勾股定理教学中体现的数学思想

勾股定理教学中体现的数学思想

丹阳市华南实验学校 夏青梅

随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。

勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。现举例说明：

一、化归思想

所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。

例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，

AB=4，求BC 的值。

评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。

例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模

型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。

评析：这是一个生活实际问题，

我们可以将它转化归结为一个数学问

题。先在底面ABCD 的直角三角形

ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。

例3、如图所示是一个三块台阶，它的每一

块的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，点

A 和点

B 是这个台阶两个相对的点，A 点有一

只蚂蚁，想到B 点吃可口的食物，则蚂蚁沿着

台阶爬到B 点的最短路程是 dm 。

评析：求几何体表面的最短路程时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转换成平面图形（如右图）,在直角三角

形ACB 中,AC=20dm,BC=15dm,由勾股定理

易求出AB=25dm,即蚂蚁沿着台阶爬到B 点

的最短路程是25dm,问题便迎刃而解了。

二、数形结合的思想

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形有机结合来思考，是抽象思维与形象思维的结合。通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

C

D

A

例4、A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40千米速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域。

( 1) A 城是否受到此次台风的影响？

为什么？

(2) 若A 城受到这次台风的影响，那

么A 城遭受这次台风影响有多长

时间？

评析：本题的情景与人们的日常生活

密切相关，其思维深度具有一定的挑

战性，如何将实际问题转化为数学模型（数形结合），是解决本题的关键。

如图所示构造数学模型，作AP ⊥BF ，在Rt △ABP 中∠ABP=30°，AB=320km ，∴AP=160km ＜200km,即A 城受到这次台风的影响。

设AD=AC=200km ，在Rt △ADP 中，应用勾股定理，得DP=22AP AD - =22160200-=120km

∴A 城遭受风暴影响的时间为

40

1202⨯=6（小时） 三、方程思想 方程思想就是根据问题的条件或结论,列出方程或方程组,通过解方程或方程组从而使问题得到解决.

例5、折叠长方形的一边AD ，点D 落在

BC 边的点F 处，AE 为折痕。已知AB=8cm ，

BC=10cm ，试求EC 的长。

评析：由折叠重合可知△ADE ≌△AFE ，从而AD=AF=10cm ，DE=EF ，在直角△ABF 中，AB=8cm

，由勾股定理容E

F D C B A

E B 北

易求出BF=22BF AF =6cm ，又因为BC=10cm, 易求CF=4cm ，再在直

角△CEF 中，若设CE=x,则EF=DE=8-x,由勾股定理得CE 2+CF 2=EF 2，可构

造方程x 2+16=(8-x)2，只要求出方程的解，则问题便水到渠成。

四、分类讨论思想

分类讨论可以使解答更为严密完整，避免漏解的情况发生，分类时要引导学生按一定的标准，将问题分成既不重复又不遗漏的类别。

例6、已知△ABC 中，AB=20，AC=15，高AD=12，

求（1）BC 的长 （2）求△ABC 的面积

评析：由于三角形的高线的位置随其形状的不同而改变。本题中若△ABC 为锐角三角形，则其高线在三角形的内部；若△ABC 为钝角三角形，则其高线在三角形的外部；若△ABC 为直角三角形，则其高线在三角形边上且与AC 重合，而AC ≠AD ，所以△ABC

不为直角三角形。故而本题只须分两种情

况讨论（如右图）。

五、整体思想：

整体思想就是把考虑的对象作为一个整体看待，进而解决问题的一种数学思想。应用整体思想解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的作用。

例7、已知直角三角形的周长为18，斜边长为8，求直角三角形的面积。 评析：若设两直角边长分别为a,b ，因为a+b=10, 则b=10-a ，由勾股定理得a 2+b 2=64,所以要直接求出a ，b 的值，只要用一元二次方程a 2+(10-a)2=64可解。

但解这个方程较繁，而由S=2

1ab 联想到可运用整体思想：将ab 视为一个整体，∵（a+b ）2= a 2+b 2+2ab ，∴2ab=（a+b ）2-( a 2+b 2)=100-64=36,

D C B A D B A