射影几何

第二部分 射影几何
一 仿射变换 1几何变换的概念 (1) 仿射对应
①平行射影
过a 上点A ，B ，C ，…，作与l 平行的直线，交,
a 与'
A ，
'
B ，'
C
，…，这样得到a 与,
a 上点之间的一一对应，称为从a
到,
a 的平行射影，或透视射影。

a 上的点称为原象点，,
a 上的点称为象点，l 是平行射影的方向，记这个平行射影为T ，则写
)('
A T A …。

注意：显然平行射影与方向有关，方向变了，就得出另外的透视仿射。

②仿射对应
设21,a a ，…，n a 是平面内n 条直线，21,T T ，…，n T 分
图2－1
别是1a 到2a ，2a 到3a ，…，1-n a 到n a 的平行射影，这些平行射影的复合，即：
=T 1
-⋅n n
T
T (1)
2
T T ⋅：n
a
a →1
是1a 到n a 的一个一一对应，称这个一一对应为直线1a 到n a 的仿射对应。

(2) 空间内的仿射对应
①平行射影
设π与'
π是两个平面，l 是π与'
π的交线，直线g 不与π平
行，也不与'
π平行，过π上每点做平行于g 的直线，交'
π于一
个对应点，这样得到从π到'
π的一一对应关系，称为从π到'
π
的平行射影
设π到'
π的交线为l ，l 的点都是自对应点，都是平行射影
下的不动点，称为二重点，直线叫对应轴。

②仿射对应
设21,ππ，…，n π是空间中的n 个平面，21,T T ，…，n T 分别是1π到2π，2π到3π，…，1-n π到n π的平行射影，这些平行射影的复合，即：
=T 1
-⋅n n
T
T (1)
2
T T ⋅：n
π
π→1
是1π到n π的一个一一对应，称这个一一对应为平面1π到n π的仿射对应。

特别地，当1π＝n π时，称为仿射变换。

2 仿射不变性和不变量 (1) 基本概念
① 仿射不变性质和不变量：经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量。

② 直线上三点的简比：设A ，B ，C 是有向直线上的
三点，有向线段的数量之比BC
AC
，称为这三点的简比，记作
)(ABC
(2) 仿射不变性质和不变量
① 二直线间的平行性是仿射不变性质。

② 共线三点的简比是仿射不变量； ③ 两条平行线段的比是仿射不变量； ④ 直线上两条线段的比是仿射不变量；
⑤ 在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比是仿射不变量。

3仿射变换的解析表达式及其求法
(1) 在不同一个坐标系下的仿射变换表达式
在平面π上取一个仿射坐标系},,{→
→
y x OE OE O ，设
ππ→:T 是一个仿射变换，
'
)(O O T =，'
)(E E T =，')(x
x
E
E T =，')
(y
y E
E T =。

P 为任意一点，'
)(P
P T =，则},,{''
'
'
'
→
→y
x
E O E O O 可
以作为
π
的一个新的仿射坐标系，若
P
点在
},,{→
→
y
x
OE OE O 下的坐标为),(y x ，则'
P
在仿射坐标系
},,{'
'
'
'
'
→
→y
x
E O E O O 中的坐标与中一样，也是),(y x 。

(2) 在同一个坐标系下的仿射变换表达式
设'
O 在},,{→
→
y x OE OE O 中的坐标为),(b a ，'x E ，'
y E ，
'
P 在},,{→
→y
x
OE OE O 中的坐标分别为),(11b a ，
),(2
2b a 及),('
'
y x 。

则有：
)()(2
1
'
a a y a a x a x -+-+=，
)()(2
1
'
b b y b b x b y -+-+=。

4 仿射变换的特例 （1） 平移变换
⎩⎨
⎧+=+=b
y y a
x x '
' （2） 旋转变换
设P 的极坐标为),(ϕr ，'
P 的极坐标为),(θϕ
+r ，则坐
标之间的关系为：
⎩⎨
⎧==ϕϕsin cos r y r x ，⎩⎨⎧+=+=)
sin()
cos('
'θϕθϕr y r x （3） 反射变换
⎩⎨
⎧-==y
y x
x '
' （4） 位似变换
设
)
,(y x P 对应于
)
,('
'
'
y x P ，且有：
k y
y
x x OPP ==='
'
'
)(，则有：
⎩⎨
⎧==ky
y kx
x '
'
二 射影平面
1 中心投影与无穷元素 (1)
中心投影
① 直线间的中心投影
设l 与'
l 是同一平面两条不同的直线，O 是此平面内不
在l 与'
l 上的一点，设P 是l 上任意一点，连结OP 交'
l 于
'
P
，'
P 点称为P 点从O 投影到'
l 上的中心投影，OP 称
为投影线，O 称为投影中心。

