数学学习与研究》2019年第02期【摘要】在高等数学教学过程中，高阶常系数非齐次常微分方程解法只有几种.比如，在解决齐次线性方程的时候所利用的特征代数方程，在本文当中提出了常系数线性非齐次常微分方程的其他解法，在非齐项是任意连续函数的时候，通过第二类特征代数方法的求解过程，得到求特解的公式，并且通过实例对解法进行了系统分析.【关键词】常系数;特征方程;非齐次常微分方程一、高阶常系数线性非齐次常微分方程解法常系数线性非齐次常微分方程的形式如下所示.x（n）+p1x（n-1）+p2x（n-2）+…+pnx=f（t）. （1）（一）常数变易法可以将方程的特解设为：x（t）=c1（t）x1（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t），（2）c，i均为常数，将其代入到（1）当中，可以得到方程组：x1c1′（t）+x2c2′（t）+…+xncn′（t）=0，x1′c1′（t）+x2′c2′（t）+…+xn′cn′（t）=0，x （n-2）1c1′（t）+x（n-2）2c2′（t）+…+x（n-2）ncn′（t）=0，x（n-1）1c1′（t）+x（n-1）2c2′（t）+…+x（n-1）ncn′（t）=f（t）.通过解方程组，最终得到关于c1′（t），c2′（t），…，cn′（t）的方程式，将它们积分处理，从而获得c与i的值，并将它们代入到（2）当中，能够得到方程1的特解.这种方法不会限制f（t）的形式，因此，具有比较广的使用范围，可是在求解过程中，工作量相对较大.（二）比较系数法常系数线性非齐次方程，我们通常是会用比较系数法，它能够将微分方程转变为代数问题，自由项是f（t）=pm（t）eλt或者是f（t）=[pn（t）cosβt+ps（t）sinβt]eθt，pm（t），pn（t），ps（t）是m次、n次以及s次多项式.当λ，α，β都是常数的时候，特解x ～ =tkQm（t）eλt，Qm（t）是待定多项式.或者x ～ =tk[Q（1）m（t）cosβt+Q（2）m （t）sinβt]eαt，m=max[n，s].Q（1）m（t），Q（2）m（t）是两个待定的m次项式，而k则是方程含根α±βt次数.将其代入到方程（1）当中，并且比较两边t同次幂的系数，从而确定待定系数的多项式.按照线性微分方程解结构定理能够求出方程通解.（三）创新解法dny dxn +a1 dn-1y dxn-1 +…+an-2 d2y dx2 +an-1 dy dx +any=Am（x）eλx，; a其中，ai∈ R （i=1，2，…，n），λ∈C，Am（x）是实变量x次数m的实系数多项式.在对a进行求解的时候，通常是按照与之相对应的齐次线性方程特征方程特征根和Am（x）eλx 特征使用特定待定系数法加以解决，该方法存在的问题在于运算量非常大，从而影响计算过程，本文所使用的齐次线性方程特征方程、特征多项式、特征根和Am（x）eλx特征，使用这个公式能够比较容易地计算出方程a的特解.假设和方程a所对应的齐次线性方程特征多项式是F（r）=rn+a1rn-1+…+an-2r2+an-1r+an. b此时，特征方程F（r）=0当中的r=λ，便是b的特征根.主要结果和证明引理1; b对r的l阶导数是F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k rn-l-k， c∪ i n （i=0，1，2，…，n）为组合数，在r=λ的时候，存在F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k λn-l-k.引理2; 方程a特解y（l）（x）=∑ l s=0 ∪ s l λsQ（l-s）（x）eλx=∑ l s=0 ∪ s l λl-sQ（s）（x）eλx. dUin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式，s表示s阶导数.引理3;;; ∑ n l=0 ∑ l s=0 an-1Uslλl-sQ（s）（x）eλx=∑ n l=0 ∑ n-l k=0 akUln-kλn-k-lQ（l）（x）eλx.Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式.定理1; 方程a的特解为y=Q（x）eλx的充分必要条件为1 l！∑ n k=0 F（l）（r）Q（l）（x）=Am（x）. e二、实例分析解方程 d2y dx2 +2 dy dx +3y=（x+1）e3x.解; 特征多项式是F（r）=r2+2r-3，令F（r）=0，根是r=-3，r=1，λ=3不是特征根，所以可以设特解是（Ax+B）e3x，此时Q（x）=Ax+B，Q′（x）=A，Q′（x）=0，同时，F（3）=12，F′（3）=8，F′（3）=2，将其代入到e当中，存在F（3）Q（x）+F′（3）Q′（x）+ 1 2！