度量空间的完备化
banach空间的四个基本定理
banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。
这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。
1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。
也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。
这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。
2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。
这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。
3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。
这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。
4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。
这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。
这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。
这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。
它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。
度量空间的可分性与完备性【内容详细】
1.3.2
实数空间 中任何基本列(Cauchy列)必收敛．即基本列和收敛列在 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．
定义1.3.3基本列
设 是度量空间 中的一个点列，若对任意 ，存在 ，当 时，有 则称 是 中的一个基本列(或Cauchy列）．
定理1.3.3(基本列的性质)设 是度量空间，则
，
现证 ． ，由 知， ，当 时，有
，
取 ，当 时，对于 ，都有 ，因此
即 ，从而知 在 中稠密．□
例1.3.2连续函数空间 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体 在 中稠密，而 是可列集．}
证明显然 是可列集． ，由Weierstrass多项式逼近定理知， 可表示成一致收敛的多项式的极限，即 ，存在(实系数)多项式 ，使得
(4)任取 ，有 ．即由以 中每一点为中心 为半径的开球组成的集合覆盖 ．
证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．
定理1.3.2稠密集的传递性设 是度量空间， ，若 在 中稠密， 在 中稠密，则 在 中稠密．
证明由定理1.1知 ， ，而 是包含 的最小闭集，所以 ，于是有 ，即 在 中稠密．□
注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}
注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如
(0.625)10=(0.101)20.625 2=1.25取1；0.25 2=0.50取0；0.5 2=1.00取1．
二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即 ，例如
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
完备空间
完备空间完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
例子∙有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。
∙实数空间是完备的∙开区间(0,1)不是完备的。
序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。
∙令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。
按此方式定义的度量空间是完备的。
该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。
[编辑]直观理解直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。
没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。
从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。
这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。
[编辑]相关定理∙任一紧致度量空间都是完备的。
实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
∙完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。
∙若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：∙若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。
∙贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。
就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。
[编辑]完备化[编辑]定义对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。
M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。
度量空间的可分性与完备性
1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）；(4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=L L 为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =L ，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =L )，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，1,2,.k =L现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =L取12max{,,,}n K K K K =L ，当k K >时，对于1,2,,i n =L ，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈L L L N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=U ，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)pn x x x x l ∀=∈L L ，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =L于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈L L L ，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑L ，例如 (0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==L L 为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+L ，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =L ．