力偶矩与力矩的区别和联系
力矩与力偶矩的异同
力矩与力偶矩的异同引言力矩和力偶矩是力学中常常使用的概念，它们在描述物体受力情况和求解平衡条件时起到了重要的作用。
本文将详细讨论力矩和力偶矩的异同，包括定义、计算方法、性质等方面的内容。
定义•力矩是描述作用在物体上的力对它的转动效果的物理量。
当一个力偏离物体的轴线施加在物体上时，就会产生力矩，力矩的大小等于力与轴线的距离乘以力的大小。
•力偶矩是一对大小相等、方向相反的力所组成的力偶对产生的转力。
力偶矩与力矩的定义类似，只是力偶矩是由一对力组成的。
计算方法力矩和力偶矩的计算方法类似，可以通过向量叉乘或者点乘来求解。
•向量叉乘：设有两个矢量A和B，其叉乘结果用符号A×B表示，其计算公式为：A×B = |A| |B| sinθ n 其中，|A|和|B|分别是矢量A和B的大小，θ是矢量A到矢量B的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位矢量。
•向量点乘：向量点乘的结果是一个标量，用符号A·B表示，其计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ 其中，|A|和|B|分别是矢量A和B的大小，θ是矢量A和矢量B之间的夹角。
力矩与力偶矩的关系力矩和力偶矩之间存在着紧密的联系。
1.力矩是力偶矩的特殊情况：当一对力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上时，它们所产生的力矩就是一个力偶矩。
2.力偶矩的大小等于力矩的大小的两倍：由力偶矩的定义可知，力偶矩是一对力产生的转力，它的大小等于一个力所产生力矩的两倍，即M = 2Fd。
3.力矩和力偶矩都是矢量：力矩和力偶矩都有大小和方向，因此可以用矢量表示。
4.力矩和力偶矩的方向规律相同：力矩和力偶矩的方向都遵循右手螺旋规则，即在右手握住转动轴，四指的方向表示力或者力偶矩的方向，那么拇指的方向就是转动轴的方向。
力矩的性质力矩具有以下性质：1.力矩的大小等于力与轴线的距离的乘积：设力F作用在物体上产生的力矩为M，力F到轴线的距离为r，则M = F * r。
力矩与力偶
1.2.2 力矩的性质 1.力F对O点这矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。 2.力在刚体上沿作用线移动时，力对点之矩不变。 3.力的大小等于零或力的作用线过矩心时，力矩等于零。 4.互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
§1.2 力对点之矩
1.2.3 合力矩定理 平面力系有一合力时，合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之 矩的代数和。
Ft
D 2
0
Fn
cos
D 2
1000 160 103 cos 20 75.2N m 2
计算力对点之矩的方法：1.利用力对点之矩的定义式计算。 2.利用合力矩定理计算。
§1.3 力偶
生活实例：
1.3.1 力偶的概念 1．力偶的定义：一对大小相等、指向相反的平行力组成的特殊力系称为力
偶。记作F , F 。
§1.3 力偶
性质1 力偶在任一轴上的投影的代数和为零。 力偶无合力，力偶对刚体的移动不产生任何影 响，即力偶不能与一个力等效，也不能简化为 一个力。
性质2 力偶对于其作用面内任意一点之矩与该 点（矩心）的位置无关，它恒等于力偶矩。
1.3.2 力偶的基本性质
§1.3 力偶
推论1 力偶可在其作用面内 任意移而不会改变它对刚体 的转动效应。
思考题：如图所示的圆盘，在力偶M=Fr和力F的作用
下保持静止，能否说力偶和力保持平衡？为什么？
§1-4 力的平移定理
力的平移定理 力可以等效的平移到刚体上的任一点，
但必须附加一个力偶，其力偶矩的大小等 于原力对该点之矩。
§1.4 力的平移定理
力的平移定理换句话说，就是平移前的一个力与平移后的一个力和一个附 加力偶等效。即一个力可以分解成为同平面内另一点的一个力和一个力偶。反 之共面的一个力和一个力偶也可以合成为同平面内的一个力，这便是力的平移 定理的逆定理。
力矩-力偶系
a b
M o (F ) Fd F (ob ab) F (l sin h cos )
2.合力矩定理 • 力系与其合力等效，对于使物体转动的效果，这种 性质依然存在，即合力对于一点O之矩，等于各分 力对点O之矩的代数和，这一普遍规律称为合力矩 定理。可用下式表示。
式中：
§1-3 力对点之矩、力偶
