初中数学-构造辅助圆探求最值问题
圆探究一种线段最值的方法
线段最值问题是计算机科学领域中的经典问题之一，它涉及到在一个数列或向量中找到一个子区间，使得该区间内的数值和达到最大或最小。
其中，最大值问题是指在一个数列中找到一段连续的子区间，使得该区间内的数值和最大；而最小值问题则是找到一段连续的子区间，使得该区间内的数值和最小。
本文将介绍一种名为“圆探究法”的线段最值求解方法。
一、圆探究法的基本思路圆探究法的基本思路是：将数列看作是一个环形的数列，然后通过对数列进行圆周遍历，同时记录每一个可能的最值。
具体来说，我们可以使用两个指针i, j分别表示当前遍历的起始点和终止点，当j到达数列的末尾时，指针i向前移动一个位置，继续以i为起点，j为终点遍历数列。
这样，我们就能够遍历所有可能的子区间，并记录每一个子区间的最大值或最小值。
二、圆探究法的实现过程1. 初始化首先，我们需要初始化指针i, j的位置。
通常情况下，我们可以将i和j都指向数列的第一个元素，即i = j = 1。
2. 圆周遍历接下来，我们需要以i为起点，j为终点，沿着数列进行圆周遍历。
具体来说，我们可以通过以下步骤实现：（1）计算当前子区间的最大值或最小值在每次遍历过程中，我们需要计算当前子区间的最大值或最小值。
这可以通过遍历整个子区间，记录其中的最大值或最小值来实现。
（2）记录最大值或最小值当计算出当前子区间的最大值或最小值后，我们需要将其记录下来。
通常情况下，我们可以使用一个变量maxvalue或minvalue 来记录当前的最大值或最小值。
（3）移动指针j在遍历完成当前子区间后，我们需要将指针j向前移动一个位置，继续遍历下一个子区间。
如果此时j已经到达了数列的末尾，则需要将指针i向前移动一个位置，并将指针j重新指向i，以便继续进行圆周遍历。
（4）结束条件当指针i回到了初始位置，即i = 1，同时j也回到了i的位置时，说明遍历已经完成。
此时，我们可以得到每一个子区间的最大值或最小值，以及最终的最大值或最小值。
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。
“辅助圆”求线段最值问题(叶红)
“辅助圆”求线段最值问题
富平中学 叶红
学习目标：
1、理解圆外一点到圆上的最小距离 和最大距离；
2、准确寻找隐藏的辅助圆； 3、“定边（弦）定角圆上找”
重难点：
1、准确寻找隐藏的辅助圆； 2、理解变化过程中线段的大小关系。
模型分析“一箭穿心”
1、平面内有一个定点M和⊙O上一动点P
的连线中，当连线过圆心O时，线段PM有最 大值和最小值
2、理解“定边定角”问题中的线段最值， “定边（弦）定角圆上找” ；
3、准确寻找隐藏的辅助圆。
问题1 平面内一点P和⊙O上动点A的连线PA
的最大值和最小值分别是多少？
A
r
P
d
O
当O、P、A三点共线时，对应有最值， 其和d+r为最大值，其差d-r为最小值.
A
P
d O
辅助圆问题
方法突破精 讲练
1. 如图，已知⊙O及其外一点C，请在⊙O上找一点P，
使其到点C的距离最近．
解：如图，连接OC交圆O于点P，则点P 即为所求．在圆O上任取异于P点的点P′， ∵OP′＋P′C＞OP＋PC 又∵OP′＝OP ∴CP′＞CP
第1题图
第1题解图
辅助圆问题
方法突破精 讲练
2. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、
C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D
运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为
___2_5__-2__．(请在图中画出点P的运动路径)
第2题图
【解析】如图连接AC、BD交于点E
依题意，易得BM＝CN，∠ABM＝∠BCN，AB＝BC，
∴PC＝O3C－OP＝ 4 3
模型24 辅助圆系列最值模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍【点睛1】触发隐圆模型的条件（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P 运动轨迹为过A 、B 、C 三点的圆备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等则A 、B 、C 、P 四点共圆备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点（1）求CM 最小值与最大值（2）求线段AB 扫过的面积（3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高例题精讲考点一：定点定长构造隐圆【例1】．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为．解：∵AB ＝AC ＝AD ，∴B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD ＝2∠CBD ，∠BAC ＝2∠BDC ，∵∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°．故答案为：88°变式训练【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2．则BD 的长为（）A ．B ．C ．D ．解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ．∵DC ∥AB ，∴＝，∴DF ＝CB ＝1，BF ＝2+2＝4，∵FB 是⊙A 的直径，∴∠FDB ＝90°，∴BD ＝＝．故选：B ．【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD＝OA＝4，连接OD，∵点M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝，∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案为：1+2．考点二：定弦定角构造隐圆【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：+1，∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．变式训练【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP 最短，则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，过P′作P′E⊥CD于点E，则P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案为：2．【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为．解：如图，以AB为直径作圆H，∵∠AEB＝90°，∴点E在这个⊙H上，延长DC至P，使CD＝PC，连接BE，EH，PH，过H作HM⊥CD于M，∵EF＝DF，CD＝PC，∴CF＝PE，Rt△AEB中，∵H是AB的中点，∴EH＝AB＝2，Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，∵PE≤EH+PH＝2+2，当P，E，H三点共线时，PE最大，CF最大，∴CF的最大值是+1考点三：对角互补构造隐圆【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴四边形EFCB对角互补，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝变式训练【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，则DF＝，∵EF是△AOC的中位线，∴EF＝OC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．∴DE的最小值为．【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为．解：如图∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，∵DF＝CE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADO＝90°，∴∠DAF+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴四边形ABEO对角互补，∴A、B、E、O四点共圆，取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．则KB＝AK＝KE＝OK，∵BA＝BO，∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝EC＝1，∴DF＝EC＝FC＝1，∴DE＝＝，∵△DFO∽△DEC，∴＝＝，∴＝＝，∴OD＝，OF＝，∵•DO•OF＝•DF•OM，∴OM＝，∴MF＝＝，∴CM＝1+＝，在Rt△OMC中，OC＝＝，故答案为．实战演练1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（）A．（5，0）B．（2，0）C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴AC′＝5，AC＝5，∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C 重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（）A．12B．14C．16D．14解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，∵∠AQB+∠ACB＝180°，∴点A、C、B、Q共圆，∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，∴BH＝CH＝3，在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，∴CQ＝7，当点C、Q、O共线时，OC最大，∴OC的最大值为OQ+CQ＝5+7＝12，故选：A．5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为．解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案为：88°．6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为．解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（，），FA＝FB＝FC＝，设C（0．m），则（）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍弃）∴C（0，6），根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．故答案为（0，6）或（0，﹣6）．7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为2．解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴P在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB＝6，∴OB＝3，∵BC＝4，∴由勾股定理得：OC＝5，∴CP＝5﹣3＝2，故答案为：2．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠C＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，∵tan∠AFB＝＝，作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，∴tan∠AOE＝，∴OE＝4，OA＝＝，∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），∴+BC的最大值为×＝4．故答案为：．9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为2．