若l 与'
l 相交于Q ，那么中心投影下，Q 是自对应点，称为中心投影下的二重点。

在平面内的两直线的中心投影中，l 上有点R ，连结
OR 与'
l 平行，因此，OR 与'
l 没有交点，R 在'
l 上没中心
投影，称R 为影消点。

同样，在'
l 上民有一个影消点。

中心投影不是一一对应。

图3－1
② 平面间的中心投影
设π与'
π是两个不同平面，在这个平面之外选取一点
O ，对π上任意一点P ，连结OP 交'
π
于'
P 点， '
P 点
称为P 点在π内的中心投影，OP 称为投影线，O 称为投
影中心。

类似的，平面之间的中心投影中，过O 点做平行于'
π
的
平面，与π有一条交线，则这条交线上的点在'
π中都没有投影点，称之为π上的影消线。

(2) 无穷元素
无穷远点：对任意一组平行直线引入一个新点，这个点就是这组平行线的交点，叫无穷远点，记为∞P 。

有穷远点：平面内原有的点叫有穷远点。

无穷远直线：平面上由所有无穷点的轨迹叫无穷远直线，记
∞
l。

有穷远直线：平面内原有的直线叫有穷远直线。

图3－2
仿射直线：在欧氏几何中添加了无穷远点之后，得到的新直
线，叫仿射直线。

射影直线：若将直线上的有穷远点和无穷远点不加区别，等
同看待，则这条仿射直线叫射影直线。

仿射平面：平面上添加一条无穷远直线，得到的新平面叫仿
射平面。

射影平面：若对仿射平面上无穷远元素与有穷远元素同等对
待，不加区别，则称这个平面为射影平面。

2 图形的射影性质
(1) 透视对应
在引进无穷远元素之后，可以把直线上的影消点与另一直
线上的无穷远点建立点的对应。

通过中心投影，把l上的影消点Q投影到'l上无穷远点∞P，把l上无穷远点∞P投影到'l上Q。

于是中心投影建立了直线之间的一一对应，称这影消点'
个中心投影为透视对应。

(2) 中心透视
中心投影把π上影消线l投影到上无穷远直线'∞l，同时把π上无穷直线
l投影到'π上影消线'l。

于是中心投影建立了
∞
平面之间的一一对应，称为平面π与'π之间的中心透视。

3 笛沙格定理 （1）三点形和三线形
平面上不共线的三点与其中每两点的连线所组成的图形，称为三点形；
平面内不共点的三条直线与其中每两条直线的交点所组成的图形称为三线形。

（2）沙格定理
如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上。

其逆命题也是真命题。

3 齐次坐标
（1） 点的齐次坐标
一维齐次坐标：设欧氏直线上的有穷远点P 的笛氏坐标
为x ，则满足x x
x =2
1
的数对),(2
1
x x )0(2
≠x 叫做点P
的齐次坐标，记为
),(2
1
x x P 。

若)0(2
=x ，则
)0,(1
x )0(1
≠x 或)0,1(规定为直线上无穷远点的齐次坐
标。

由定义可知：
① 不同时为0的实数
2
1
,x
x 确定惟一个点
),(2
1
x x P ；
② 齐次坐标不是惟一的，若
0≠p 则),(2
1
px px 与
),(2
1
x x 是同一个点的齐次坐标。

③ 当)0(2
≠x 时，),(2
1
x x P 是有穷远点。

若
)0(2
=x 时，),(2
1
x x P 是无穷远点。

2
1
x
x
x =
称为
),(2
1
x x P 的非齐次坐标，无穷远点没有非齐次坐标。

二维齐次坐标：设欧氏平面π内点P 的笛氏坐标为
),(y x ，则满足x x x =31
，y x
x
=3
2
的三元数)
,,(3
2
1
x x x 叫做的齐次坐标，记为),,(321x x x P 。

注意：①在直线
kx y =上的无穷远点的齐次坐标为
)0,,1(k ；
②在)0,,1(k 中若0=k ，即)0,0,1(表示x 轴上无穷远点的齐次坐标；
③在)0,,1(k 中若∞=k ，即)0,1,0(表示y 轴上
无穷远点的齐次坐标；
④)0,0,0(不表示一个点人齐次坐标，)0,,(21x x 是一个无穷远点坐标。

⑤)0)(,,(3
321≠x x x x 是一个有穷远点的齐次
坐标。

（2） 直线齐次方程
在欧氏坐标下直线的方程为：
)0(02
2
2
1
3
2
1
≠+=++a a a y a x a ，由于
x x
x
=3
1，
11 y x x =3
2。

所以有： )0(022********≠+=++a a x a x a x a 注意：无穷远直线没有齐次方程。

(2) 齐次线坐标
直线的齐次方程中321,,x x x 的系数321,,u u u 叫做直线的齐次线坐标，记为
],,[321u u u 。

显然若0≠p ，321,,pu pu pu 也是直线的齐次线坐标。

定理：一个点),,(321x x x X =在直线],,[321u u u u =上的充分必要条件为：
03
32211=++x u x u x u。