一、力对点之矩 —— 力矩 1 力矩
力的转动效果由两个因素决定： 1)、力的大小与点O到力作用线 的垂直距离 2)、力使物体绕O转动的方向
式中， Mo(F)=±Fh 表示此二因素，称为 力对点之矩简称力矩 力对点之矩的实质是 力 对通过矩心且垂直于平面 的轴的矩
其中O称为矩心，h 称为力臂，力矩为代数量，力使物体绕矩心逆 时针转动时为正，顺时针为负。
例题：梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100 Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束 反力。 • 解 （1）以梁为研 究对象，进行受力 分析并画出受力图 • 因系统为力偶系， 故FA必须与FB大 小相等、方向相反、 作用线平行。 • （2）列平衡方程
∑M=0
FBl - M = 0
（1）力偶无合力。 力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。 可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。 （2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
2.力偶的性质
（3）力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它 们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。 则可得： • 1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作 用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。 • 2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和 力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
力矩和力偶
力矩 和力
偶
1.力偶的概念
在日常生产、生活中，常会看到物体同时受到大 小相等、方向相反、作用线平行的两个力的作用。如 汽车司机转动方向盘时加在方向盘上的两个力，如图2 -17所示；钳工师傅用双手转动丝锥攻螺纹时，两手作 用于丝锥扳手上的两个力，如图2-18所示；拧水龙头 时加在开关上的两个力等。这样的两个力显然不是前 面所讲的一对平衡力，它们作用在物体上将使物体产 生转动效应。
力矩 和力
偶
当力的作用线与转轴平行或相交，即力的作用线
与轴线共面时，力对转轴之矩为零。当力的作用线不
在与轴线垂直的平面上，如图2-13所示的正六面体，
求其所受力F对z轴的力矩时，可将其分解成两个分力
F1和F2。令F1与转轴z平行、F2在与转轴z垂直的平面内，
则F1对z轴不产生力矩作用，而F对z轴之矩实际上就是
力矩和力偶
1.1 力矩 1.2 力偶
1.力对点之矩
以扳手拧紧螺丝 为例来分析力对物体 的转动效应。如图211所示，作用于扳手 一端的力F使扳手绕O 点转动。
1）力对点之矩的概念
力矩 和力
偶
1.力对点之矩
1）力对点之矩的概念
O点称为力矩中心，简称矩心。扳手绕矩
心的转动效应不仅与力F的大小有关，还与矩
F2对O点的力矩，即
Mz(F)=MO(F2)=±F2d
（2-19）
力矩 和力
偶
式（2-19）表明，力F对轴之矩等于该力 在垂直于此轴的平面上的分力（投影）对该 轴与此平面的交点的力矩。通常情况下，力 对轴之矩是代数量，其正负用右手法则来确 定，即用右手握住转轴，弯曲的四指指向力 矩的转向，拇指所指的方向如果与转轴的正 向相同，对应的力矩为正，反之为负。也可 以从轴的正向看，当力矩绕轴逆时针转动时 为正，反之为负，如图2-14所示。
力矩、力偶的概念及其性质
Ad B
F
是独立量；
⑶ 性质3 平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相
等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证] 设物体的某一平面
QA
FR
F
A
FR
FR
B
DC
F
FR
B
Q
上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成FR，
Q',F'合成F'R ， 得到新力偶(FR, F'R ),