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时 当时√√X 不可数×√ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√×有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ．如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =L ，因此1n n x B ∞=∈I ．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈I ，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)．注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）编辑版word。
13 度量空间的可分性与完备性
1、3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中,有理数处处稠密,且全体有理数就是可列的,我们称此性质为实数空间R 的可分性.同时,实数空间R 还具有完备性,即R 中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1 度量空间的可分性定义 1.3.1 设X 就是度量空间,,A B X ⊂,如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点,则称A 在B 中稠密.若A B ⊂,通常称A 就是B 的稠密子集.注1:A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂.例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中就是稠密的,无理数在实数中也就是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(,)X d 就是度量空间,下列命题等价: (1) A 在B 中稠密;(2) x B ∀∈,{}n x A ∃⊂,使得lim (,)0n n d x x →∞=;(3) B A ⊂(其中A A A '=,A 为A 的闭包,A '为A 的导集(聚点集)); (4) 任取0δ>,有(,)x AB O x δ∈⊂.即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B .证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 就是度量空间,,,A B C X ⊂,若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密.证明 由定理1、1知B A ⊂,C B ⊂,而B 就是包含B 的最小闭集,所以B B A ⊂⊂,于就是有C A ⊂,即A 在C 中稠密.□注2:利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密. 参考其它资料可知:(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密.(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得:(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂.定义1.3.2 设X 就是度量空间,A X ⊂,如果存在点列{}n x A ⊂,且{}n x 在A 中稠密,则称A 就是可分点集(或称可析点集).当X 本身就是可分点集时,称X 就是可分的度量空间.注3:X 就是可分的度量空间就是指在X 中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间n R 就是可分的.{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集.}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集,显然n Q 就是可数集,下证n Q 在n R 中稠密.对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =,寻找n Q 中的点列{}k r ,其中12(,,,)k k k k n r r r r =,使得()k r x k →→∞.由于有理数在实数中稠密,所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =),存在有理数列()k i i r x k →→∞、于就是得到n Q 中的点列{}k r ,其中12(,,,)k k k k n r r r r =,1,2,.k =现证()k r x k →→∞.0ε∀>,由()k i i r x k →→∞知,i K ∃∈N ,当i k K >时,有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =,当k K >时,对于1,2,,i n =,都有||k i i r x -<因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞,从而知n Q 在n R 中稠密.□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 就是可分的.{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密,而[,]o P a b 就是可列集.}证明 显然[,]o P a b 就是可列集.()[,]x t C a b ∀∈,由Weierstrass 多项式逼近定理知,()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限,即0ε∀>,存在(实系数)多项式()p t ε,使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外,由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈,使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此,00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<,即0()(,)p t O x ε∈,在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点,按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密.□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 就是可分的.