10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D 出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为．解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即线段DP的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．11．如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，△DBC 的面积为8，则BC 长为．解：如图，作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ，取CD 的中点O ，连接OA ，OB ．∵DH ⊥BH ，∴∠DHC ＝90°，∴四边形DACH 对角互补，∴A ，C ，H ，D 四点共圆，∵∠DAC ＝90°，CO ＝OD ，∴OA ＝OD ＝OC ＝OH ，∴A ，C ，H ，D 四点在以O 为圆心的圆上，∵AC ＝AD ，∴∠CHA ＝∠AHD ＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A 作AM ⊥DH 于M ，过点A 作AN ⊥BH 于N ，证明△AMD ≌△ANC ，推出AM ＝AN ，推出AH 平分∠MHN 即可）∵∠ABC ＝45°，∴∠BAH ＝90°，∴BA ＝AH ，∵∠BAH ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠HAD ，∵AC ＝AD ，AB ＝AH ，∴△BAC ≌△HAD （SAS ），∴BC ＝DH ，∴S △BCD ＝×BC ×DH ＝×BC 2＝16，∴BC ＝4或﹣4（舍弃），故答案为4．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．利用勾股定理可得BH＝3，根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．∴CE＝BC＝2．∴HE＝CH﹣CE＝．在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，所以∠AEB＝60°＝∠ADC，∴四边形AECD对角互补，∴点A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE＝30°，所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．过点A作AM⊥DE于M点，则AM＝AE＝．在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，∴AD＝2AM＝．故答案为2．13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是．解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H．∵四边形ACD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴四边形AFED对角互补，∴A，F，E，D四点共圆，∵DK＝KF，∴KA＝KD＝KF＝KE，∴∠DFE＝∠DAE＝45°，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴DE＝EF，∵AF＝2，AD＝6，∴DF＝＝2，∴DE＝DF＝2，∵AF∥CD，∴＝＝，∴FG＝FM＝，∴GM＝FM＝，∴FH＝GH＝HM＝，∵EF⊥GM，∴GH＝HM＝，∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，∵MH∥DE，∴＝＝＝，∴EN＝EH＝，＝•EN•MH＝••＝．∴S△ENM故答案为．14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝，＝．解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵点F是AB的中点，∴AF＝CD，∴，∵AD＝8，∴AF＝4，∴DF＝＝4，∴FM＝FG＝；∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝45°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠BAD，∴∠BAD+∠DEF＝180°，∴点A，D，E，F四点共圆，∴∠DFE＝∠DAC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴DE＝EF＝DF＝2，连接GM，交EF于P，由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，∴GM∥DE，∴△FPG∽△FED，∴，∴PF＝EF＝，∴PE＝EF﹣PF＝，∵GM∥DE，∴△MPN∽△DEN，∴，∴，∴EN＝PE＝，在Rt△DEN中，，故答案为：；．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．（1）求证：AP⊥BP；（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．（1）证明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BP；（2）解：如图，∵AP⊥BP，∴点P在以AB为直径的圆E上运动，由点圆最值可得，当P，Q，E三点共线，且点P在EQ的延长线上时，PQ最小，∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝4，∵E是AB的中点，Q是OA的中点，∴QE＝OB＝2，∵PE是圆E的半径，∴PE＝AB＝2，∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，∴PQ的最小值为2﹣2．17．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ 的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝6，C（0，6），∵A（﹣2，0），B（6，0），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），当x＝0时，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴顶点D的坐标为（2，8）；（2）由（1）知，C（0，6），设直线BC的表达式为y＝kx+t，将点B、C的坐标代入得6k+t＝0，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6；如图，过点P作PH∥y轴交BC于点H，连接PB，PC，设P（x，﹣x2+2x+6），则H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，∵△PBC的面积为12，∴OB•PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，∴点P的坐标为（2，8）或（4，6）；（3）如图，取点E（5.5，0），∴BE＝0.5，∵AB＝8，BQ＝2，∴AB：BQ＝4：1，∵BE＝0.5，BQ＝2，∴BQ：BE＝4：1，∵∠ABQ＝∠QBE，∴△ABQ∽△QBE，∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，∴DQ+AQ＝DQ+QE，由两点间线段最短可知，当点D，Q，E三点共线时，DQ+QE最小，最小值为DE，∴DE＝＝．即DQ+AQ的最小值为：．19．模型分析如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：连接OA；第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？结论：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC 的面积最小．证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？模型分析：证明：如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，作OE⊥BC于E，设⊙O的半径为r，AD＝h，∴BC＝2BE＝2CE，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵OB＝OC，∴∠BOE＝∠BOC＝α，∴OE＝OB•cosα＝r•cosα，∵OA+OE≥AD，∴r+r•cosα≥h，∴r≥，∵BE＝OB•sinα＝r•sinα，∴BC＝2BE＝2r•sinα，∴当r最小时，BC最小，∴当r＝时，BC＝；最小自主探究：解：如图2，延长CB知E，使BE＝AB，延长BC至F，使CF＝AC，∴AB+BC+AC＝BE+BC+CF＝EF，∠AEB＝∠EAB，∠CAF＝∠AFC，∴∠ABC＝2∠EAB，∠ACB＝2∠CAF，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴2∠EAB+2∠CAF＝180°﹣α，∴∠EAF+∠CAF＝90°﹣，∴∠EAF＝∠EAF+∠CAF+∠BAC＝90°+，作△AEF的外接圆O，作OH⊥EF于H，连接OA，OE，OF，在优弧EF上任取一点G （不在E和点F处），连接EG，FG，∴∠G＝180°﹣∠EFA＝90﹣，同理上可得：∠EOH＝∠G＝90°﹣，∴∠OEH＝90°﹣∠EOH＝，∴OH＝r•sin，EF＝2EH＝2r•cos，∵OH+AD≤OA，∴r•sin+h≤r，∴（1﹣sin）r≥h，∴r≥，∴r＝，最小∴EF＝，最小∴△ABC的周长最小值为：．20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．解：（1）∵OA＝2OC＝4，∴A（4，0），C（0，2），将A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，EF的最大值为2；（3）∵t＝2，∴E（2，3），F（2，1），设G（x，0），作△CFG的外接圆M，设圆M的半径为r，当圆M与x轴相切时，∠CGF最大，此时M（x，r），∵MC＝MF＝r，∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，解得x＝4﹣，∴G（4﹣，0）．。
2023年中考数学专项复习课件：辅助圆在解题中的应用
模型分析
(2)当∠C＝90°时，点C在⊙O上运动(如图②，不与点A，B重合).其中 AB为⊙O的直径；(3)当∠C>90°时，点C在如图③所示的 上运动( 不与点A，B重合).其中 ∠AOB＋∠ACBA＝B 180°
1 2
模型应用
12. 如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点 ，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为2__1_0__2___．
r－d
0
d－r
连接OD并延长交
连接OD交⊙O于
此时点E的位置
点E与点D重合
⊙O于点E
点E
模型应用 1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4) ，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB分别与x轴交于点A，B. 若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为_6_______．
对的劣弧BD上运动，连接OA，OP，则AP≤OA＋OP，
∴当O，A，P三点共线时，AP取得最大值，最大值即为OA＋OP的值．
过点O作OQ⊥AB于点Q，
∵∠DPB＝120°，∴∠BAD＝60°，
∵AD＝BD＝6，∴∠OAQ＝30°，AQ＝ 1 AB＝3，
2
∴OA＝2 3 ，∴OA＋OP＝4 3，
∴AP的最大值为4 3 .
15 4
过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为______.