F′（3）Q′（x）=x+1，也就是12（Ax+B）+8A=x+1，方程的解为A= 1 12 ，B= 1 36 ，因此，特解是 1 36 （3x+1）e3x.三、结语本文主要介绍了常数变易法、比较系数法等高阶常系数线性非齐次常微分方程基本的求解方法，同时，对求解方法进行了适当创新，推出了创新解法，并以此为基础，列举了实例进行系统分析，希望能够对实际应用产生一定的推动作用.【参考文献】[1]埃伯哈德·蔡德勒，蔡德勒，李文林.数学指南：实用数学手册[M].北京：科学出版社，2012.[2]陈新明，杨逢建.線性常系数微分方程的求解公式[J].五邑大学学报（自然科学版），1999（1）：36.[3]张鹏高.高阶常系数线性非齐次常微分方程的求解公式[J].湖南城市学院学报，1998（6）：61-63.[4]宋燕.高阶常系数非齐次线性微分方程的解法[J].高等数学研究，2012（3）：22-23.[5]陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法[J].宜春学院学报，2010（12）：13-14.[6]陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法[J].宜春学院学报，2010（12）：13-14.[7]吴亚敏.求高阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J].太原师范学院学报（自然科学版），2012（1）：40-42.。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设【原创版】目录一、常系数非齐次线性微分方程的特解概念二、特解的设定方法1.依据非齐次项的形式设2.常数变易法三、特解的求解步骤1.判断微分方程类型2.找到相关参量3.列出特征方程4.根据特征根的关系判断特解的设法5.求解特解四、特解的具体形式1.Ay""By"Cyemx 特解 yC(x)emx2.Ay""By"Cya sinx bcosx ymsinxnsinx3.Ay""By"Cy mxn yax五、基于格林函数求解常系数非齐次线性微分方程某一特解的具体使用方法说明正文一、常系数非齐次线性微分方程的特解概念常系数非齐次线性微分方程是指具有如下形式的微分方程：a_n*y^(n)(x) + a_{n-1}*y^(n-1)(x) +...+ a_1*y"(x) + a_0*y(x) = f(x)，其中 a_n, a_{n-1},..., a_1, a_0 均为常数，f(x) 为已知函数。
特解是指微分方程的解中，除了齐次微分方程的通解之外的解。
二、特解的设定方法1.依据非齐次项的形式设：特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
例如，如果非齐次项是 e^x 或 sin(x)，那么特解的形式也可能是 e^x 或 sin(x)。
2.常数变易法：先解对应的齐次微分方程，其解必定含有一个任意常数 C。
把常数 C 看作是个变量，并假定就是非齐次常系数线性微分方程的一个特解。
将其代入非齐次常系数线性微分方程，再次确定 C(x)。
三、特解的求解步骤1.判断微分方程类型：首先要判断微分方程的类型，例如二阶、三阶等。
2.找到相关参量：根据微分方程的类型，找到相关的参量，如特征根、特征方程等。
3.列出特征方程：根据微分方程的类型，列出特征方程。
4.根据特征根的关系判断特解的设法：根据特征根的关系，判断特解的设法，如一一映射、二一映射等。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
非齐次微分方程通解的方法
非齐次微分方程通解的方法一、前言非齐次微分方程是微积分学中的重要内容，解非齐次微分方程的通解方法有很多种，本文将介绍其中两种常用的方法：常数变易法和特解叠加法。
二、常数变易法1. 基本思想常数变易法是通过假设非齐次微分方程的通解为其对应的齐次微分方程通解与一个特殊解之和，然后利用边界条件求出特殊解中的待定常数，从而得到非齐次微分方程的通解。
2. 具体步骤（1）求出对应的齐次微分方程通解；（2）假设非齐次微分方程的通解为其对应的齐次微分方程通解与一个特殊解之和，即$y=y_c+y_p$；（3）代入非齐次微分方程中，消去待定常数；（4）根据边界条件求出待定常数。
3. 举例说明考虑一阶线性非齐次微分方程$y'+2y=x+1$，其对应的齐次微分方程为$y'+2y=0$，其通解为$y_c=Ce^{-2x}$。
假设非齐次微分方程的通解为$y=y_c+y_p$，其中特殊解为$y_p=Ax+B$。