证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密,又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密,便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密.□例1.3.4 p 次幂可与的数列空间p l 就是可分的.证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ,显然o E 等价于1n n Q ∞=,可知o E 可数,下面证o E 在p l 中稠密.12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈,有1||p i i x ∞=<+∞∑,因此0ε∀>,N ∃∈N ,当n N >时,1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密,对每个i x (1i N ≤≤),存在i r Q ∈,使得||2p pi i x r Nε-<,(1,2,3,,)i N =于就是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈,则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密.□例1.3.5 设[0,1]X =,则离散度量空间0(,)X d 就是不可分的.证明 假设0(,)X d 就是可分的,则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密.又知X 不就是可列集,所以存在*x X ∈,*{}n x x ∉.取12δ=,则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点,与{}n x 在X 中稠密相矛盾.□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 就是可列集.注意:十进制小数转可转化为二进制数:乘2取整法,即乘以2取整,顺序排列,例如 (0、625)10=(0、101)2 0、625⨯2=1、25取1;0、25⨯2=0、50取0;0、5⨯2=1、00取1. 二进制小数可转化为十进制小数,小数点后第一位为1则加上0、5(即1/2),第二位为1则加上0、25(1/4),第三位为1则加上0、125(1/8)以此类推.即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑,例如 (0、101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=. 因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等,由[0,1]不可数知A 不可列.例1.3.6 有界数列空间l ∞就是不可分的.12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列,对于()i x x =,()i y y =∈l ∞,距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-.证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或,则当,x y A ∈,x y ≠时,有(,)1d x y =.因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示,所以A 与[0,1]一一对应,故A 不可列.假设l ∞可分,即存在一个可列稠密子集0A ,以0A 中每一点为心,以13为半径作开球,所有这样的开球覆盖l ∞,也覆盖A .因0A 可列,而A 不可列,则必有某开球内含有A 的不同的点,设x 与y 就是这样的点,此开球中心为0x ,于就是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾,因此l ∞不可分.□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛.即基本列与收敛列在R 中就是等价的,现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设{}n x 就是度量空间X 中的一个点列,若对任意0ε>,存在N ,当,m n N >时,有(,)m n d x x ε<则称{}n x 就是X 中的一个基本列(或Cauchy 列).定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 就是度量空间,则 (1) 如果点列{}n x 收敛,则{}n x 就是基本列; (2) 如果点列{}n x 就是基本列,则{}n x 有界;(3) 若基本列含有一收敛子列,则该基本列收敛,且收敛到该子列的极限点. 证明 (1) 设{}n x X ⊂,x X ∈,且n x x →.则0ε∀>,N N ∃∈,当n N >时,(,)2n d x x ε<,从而n ,m N >时,(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=.即得{}n x 就是基本列.(2) 设{}n x 为一基本列,则对1ε=,存在N ,当n N >时,有1(,)1N n d x x ε+<=,记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+,那么对任意的,m n ,均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=,即{}n x 有界.(3) 设{}n x 为一基本列,且{}kn x 就是{}n x 的收敛子列,().kn x x k →→∞于就是,10,N ε∀>∃∈N ,当1,m n N >时,(,)2n m d x x ε<;2N ∃∈N ,当2k N >时,(,)2kn d x x ε<.取12max{,}N N N =,则当n N >,k N >时,k n k N ≥>,从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=,故()n x x n →→∞.□注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定就是基本列(Cauchy 列),那么基本列就是收敛列不？ 例 1.3.7 设(0,1)X =,,x y X ∀∈,定义(,)d x y x y =-,那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭就是X 的基本列,却不就是X 的收敛列.证明 对于任意的0ε>,存在N ∈N ,使得1N ε>,那么对于m N a =+及n N b =+,其中,a b ∈N ,有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++ max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++,即得{}n x 就是基本列.显然1lim 01n X n →∞=∉+,故{}n x 不就是X 的收敛列.或者利用1{}{}1n x n =+就是R 上的基本列,可知0ε∀>,N ∃∈N ,当,n m N >时有 1111n m ε-<++.于就是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也就是X 上的基本列.□ 如果一个空间中的基本列都收敛,那么在此空间中不必找出序列的极限,就可以判断它就是否收敛,哪一类度量空间具有此良好性质呢？就是完备的度量空间.定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛,则称X 就是完备的度量空间. 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 就是完备的度量空间.