第8题图
第9题图
10. 如图，在四边形ABCD中，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边
形ABCD面积的最大值为___8_____．
11. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，
CE
第1题图
二次函数辅助圆求最值问题
二次函数辅助圆求最值问题在学习二次函数时，我们经常会遇到求二次函数的最值问题。
这个问题对于很多学生来说是比较难的，特别是涉及到辅助圆的时候，更是让很多人感到头疼。
本文将讲解什么是二次函数辅助圆、如何利用二次函数辅助圆求最值以及一些需要注意的细节问题。
一、什么是二次函数辅助圆二次函数辅助圆，指的是二次函数图像与以函数自变量为横坐标，因变量为纵坐标的圆的交点。
在求最值问题中，通过分析二次函数与辅助圆的位置关系，我们可以方便地得到二次函数的最值。
因此，二次函数辅助圆也被称为“最值辅助圆”。
通常情况下，对于一般的二次函数y=ax2+bx+c，我们可以将其标准化为y=a(x-h)2+k的形式，其中h=-b/2a，k=c-ah2。
利用这个标准形式，我们可以将二次函数的最值问题转化为求解辅助圆与坐标轴和直线x=h的交点，从而求解得到最值。
二、如何利用二次函数辅助圆求最值下面以一个具体的例子来说明如何利用二次函数辅助圆求最值：求函数y=2x2-4x+1的最小值。
1.标准化二次函数首先将二次函数y=2x2-4x+1标准化为y=2(x-1)2-1的形式，这里h=1，k=-1。
2.画出辅助圆以点(h,k)为圆心，k的绝对值为半径，画出辅助圆。
3.求解交点将辅助圆与x轴、y轴和直线x=1求交点：与x轴交点为(0，1)，(2，1)；与y轴交点为(1，0)；与直线x=1交点为(1，-1)。
4.分析位置关系将二次函数图像与辅助圆的位置关系分为以下两种情况：情况一：二次函数与辅助圆的交点在y轴上，即h=0。
情况二：二次函数与辅助圆的交点在x轴上，即k=0。
对于这个例子，由于h=1不等于0且k=-1小于0，因此属于情况一。
在这种情况下，二次函数的最小值为辅助圆和二次函数的交点中y 值最小的点的纵坐标。
根据上面求出的交点，得到交点(2，1)和(0，1)处的函数值分别为5和1。
因此，二次函数y=2x2-4x+1的最小值为1，此时x=0。
专题09 构造辅助圆及圆中最值(解析版)
中考数学压轴题全揭秘专题09构造辅助圆及圆中最值【考点1】圆中最值【例1】（2018秋•西城区期末）如图，O的半径是5，点A在O上．P是O所在平面内一点，且2AP=，过点P作直线l，使l PA⊥．（1）点O到直线l距离的最大值为；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为．【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是O的直径，根据勾股定理即可得到结论．【解析】解：（1）如图1，l PA⊥，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为527AO AP+=+=；（2）如图2，M，N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直径，⊥，l PA∴∠=︒，90APOAP=，52OA=，OP∴=故答案为：7【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．【变式1-1】（2018秋•海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线2y=上的一个动点，P 的半径为1，直线OQ切P于点Q，则线段OQ的最小值为．【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ OQ⊥，再利用勾股定理得到OQ=垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，然后求出OP 的最小值，从而得到OQ 的最小值．【解析】解：连接PQ 、OP ，如图，直线OQ 切P 于点Q ，PQ OQ ∴⊥，在Rt OPQ ∆中，OQ当OP 最小时，OQ 最小，当OP ⊥直线2y =时，OP 有最小值2，OQ ∴【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．【考点2】等线段构造辅助圆【例2】（2018秋•海淀区期末）已知在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，直线l 经过点A （不经过点B 或点)C ，点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．②直接写出BDC ∠的度数（用含α的式子表示）为 ．（2）如图2，当60α=︒时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE BD =；（3）如图3，当90α=︒时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD AC AB ==，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得2BAC BDC ∠=∠，可求BDC ∠的度数；（2）连接CE ，由题意可证ABC ∆，DCE ∆是等边三角形，可得AC BC =，60DCE ACB ∠=︒=∠，CD CE =，根据“SAS ”可证BCD ACE ∆≅∆，可得AE BD =；（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH HC =，3BH HC =，即可求tan FBC ∠的值．【解析】证明：（1）①如图1，连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，点C 关于直线l 的对称点为点D ，AD AC ∴=，且AB AC =，AD AB AC ∴==，∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上②AD AB AC ==ADB ABD ∴∠=∠，ADC ACD ∠=∠，BAM ADB ABD ∠=∠+∠，MAC ADC ACD ∠=∠+∠，2BAM ADB ∴∠=∠，2MAC ADC ∠=∠，222BAC BAM MAC ADB ADC BDC α∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=12BDC α∴∠= 故答案为：12α （2）如图2，连接CE ，60BAC ∠=︒，AB AC =ABC ∴∆是等边三角形BC AC ∴=，60ACB ∠=︒，12BDC α∠= 30BDC ∴∠=︒，BD DE ⊥，60CDE ∴∠=︒，点C 关于直线l 的对称点为点D ，DE CE ∴=，且60CDE ∠=︒CDE ∴∆是等边三角形，CD CE DE ∴==，60DCE ACB ∠=︒=∠，BCD ACE ∴∠=∠，且AC BC =，CD CE =，()BCD ACE SAS ∴∆≅∆BD AE ∴=，（3）如图3，取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，在BOF ∆中，BO OF BC +∴当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，如图，过点O 作OH BC ⊥，90BAC ∠=︒，AB AC =，BC ∴，45ACB ∠=︒，且OH BC ⊥，45COH HCO ∴∠=∠=︒，OH HC ∴=，OC ∴，点O 是AC 中点，AC ∴=，4BC HC ∴=，3BH BC HC HC ∴=-=1tan 33OH HC FBC BH HC ∴∠=== 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．【变式2-1】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到△A B C ''，M 是BC 的中点，N 是A B ''的中点，连接MN ，若4BC =，60ABC ∠=︒，则线段MN 的最大值为 ．【分析】连接CN ．根据直角三角形斜边中线的性质求出142CN A B =''=，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解析】解：连接CN ．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4BC =，60B ∠=︒，30A ∴∠=︒，28AB A B BC ∴=''==，NB NA '='，142CN A B ∴=''=， 2CM BM ==，6MN CN CM ∴+=，MN ∴的最大值为6，故答案为6．【点拨】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点3】共斜边双直角构造辅助圆【例3】（2019•东城区二模）如图，ABC ∆为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点（点P 不与A ，C 重合），连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，CE ．（1）求证：BD CE =；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点；（3）在（2）的条件下，若ABC ∆的边长为1，直接写出EF 的最大值．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得DAB CAE=，即可证=，AD AE∠=∠，AB AC=；ADB AEC∆≅∆，可得BD CE（2）过点C作//=，CG BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG BD∆≅∆，可得结论；∠=∠，可证BFD CFG∠=∠，BFD GFCBDG G（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．【解析】证明：（1）将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，∴=，60AD AE∠=︒DAE∴∆是等边三角形ADE∆为等边三角形ABC∠=∠=︒BAC DAEAB AC∴=，60==，AD AE∴∠=∠，且AB ACDAB CAE∴∆≅∆()ADB AEC SAS∴=BD CE（2）如图，过点C作//CG BP，交EF的延长线于点G，∠=︒ADE∠=︒，60ADB9030∴∠=︒BDGCG BP//∴∠=∠=︒，30G BDG∆≅∆ADB AEC∠=∠=︒ADB AEC∴=，90BD CE∴∠=∠-∠=︒GEC AEC AED30∴∠=∠=︒30G GEC∴=，GC CE∠=∠，BFD GFC∠=∠∴=，且BDG GCG BD∴∆≅∆()BFD CFG AAS∴=BF FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，=∆是等边三角形，BF FCABC∴⊥AF BC90∴∠=︒AFCAFC AEC∴∠=∠=︒90∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴最大为直径，EF即最大值为1【点拨】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式3-1】（2019•西城区一模）如图，在ABC∠=︒，BA BC=．将线段AB绕点A逆时针∆中，90ABC旋转90︒得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB FD=；（2）点H在边BC上，且BH CE=，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若2AB=，请直接写出线段CN长度的最小值．【分析】（1）证明()∆≅∆即可解决问题．FAD FAB SAS（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明BAH CBF∠=∠即可解决问题．