将其代入非齐次微分方程中得到：$$(Ax+B)'+2(Ax+B)=x+1$$化简可得：$$A=\frac{1}{2},B=\frac{3}{4}$$因此，非齐次微分方程的通解为：$$y=Ce^{-2x}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$$三、特解叠加法1. 基本思想特解叠加法是通过假设非齐次微分方程的特殊解为一组基础特解的线性组合，然后利用边界条件求出基础特解中的待定系数，从而得到非齐次微分方程的通解。
2. 具体步骤（1）求出对应的齐次微分方程通解；（2）根据非齐次项形式选择一组基础特解；（3）假设非齐次微分方程的特殊解为基础特解的线性组合，即$y=y_1+y_2+...+y_n$；（4）代入非齐次微分方程中，消去待定系数；（5）根据边界条件求出待定系数。
3. 举例说明考虑一阶线性非齐次微分方程$y'+2y=x+1$，其对应的齐次微分方程为$y'+2y=0$，其通解为$y_c=Ce^{-2x}$。
线性齐次及非齐次方程的解法
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
非齐次微分方程通解
非齐次微分方程通解1. 引言微分方程是数学中一个重要的分支，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。
非齐次微分方程是其中的一类，在解非齐次微分方程时，我们不仅要求找到特解，还要找到其对应的通解。
本文将介绍非齐次微分方程的概念、求解方法以及应用示例。
2. 非齐次微分方程的概念非齐次微分方程是指在方程中存在一个或多个非零常数项的微分方程。
一般形式为：(dy/dx)^n + P_{n-1}(x)(dy/dx)^(n-1) + ... + P_1(x)(dy/dx) + P_0(x)y = Q(x)其中，P_i(x)和Q(x)是已知的函数，n是正整数。
3. 求解非齐次微分方程的方法3.1 齐次微分方程的通解首先，我们需要求解对应的齐次微分方程。
齐次微分方程是指当Q(x)为零时的方程。
对于齐次微分方程，可以使用变量分离、恰当公式或特征方程等方法进行求解。
3.2 特解的求解找到齐次微分方程的通解后，我们需要继续求解非齐次微分方程的特解。
对于非齐次微分方程，可以使用待定系数法、常数变易法或特殊函数法等方法进行求解。
3.2.1 待定系数法待定系数法是一种常用的求解非齐次线性微分方程的方法。
它假设特解具有某种特定的形式，然后通过代入方程进行求解。
常见的待定系数包括常数、多项式、指数函数、三角函数等。
3.2.2 常数变易法常数变易法是一种通过改变待定系数的方法来求解非齐次线性微分方程的特解。
它假设特解为齐次微分方程的解乘以一个未知的函数，然后通过求导和代入原方程进行求解。
3.2.3 特殊函数法特殊函数法是一种通过假设特解为特定的函数形式来求解非齐次微分方程的方法。
常见的特殊函数包括幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数等。
4. 非齐次微分方程的应用示例非齐次微分方程在自然科学、工程技术等领域中有广泛的应用。
下面以几个具体的示例来说明其应用。
4.1 电路中的非齐次微分方程在电路中，电流和电压之间的关系可以用非齐次微分方程来描述。
非齐次线性微分方程求通解
非齐次线性微分方程求通解非齐次线性微分方程求通解：1. 什么是非齐次线性微分方程2. 非齐次线性微分方程的解的一般形式3. 非齐次线性微分方程的通解4. 利用Laplace变换求解非齐次线性微分方程通解1. 什么是非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(HEE)是指拥有常数系数、一阶以上及其高阶微分项的一个线性微分方程组。
它与一般线性齐次微分方程相比，被称为非齐次线性方程，其中常数系数不为零。
与此不同的是，线性齐次微分组在被实施时，会要求满足特定的条件，更精确地说，常数系数必须为零。
2. 非齐次线性微分方程的解的一般形式非齐次线性微分方程的解的一般形式可表示为：u(t) = ΣCi*exp(-αi*t), (i = 1,2,…,n)其中，Ci是常数，αi是系数。
3. 非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解可由有关齐次方程的特解与非齐次方程的特解相加而求得，即通解u（t）的形式可表示为：u(t) = u特(t) + u齐(t)其中u特（t）表示非齐次方程的特解，u齐(t)表示相关齐次方程的特解。
4. 利用Laplace变换求解非齐次线性微分方程通解Laplace变换是一种利用线性变换将微分方程变换为一种线性代数系统的方法。
此种变换能够有效地把不可积分的微分方程变换为可积分的线性代数系统，从而求出原来微分系统的解。
考虑微分方程，：u'' + u' + ku = f(t), k是常数，f（t）是自变量t的函数将其作Laplace变换，则可得U*(s) = F*(s)(s2 + s + k)-U(0)-U'(0)s其中s是Laplace变换的参数，U*(s)和F*(s)是u（t）和f（t）的Laplace变换，U(0)和U'(0)是未知的初值。