证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛,以及R 的完备性易得.□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 就是完备的度量空间.(距离的定义:[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 就是[,]C a b 中的基本列,即任给0ε>,存在N ,当,m n N >时,(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<,由一致收敛的Cauchy 准则,知存在连续函数()x t ,使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ,即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈、因此[,]C a b 完备.□例 1.3.10 设[0,1]X C =,(),()f t g t X ∈,定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰,那么1(,)X d 不就是完备的度量空间.(注意到例1、3、9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示.显然()[0,1]n f t C ∈,1,2,3,n =.因为1(,)m n d f f 就是下面右图中的三角形面积,所以0ε∀>,1N ε∃>,当,m n N >时,有1111(,)2m n d f f n mε=-<,112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于就是{}n f 就是X 的基本列.下面证{}n f 在X 中不收敛.若存在()f t X ∈,使得1(,)0()n d f f n →→∞.由于1(,)n d f f 10|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt++=+-+-⎰⎰⎰,显然上式右边的三个积分均非负,因此1(,)0n d f f →时,每个积分均趋于零.推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续,故{}n f 在X 中不收敛,即[0,1]C 在距离1d 下不完备.□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可与的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 就是可列的,以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密,可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均就是可分的.前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可与的数列空间p l 也就是可分空间,而有界数列空间l ∞与不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 就是不可分的.从上面的例子及证明可知,n 维欧氏空间n R 就是完备的度量空间,但就是按照欧氏距离(0,1)X =却不就是完备的;连续函数空间[,]C a b 就是完备的度量空间,但就是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下,[0,1]C 却不完备.由于离散度量空间中的任何一个基本列只就是同一个元素的无限重复组成的点列,所以它就是完备的.我们还可以证明p 次幂可与的数列空间p l 就是完备的度量空间,p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥就是完备的度量空间,有界数列空间的完备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理,就就是下述的闭球套定理. 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 就是完备的度量空间,(,)n n n B O x δ=就是一套闭球:12n B B B ⊃⊃⊃⊃.如果球的半径0()n n δ→→∞,那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈.证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列.当m n >时,有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=),可得(,)m n n d x x δ≤. (2、4)0ε∀>,取N ,当n N >时,使得n δε<,于就是当,m n N >时,有(,)m n n d x x δε≤<,所以{}n x 为X 的基本列.(2)x 的存在性.由于(,)X d 就是完备的度量空间,所以存在点x X ∈,使得lim n n x x →∞=.令(2、4)式中的m →∞,可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈,1,2,3,n =,因此1n n x B ∞=∈.(3) x 的唯一性.设还存在y X ∈,满足1n n y B ∞=∈,那么对于任意的n ∈N ,有,n x y B ∈,从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞,于就是x y =.□注4:完备度量空间的另一种刻画:设(,)X d 就是一度量空间,那么X 就是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球:12n B B B ⊃⊃⊃⊃,其中(,)n n n B O x δ=,当半径0()n n δ→→∞,必存在唯一的点1n n x B ∞=∈.大家知道1lim(1)n n e n→∞+=,可见有理数空间就是不完备的,但添加一些点以后得到的实数空间就是完备的,而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于一般的度量空间也就是一样,完备性在许多方面起着重要作用.那么就是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.定义1.3.5 等距映射设(,)X d ,(,)Y ρ就是度量空间,如果存在一一映射:T X Y →,使得12,x x X ∀∈,有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=,则称T 就是X 到Y 上的等距映射,X 与Y 就是等距空间(或等距同构空间).注5:从距离的角度瞧两个等距的度量空间,至多就是两个空间里的属性不同,就是同一空间的两个不同模型.另外度量空间中的元素没有运算,与(,)X d 相关的数学命题,通过等距映射T ,使之在(,)Y ρ中同样成立.因此把等距同构的(,)X d 与(,)Y ρ可不加区别而瞧成同一空间.定义1.3.6 完备化空间设X 就是一度量空间,Y 就是一完备的度量空间,如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y',则称Y 就是X 的一个完备化空间.图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ,必存在一个完备化的度量空间Y ,并且在等距同构意义下Y 就是唯一确定的.例 1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞,定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-,试证(,)R d 不就是完备的空间.证明 取点列{}n x R ⊂,其中n x n =,注意lim arctan 2n n x π→∞=,显然不存在一点x R ∈,使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞.所以点列{}n x 在R 中没有极限.由于lim arctan 2x x π→∞=,即0ε∀>,N ∃,当,m n N >时,有|arctan |22m πε-<,|arctan |22n πε-<,于就是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 就是基本列,却不就是收敛列.□。