②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可．【解析】（1）证明：如图1中，∠=︒，ABC=，90BA BC∴∠=∠=︒，45BAC ACB线段AB绕点A逆时针旋转90︒得到线段AD，=，∴∠=︒，BA ADBAD90∴∠=∠=︒，FAD FAB45=，AF AF∴∆≅∆，FAD FAB SAS()∴=．BF DF（2）①解：结论：AH BF⊥．理由：如图2中，连接CD．180∠+∠=︒，ABC BAD∴，//AD BC==，AD AB BC∴四边形ABCD是平行四边形，∠=︒，ABC90∴四边形ABCD是矩形，=，AB BC∴四边形ABCD是正方形，=，∠=∠，BH CE=，ABH DCEBA CD∴∆≅∆，()ABH DCE SAS∴∠=∠，BAH CDE=，CD CB=，∠=∠=︒，CF CFFCD FCB45∴∆≅∆，()CFD CFB SAS∴∠=∠，CDF CBF∴∠=∠，BAH CBF∠+∠=︒，90CBF ABF∴∠+∠=︒，90BAH ABF∴∠=︒，ANB90∴⊥．AH BF②如图3中，取AB 的中点O ，连接ON ，OC ．90ANB ∠=︒，AO OB =，112ON AB ∴==，在Rt OBC ∆中，OC =CN OC ON -， 51CN ∴-，CN ∴1．【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．【考点4】定弦定角构造辅助圆【例4】如图，ABC ∆为等边三角形，2AB =．若P 为ABC ∆内一动点，且满足PAB ACP ∠=∠，则线段PB 长度的最小值为 ．【分析】由等边三角形的性质得出60ABC BAC ∠=∠=︒，2AC AB ==，求出120APC ∠=︒，当PB AC ⊥时，PB 长度最小，设垂足为D ，此时PA PC =，由等边三角形的性质得出112AD CD AC ===，30PAC ACP ∠=∠=︒，1302ABD ABC ∠=∠=︒，求出tan 30PD AD AD =︒==，BD =即可得出答案．【解析】解：ABC ∆是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，2AC AB ==，PAB ACP ∠=∠，60PAC ACP ∴∠+∠=︒，120APC ∴∠=︒，∴点P 的运动轨迹是AC ，当O 、P 、B 共线时，PB 长度最小，设OB 交AC 于D ，如图所示：此时PA PC =，OB AC ⊥， 则112AD CD AC ===，30PAC ACP ∠=∠=︒，1302ABD ABC ∠=∠=︒，tan 30PD AD ∴=︒=，BD ==PB BD PD ∴=-==．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AB 是O 的直径，M 、N 是AB （异于A 、)B 上两点，C 是MN 上一动点，ACB ∠的角平分线交O 于点D ，BAC ∠的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是( )A B ．2π C ．32 D 【分析】如图，连接EB ．设OA r =．作等腰Rt ADB ∆，AD DB =，90ADB ∠=︒，则点E 在以D 为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF ，点C 的运动轨迹是MN ，由题意2MON GDF ∠=∠，设GDF α∠=，则2MON α∠=，利用弧长公式计算即可解决问题．【解析】解：如图，连接EB ．设OA r =．AB 是直径，90ACB ∴∠=︒， E 是ACB ∆的内心，135AEB ∴∠=︒，作等腰Rt ADB ∆，AD DB =，90ADB ∠=︒，则点E 在以D 为圆心DA 为半径的弧上运动，运动轨迹是GF ，点C 的运动轨迹是MN ，2MON GDF ∠=∠，设GDF α∠=，则2MON α∠=∴2rMN GF απ⋅⋅==的长的长 故选：A ．【点拨】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．1．（2019•覃塘区三模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E为边BC上的动点，将CEF∆沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是()A．43B．1C．56D．65【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF FC=，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP AB⊥时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解析】解：如图所示：当//PE AB．由翻折的性质可知：2PF FC==，90FPE C∠=∠=︒．//PE AB，90PDB∴∠=︒．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又FP为定值，PD∴有最小值．又A A∠=∠，ACB ADF∠=∠，AFD ABC∴∆∆∽．∴AF DFAB BC=，即4108DF=，解得： 3.2DF=．3.22 1.2PD DF FP∴=-=-=．故选：D．2．（2019•武汉模拟）如图，点D在半圆O上，半径OB=10AD=，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，90DHC∠=︒，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是()A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的M 上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解析】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．DH AC⊥，90AHD∴∠=︒，∴点H在以M为圆心，MD为半径的M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，AB是直径，90ADB∴∠=︒，12BD∴，13BM=，BH∴的最小值为1358BM MH-=-=．故选：D．3．如图，在菱形ABCD中，60ABC∠=︒，4AB=，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为()A B．C．23πD．43π【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为BG，求出圆心角，半径即可解决问题．【解析】解：如图，连接AC 、BD 交于点G ，连接OG ．BF CE ⊥，90BFC ∴∠=︒，∴点F 的运动轨迹在以边长BC 为直径的O 上，当点E 从点A 运动到点B 时，点F 的运动路径长为BG ， 四边形ABCD 是菱形，4AB BC CD AD ∴====，60ABC ∠=︒，60BCG ∴∠=︒，120BOG ∴∠=︒，∴BG 的长120241803ππ==， 故选：D ．4．（2017•洛阳三模）如图，点E 、F 是边长为4的正方形ABCD 边AD 、AB 上的动点，且AF DE =，BE 交CF 于点P ，在点E 、F 运动的过程中，PA 的最小值为( )A ．2B ．C ．2D ．2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC 的中点O ，连接OP 、OA ，然后求出122OP CB ==，利用勾股定理列式求出OA ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、P 、A 三点共线时，AP 的长度最小．【解析】解：在正方形ABCD 中，AB BC ∴=，90BAE ABC ∠=∠=︒，在ABE ∆和BCF ∆中，AB BC BAE ABC AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆，ABE BCF ∴∠=∠，90ABE CBP ∠+∠=︒90BCF CBP ∴∠+∠=︒90BPC ∴∠=︒如图，取BC 的中点O ，连接OP 、OA ， 则122OP BC ==， 在Rt AOB ∆中，2OA =， 根据三角形的三边关系，OP AP OA +，∴当O 、P 、A 三点共线时，AP 的长度最小，AP 的最小值2OA OP =-=2．故选：D ．5．（2020•蔡甸区模拟）已知O ，AB 是直径，4AB =，弦CD AB ⊥且过OB 的中点，P 是劣弧BC 上一动点，DF 垂直AP 于F ，则P 从C 运动到B 的过程中，F 运动的路径长度（ ）A B C ．23π D ．2【分析】作DQ AC ⊥于Q ，如图，当P 点在C 点时，F 点与Q 重合；当P 点在B 点时，F 点与E 点重合，利用圆周角定理的推论判断点F 在以AD 为直径的圆上，则点F 运动的路径为QE ，再计算MQ 的长度和QME ∠的度数，然后根据弧长公式计算F 运动的路径长度．【解析】解：作DQ AC ⊥于Q ，如图，当P 点在C 点时，F 点与Q 重合；当P 点在B 点时，F 点与E 点重合， 90AFD ∠=︒，∴点F 在以AD 为直径的圆上，∴点F 运动的路径为QE ，弦CD AB ⊥且过OB 的中点，12OE OD ∴=，CE DE ==AC CD == 60DOE ∴∠=︒，60DAC ∴∠=︒，ACD ∴∆为等边三角形，MQ ∴和ME 为中位线，MQ ∴=60QME ∠=︒，F ∴运动的路径长度6033π==． 故选：A ．6．（2020•河南模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，动点M 在CD 边上运动，以EM 为折痕将CEM ∆折叠得到PEM ∆，连接PA ，若4AB =，60BAD ∠=︒，则PA 的最小值是 2 ．【分析】当A ，P ，E 在同一直线上时，AP 最短，过点E 作EF AB ⊥于点F ，依据122BE BC ==，60EBF ∠=︒，即可得到AE 的长度，进而得出PA 的最小值． 【解析】解：如图，122EP CE BC ===，故点P 在以E 为圆心，EP 为半径的半圆上， AP EP AE +，∴当A ，P ，E 在同一直线上时，AP 最短，如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 为BC 的中点， 122BE BC ∴==，60EBF ∠=︒， 30BEF ∴∠=︒，112BF BE ==，EF ∴5AF =，AE ∴PA ∴的最小值2AE PE =-=．故答案为：2．7．（2019秋•西城区期末）如图，矩形ABCD中，4AB=，6BC=，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP x=，若以点D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．【分析】首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围．【解析】解：如图，当D与AE相切时，设切点为G，连接DG，PD DG x==，6AP x∴=-，DAG AEB∠=∠，90AGD B∠=∠=︒，AGD EBA∴∆∆∽，∴AD DG AE AB=，∴654x =，245x=，当D过点E时，如图4，D与线段有两个公共点，连接DE，此时5PD DE==，∴当以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：245x=或56x<；故答案为：245x=或56x<．8．（2019秋•东城区期末）如图，在O 中，半径6OC =，D 是半径OC 上一点，且4OD =．A ，B 是O上的两个动点，90ADB ∠=︒，F 是AB 的中点，则OF 的长的最大值等于 2+【分析】当点F 与点D 运动至共线时，OF 长度最大，因为此时F 是AB 的中点，则OF AB ⊥，此时A 、B 关于OC 对称，解直角三角形即可求得OF 的长度．