解： 简支梁上的载荷为力偶。由于力偶只能被力偶所平衡，
故支座A 、B 处反力必须组成一个力偶。B为滚动支座、约束
反力 NB应沿支承面的法线，固定支座A的约束反力RA ，它与 NB 应组成一力偶，故也应沿铅垂线而与NB方向相反，且 RA=NB。 根据平面力偶系平衡方程有:
m 0, m NB cos l 0
工程力学
力矩、力偶的概念及其性质
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力矩的大小、转向。
一、力对点的矩 ⒈ 定义
A F
d
+
MO (F )
B
-
O
3
二、合力矩定理
⒈ 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和
即：
⒉ 证明（略）
由合力投影定理有： od=ob+oc
得：NB 5.66kN RA
A
M
B
A
M
B
C l
C RA l
NB 45
(a)
(b)
工程力学中的力矩和力偶的应用
工程力学中的力矩和力偶的应用工程力学是研究物体在受力作用下的运动和变形规律的工程学科。
其中，力矩和力偶是力学分析中常用的重要概念和工具。
本文将介绍力矩和力偶的概念，并阐述它们在工程力学中的应用。
一、力矩的概念及应用力矩是指力对物体产生转动效果的能力。
它与力的大小、作用点位置和力臂（垂直于力的作用线的距离）有关。
力矩可以用数学公式表示为：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示力臂的长度。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
工程力学中，力矩的应用非常广泛。
以下是几个典型的应用案例：1. 平衡条件的分析在工程设计中，需要保证结构物或机器的平衡性，即避免出现倾覆或失衡的情况。
通过计算各个力矩的合力和合力矩，可以判断结构物或机器是否处于平衡状态。
如果合力为零且合力矩为零，那么系统就是平衡的。
2. 杆件的静力学分析在分析杆件（如梁、柱等）的受力状态时，力矩可以帮助我们计算出各个受力点的力和力矩。
通过力的平衡条件和力矩的平衡条件，可以解出未知受力的大小和方向，进而确定杆件的受力分布以及结构的稳定性。
3. 实际力的替代有时候，我们希望用一个力矩来代替一组力的合力作用。
这个力矩被称为"等效力矩"。
通过合理选择等效力矩的大小和位置，可以简化受力分析，更方便地计算系统的受力情况。
二、力偶的概念及应用力偶是两个大小相等、方向相反的力对物体产生的转动效果。
力偶对物体的转动产生的力矩大小与作用点位置无关，仅与力的大小和力臂有关。
力偶的力矩可以根据以下公式计算：M = F × 2a其中，M表示力偶的力矩，F表示每个力的大小，a表示力臂的长度。
力偶的单位也是牛顿·米（N·m）。
力偶在工程力学中的应用主要有以下两个方面：1. 转矩的调节在一些机械系统中，为了达到期望的输出效果，需要根据实际情况调节转矩。
通过对适当大小和位置的力偶的施加，可以在不改变力的大小和方向的前提下，调节转矩的大小和方向，从而实现系统的控制和调整。
2力、力矩、力偶-2
力臂
顺时针转向为负。
矩心 h
力矩的单位 N.m, kN.m
O
F
注意：同一个力对不同点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为 力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
MA(F )=FhA MB(F )= –FhB MC(F )=0
A hA C
F
hB B
力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
W3 2gV3 19009.8 (240103 3 4) 53625 N
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
3000 350
ρ1=2600kg/m3
W3
F=1kN
W2
70
A
W1
ρ2=1900kg/m3
240 1000
计算倾覆力矩
W3
2.力矩的矢量表示 用右手螺旋法则将力矩表示为矢量 拇指表示力矩矢量的方向
MO (F)
n MO(F )
O
平面内，力对O点之矩实际上是力使物体绕着 过O点垂直于该平面的轴转动的物理量。
力对轴的矩
n F
Oh
n MO(F )
O
O
F
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
平衡？分别是多少？
1.1m