13度量空间的可分性与完备性
1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A B，通常称A是B的稠密子集•注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1)A在B中稠密；(2)x B，｛xJ A，使得limd (人，x) 0 ;n(3) B A(其中A AU A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集));(4)任取0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x A覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在定理 1.3.2C中稠密，则A在C中稠密.证明由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以 B B A，于是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass 多项式逼近定理)闭区间［a,b］上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限. ｝(1) 多项式函数集P［a,b］在连续函数空间C［a,b］中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间C［a, b］在有界可测函数集B［a,b］中稠密.(3) 有界可测函数集B［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：⑷连续函数空间C［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).因此有P[a,b] C[a,b] B[a,b] L p[a,b].定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列｛x n｝ A，且｛X n｝在A中稠密,则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集 .例1.3.1 欧氏空间R n 是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成R n 的一个可列稠密子集.｝证明 设Q n ｛( r ,r 2 L ,r n )|n Q,i 1,2,L , n ｝为R n 中的有理数点集，显然Q n 是可数集，下证Q n 在R n 中稠密.d (x,p ) max |x(t) p (t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p b (t) P 0[a,b]，使得d(p , P o ) max | p (t) P o (t) | -a t b2因此，d(x, p o ) d (x, p ) d(p , p o ) ，即 p o (t) O(x,)，在 C[a,b]中任意点 x(t)的任意邻域 内必有F 0[a,b]中的点，按照定义知P o [a,b]在C[a,b]中稠密.口例1.3.3p 次幕可积函数空间 L p [a, b]是可分的.证明 由于F 0[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在L p [a,b]中稠密，便可知可数集F 0[a,b]在L p [a,b]中稠密.口例1.3.4 p 次幕可和的数列空间l p 是可分的.证明 取 E 。
度量空间的完备化
度量空间的完备化度量空间是数学中重要的概念之一，它是一种能够度量元素之间距离的数学结构。
在实际问题中，我们常常需要考虑一些不完备的度量空间，即存在一些收敛序列却不收敛于该空间中的点。
为了解决这一问题，数学家们引入了完备化的概念，通过对不完备度量空间进行扩展，构造出一个完备的度量空间，使得原空间中的收敛序列在完备化空间中也能收敛。
本文将介绍度量空间的完备化的概念、构造方法以及完备化空间的性质。
一、度量空间的完备化概念在介绍度量空间的完备化之前，首先需要了解度量空间的定义。
度量空间是一个集合X和一个从X×X到非负实数集合R上的映射d组成的数学结构，满足以下性质：1. 非负性：对于任意的x, y∈X，有d(x, y) ≥ 0，且等号成立当且仅当x = y；2. 同一性：对于任意的x, y∈X，有d(x, y) = 0当且仅当x = y；3. 对称性：对于任意的x, y∈X，有d(x, y) = d(y, x)；4. 三角不等式：对于任意的x, y, z∈X，有d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
若度量空间X中的每一个Cauchy序列都收敛于X中的某一点，则称X为完备度量空间。
而对于不完备的度量空间，我们可以通过构造一个完备的度量空间来扩展原空间，这个扩展的过程就是度量空间的完备化。
二、度量空间的完备化构造方法对于给定的度量空间X，我们可以通过以下步骤构造其完备化空间： 1. 构造Cauchy序列空间：首先定义一个等价关系∼，对于X中的两个序列{xn}和{yn}，若它们的距离序列{d(xn, yn)}是Cauchy序列，则称{xn}∼{yn}。
将所有与X中元素等价的Cauchy序列构成一个集合，记为X*。
2. 定义等价类之间的距离：对于X*中的两个等价类[x]和[y]，定义它们之间的距离为limn→∞d(xn, yn)，其中{xn}∼[x]，{yn}∼[y]。
3. 完备化空间的构造：以X*中的等价类为点集，以步骤2中定义的距离为度量，构造一个新的度量空间Y，称为X的完备化空间。
度量空间的完备化定理
度量空间的完备化定理度量空间的完备化定理，听起来有点高大上，对吧？这个概念就像是一个人在拼图，拼图中缺少了几块，但我们知道，拼图的完整性是多么重要。
想象一下，你在玩一个拼图，突然发现有一块卡在沙发缝里了。
哎呀，心里那个急啊！完备化定理就是解决这种心急如焚的感觉的。
简单来说，它帮助我们在不完美的度量空间中找到缺失的部分，让我们能够安心地完成整个拼图。
什么是度量空间呢？这就像你有一个漂亮的花园，每一朵花都有自己的位置，彼此之间有一定的距离。
度量空间就帮我们定义了这些距离，比如说，花朵之间的间隔是多大。
可是，有时候这花园并不完整，有些花可能缺席，或者说那些花的位置不够优雅。
完备化的过程就是把这些缺失的花找回来，让整个花园焕然一新。
想象一下，你在一间图书馆里，书架上摆满了书，但你发现有几本书没有归位。
完备化就是把这些书找回来，放在正确的地方，让整个图书馆看起来完美无瑕。
这个过程很像我们生活中的许多事情。
比如说，你在聚会上缺少一个人，大家的热情稍微降低了。
完备化就像是把那个缺席的人找回来，聚会一下子热闹起来。
你可能会问，完备化定理有什么用呢？这玩意儿特别重要！就好比你在学校学的数学，很多时候你会发现自己在解决问题时，有时候会遇到一些“缺陷”的情况。