【解析】解：当点F 与点D 运动至共线时，OF 长度最大，如图，F 是AB 的中点，OC AB ∴⊥，设OF 为x ，则4DF x =-，ABD ∆是等腰直角三角形，142DF AB BF x ∴===-， 在Rt BOF ∆中，222OB OF BF =+，6OB OC ==，2236(4)x x ∴=+-，解得2x =2-OF ∴的长的最大值等于2+故答案为2+9．（2019•长丰县模拟）如图，AB 是O 的一条弦，P 是O 上一动点（不与点A ，B 重合），C ，D 分别是AB ，BP 的中点．若4AB =，45APB ∠=︒，则CD 长的最大值为 ．【分析】由三角形中位线定理可得12CD AP =，即当AP 为直径时，CD 长最大，由直角三角形的性质可求AP 的长，即可求解．【解析】解：C ，D 分别是AB ，BP 的中点12CD AP ∴=， 当AP 为直径时，CD 长最大， AP 为直径，90ABP ∴∠=︒，且45APB ∠=︒，4AB =，AP ∴=CD ∴长的最大值为故答案为10．（2019•南京）在ABC ∆中，4AB =，60C ∠=︒，A B ∠>∠，则BC 的长的取值范围是 ．【分析】作ABC ∆的外接圆，求出当90BAC ∠=︒时，BC 是直径最长=；当BAC ABC ∠=∠时，ABC ∆是等边三角形，4BC AC AB ===，而BAC ABC ∠>∠，即可得出答案．【解析】解：作ABC ∆的外接圆，如图所示：BAC ABC ∠>∠，4AB =，当90BAC ∠=︒时，BC 是直径最长，60C ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，2BC AC ∴=，4AB ==，AC ∴=，BC ∴=； 当BAC ABC ∠=∠时，ABC ∆是等边三角形，4BC AC AB ===，BAC ABC ∠>∠，BC ∴长的取值范围是834BC <； 故答案为：834BC <．11．（2018•海淀区二模）如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，且CD CE =，30DBC ∠<︒，点C 与点F 关于BD 对称，连接AF ，FE ，FE 交BD 于G ．（1）连接DE ，DF ，则DE ，DF 之间的数量关系是 ；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小；（用α的式子表示）（3）用等式表示线段BG ，GF 和FA 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）只要证明DCE ∆是等边三角形，再根据轴对称的性质可得结论；（2）想办法证明F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上，利用圆周角定理即可解决问题；（3）结论：BG GF FA =+．连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ，只要证明DFH ∆是等边三角形，AHD BGE ∆≅∆即可解决问题；【解析】解：（1）连接DE ，DF ，ABC∆是等边三角形，60C∴∠=︒，CE CD=，CDE∴∆是等边三角形，DE DC∴=，点C与点F关于BD对称，DF DC∴=，DF DE∴=，故答案为：DE DF=；（2）解：ABC∆是等边三角形，60C∴∠=︒，DBCα∠=，120BDCα∴∠=︒-，点C与点F关于BD对称，120BDF BDCα∴∠=∠=︒-，DF DC=，1202FDCα∴∠=︒+，由（1）知DE DF=，F∴，E，C在以D为圆心，DC为半径的圆上，∴1602FEC FDCα∠=∠=︒+．（3）结论：BG GF FA=+．理由如下：连接BF，延长AF，BD交于点H，ABC ∆是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AB BC CA ==，点C 与点F 关于BD 对称，BF BC ∴=，FBD CBD ∠=∠，BF BA ∴=，BAF BFA ∴∠=∠，设CBD α∠=，则602ABF α∠=︒-，60BAF α∴∠=︒+，FAD α∴∠=，FAD DBC ∴∠=∠，由（2）知60FEC α∠=︒+，60BGE FEC DBC ∴∠=∠-∠=︒，120FGB ∴∠=︒，60FGD ∠=︒，四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒，60HFG ∴∠=︒，FGH ∴∆是等边三角形，FH FG ∴=，60H ∠=︒，CD CE =，DA EB ∴=，在AHD ∆与BGE ∆中，.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AHD BGE ∴∆≅∆，BG AH ∴=，AH HF FA GF FA =+=+，BG GF FA ∴=+．12．（2018•西城区一模）正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当045α︒<<︒时，①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系： ．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明．（3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．【分析】（1）作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．由ABM CBM ∆≅∆，可得BAM BCM ∠=∠，由90ABC CEA ∠=∠=︒，BC ，AE 交于一点，可得BAM BCE ∠=∠，即可得到2MCE BAM ∠=∠，由点N 与点M 关于直线CE 对称，可得CN CM =，即可得到NCE MCE ∠=∠，进而得出2NCE BAM ∠=∠．（2）连接CM ，判定ADM CDM ∆≅∆，即可得到DAM DCM ∠=∠，再根据DAQ ECQ ∠=∠，即可得到2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，即12DCM NCE ∠=∠，再根据BAM BCM ∠=∠，90BCM DCM ∠+∠=︒，即可得到1902NCE BAM ∠+∠=︒．（3）依据90CEA ∠=︒，即可得到点E 在以AC 为直径的圆上，当EF 经过圆心O 时，即可得出线段EF 长的最大值．【解析】解：（1）①补全的图形如图所示：②2NCE BAM ∠=∠．理由：如图1，连接MC ，由ABM CBM ∆≅∆，可得BAM BCM ∠=∠，由90ABC CEA ∠=∠=︒，BC ，AE 交于一点，可得BAM BCE ∠=∠，2MCE BAM ∴∠=∠，由点N 与点M 关于直线CE 对称，可得CN CM =，NCE MCE ∴∠=∠，2NCE BAM ∴∠=∠．故答案为：2NCE BAM ∠=∠．（2）1902NCE BAM ∠+∠=︒．理由：如图，连接CM ，由AD CD =，ADM CDM ∠=∠，DM DM =，可得ADM CDM ∆≅∆， DAM DCM ∴∠=∠，90ADQ CEQ ∠=∠=︒，AQD CQE ∠=∠，DAQ ECQ ∴∠=∠，2NCE MCE DAQ ∴∠=∠=∠， ∴12DCM NCE ∠=∠，BAM BCM ∠=∠，90BCM DCM ∠+∠=︒， ∴1902NCE BAM ∠+∠=︒．（3）如图，90CEA ∠=︒，∴点E 在以AC 为直径的圆上，O 为圆心， 由题可得，112OF CD ==，12OE OC AC ===，OE OF EF +，∴当EF 经过圆心O 时，1max EF FO r =+=13．（2019•广丰区一模）如图，E 、F 分别为ABC ∆中AC 、AB 上的动点（点A 、B 、C 除外），连接EB ，FC 交于点P ，6BC =．我们约定：线段BC 所对的CPB ∠，称为线段BC 的张角．（1）已知ABC ∆是等边三角形，AE BF =．①求线段BC 的张角CPB ∠的度数；②求点P 到BC 的最大距离；③若点P 的运动路线的长度称为点P 的路径长，求点P 的路径长．（2）在（1）中，已知△A BC '是P 的外切三角形，若点A '的运动路线的长度称为点A '的路径长，试探究点A '的路径长与点P 的路径长之间有何关系？请通过计算说明．【分析】（1）①利用等边三角形的性质证AEB ∆与BCF ∆全等，得到EBA BCF ∠=∠，利用三角形的内角和定理即可求出CPB ∠的度数；②由题意可知当PO BC ⊥于点N 时，点P 到BC 的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P 到BC 的最大距离；③由题意知点P 的路径长为BC 的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果；（2）中题意可知张角CPB ∠的度数始终为120︒，可得60CBP BCP ∠+∠=︒，因为圆P 是△A BC '的内切圆，由此可推出A '是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，其半径为，圆心角240︒，根据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A '的路径长是点P 的路径长的2倍．【解析】解：（1）①ABC ∆是等边三角形，60CBA A ∴∠=∠=︒，AB BC =，AE BF =，()AEB BCF SAS ∴∆≅∆，EBA BCF ∴∠=∠，60EBA BCF ∠+∠=︒，180EBC BCF BPC ∠+∠+∠=︒，18060120BPC ∴∠=︒-︒=︒；②如图1所示，由于BPC ∠始终为120︒，故过点B ，P ，C 作圆O ，120BOC ∴∠=︒，当PO BC ⊥于点N 时，点P 到BC 的距离最大， OB OC =，1602BOP BOC ∴∠=∠=︒， 132NB BC ==，ON ∴=OB =∴点P 到BC 的最大距离PN =；③点P 的路径长为BC 的长，∴180n r BC π===；（2）由（1）中题意可知张角CPB ∠的度数始终为120︒， 可得60CBP BCP ∠+∠=︒， 又圆P 是△A BC '的内切圆，120CBA BCA ''∴∠+∠=︒，60CA B '∴∠=︒，A '∴是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，由题意可得等边三角形ABC 外接圆的半径为，∴点A '的路径是优弧BAC 的长度，即以240︒的圆心角，半径为的弧长，如图，所以点A '的路径长180n r π===，2:1=， ∴点A '的路径长是点P 的路径长的2倍．14．（2019春•固始县期末）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连接AF 、DE 相交于点G ，连接CG ．（1）求证：AF DE ⊥；（2）求证：CG CD =．【分析】（1）正方形ABCD 中，AB BC =，BF AE =，且90ABF DAE ∠=∠=︒，即可证明ABF DAE ∆≅∆，即可得90DGA ∠=︒，结论成立．（2）延长AF 交DC 延长线于M ，证明ABF MCF ∆≅∆，说明DGM ∆是直角三角形，命题得证．【解析】证明：（1）四边形ABCD 为正方形 AB BC CD AD ∴===，90ABF DAE ∠=∠=︒， 又E ，F 分别是边AB ．BC 的中点 ∴1122AE AB BF BC == AE BF ∴=． 在ABF ∆与DAE ∆中，DA AB DAE ABF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DAE ABF SAS ∴∆≅∆． ADE BAF ∴∠=∠， 90BAF DAG ∠+∠=︒， 90ADG DAG ∴∠+∠=︒， 90DGA ∴∠=︒，即AF DE ⊥．（2）证明：延长AF 交DC 延长线于M ， F 为BC 中点， CF FB ∴= 又//DM AB ， M FAB ∴∠=∠． 在ABF ∆与MCF ∆中， M FAB CFM BFA CF FB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABF MCF AAS ∴∆≅∆， AB CM ∴=． AB CD CM ∴==， DGM ∆是直角三角形， ∴12GC DM DC ==．。