M A(W1) W1 1.1 82.5kN.m M A(W2) W2 2 240kN.m M A(F) F 1.6 144kN.m
F
W1
W2
1.6m
A
1m
3m
作业
P.27: 2-9
= –4 kN.m
项目三 力矩和力偶
M=0
三、平面力系中的合成与平衡 作用在同一物体上的几个力偶称为力偶系。作用在同一平 面内的力偶称为平面力偶系。 由于力偶的特性可以推断，力偶系合成的结果必定是一个 合理偶，如果已知平面力系中各个力偶的力偶矩为M1、 M2…Mn,则合力偶的力偶矩M为各个分力偶的代数和。
M M 1 M 2 ... Mn = Min
O点称为力矩中心(简称矩心)；O点到力F作用线的垂直距 离Lh，称为力臂。式子中的正负表示力矩的方向。一般规定： 力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩取正值符号，反 之为负号，力矩的单位常用N〃m或KN〃m 当力的作用线通过矩心时，因其力力臂为零故力矩等于零， 这时，力不可能使物体绕矩心转动。 当力沿其作用线移动时，因为力矩不变，故力矩也不变，力 对物体的转动效果也不变。
解：分解力F到垂直手柄的力F1 和沿手柄方向的力F2
MA(F ) MA(F 1) MA(F 2) F 1L1 F 2L 2 FL1 cos 15
=-39.7 N.m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动
力矩和力偶
二、力偶和力偶矩 1.力偶和力偶矩 司机转动反向盘和钳工使用丝锥攻螺纹时，方向盘和丝锥 铰杠上通常受到大小相等、方向相反、作用线不在一条直线 上的两个平行力的作用。 在同一物体上作用等值反向的两个平行力，力的矢量和显 然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，是物体产 生转动。这种由大小相等、方向相反、作用线平行但不重合 的二力组成的力系称为力偶， 记作 （ F 、 。力偶中 F、 ） 二力之间的距离Ld称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的 作用面。
力偶矩和力矩
力偶矩和力矩力偶矩和力矩是力学中两个重要的概念，它们在研究物体的平衡和力的作用时起到了重要的作用。
本文将分别介绍力偶矩和力矩的概念以及它们的应用。
一、力偶矩力偶矩是指由两个大小相等、方向相反的力组成的力对所产生的力矩。
在物理学中，力偶矩通常用于描述物体的平衡状态。
当一个物体受到一个力偶矩时，如果物体不受任何其他力的作用，它将保持在平衡状态。
具体来说，假设有两个大小相等、方向相反的力分别作用在物体的两个不同点上，这两个力之间的连线被称为力的作用线。
力偶矩的大小等于其中一个力的大小乘以它们之间的距离，方向垂直于力的作用线。
力偶矩的计算公式可以表示为M = F * d，其中M表示力偶矩，F表示力的大小，d表示力的作用线之间的距离。
力偶矩在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，施工人员常常需要使用力偶矩来计算柱子或梁的平衡状态。
通过施加一个合适大小和方向的力偶矩，可以使得柱子或梁保持平衡，从而确保建筑结构的稳定性。
二、力矩力矩是指力对物体产生的转动效应。
当一个物体受到一个力时，力矩决定了物体的转动情况。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂，力臂是力作用点到物体转轴的垂直距离。
力矩的计算公式可以表示为M = F * r，其中M表示力矩，F表示力的大小，r表示力臂的长度。
力矩的方向遵循右手螺旋法则，即当右手握住力臂时，拇指所指的方向即为力矩的方向。
力矩在实际应用中也有广泛的应用。
例如，在机械工程中，设计师常常需要使用力矩来计算机械装置的平衡状态。
通过施加一个合适大小和方向的力矩，可以使得机械装置保持平衡，从而确保其正常运转。
三、力偶矩和力矩的关系力偶矩和力矩在概念上是相似的，都与力的转动效应有关。
然而，它们在应用上有一些区别。
力偶矩是由两个大小相等、方向相反的力组成的，而力矩是由一个力产生的。
力偶矩由于有两个力的作用，因此具有更强的转动效应。
力偶矩的作用线是两个力之间的连线，而力矩的作用线是力的作用点到物体转轴的连线。
力偶 力矩
力偶力矩
前缀力偶指的是一个由两个相等大小但方向相反的力组成的力对，它们的作用线在同一直线上，但对称于它们之间的点。
力偶的大小等于其中任意一力的大小乘以它们的距离，方向垂直于它们的作用线，指向受到力偶作用的一侧。