比如说，有些数是无理数，有些数又是无穷的。
完备化就像是给你提供了一把钥匙，打开了更高层次的数学大门，让你能解决更复杂的问题。
让我们再深入一点，完备化还有个特别的地方，就是它让我们能够用更简单的方式来理解复杂的概念。
就好比你在看一部悬疑电影，最后的揭晓让你恍若大梦初醒。
完备化就是帮助我们把所有的线索串联起来，让我们看到更完整的画面。
这种感觉就像是在黑暗中摸索，突然灯亮了，一切都变得清晰可见。
此外，完备化在实际应用中也有很大的帮助。
比如说，在计算机科学中，我们需要处理的数据常常是不完美的。
通过完备化，我们能够在不完整的数据中找到可靠的信息，像是从一堆垃圾中找到一颗闪闪发光的宝石。
拓扑学中的完备空间与紧性
拓扑学中的完备空间与紧性在拓扑学中，完备空间与紧性是重要的概念。
完备空间指的是对于任意的柯西序列，都存在其极限点在该空间内。
而紧性则是指一个空间的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
本文将介绍完备空间和紧性的定义、性质以及它们在拓扑学中的重要性。
一、完备空间的定义与性质在拓扑学中，给定一个度量空间，如果该度量空间中的任意柯西序列都存在收敛的极限点在该空间内，则该度量空间被称为完备空间。
完备空间的定义可以推广到一般的拓扑空间。
完备空间的一个重要性质是：每个无限紧的度量空间都是完备的。
这个性质说明了紧性与完备性的关系。
二、紧性的定义与性质在拓扑学中，给定一个拓扑空间，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则该拓扑空间被称为紧空间。
紧性是一种比较强的性质，它可以推广到度量空间、赋范空间和一般的拓扑空间。
紧性有很多等价的定义，比如有限交性、有限并性、极限点紧性等，它们都可以用来刻画紧性的特征。
紧性的性质也是拓扑学中的重要内容。
有限交的闭集族是紧集，而有限交的闭集族也一定是紧集。
紧集的闭子集也是紧集。
此外，紧空间的连续映射的像也是紧集。
完备空间与紧性是拓扑学中相关而又不完全相同的两个概念。
然而，它们之间存在一定的联系和关系。
首先，每个紧空间是完备的。
这是因为紧性的定义保证了拓扑空间中的每个柯西序列都存在极限点，因此紧空间一定是完备空间。
其次，对于度量空间而言，完备空间一定是紧空间的充要条件是该度量空间是有限维的。
这个结论被称为完备性定理。
四、完备紧空间的例子在拓扑学中，完备紧空间具有很多重要的应用。
以下是几个完备紧空间的例子：1. 实数集实数集是一个完备紧空间。
这是基本的实分析中的定理，由完备性和紧性的定义可得。
2. 完备度量空间通过适当选择合适的度量函数，我们可以构造出很多完备度量空间。
例如，欧几里德空间中的闭球是完备的。
3. 紧致型空间紧致型空间是一类重要的完备紧空间，它在函数空间、测度论等领域有广泛的应用。
例如，连续函数空间中的柯西序列收敛于连续函数空间。
1-2 完备化
n
Y，令 xn=T-1 n，则
(xn，xm) = 1( n， m)
可知 ={xn}的等价类 X1
lim
n
1
( n， ) lim lim ( xn，xm ) 0
n m
我们证明空间 (X1， 1) 的完备性。 取 (X1， 1) 中的 Cauchy列 { n}，构造它在空 间 (X1， 1) 中的极限。
我们证明空间 Y 和空间 X 等距同构。 定义 X Y 的映射 T，对任意 x X，
Tx=常数列{x，x，x， }的等价类。
显然，T 是满射。并且
n
( x，y )
因此，T 是 X
Y 的等距同构映射。
从而，X 在等距同构意义下在 X1中稠密。
我们证明空间 (X1， 1) 的完备性。 取 (X1， 1) 中的 Cauchy列 { n}，构造它在空 间 (X1， 1) 中的极限。
但是，在新的距离下，映射 T 不再是压缩映射 例如：令 X=C[0，1]， 1(x，y)= 0 x(t ) y (t ) dt 则 (X， 1)不完备。
1
定义：设 (X， ) 和 (X1， 1) 为两个度量空间， 映射 ：X X1满足以下条件：
为满射；
(x，y)= 1( x， y)，
x，y X
则称 (X， ) 和 (X1， 1) 是等距同构的，称映 射 为等距同构映射，简称等距同构。 是单射，从而是双射。
定义：设 (X， ) 是一个度量空间，(X1， 1) 是 包含 (X， ) 的最小的完备度量空间，则称 (X1， 1) 为 (X， ) 的完备化空间。
例： Q 的完备化空间为 R ；
例：在 C[a，b] 的距离下，P[a，b] 的完备化 空间为 C[a，b]； 例： 在 L[a，b] 的距离下，C[a，b]的完备化 空间为 L[a，b]。
在数学及其相关领域中的完备性
在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。
更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。
但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域(algebraically closed field)、紧化(compactification)或哥德尔不完备定理。
一个度量空间或一致空间（uniform space）被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛(converges)，请参看完备空间。
在泛函分析(functional analysis)中, 一个拓扑向量空间(topological vector space)V的子集S 被称为是完全的，如果S的扩张(span)在V中是稠密的(dense)。
如果V是可分拓扑空间(separable topology space)，那么也可以导出V中的任何向量都可以被写成S中元素的（有限或无限的）线性组合。
更特殊地，在希尔伯特空间(Hilbert space))中（或者略一般地，在线性内积空间(inner product space)中），一组标准正交基(orthonormal basis)就是一个完全而且正交的集合。
一个测度空间(measure space)是完全的，如果它的任何零测集(null set)的任何子集都是可测的。
请查看完全测度空间(complete measure)。
在统计学中，一个统计量(statistic)被称为完全的，如果它不允许存在0的无偏估计量(estimator)。
清查看完备统计量(complete statistic)。
在图论(graph theory)中，一个图被称为完全的(complete graph)，如果这个图是无向图，并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。
在范畴论(category theory)，一个范畴C被称为完备的，如果任何一个从小范畴到C的函子(functor)都有极限(limit)。
1.6度量空间的可分性和完备性
1.6.1 度量空间的可分性
定义1.6.1（稠密集） 设 X 是度量空间， A，B含于X，若 A 包含 B，则称 A 在 B
中稠密。
定义1.6.2(可分度量空间) 设 X 是一度量
空间，如果存在一个可数子集 M 在 X 中
稠密 ( M = X )，则称 X 为一个可分的度 量空间，否则为不可分的。
1.6.2 序列的收敛和极限 定义1.6.3(收敛序列) 设 ( xn )是度量空间
X 中的序列，若存在 x ∈ X，使得
lim d ( xn , x ) 0
n
则称序列 ( xn ) 在 X 中收敛，x 为序列 ( xn ) 在 X 中的极限，并记作
lim xn x
n
或者简记作 xn → x
引理1.6.4 设 ( X, d )为度量空间，则
（1）在 X 中收敛的序列是有界的；
（2）在 X 中收敛序列的极限是唯一的；
（3）若在 X 中 xn → x， yn → y，则 d (xn, yn ) → d ( x, y ) .