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一.从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．Alll构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．3.如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，ABCEFPABCEFPBPB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．4.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．Q ABC DEFP连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．二.定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．D'PFE DCBAQAB【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．1.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，EFA BCDPFDHGAB CDEF所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．2.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°，αααHGABCDE FPABC∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【寻找定边】1.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．CCBB【寻找定边与直角】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．B连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．GF EDCB A∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．【辅助圆+将军饮马】1.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三.定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．1.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°2.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．3.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．ABCP4ABC 60°4.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．ABAAE 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
辅助圆问题之点圆最值
辅助圆问题之点圆最值摘要：近几年中考题型有一个明显的变化，就是突出动点问题轨迹意识及最值的考查，这一类型的题目经常会出现在选择题及填空题的压轴题上，是学生的重点失分题目，而这种类型题近期又侧重于辅助圆问题。
解决辅助圆这一类型的题目，要求学生要有较强的观察能力、构图意识及轨迹意识，懂得利用转化的思想，数形结合，将现实生活中的实际问题转化为数学问题。
新课程标准中的核心素养要求要培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，并用数学的语言表达世界。
这也正是这一要求的体现。
关键词：新课程标准、辅助圆、点圆最值《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》发布后，提出了一系列的变化，其中新增了核心素养的内容，它主要分为三个方面：（1）会用数学的眼光观察现实世界（2）会用数学的思维思考现实世界（3）会用数学的语言表达现实世界在初中阶段，数学核心素养主要表现为运算能力、抽象能力、几何直观、空间观念、数据观念、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等。
【1】伴随着新课程标准的变化，中考题型出现了很多变化，虽然今年的中考题型相对比较简单、基础。
但不能否认接下来的中考题型还是有可能会出现难度系数较大的题目。
作为一名九年级的数学老师，我通过各种题型的练习，发现现在的中考习题，除了重视学生对基础知识的理解程度，考查学生的各项基本技能外，还重点考查学生的思维过程、构图过程及学生分析问题，解决问题的能力。
通过分析，可以发现这两年的中考题型有一个非常明显的变化，就是突出动点问题的轨迹意识及最值的考查，这一类型的题目经常会出现在选择题及填空题的压轴题上，是学生的重点失分题目，近两年，这种类型题的考查侧重于辅助圆问题。
学生要解决辅助圆这一类型的题目，要求他们要有较强的观察能力、构图意识及轨迹意识，利用转化的思想，数形结合，将现实生活中的实际问题转化为数学问题。
动点问题和最值问题的考查范围非常广，其中线段的最大值问题和面积的最大值问题已经作为一种常规题目出现了好多年，学生相对比较熟悉。
专题3、中考辅助圆问题之定弦定角最值问题
隐圆再现--定弦定角问题【知识要点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【解题技巧】解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题讲解】例题1、如图，∠O的半径为1，弦AB﹦1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积为．例题2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．训练2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y 83 x2 3x 6 3 的顶点为A，并与x 轴正半轴交于点B，在y 轴上存在点C，使∠ACB＝30°. 则点C 的坐标是______例题3、如图，∠ABC，∠EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当∠EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．训练3、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为∠G 上一动点，CF ∠AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为 ．【及时训练】1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．324-3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________2、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________4．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________【真题再现】1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上运动，且形状和大小保持不变，其中AB ＝4，BC ＝3．（1）当∠OAB ＝45°时，OA 的长为 ；（2）连接AC ，当AC ∥ON 时，求OA 的长；（3）设AB 边的中点为E ，分别求出OA 、OB 、OC 、OD 、OE 在运动过程中的长度变化范围．A C3.如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD的顶点A、D分别是边OM、ON边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB长的最大值为．2，以DE为边4,如图，点D和点E是等腰直角三角形ABC的边AC和AB上的点，且DE=2向外作正方形DEFG，则AF的最大值是。
构造辅助圆探求最值问题
构造辅助圆探求最值问题最值问题是中考舞台上的常青树，涉及知识面广，解决的方法活，且富有一定的技巧，所以倍受命题老师的青睐.下面就谈谈辅助圆在求最值时的精彩，供学习时借鉴.1.构造辅助圆直接求线段的最小值例1 如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A.32B. 2C.813D.1213分析：如图1，根据已知条件，我们不难发现，动点P在以AB为直径的圆上运动，而点C 在辅助圆的外部，根据点与圆的关系，知道，当O,P，C三点共线时，CP最短.解：因为∠PBA+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PBA+∠PAB=90°，所以∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆上，当O,P，C三点共线时，CP最短，因为AB=6,所以OB=3,因为BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP的最小值为2，所以选B.点评：构造辅助圆，把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键，要学会这门技巧.2.构造辅助圆间接求线段的最小值例2 如图2，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A. 5B. 7C. 8D.13 2分析：如图2，当点Q在运动时，不难发现点A的对称点A'在以P为圆心，PA为半径的圆上，由BP=3，知道PA=5，连接PC与圆交于点F，由点C是圆P外的一点，根据点与圆的关系知道，当A'与点F重合时，CF=C A'最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ的数值了. 根据图形的对称性知道：∠QPA=∠CPQ，根据菱形的性质，知道：AB∥CD，所以∠QPA=∠CQP，所以∠CPQ=∠CQP，，所以CQ=CP.过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据三角形ABC 是等边三角形，且AB=8，所以3,因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形CEP中，2222(43)1CE EP+=+所以CQ=7.解：选B.点评：巧妙把线段的最小值转化成圆外一点与圆的关系是解题的关键，也是一种常用的方法，希望平时学习时多加练习.3.直接应用给定的半圆，探求最值例3 如图3，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和是（）1332 3分析：要想求最值的和，首先要结合条件，确定PQ的最大值在什么位置上取的，最小值在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到.解：如图3，当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BC⊥AC，所以OD∥BC，因为OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，所以AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2,所以线段PQ的最大值为PQ=10-2=8；过点O作ON⊥BC，交半圆于点M，过点M作GH∥BC,所以当点Q与点M重合，点P与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,,所以线段PQ的最小值为PQ=1；所以PQ的最大值与最小值的和为8+1=9，所以选C.点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题的关键.4.构造辅助圆，借助弦心距的最大值求解例4 如图4，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．