力矩是指在一定的力的作用下，物体围绕一个轴旋转时的“扭矩”。
力矩的大小等于力的大小乘以与轴垂直的距离，方向由
右手定则决定，指向转动方向。
力矩的单位是牛顿•米（Nm）。
前缀力偶是由两个大小相等方向相反的力组成，在同一直线上，但对称于它们之间的点。
比如，两个大小相等，方向相反的力
F1和F2分别作用于距离d处的点A和点B，它们构成了一个
力偶。
力偶的大小为F1*d=F2*d，方向垂直于它们的作用线，指向受到力偶作用的一侧。
力偶在物理学中有着重要的应用，尤其是在流体力学、机械工程和航空航天等领域。
比如，飞机的左右机翼上的风阻力就会形成一对力偶，由此产生的力矩可使得飞机绕垂直于飞行方向的轴旋转。
力矩是指在一定的力的作用下，物体围绕一个轴旋转时的“扭矩”。
简单来说，就是物体围绕轴产生旋转的力的大小和方向。
力矩的大小等于力的大小乘以与轴垂直的距离，单位为牛顿•
米（Nm）。
具体而言，若有一个大小为F的力作用于与轴距
离为d的点上，则力矩M=F*d，方向由右手定则决定，是垂
直于轴的，并且指向旋转方向。
力矩在许多领域都有着广泛的应用。
比如，在机械工程中，它可以用于计算机械元件的稳定性和畸变量；在建筑工程中，它可以用于计算梁的最大荷载和支撑结构的强度等。
简述力矩和力偶矩的异同
简述力矩和力偶矩的异同力矩和力偶矩是物理学中描述力的概念，它们有一些相似之处，但也有一些区别。
力矩（Torque）：1.定义：力矩是一个力对物体产生旋转运动的影响。
它是通过力与力臂（从轴到力的垂直距离）的乘积来计算的。
2.方向：力矩是一个矢量，具有大小和方向。
它的方向垂直于力的方向和力臂的方向，遵循右手定则。
3.单位：国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（N·m）。
4.公式：力矩（τ）等于力（F）乘以力臂（r）：τ=F×r。
5.效果：力矩导致物体绕一个轴点旋转，其方向和速度取决于力的大小和方向以及力臂的长度。
力偶矩（Couple Moment）：1.定义：力偶矩是由一对相等大小但方向相反的力组成的，它们的作用线距离轴相等。
力偶矩的作用结果是不产生平移，只引起物体绕轴点的纯旋转。
2.方向：力偶矩的方向是垂直于作用线的方向，通常定义为“垂直于纸面向外”和“垂直于纸面向内”两种方向。
3.单位：力偶矩的单位与力矩相同，为牛顿米（N·m）。
4.公式：力偶矩的大小等于其中一力的大小乘以力臂，不涉及力的方向：M=F×d。
5.效果：力偶矩导致物体纯粹绕轴点旋转，而不会导致物体的平移。
异同点：•两者都是用来描述力对物体的旋转效应。
•两者都可以用牛顿米（N·m）作为单位。
•力矩是由单个力产生的，而力偶矩是由一对力产生的，它们的作用线距离轴相等。
•力矩具有大小和方向，而力偶矩只有大小，方向垂直于作用线。
总的来说，力矩和力偶矩是在力和旋转运动的背景下用于描述物体行为的重要物理量，它们有不同的定义和效应，但都是重要的工程和物理学概念。
力偶矩和力矩
力偶矩和力矩一、力偶矩的定义和概念1.1 力偶的概念力偶是由两个大小相等、方向相反的力构成的力对，它们的作用线平行但不共线。
力偶可用一个力矩矢量来表示，该矢量的大小等于其中一个力的大小乘以它们之间的距离，方向垂直于作用线，符合右手定则。
1.2 力偶矩的定义力偶矩是力偶对物体所产生的力矩，它描述了力偶对物体的“扭转”效果。
力偶矩的大小等于力偶矩矢量与力偶矩臂之间的夹角的正弦值乘以力偶的大小。
二、力矩的定义和性质2.1 力矩的定义力矩是描述力对物体产生“转动效果”的物理量。
力矩的大小等于力的大小与作用力臂之间的乘积，方向垂直于力矢量和作用力臂所在的平面，符合右手定则。
2.2 力矩的性质•力矩与力的大小和力臂长度成正比。
•作用在刚体上的一组力的合力矩等于各个力矩的矢量和。
•如果合外力矩为零，则刚体处于平衡状态。
三、力偶矩和力矩的关系3.1 力偶矩和力矩的相似性力偶矩和力矩在物理学中有很多相似之处。
它们都描述了力对物体的“扭转”效果，都与力的大小、作用线和作用力臂有关。
力偶矩和力矩都可以用矢量来表示，且方向垂直于力的作用线和作用力臂所在的平面。
3.2 力偶矩的计算方法对于一个力偶，可以通过计算其中一个力的力矩再乘以其距离来得到力偶矩的大小。
力偶矩的方向垂直于力的作用线，遵循右手定则。
3.3 力偶矩和力矩的关系可以发现，力偶矩可以被看作是一种特殊的力矩。
力偶可以看作是由两个大小相等、方向相反的力构成的力对，而力矩是由一个单一的力对物体产生的扭转效果。