所以，U*(s)的形式可表示为：U*(s) = U(0)*F*(s)/(s2 + s + k) + U'(0)*F*(s)/((s2 + s + k)2)对U*(s)进行拉回变换，即可得到u（t）的通解，即：u(t) = C1*exp(-t)+C2*exp(-2t)+f(t)其中C1=U(0)，C2=U'(0)为非齐次线性微分方程组得通解所需的常数。
非齐次线性微分方程的基本解组与通解
非齐次线性微分方程的基本解组与通
解
非齐次线性微分方程是学习微积分的基础之一，是理解复杂物理系统的基本理论。
非齐次线性微分方程指的是一种未知函数和未知常数之间的函数关系，即像y'' + py' + qy = f(x)这样的微分方程，其中x和y分别为
变量和函数，p和q为常数，f（x）为右端函数。
非齐次线性微分方程的解法是以求解含有常数的方程的一种方法，它的通解是一般解的线性组合。
为了求解非齐次线性微分方程，我们需要寻找基本解组，这个基本解组就是一组有限个基本解，这些基本解能够完全确定该方程的通解，其中每一个基本解都有它自己的特征。
首先，我们可以使用幂级数法来求出基本解组，即将原始方程展开成多项式，然后令这些多项式各项系数归零，一元七次或更高阶的方程有其他方法，比如拉格朗日法，特征值分解法等。
然后，将求得的基本解组的各个解带回原方程，看是否又完全确定该方程的解。
如果此时得到的解成立，则基本解组就求出了，最后使
用线性组合，将这些基本解组的各个解组合起来，就可以得到关于非齐次线性方程的通解。
总之，非齐次线性微分方程是一个很重要的数学模型，它的求解需要经过许多复杂的步骤，首先，需要求出基本解组，然后使用线性组合，将这些基本解组的各个解进行组合，就可以得出该方程的通解，并在此基础上进行分析和应用。
常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法
常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法雷凤生【摘要】本文简要分析常系数线性非齐次微分方程组求解的常数变易法、拉普拉斯变换法、比较系数法和初等解法,并对这四种解法分别进行求解举例.【期刊名称】《吕梁学院学报》【年(卷),期】2015(005)003【总页数】3页(P12-14)【关键词】常数变易法;拉普拉斯变换法;比较系数法;初等解法【作者】雷凤生【作者单位】吕梁学院数学系,山西离石033000【正文语种】中文【中图分类】O175.1线性微分方程组，是微分方程理论中非常重要的一部分内容.因此，研究线性微分方程组的解也尤为重要.当前，对于齐次线性微分方程组x'=Ax 的研究已经非常成熟.而对于常系数非齐次线性微分方程组的初值问题的解法，各文献中的记载都是比较单一笼统的，没有系统的论述.通过查阅相关论著和文献，本文总结了常系数非齐次线性微分方程组的四种基本求解法，并用这四种解法对同一个方程组的例子进行求解.1 常数变易法定理1.1［1］常系数非齐次线性微分方程组的初值问题x'=Ax+f(t)(A 是n×n 常数矩阵，f(t)是连续向量函数，其中x(t0)=η)的特解为证明:齐次线性微分方程组基解矩阵为Φ(t)=expAt，由［1］可知.方程组满足初值条件x(t0)=η的解为:又Φ－1(s)=exp(－sA)，Φ(t)Φ－1(s)=exp［(t－t0)A］η，可得二元常系数非齐次线性微分方程组的初值问题x'=Ax+f(t)的特解(1.1).证毕.例1 利用常数变易法求常系数非齐次线性微分方程组，满足条件x(0)=的特解x(t). 解:特征方程为0，特征值为λ=3，可得然后将上式代入公式(1.1)，又t0=0，得原方程组的特解为2 拉普拉斯变换法定义2.1［1］定义拉普拉斯变换的向量函数形式为其中，f(t)是二维向量函数，并且它的两个分量都存在拉普拉斯变换.利用拉普拉斯变换法的求解常系数非齐次线性微分方程组的过程类似于利用拉普拉斯变换法求二阶微分方程的解的过程，下面直接通过举例说明.例2 利用拉普拉斯变换法求解例1.解:先将方程组的初值问题改写为分量形式，即令X1(s)=L［x1(t)］，X2(s)=L［x2(t)］，对方程组施行拉普拉斯变换得解上方程组可得取拉普拉斯逆变换即可得原方程组的特解为3 比较系数法定理3.1［2］对于常系数非齐次线性微分方程组x'=Ax+f(t)(A 是n×n 常数矩阵)，若f(t)=Pm(t)eλt，而Pm(t)=P1tm+P2tm－1+…+Pmt+Pm+1，Pi为n 维向量(i=1，2…m+1)，则方程组的特解为其中Qm+k(t)=Q1tm+k+Q2tm+k－1+…+Qm+kt+Pm+K+1，Qi=(qi1，qi2，…qin)T，(i=1，2…m+k+1).qij为待定系数，k 是λ 为矩阵A 的特征根的重数.