分析：如图4-3，我们不难发现，点N在以A为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A作AH ⊥BF，垂足为H，在整个运动过程中，直线BF与圆A的关系，从相交逐步演绎到相切，直到相离，此时圆心到弦的弦心距AH，遵循着从小到大，再到无得变化规律，当弦心距最大时，BN是圆的切线，在直角三角形ABN中，AB长度不变，AH（AN）最大，此时BN取得最小值，且满足点F和点M重合，如图4-4，这种条件下，三角形ABN和三角形BFC是全等三角形，也就是说此时CF 恰好取到最小值，由于DC 的长度是一个定值，从而DF 取到最大. 解：（1）因为△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ，根据折叠的性质，得∠DAM=∠NAM ，因为AN 平分∠MAB 时，所以∠NAM=∠NAB ，所以∠DAM=∠NAM=∠NAB ，因为∠DAB=90°，所以∠DAM=30°，所以DM=ADtan30°=3×33=3； （2）如图4-2，延长MN 交AB 延长线于点Q ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，∠DMA=∠MAQ, 由折叠的性质，知 ∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,所以∠MAQ=∠AMQ,所以QM=QA,设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在直角三角形ANQ 中，222AQ QN AN =+,所以222(1)3x x +=+，解得x=4，所以NQ=4,AQ=5,设点N 到AB 的距离为h ，所以AQ ×h=3×4，所以h=125，因为三角形ABN 和三角形ANQ 同高，所以三角形ABN 的面积为：11124225AB h ⨯⨯=⨯⨯=245； （3）因为点N 在以A 为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，当弦心距AH 最大时，BN 是圆的切线，在直角三角形ABN 中，AB 长度不变，AH （AN ）最大，此时BN 取得最小值，且满足点F 和点M 重合，如图4-4，所以BN=2243-=7,因为AN=BC, ∠ABN=∠BNC,∠ANB=∠BCN,所以△ABN ≌△BNC ，所以CF=2243-=7,所以DF=CD-CF=4-7，所以DF 的最大值为4-7.点评：灵活把线段的最大值，先转化为弦心距的最大值，再把弦心距的最大值转化为线段的最小值，最后借助线段的差把最小值再转化为所求线段的最大值，这是平时解题不常见的方法，需要加强训练.5.构造辅助圆，借助同圆的半径相等求解例5 如图5是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.分析：根据对称性，知道覆盖圆的圆心一定在直线l 上，且圆心到点B ，点A 的距离一定相等，这样我们就可以利用半径相等，借助勾股定理建立起等式，求最小的半径.解：设圆心为O ，OD=x ，则OC=70-x ，根据勾股定理，得 22223040(70)x x +=+-，解得x=40,所以圆的半径为50mm.点评：根据对称性，假定圆心，利用勾股定理建立等式求解是解题的关键.。
2020年中考数学总复习最值系列：辅助圆
2020年中考数学总复习最值系列：辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．A当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可． ll连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．A'N MA B CD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．A'N MA BCD连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．DCB A M N A'构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．HA'N M A BCD。
巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题
巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题作者：殷娟来源：《初中生世界·九年级》2021年第05期许多同学在圆的学习中都会通过添加垂线段、连半径、连直径等进行解题，但在解决一些较难问题时，上述方法就起不了多少作用。
而有时在图形中构造圆能获得意想不到的效果。
下面就以几道例题和同学们一起分析如何用“辅助圆”来求解“最值”问题。
一、折叠问题中的辅助圆例1 （2019·江苏宜兴一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点。
将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值是。
【解析】△DBE在折叠的过程中，满足DB=DB′，即点B′始终是在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动（如图2）。
点A是圆外一点，由图1可以看到AB′要取到最小值，则点A、B′、D必须共线。
在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得AD=[27]，则AB′的最小值为AD-DB′=[27]-2。
【总结】折叠图形有“共端点、等线段”的特征，满足圆的定义。
利用这一特征构造“辅助圆”，再利用“两点之间，线段最短”的原理便能很快找到对应线段的最值。
二、直角三角形中的辅助圆例2 （2017·江苏江阴一模）如图3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为。
【解析】由∠APB为“直角”这个特征，联想到90°角所对的弦是直径，可以构造经过A、B、P三点的⊙M（如图4），半径为1。
点P在⊙M上运动，PC的长度也随之不断变化。
我们在运动中不难发现PC所在的直线经过圆心M时，可以取到最大或最小值。
图4中，PCmin=MC-MP=[5]-1;图5中，PCmax=MC+MP=[5]+1。
【总结】直角三角形中，“定斜边、动直角顶点”的特征，满足90°的圆周角所对的弦是直径。
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题圆，规范简约且具有丰富的性质。
尽管在许多几何问题的条件中可能并不明确涉及到圆，但是如果能够根据问题的条件和图形的特点构造一个圆，转机或许因此出现。
这就需要我们有明亮的眼光、明锐的视角发现图中的“隐形圆”，充分利用圆的众多性质，为解决问题铺设“桥梁”。
本文讲述两种常用的构造辅助圆的模型：(1)定点定长构造辅助圆；(2)定弦定角构造辅助圆。
一、模型介绍类型一：定点定长构造辅助圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上(如图1).依据的是圆的定义:圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。
图1经典例题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4,点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______分析：CF为定长，翻折得PF=CF，故无论E点如何运动，点P随着点E的运动而始终在以点F为圆心，1为半径的圆上，将问题转化为⊙F上一点到直线AB 的距离的最小值。
解：如图，构造以F为圆心，CF为半径的圆。
过F作FG⊥AB于点G，交⊙F 于点P，此时PG的值最小，最小值为AF×sinA-1=2×-1=.模型总结：利用“定点定长”构造辅助圆的关键在于寻找一个定点，使目标动点到该定点的距离为定值。
类型二：定弦定角构造辅助圆固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分。
在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等。
如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C固定，根据圆的知识可知点C不唯一。
当∠C ＜90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB 是圆的直径；当∠C＞90°时，点C在劣弧上运动。
图2经典例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为一动点，且PA⊥PC，连结BP，则BP的最大值为____________。
专题02“辅助圆”模型解决最值问题(解析版)
1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D【分析】当A ，M ，C 三点共线时，线段CM 的长度最小，求出此时CM 的长度即可．【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M 在以A 为圆心，3为半径的圆上．2．（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【分析】如图，连接DF 、BF ．如图，连接DF 、BF ．首先证明1302FDB FAB Ð=Ð=°，再证明FAD FBC D @D ，推出15ADF FCB Ð=Ð=°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．策略一：角处理的常见策略“边对角”问题属角的存在性问题特例，具备角处理的通用解法，比如“一线三等角”，“母子型相似”，“整体旋转法”策略二：“边对角”→辅助圆（本节重点）由于“边对角”问题的特殊性，又会产生新的特殊解法，常可以构造辅助圆解题，其核心结构如图：注意：有圆，常有“定边对定角”；反过来，有“定边对定角”常可以构造辅助圆。
2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读专项11 构造辅助圆求最值
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典例·剖析
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A的
直线，CD⊥MN于点D，连接BD.在直线MN绕点A旋转的过程中，当
△ABD的面积取得最大值时，若CD长为1，则BD的长为________.
＋1
提示：由∠ABC＝∠ADC＝90°，
可知A，B，D，C四点共圆，当点
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典例·剖析
2．★线圆最值(2024·烟台)如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，
BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得
△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为__________.
20 －16
提示：由折叠，可知DE＝D'E，则点D'在以点E为圆心，DE长为半径
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典例·剖析
提示：过点E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P，
如解图，则E，M，F，G四点共圆.∴∠EMG＝∠EFG＝30°.点G在定
直线MG上运动，线段AG的最小值是MH的长
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典例·剖析
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC的中点，在矩形
G，则AG的最大值为___.