力偶矩的计算方法与力矩一致，只是力偶矩的距离是两个力之间的距离。
两者都可以用矢量来表示，并且方向都垂直于力的作用线和作用力臂所在的平面。
四、力偶矩和力矩在实际中的应用4.1 力偶矩的应用•力偶矩常被应用于刚体平衡问题的分析中，用于计算刚体所受到的力矩以及刚体的平衡条件。
•力偶矩也常用于描述弹簧力和扭矩等力学现象。
•在工程领域，力偶矩的概念被广泛应用于机械设计和结构分析中，用于计算物体的稳定性和强度等参数。
第三节力矩与力偶
效应的量度。用Ｍ或Ｍ（F，F′)表示。
Ｍo（F）＝±Fｈ
M F d
力偶矩是代数量，一般规定：使物体逆时针转动的力 偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是N•m，读作“牛米”。
一般规定：逆时针转向力偶为正，顺时针转向力 偶为负。力偶矩的单位为N·m。
力偶的三要素：力偶的大小 转向 作用面
2．力偶的特性
【例2－4】圆柱直齿轮受啮合力F的作用。设F =1400N， 压力角α＝20°，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，试 计算力F对轴中心O的矩。
解题过程
3．力矩的平衡条件
（1）杠杆平衡应用实例
（2）绕定点转动物体平衡条件
各力对转动中心Ｏ点的矩的代数和等于零，即合力
矩为零。用公式表示为：
MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn ) 0
M=M1+M2+…+Mn =∑M
三、平面力偶系的简化与平衡
1．平面力偶系的简化
平面力偶系——作用在物体上同一平面内由若干个力 偶所组成的力偶系。
平面力偶系的简化结果为一合力偶，合力偶矩等于各 分力偶矩的代数和，即
M M1 M2 Mn Mi
2．平面力偶系的平衡
必要和充分条件——所有力偶矩的代数和等于零。
Mi 0
半孔钻加工腰孔
1－工件 3－钻套
2－钻模板 4－半孔钻
【例2－5】多刀钻床在水平工件上钻孔，每个钻头的切削 刀刃作用于工件上的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为M1＝M2＝13.5N·m，M3＝17N·m， 求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定， A和B之间的距离 l＝0.2m，试求两个螺栓在工件平面所受的 力。
建筑力学_力矩和力偶
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
•
=160×cos30°×4.5/3-160×sin30°×1.5•Leabharlann =87kN· m练习：
求图中力对A点之矩
解：将力F沿X方向和Y方向
等效分解为两个分力，由 合力矩定理得：
M A Fx d x Fy d y
由于 dx = 0 ，所以：
2 M A Fy d y 20 2 28.28kN m 2
二、力偶
1. 力偶的概念
把作用在同一物体上大小相等、方向相反但不共线的 一对平行力组成的力系称为力偶，记作（F,F`）
§1-5 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
l
A
o
d
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即
M o ( F ) Fd
（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
F
y
Fx
F
o
r
d
x
A
y
Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
力矩与力偶
机械设计基础
Machine Design Foundation
力偶的平衡
解：（1）工件受到的总的切削力偶矩M等于每个孔所受的切削力偶矩的代数和， 即
M M M1 M2 M3 M4 4 N ·20m 80
（2）因工件仅受力偶作用，故两螺栓处的约束反力FA，FB必定也组成一个力偶， 与切削力偶相平衡。由平面力偶系的平衡条件，可得
因此，平面力偶系平衡的充分和必要条件是所有各分力偶 矩的代数和等于零。即
M 0
例1-9 用多轴钻床同时钻削工件上四个直径相同的孔，如图133所示。每个钻头作用于工件上的切削力构成一个力偶，且 各力偶矩的大小N·m，转向如图。求加工时工件受到总的切
削力偶矩。若固定螺栓A和B之间的距离L=0.5m，试求工件
M 0
FA L M1 M 2 M 3 M 4 0