定义1.6.6（基本柯西序列）
设 ( X, d )为度量空间， ( xn ) 是 X 中的序
ρ ( Tx, Ty ) = d ( x, y )
则称 T 为等距映射。
定义1.6.11（等距空间）
如果存在一个从 X 到 Y 的等距映射 T， 则称 X 与 Y 是等距空间。
1.6.3 度量空间的完备性
定义1.6.8（完备度量空间） 如果度量空间 X 中的每个柯西序列均收 敛于 X 中的点，则称 X 为完备的度量空间。
1.6.5 度量空间的完备化
定义1.6.11（等距映射）设( X, d )和( Y, ρ) 是
第3讲 度量空间的可分性与完备性
− ri
|p
<
εp 2
第 1-3-2页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
∑ ∑ N
d (x0 , x) = ( | xi
i =1
− ri
|p
∞
+ | xii
i = N +1
1
|p ) p
< (ε p 2
+
ε
p
)
1 p
2
=ε
因此 Eo 在 l p 中稠密．□
例 1.3.5 设 X = [0,1] ，则离散度量空间 ( X , d0 ) 是不可分的．
d (x, y) = 1 ．因为 [0,1] 中每一个实数可用二进制表示，所以 A 与 [0,1] 一一对应，故 A 不可列．
假设
l
∞
可分，即存在一个可列稠密子集
A0
，以
A0
中每一点为心，以
1 3
为半径作开球，所
有这样的开球覆盖 l∞ ，也覆盖 A ．因 A0 可列，而 A 不可列，则必有某开球内含有 A 的不同的 点，设 x 与 y 是这样的点，此开球中心为 x0 ，于是
x∈A
覆盖 B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理 1.3.2 稠密集的传递性 设 X 是度量空间，A, B,C ⊂ X ，若 A 在 B 中稠密，B 在 C
中稠密，则 A 在 C 中稠密． 证明 由定理 1.1 知 B ⊂ A ， C ⊂ B ，而 B 是包含 B 的最小闭集，所以 B ⊂ B ⊂ A ，于是
1
=
d ( x,
y)
≤
d ( x,
x0 )
+
度量空间的完备化
W
$ X 与 X 的某个稠密子空间等距同构，则( X , d )与 ( X , d )
X
$ 在等距同构意义下是唯一的，即若 ( X , d )也是一完备的
X = (X ,d)
% % 令 X 为 X 中柯西点列x = { x n }全体，对 X 中任意两个元素， x = { x n }
（1） lim d ( xn , yn ) = 0 n →∞ % % y % y 则称 x 与 % 相等，记为 x = %，或 { x } = { y } 。对 X 中任意两点 x = { x } n n y 及 % = { y }，定义 （2） % y d ( x, % ) = lim d ( xn , yn )
如果我们把两个等距同构的度量空间不加以区别，视为同一，那么定理1可以改 述如下： 定理1’ 设 X = ( X , d ) 是度量空间， 定理 是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间 X = ( X , d ) 的稠密子集。 使 X 为 X 的稠密子集。
′ ′ ′ ′ d ( xn , yn ) − d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , xn ) + d ( yn , yn )
n →∞ n →∞
不等式（3）的证明，可以得到 由 lim d ( x
n →∞ n
′ ′ ′ ′ , xn ) = 0, lim d ( yn , yn ) = 0 ，可知 lim d ( xn , yn ) = lim d ( xn , yn )
% = { y } ，如果 y n
n
n
n →∞ 我们首先指出上式右端极限存在。事实上，由三点不等式
d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , xm ) + d ( xm , ym ) + d ( ym , yn ) ，所以 d ( xn , yn ) − d ( xm , ym ) ≤ d ( xn , xm ) + d ( yn , ym ) 类似也有 d ( xm , ym ) − d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , xm ) + d ( yn , ym ) 由此得到 d ( xm , ym ) − d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , xm ) + d ( yn , ym ) （3) 由于 { xn } 和 { yn } 是 X 中柯西点列，所以{d ( xn , yn )} R1中柯西点列，因此（2） 是
点集拓扑学第8章完备度量空间
第8章完备度量空间(简介)§8.1度量空间的完备化定义8.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间．X中的一个序列,如果对于任意给定的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有,则称序列是一个Cauchy序列．如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然．例8.1.1 实数空间R是一个完备的度量空间．(证略)有理数集Q作为实数空间R的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在R中收敛于无理数的有理数序列在这个子空间中均不收敛．(完备性不可遗传)完备性也不是一个拓扑不变性质．例我们在R中引入一个新的度量d,其定义为:容易验证d确实是R中的一个度量,并且与R的通常度量ρ等价．因此实数集合R在这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚．(即(R,ρ)与(R,d)是同胚空间)．然而(R,ρ)是一个完备度量空间,而(R,d)却不是．因为其中的序列是一个Cauchy序列,然而却不收敛．验证如下:取,则当i,j>N时．(设i<j),有所以, 是个Cauchy序列．但对于任意取定的x,取i=x+p,p>x时是个确定的数．即不论你取定怎样的x,当i比2x大时,x、i的距离总是大于固定的数，这说明是不收敛于x的．定理8.1.1 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间．(闭遗传)引理8.1.2 设(X,ρ)是一个度量空间,．如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则Y的闭包中的每一个Cauchy序列也都在X中收敛．推论8.1.3 设(X,ρ)是一个度量空间．Y是X的一个稠密子集．如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则X是一个完备度量空间．定理8.1.4 n维欧氏空间和Hilbert空间H都是完备度量空间．定义8.1.2 设(X,ρ)和(Y,d)是两个度量空间,f: X→Y．如果对于任意x,y∈X有d(f(x),f(y))=ρ(x,y),则称映射f是一个保距映射,如果存在一个从X到Y的满的保距映射,则称度量空间(X,ρ)与度量空间(Y,d)同距．定义8.1.3 设X是一个度量空间, X*是一个完备度量空间．如果X与X*的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间X*是度量空间X的一个完备化．定理8.1.5 每一个度量空间都有完备化．定理8.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距．§8.2度量空间的完备性与紧致性定义8.2.1 设(X,ρ)是一个度量空间,ε>0是一个实数．X的有限子集A称为一个ε网,如果对于任何x∈X有ρ(x,A)<ε．如果对于任何实数ε>0,X有一个ε网,则称度量空间(X,ρ)是完全有界的．一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的．反之不然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全有界的定理8.2.1 设(X,ρ)是一个度量空间,则(X,ρ)是紧致的当且仅当(X,ρ)是一个完全有界的完备度量空间．。
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度量空间的完备化
度量空间是数学中的一个重要概念，它是指一个集合，其中定义
了一个度量函数，用来衡量集合中元素之间的距离。
在度量空间中，
我们可以讨论收敛性、连续性等概念。
然而，并不是所有的度量空间
都是完备的，即存在一些序列在该空间中无法收敛。
为了解决这个问题，数学家们引入了完备化的概念，通过在原度量空间中添加一些额
外的元素，使得原空间变得完备。
本文将介绍度量空间的完备化的概念、性质以及一些例子。
一、度量空间的完备化的定义
在介绍度量空间的完备化之前，我们先来回顾一下度量空间的定义。
设X是一个非空集合，d是X上的一个度量函数，即对于任意的x, y, z∈X，满足以下条件：
1. 非负性：d(x, y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，d(x, y) = 0；
2. 对称性：d(x, y) = d(y, x)；
3. 三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
那么，我们可以定义度量空间(X, d)为一个有序对，其中X是一
个非空集合，d是X上的一个度量函数。
接下来，我们来定义度量空间的完备化。
设(X, d)是一个度量空间，我们称(X, d)的完备化为一个度量空间(Y, ρ)，满足以下条件：
1. Y是一个集合，且包含X；
2. ρ是Y上的一个度量函数，且对于任意的x, y∈X，有ρ(x, y) = d(x, y)；
3. 对于任意的序列{x_n}⊆X，在度量空间(Y, ρ)中，如果序列{x_n}
收敛，则它的极限也在Y中。
简单来说，度量空间的完备化就是在原度量空间中添加一些额外
的元素，使得原空间中的所有收敛序列在完备化空间中也能收敛。
二、度量空间的完备化的性质
度量空间的完备化具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
1. 完备性：度量空间的完备化是一个完备的度量空间。
也就是说，在完备化空间中，任意的Cauchy序列都是收敛的。
2. 唯一性：度量空间的完备化是唯一的，即对于给定的度量空间，它的完备化是唯一的。
3. 嵌入性：原度量空间可以嵌入到完备化空间中，也就是说，原
度量空间中的每个元素都可以在完备化空间中找到对应的元素。
4. 等距性：原度量空间和完备化空间之间存在一个等距映射，即
原度量空间中的距离与完备化空间中的距离是一致的。
三、度量空间的完备化的例子
1. 实数空间的完备化：实数空间是一个完备的度量空间，因此它
的完备化就是它自身。
2. 有理数空间的完备化：有理数空间是一个不完备的度量空间，
因为存在一些收敛的有理数序列在有理数空间中无法收敛。
有理数空
间的完备化是实数空间。
3. 离散度量空间的完备化：离散度量空间是一个完备的度量空间，因为任意的序列都是收敛的。
离散度量空间的完备化是它自身。
四、总结
度量空间的完备化是为了解决度量空间中存在的不完备性问题而
引入的概念。
它通过在原度量空间中添加一些额外的元素，使得原空
间变得完备。
度量空间的完备化具有完备性、唯一性、嵌入性和等距
性等重要性质。
在实数空间和离散度量空间中，它们的完备化分别是
它们自身。
而有理数空间的完备化是实数空间。
度量空间的完备化在
数学分析、泛函分析等领域中有着广泛的应用。