例3 利用比较系数法求解例1.解:由例1 可知的特征值为λ1=，所以有k=0.由定理3.1 设方程组的特解为x(t)=，其中q11，q21为待定系数.代入原方程组得比较两端系数得得原方程的一个特解为由方程组解的结构再结合例1 中基解矩阵的运算结构可得原方程组的通解为又由初值条件可得，代入上述方程组可得原方程组的特解为4 初等解法定理4.1［3］对于二阶常系数线性微分方程组对应的代数方程ck2+(a－d)k－b=0 若满足:a≠d，bc≠0，则1)当(a－d)2－4bc≠0 时，代数方程有两个根k1≠k2≠0，原方程组的通解为2)当(a－d)2－4bc=0 时，代数方程有两个根k1=k2≠0，原方程组的通解为其中，p(t)=e(a+kc)t［∫［f1(t)+kf2(t)］e－(a+kc)tdt+C1］，C1，C2为常数. 证:［4］用k 乘以第二个方程的两边，再与第一个方程相加，得到其中k 为待定系数，令=k，即ck2+(a－d)k－b=0.则上式变为这是一个以t 为自变量，关于x1+kx2的一阶线性微分方程，其解为x1+kx2=e(a+kc)t［∫［f1(t)+kf2(t)］e－(a+kc)tdt+C1］=p(t)C1为任意常数下面分两种情况讨论.1)(a－d)2－4bc≠0 时，代数方程有两个根k1≠k2≠0，代入上式可得原方程的解为2)当(a－d)2－4bc=0 时，代数方程有两个根k1=k2≠0，则有x1=p(t)－kx2，代入原方向组的第二个方程整理可得:x'2=(d－ck)x2+f2(t)+cp(t)这是一个以t 为自变量关于x2的一阶常系数线性微分方程.其通解为x2=e(d－ck)t[∫［f2(t)+cp(t)］e－(d－ck)tdt+C2］C2为任意常数所以，原方程组的通解为其中p(t)=e(a+kc)t［∫［f1(t)+kf2(t)］e－(a+kc)tdt+C1］C1，C2为常数.证毕. 例4 利用初等解法求解例1.解:方程组所对应的代数方程为－k2－2k－1=－(k+1)2=0，可得k1=k2=－1，因此由公式(4.2)可得:由初值条件得代入上述方程组可得原方程组的特解为参考文献:［1］王高雄，周之铭，等.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006. ［2］彭友花，蒋志国.常系数线性非齐次微分方程组求特解的比较系数法［J］.萍乡高等师范专科学校学报，2008(6).［3］赵临龙.二元一阶常系数线性微分方程组初等解法的讨论［J］.河南科学，2012(12).［4］李长江.二元常系数线性微分方程组的初等解法［J］.承德民族师专，2006(2).。
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。
由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。
定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。
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假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：
1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解
2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解
3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解（注：由于对于矩阵的秩有：max{R(A),R(B)}<=R(A,B)，故不存在其它情形）若n>m时，则按照上述讨论，
4）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解
5）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解
非齐次线性方程组
有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A的秩）
扩展资料：
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
齐次线性方程组解的性质：
定理1 若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理2 若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。
定理3 对齐次线性方程组，若r(A)=r<n，则存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。