FA
M1 M2
M3 L
M4
160
N
机械设计基础
Ma移定理
1.3力的平移定理
作用于刚体上的力，均可平移到同一刚体内任一点，但同 时附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点之矩。
机械设计基础
Machine Design Foundation
力偶的定义
以F与的乘积冠以适当的正负号作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物 理量，称为力偶矩，并记作M(F,F')或M。即
M(F,F ') =±Fd
（1-13）
式中的正负号表示力偶的转向。一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针 取负值。
力偶的合成
3． 平面力偶系的合成
设在刚体某平面上有两个力偶和的作用，其合成过程如图 1-32a所示。
第一章 杆件的静力学分析 第二节 力矩与力偶
图1-23力偶的投影
· 性质2：力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等于力偶矩，与矩心的位置无关（图124）。
○为力偶（Ｆ，Ｆ′）作用平面内任
意一点。 M○（Ｆ，Ｆ′）＝-Ｆ ′· x+Ｆ（x+d ） = -Ｆ′· x+Ｆx+Ｆd） ＝+Ｆ· d 图1-24力偶对其平面内任意点之矩 ＝M（Ｆ，Ｆ′）
作业：习题集相关题
1.2.2力偶的概念
1．什么是力偶 大小相等、方向反向、作用线平行但不共线的两个力。 用符号（F，F′）表示。 两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂； 两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面。
（a）
（ｂ） 图1-22力 偶
（ｃ）
（ｄ）
第1 章
杆件的静力分析
2．力偶的作用效应 使刚体产生转动效应。 3．力偶矩
-
一方面可以增加力的大小
更有效的办法是增加力臂的长度
正负规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时， 力矩为正，反之为负。力矩的单位名称为牛顿· 米， 符号为Ｎ· m。 力矩为零的两种情况：（1）力等于零；（2） 力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 应当注意：一般来说，同一个力对不同点产 生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力矩是
力偶矩是力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积
并冠以正负号。用来表示力偶在其作用面内使物体产 生转动效应的度量，用Ｍ或Ｍ（F，F′)表示。
M＝±Fd
（1-3）
力偶矩是代数量，一般规定：使物体逆时针转动 的力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是N•m，读作 “牛米”。
4．力偶的性质 性质1：力偶中的两个力在其作用面内任意坐标轴上的投影的代数和等于零，如图123所示，因而力偶无合力，也不能和一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。
力偶和力矩的概念
力偶和力矩的概念力偶和力矩呀，这可是力学里挺有趣的两个概念呢。
先说说力矩吧。
你可以想象一下，你在拧一个螺丝。
你用扳手去拧的时候，你使的那个劲儿就是一种力矩的体现。
力矩呢，简单来说就是力和力臂的乘积。
这力臂呀，就是从转动轴到力的作用线的垂直距离。
就像那拧螺丝，你手握扳手的地方离螺丝中心的距离就是力臂。
要是你用同样大小的力，力臂越长，你就会觉得拧起来越轻松，这就是力矩在起作用啦。
这就好比你推门，你在门把手上推，很容易就把门推开了，要是你在靠近门轴的地方推，那可就费劲多啦，因为这时候力臂短了，即使你使的力一样大，力矩小了，效果就不一样。
再来说说力偶。
力偶是一对大小相等、方向相反且不共线的平行力。
这就像是两个人在一个圆盘的两边，同时用力去转动这个圆盘。
这两个人的力就是力偶。
这力偶有个特别的地方，它只能使物体转动，不会让物体产生平移。
比如说，你看老式的那种石磨，有两个把手，两个人分别在两边用力，这两个力就是力偶。
石磨就只是绕着中心转动，不会整个平移出去。
而且呀，力偶对物体的转动效果取决于力偶矩，力偶矩等于其中一个力的大小和两力之间垂直距离的乘积。
