流体力学 第八章 绕流运动

第八章绕流运动

一、应用背景

1、问题的广泛存在性：

在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空气中的飞行、河水流过桥墩、大型建筑物周围的空气流动、植物护岸（消浪，船行波），粉尘颗粒在空气中的飞扬和沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动。（一种：流体运动；另外一种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静止的，讨论流体相对于物体的运动。

2、问题的复杂性

上一章的内容中可以看出，流体力学的问题可以归结为求解在一定边界条件和初始条件下偏微分方程组的求解。但描述液体运动的方程式非常复杂的：一方面，是方程的非线性性质，造成方程求解的困难；另一方面，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体力学造成了很多麻烦。迄今为止，只有很少数的问题得到了解决。平面泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。而我们所要解决的绕流问题正是有着非常复杂的边界条件。

3、问题的简化及其合理性

流体力学对此的简化则是，简化原方程，建立研究理想液体的势流理论。实际液体满足势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作用。正例：远离边界层的流体绕流运动、地下水运动、波浪运动、物体落入静止水体中，水的运动规律研究。反例：研究阻力规律、能量损失、内能转换等等。

圆柱绕流（经典之一）

半无限长平板绕流（经典之二）

分成两个区域：一个区域是远离边界的地方，此区域剪切作用不明显，而且流体惯性力的影响远远大于粘性力的影响（理想液体）（引导n-s方程）；另一个是靠近边界的地方（附面层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作用，粘性力的影响超强，据现代流体力学的研究表明，此区域是产生湍流的重要区域，有强

烈的剪切涡结构，但此区域只有非常薄的厚度。此区域对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散、传热传质都产生重要影响。

4、本章的主要研究内容

（1） 外部：理想液体，（简化方法，求解方式）、

（2） 内部：附面层理论，（简化方法，求解方式，求解内容，现象描述） （3） 两者的衔接。

第一节 无旋流动

在理想流体方程的推导中，我们知道欧拉方程和连续性方程的求解，分别给出了液体运动的4个独立条件，即求解4个未知数，流速的三个方向分量和压强。

当流动为无旋时，就是流动场中各点的旋转角速度等于零的运动，即为无旋流动。在无旋流动中，旋转角速度=0，即：旋转角速度各分量=0，在三个坐标轴上的分别投影，得到三个条件：

021=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=

z u y

u y z

x ω 0

21=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=

x u z u z x x ω

021=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-

∂∂=y u x u x y

x ω 满足柯西条件，即：z

u y

u y z ∂∂=∂∂

x

u z

u z x ∂∂=

∂∂

y

u x

u x y ∂∂=

∂∂

那么根据全微分理论，上面三个等式是某空间位置函数()z y x ,,ϕ存在的必要和充分条件。使得：

x

u x ∂∂=

ϕ y

u y ∂∂=

ϕ z

u z ∂∂=

ϕ （1）

那么，dz u dy u dx u dz z

dy y

dx x

d z y x ++=∂∂+

∂∂+∂∂=

ϕϕϕϕ

这时，若0=++=dz u dy u dx u d z y x ϕ，就有，C d L

==

⎰

ϕϕ

那么，0=++dz u dy u dx u z y x 所代表的就是等势线。0=⋅s d u

将（1）代入连续性方程后，得到：

2

2

2

2

22

=∂∂+

∂∂+

∂∂z

y

x

ϕϕϕ （拉普拉斯方程，ϕ是一调和函数） （2）

此方程结合边界条件可求解，得到流速势函数之后，可根据势函数和流速的关系求得流速。

在代入欧拉的积分方程：

()t F u

p t

=++

+∂∂2

2

ρπϕ（3）

（理想液体的三个方向上的动力学方程推求得到），就可以得到任一点的动水压强p 。

（2）（3）方程的求解效果就和欧拉方程和连续性方程联合求解的效果一样。 配上初始条件和边界条件，就可以求得整个流场的情况（ϕ和p ）。 对于流速势函数任意方向s

上的方向导数，根据方向导数的定义：

()()()z s z

y s y x s x s

,cos ,cos ,cos

∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ϕϕϕ

ϕ ()()()z s u y s u x s u z y x ,c o s ,c o s ,c o s

++= ()s u s u u ==

,c o s

根据汤姆逊关于漩涡守恒定理所引申出的推论，内部不存在摩擦力的理想液体才能不能创造漩涡和消灭漩涡。那么，水流和气体从静止状态过渡到运动状态（理想流体），就可以继续保持无旋状态。例子：通风车间用抽风的方法使工作区出现风速；飞机在静止的空气中飞行等情况。

但在某些情况下，就必须将水流和气体考虑成有旋的。例子：利用风管通过送风口向通风地区送风。——气体射流（后面介绍）

我们考虑的气体或水体属于低速流动，低速流动的时候通常不考虑气体的压缩性，满足不可压缩流体的连续性方程（拉普拉斯方程），所以对于气体的高速流动情况，——一元气体动力学基础（后面介绍） 例：判断 2

2

y

x y u x +-=

2

2

y

x x u y +=

，0=z u 的流动是否是无旋流动，如是，

试求其势函数。

021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z

u y u y z

x ω 021=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x

y ω 021=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=y u x

u x y z ω 那么，流速存在流速势函数。（00,y x ）()y x ,⇒，跟路径无关。

(

)

()

⎰⎰

⎰

++

+-=

++=

=

y x y x L

z y x L

dy

y

x x dx y

x y

dz u dy u dx u d ,,2

2

2

20

0ϕϕ

。。。。。。