2
图形分析
提示：由对称，可知BA＝BF，则点F在以点B为圆心，BA长为半径
的圆上，当CF与☉B相切时，AG最大
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典例·剖析
类型2
“定弦定角”作圆
4．★(2024·苏州)如图，矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，动点E，F分别
从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D
最值问题，“圆”来可以如此解
最值问题，“圆”来可以如此解发布时间：2022-03-17T14:30:36.376Z 来源：《中国教师》2022年3月下作者：冷济勇[导读]冷济勇绵竹实验学校中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2022）3-023-02对于初中学生，最值问题一直是比较难的问题。
这类问题一般需要学生具备较好的转化思想和和数形结合意识，充分利用已知条件，寻找不同知识点之间的联系，在解题过程中将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。
对学生的创新思维的要求较高。
代数中的最值问题一般通过不等式、方程、函数等相关知识可以解决，而对于平面几何中最值问题，如果能够在变化中发现不变的规律，通过构造辅助圆，结合圆的相关性质，往往对解决问题有意想不到的作用。
下面，笔者以教学中的几个实例，谈谈构造辅助圆在求最值问题中的巧妙应用。
1.直角三角形中的最值问题Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为多少？解析：首先画出草图，如图：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上.这样就找到了点P的运动规律，点P始终在以AB为直径的⊙O上运动，这样，我们就看清楚了这个问题的实质是在以AB为直径的圆是找一点P，使得CP最小.连接OC与⊙O交于点P，此时CP最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题.2.正方形中的最值问题如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F为AD边上的两个动点，且AE=DF，连结BD、BE、CF，BD与CF交于点G，连结AG，交BE于点H，则线段DH的最小值是多少？解析：∵四边形ABCD为正方形∴在△ABE和△DCF中∵∴△ABE≌△DCF（SAS）∴∠1=∠2同理可证:△ADG≌△CDG ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3∵∴∴∴点H在以AB为直径的⊙O上，如上图所示，连结OD，当点H为OD与⊙O的交点时，DH取得最小值.在Rt△AOD中，由勾股定理得: ∴ .即DH的最小值为 .3.旋转中的最值问题如图，已知正方形ABCD的边长为，以点A为圆心，为半径作圆，E是上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最大值是多少？解析：如图，连接AE，CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴CF＝AE＝1，∴点F的轨迹是以点C为圆心，半径为1圆，∴点F为AC的延长线与圆C交点时，AF最大.4.轴对称中的最值问题如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，则A′C长度的最小值是________.解析：∵点M是AD边的中点∴由折叠可知:∴∴点A、D、在以点M为圆心，以AM的长为半径的圆上，如下图所示.当点为CM与⊙M的交点时，的长取得最小值.过点M作，交CD的延长线于点E.∵四边形ABCD为菱形∴∴∴∴∴在Rt△CEM中，由勾股定理得:∴即的最小值为 .5.函数中的直角和定角问题也可以借助圆如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；解析：（1）略；（2）对于这个问题，如果从圆的角度思考，可以构造以BD为直径的圆，利用直径所对的圆周角是直角，则圆与对称轴的交点即为所求的点P（如图1）；然后利用中点公式可以求出BD的中点K即圆心的坐标，再根据圆上任意一点到圆心的距离等于半径，利用两点间的距离公式建立方程即可求出点P的坐标.6.圆中的最值问题也可以再次构造圆如图.已知⊙O的半径为3，OA＝8，点P为⊙O上一动点.以PA为边作等边△PAM，则线段OM的长的最大值为多少？解：如图，连接AC，取BC的中点K，连接PK，AK ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝12，∵CK＝BK＝5，∴AK＝＝＝13，∵CP⊥BQ，∴PK＝ BC＝5，所以点P在以K为圆心，5为半径的圆上运动，因此，当点P在AK与圆的交点处时，PA的最小值为8.通过以上例题的解析，我们发现，对于这类最值问题，最关键的是要善于抓住变化中不变的规律。
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初中数学-构造辅助圆探求最值问
题(总5页)
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构造辅助圆探求最值问题
最值问题是中考舞台上的常青树，涉及知识面广，解决的方法活，且富有一定的技巧，所以倍受命题老师的青睐.下面就谈谈辅助圆在求最值时的精彩，供学习时借鉴.
1.构造辅助圆直接求线段的最小值
例1 如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）
A.3
2
B. 2
C.
813
D.
1213
分析：如图1，根据已知条件，我们不难发现，动点P在以AB为直径的圆上运动，而点C 在辅助圆的外部，根据点与圆的关系，知道，当O,P，C三点共线时，CP最短.
解：因为∠PBA+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PBA+∠PAB=90°，所以∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆上，当O,P，C三点共线时，CP最短，因为AB=6,所以OB=3,因为BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP的最小值为2，所以选B.
点评：构造辅助圆，把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键，要学会这门技巧.
2.构造辅助圆间接求线段的最小值
例2 如图2，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD 边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为
（）
A. 5
B. 7
C. 8
D.13 2
分析：如图2，当点Q 在运动时，不难发现点A 的对称点A '在以P 为圆心，PA 为半径的圆上，由BP=3，知道PA=5，连接PC 与圆交于点F ，由点C 是圆P 外的一点，根据点与圆的关系知道，当A '与点F 重合时，CF=C A '最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ 的数值了.
根据图形的对称性知道：∠QPA=∠CPQ ，根据菱形的性质，知道：AB ∥CD ，所以∠QPA=∠CQP ，
所以∠CPQ=∠CQP ，，所以CQ=CP.过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，根据三角形ABC 是等边三角形，且AB=8，所以3因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形CEP 中，2222(43)1CE EP +=+所以CQ=7.
解：选B.
点评：巧妙把线段的最小值转化成圆外一点与圆的关系是解题的关键，也是一种常用的方法，希望平时学习时多加练习.
3.直接应用给定的半圆，探求最值
例3 如图3，在△ABC 中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P,Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大
值和最小值的和是 （ ） 13323
分析：要想求最值的和，首先要结合条件，确定PQ的最大值在什么位置上取的，最小值在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到.
解：如图3，当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BC⊥AC，所以OD∥BC，因为OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，所以
AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2,所以线段PQ的最大值为PQ=10-
2=8；
过点O作ON⊥BC，交半圆于点M，过点M作GH∥BC,所以当点Q与点M重合，点P与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,,所以线段PQ 的最小值为PQ=1；
所以PQ的最大值与最小值的和为8+1=9，所以选C.
点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题的关键.
4.构造辅助圆，借助弦心距的最大值求解
例4 如图4，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．
分析：如图4-3，我们不难发现，点N在以A为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A作AH⊥BF，垂足为H，在整个运动过程中，直线BF与圆A的关系，
从相交逐步演绎到相切，直到相离，此时圆心到弦的弦心距AH ，遵循着从小到大，再到无得变化规律，当弦心距最大时，BN 是圆的切线，在直角三角形ABN 中，AB 长度不变，AH （AN ）最大，此时BN 取得最小值，且满足点F 和点M 重合，如图4-4，这种条件下，三角形ABN 和三角形BFC 是全等三角形，也就是说此时CF 恰好取到最小值，由于DC 的长度是一个定值，从而DF 取到最大. 解：
（1）因为△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ，根据折叠的性质，得∠DAM=∠NAM ，因为AN 平分∠MAB 时，所以∠NAM=∠NAB ，所以∠DAM=∠NAM=∠NAB ，因为∠DAB=90°，
所以∠DAM=30°，所以DM=ADtan30°=3×3=3； （2）如图4-2，延长MN 交AB 延长线于点Q ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，∠DMA=∠MAQ,
由折叠的性质，知 ∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,所以∠MAQ=∠AMQ,所以QM=QA,设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在直角三角形ANQ 中，222AQ QN AN =+,所以222(1)3x x +=+，解得x=4，所以NQ=4,AQ=5,设点N 到AB 的距离为h ，所以AQ ×h=3×4，所以h=125，因为三角形ABN 和三角形ANQ 同高，所以三角形ABN 的面积为：
11124225AB h ⨯⨯=⨯⨯=245
； （3）因为点N 在以A 为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，当弦心距AH 最大时，BN 是圆的切线，在直角三角形ABN 中，AB 长度不变，AH （AN ）最大，此时BN 取得最小值，且满足点F 和点M 重合，如图4-4，所以BN=2243-=7,因为AN=BC, ∠ABN=∠BNC,
∠ANB=∠BCN,所以△ABN ≌△BNC ，所以CF=2243-=7,所以DF=CD-CF=4-7，所以DF 的最大值为4-7.
点评：灵活把线段的最大值，先转化为弦心距的最大值，再把弦心距的最大值转化为线段的最小值，最后借助线段的差把最小值再转化为所求线段的最大值，这是平时解题不常见的方法，需要加强训练.
5.构造辅助圆，借助同圆的半径相等求解
例5 如图5是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.
分析：根据对称性，知道覆盖圆的圆心一定在直线l 上，且圆心到点B ，点A 的距离一定相等，这样我们就可以利用半径相等，借助勾股定理建立起等式，求最小的半径.
解：设圆心为O ，OD=x ，则OC=70-x ，根据勾股定理，得 22223040(70)x x +=+-，解得x=40,所以圆的半径为50mm.
点评：根据对称性，假定圆心，利用勾股定理建立等式求解是解题的关键.。