新人教版八年级数学第十四章整式乘法与因式分解复习

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第14章整式的乘法与因式分解复习

一、知识网络结构图

同底数幂的乘法法则： a m ·a n ＝a m ＋ n (m ，n 都是正整数 ) 幂的运算法则

幂的乘方法则： (a

m )

n

＝ a

mn

(m ，n 是正整数 )

积的乘方法则： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )

整式的乘法

整 式

乘法公式

的 乘

除 与 因 式 公 整式的除法

解

单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分

别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式

单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式

的每一项，再把所得的积相加

多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项

去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

平方差公式： (a ＋b)(a － b)＝a 2－b

2

完全平方公式： (a ＋ b)2＝ a 2＋ 2ab ＋b 2，(a － b)2＝ a 2－ 2ab ＋b 2

同底数幂的除法法则： mn

m － n

a ÷ a ＝ a

(a ≠0，m ，n 都是正整数且 m ＞n)

零指数幂的意义： a 0＝1(a ≠ 0)

单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的

因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再

把所得的商相加

概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把

这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式

因式分解

平方差公式： 方法

公式法

完全平方公式

a 2－

b 2

＝ (a ＋ b)(a －b)

2

＋2ab ＋ b 2

2

a ＝ (a ＋b) a 2 －2a

b ＋ b 2

＝ (a －b)

2

二、典型例题

幂的运算法则及其逆运用

例

1 计算

2 x

3 · － x ２ ＝ ．

( 3 )

例 2 计算 [ a 4( a 4－4a) － ( － 3a 5) 2÷ ( a 2) 3] ÷( －2a 2 ) 2

整式的混合运算

例 3

计算 [( a －2b)(2 a － b) －(2

a ＋ b) 2＋ ( a ＋b)( a －b) － (3 a) 2 ] ÷ ( －

2a) ．

因式分解

例 4 分解因式．

3

x ＋

x ＋

2

－ ．

(1) m － m ；

(2)( 2)(3)＋ x

4

转化思想 例 5 分解因式 a 2－ 2ab ＋b 2－c 2

整体思想

例 6 (1) 已知 x ＋ y ＝ 7， xy ＝12，求 ( x －y) 2；

(2) 已知 a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，求 ab 的值．

8 2

开放型题

例 7 （ 2009·吉林中考）在三个整式 x 2 2xy, y 2

2xy, x 2 中，请你任

意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分 解 .

规律探究题

例 8 如图 15－ 5 所示，摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚棋子，摆第 2 个

需要

枚棋子，摆第 3 个需

枚棋子，按这种方式摆

下去，摆第 n 个这样的 “小屋子”需要

枚棋子．

例 9 (1) 计算． ①( a － 1)( a ＋1) ；

②( a － 1)( a 2＋ a ＋ 1) ；

③( a － 1)( a 3＋ a 2 ＋a ＋1) ；

④( a － 1)( a 4＋ a 3 ＋a 2＋a ＋1) ．

(2) 根据 (1) 中的计算，你发现了什么规律 ?用字母表示出来．

(3)

根据 (2) 中的结论，直接写出下题的结果．

①( a － 1)( a 9＋ a 8 ＋a 7＋a 6＋ a 5＋a 4＋a 3＋a 2 ＋a ＋ 1) ＝

；

②若 ( a －

1) ·M ＝a 15

－ ，则 M ＝

；

1

③( a － b a 5＋ a 4 b ＋ a 3b 2 ＋a 2b 3＋ab 4＋b 5 )＝

；

x － )( x 4＋ x 3＋ x 2＋ x ＋

④(2 1)(16 1) ＝

；

8 4 2

三、训练题

一、选择题

1 ．计算 ( a 3)

2 的结果是( )

A ． a 5

B ． a 6

C ．a 8

D ． a 9

2 ．下列运算正确的是

( )

A ． a 2· a 3 ＝a 4

B ．( －a) 4 ＝a 4

C ． a 2＋ a 3 ＝a 5

－x

D ．( a 2) 3＝a 5

3 ．已知 x － y ＝－ ，则

＋ 3y 的值是 ( )

3 3

5

A ． 0

B ．2

C ．5

D ．8

．若 m ＋n ＝ ，则

2

2 － 的值为

4 m ＋ mn ＋ n

6

( )

3 2

4 2

A ． 12

B ．6

C ．3

D ．0

5．如图 15－4 所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形

( a ＞b ) ，把余下的部分拼成一个矩形， 根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可

以验证 (

)

A ． ( a ＋b) 2＝a 2＋2ab ＋ b 2

B ． ( a －b) 2＝a 2－2ab ＋ b 2

C ． a 2－ b 2 ＝( a ＋ b)( a － b)

D ． ( a ＋2b)( a － b) ＝a 2＋ ab －2b 2

6 ．下列各式中，与 ( a － b) 2 一定相等的是 ( )

A ． a 2＋ ab ＋b 2

B ．a 2－b 2

2

C ． a 2

＋ b 2

D ．a 2

－ ab ＋ b 0

．已知 x ＋ y ＝－ ，xy ＝ ，则 x 2＋ y 2 的值为 2

7

( )

5 6

A ． 1

B ．13

C ．17

D ．25 8 ．下列从左到右的变形是因式分解的是

( )

A ． ma ＋mb － c ＝ m a ＋ b － c

(

)

B ． ( a －b)( a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3

C ． a 2－ ab ＋

b 2

－ ＝ a a － b ＋

(2b ＋

1)(2 b －

1)

4

4

1 y ( x 4 ) y

D ． x 2－ y 2

＝

(2 x ＋

)(2

－

)

4 2

5 5 5

9

．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )

A ．－ a 2＋b 2

B ．－ a 2－b 2

C ．a 2＋b 2

D ．a 3－b 3

10 ．如果 ( x －2)( x － 3) ＝x 2＋ px ＋q ，那么 p ，q 的值是 (

)

A ． p ＝－ ，

q ＝

6

B ．p ＝ ，q ＝－

6

5

1

C ． p ＝ ，q ＝

6

D ．p ＝ ，q ＝－

6

1

5

二、填空题

m

n

3m ＋ 2n ＝

．

11．已知 10 ＝2，10 ＝3，则 10

x －y 12 ．当 x ＝ ，y ＝

1时，代数式

( x ＋ y

)( ) ＋y 2

的值是

．

．若 a － 3

b －

b ＝ ，ab ＝－ ，则

(

a ＋

1)(

1) ＝

．

13

1

2

3

．

14．分解因式： 2m －8m ＝

．已知 y

＝ 1 x － ，那么 1 x 2

－ xy ＋ y 2 － 2 的值为 ．

15

3

1

3

2

3