这就好像是两个调皮的小精灵，它们在物体的两边搞怪，专门负责让物体转圈圈。
我曾经就有这么一个经历。
家里的水龙头有点紧，我去关的时候，我一开始是用一只手在靠近水龙头根部的地方去拧，那可费劲了，水还是在滴答滴答地流。
后来我就想起来力矩的事儿了，我就把手移到了水龙头的把手末端，轻轻一拧，嘿，水龙头就关上了。
这就是力矩在日常生活中的小例子。
还有啊，我看到过公园里那种旋转的健身器材，有两个把手。
小朋友们在两边同时用力去转动它，这其实就是力偶在发挥作用呢。
小朋友们玩得可开心了，那器材就欢快地转起来，就像一个听话的大圆盘，被两个小力士给指挥着转动。
从这些例子里就能看出，力矩和力偶虽然都是和力有关的概念，但是它们的特点和作用是很不一样的。
力矩更侧重于一个力相对于转动轴的转动效果，而力偶则是专门一对力对物体的转动效果。
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力偶矩与力矩的区别和联系
答案：
一、作用不同：
力矩是力对物体产生转动作用的物理量。
可以分为力对轴的矩和力对点的矩。
即：M=LxF。
其中L是从转动轴到着力点的距离矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。
力偶是作用于同一刚体上的一对大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力。
二、含义不同：
力偶矩为“力偶的力矩”的简称，亦称“力偶的转矩”。
力矩与力偶矩的联系是物体旋转的作用。
扩展：
力矩：
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的大小为该点到力的作用线所引垂线看长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
力矩的计算公式为M=F*L，公式当中M表示的是力F对于转动轴O的力矩，只要是使物体产生逆时针方向转动效果的，称为正力矩，反之则称为负力矩。
力偶距：
由两个大小相等方向相反的平行力所组成的二力称为力偶，记为（F,F,），力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂，记做d。
力偶不能合成为一个力，也不能通过一个力进行平衡，或是用一个力进行等效替换。
力偶可以使物体转动以及改变物体转动的状态。
力偶对物体的转动效果与力矩对物体的转动效果相同，力偶对物体的作用效应可以通过力偶距来进行衡量。
力偶距的计算可以通过力与力偶臂的乘积得到，计算公式为M=F*d。
只要是使物体产生逆时针方向转动效果的，称为正力偶矩，反之则称为负力偶矩。
力矩和力偶距的异同
共同点：
单位统一,符号规定统一。
差异点：
1.力矩随矩心位置不同而变化；力偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。
2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力偶。
但是,在取矩的平衡方程中,两者可以代数加减,以为都考虑的是对刚体的转动效果。
在写矩平衡方程时，我们会选择一个参考正转向（如无明确声明，则默认逆时针为参考正转向）。
参考受力图，如果力对矩心的转动作用与参考正转向一致则在方程中取正号，反之，当力对矩心的转动作用与参考正转向相反，该力的矩在平衡方程中取负号。
对不同的矩心，力矩的正负号可能会变。
力偶处理与上述力矩类似，但是正负号（大小）都不因矩心而变。
1、力矩和力偶矩的相同点：量纲相同并且都以逆时针转向为正。
2、不同点：力矩的大小、正负与力和矩心的相对位置有关。
3、力偶对任一点之矩都等于力偶矩。
4、力矩和力偶矩的解释：力矩是力对物体产生转动作用的物理量。
5、可以分为力对轴的矩和力对点的矩。
6、力偶矩为"力偶的力矩"的简称，亦称"力偶的转矩"。
7、力偶是两个相等的平行力，它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离(称力偶臂)的乘积，称作"力偶矩"，力偶矩与转动轴的位置无关。
8、详细解释如下：力F与d的乘积再加上正好或负号来表示力F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O的矩，简称力矩。
9、力和力偶是组成力系的两个基本元体发生转动，力F与d的乘积来量度力偶对物体的转动效应，并把这一乘积加上正负号成为力偶矩。