勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
浅谈数学思想在勾股定理教学中的运用
一
１ ６ ｘ ＝４ ８， ‘ ＝３ ．
利用方程 和勾股定 理相结合 的方式 ， 就很 顺利 地求 出了肼韵 长度。这样 的解题思路不仅是初 中数 学教学 中最常见 的一种解题思路 ，而且还是初 中中 考 中必然会出现的一种解题方法。在面对这类题的 时候可 以先找到一个直角三角形 ，然后找 出折叠前 后相等 的量 ， 利用 已知条件和未知条件 ， 求 出三个边 然后利用勾股定理列 出相对应的方程并且求 出所应 得 的答 案 。
和１ ． ６ 米 进 行 比较 。
‘
从图 １ 中可 以先 求 出 底 部矩 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中直 角 ＡＡＢ Ｄ， 利用勾股定理就可以求 出Ｂ Ｄ的长度。
Ｄ Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
Ｄ，
（ ２ ）
图３
。
图 １
解： ・ ． ＂ Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｄ ＝ １ ， 根据勾股定理如果 直角 三角形 的两直角边长分别 为。 ， ｂ ， 斜边长为ｃ ， 那么ａ ２ ＋ ｂ ： ＝ ｃ ， 求 出Ｂ Ｄ ＝ 、 ／ 。 在 直 角 ＡＤ Ｄ＇ Ｂ中 Ｂ Ｄ ＝ 、 ／ ， Ｄ Ｄ 、 ＝ １
０
技 法 点 拨
数 学 思 想 在 勾 股 定 理 教 学 中 的
■ 徐
在初中数学 当中， 勾股定理是非常重要的 ， 在以 后 的高中学习过程 中也会经常性地应用到数学解题 过程 中。但是如果在初中没能掌握好勾股定理 的概 念和应用 ，那 么对学生以后 的学习和发展都是没有 定意义的。所 以说 ， 在初 中数学教学过程中 ， 一定 要让学生掌握好勾股定理的概念 以及应用 ，从而使 学生能够更好地学习。本文将数学思想和勾股定理 的应 用 结 合在 一 起 ，希 望 能够 更 好 地 帮 助学 生 学 习 勾股定理。
勾股定理中蕴含的数学思想
勾股定理中蕴含的数学思想河北张家口市第十九中学 贺峰数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。
在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析：一、 特殊到一般的思想例1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。
析解：观察图象，第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为2、4、8、16，由此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长为2n 。
说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。
二、 分类思想例2 如果三条线段的长分别为6cm 、xcm 、10cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x ＝_______。
析解：本题分两种情况解答（1）当以6cm 、xcm 为直角边，10cm 为斜边时，102＝62＋x 2，x ＝±8（舍负）（2）当6cm 、10cm 均为直角边时，62＋102＝x 2，x ＝±234（舍负）因此，x 为4或34。
说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。
三、 整体思想例3 如图2，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中斜边AB ＝2，求这个三角形的面积。
析解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 BC 2＋AC 2＝22 即(BC ＋AC )2－2BC ²AC ＝4 又由已知得BC ＋AC ＝ 6 所以(6)2－2 BC ²AC ＝4解得BC ²AC ＝1所以S ＝12BC ²AC ＝12说明：若要直接求出BC 与AC 的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由S ＝12BC ²AC B C A 图2 图1联想到运用整体思想（将BC ²AC 视为一个整体），问题便可顺利获解。
从毕达哥拉斯定理（勾股定理）感受数学思维
从毕达哥拉斯定理（勾股定理）感受数学思维每个初中生都学过勾股定理：直角三角形中，两直边长度的平方和等于斜边长度的平方。
这个定理在西方叫做毕达哥拉斯定理。
觉得它平淡无奇吗？然而，毕达哥拉斯定理是整个数学中最重要的定理之一。
毕达哥拉斯定理的发现是数学史乃至人类思想史上最重大的事件之一，其影响极为深远。
这个定理最广为人知的例子是：三边长度之比为3：4：5的三角形构成直角三角形。
古埃及人在丈量土地的过程中很早就知道了这一点。
这是故事发展的第1阶段。
现在假设我们没在学校学过勾股定理，假设有一天我们从别人那里知道了：三边长度为3、4、5米的三角形构成直角三角形。
然后呢？是的，这很有意思：第一，3，4，5，是不大的整数，第二，它们还是挨着的三个整数。
但是，其它三个挨着的整数并不能构成直角三角形，所以这不过是一个有趣得巧合罢了。
有趣，但并没更深的含义。
用不着再花时间思考它。
但是，毕达哥拉斯听到埃及人的这一发现后，被深深地触动了。
3，4，5，是线段的长度；直角，是特定大小的角度。
它们之间也许存在着内在的、隐秘的联系，而不仅仅是一个偶然的现象。
3，4，5，这三个数，除了是紧挨着的三个数之外，还有什么关系呢？毕达哥拉斯发现，3与3相乘得到9，4与4相乘得到16，5与5相乘得到25――正好是9与16之和！这是故事发展的第2阶段。
这会不会是偶然呢？别的三个整数，如果其中两个的平方和等于第三个的平方，是不是也构成直角三角形？快去找其它的数！试过很多数以后，发现：5，12，13，也是这样的一组数，25+144=169！用它们做成一个三角形，果然得到一个直角三角形！再找！哦，8，15，17也是这样的一组数，7，24，25也是这样的一组数，而用它们做出的三角形，确实都是直角三角形。
大家可以想象到，找出这些数，需要进行很多次计算，因为没有什么公式可以用，只能一个一个地试。
（后来，有人得出了产生“勾股数”的公式，可以找出直角三角形边长的全部整数解。
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法东莞东华初级中学 陈佩弟《全日制义务教育数学课程标准》指出:“通过数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法.”数学思想方法是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁.因此,在数学教学活动中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,为学生的持续学习和发展作好奠基.勾股定理是平面几何有关度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考点之一,其中蕴涵着多种数学思想,现小结如下:一.勾股定理与数形结合思想所谓数形结合思想,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.例1:(课本P76习题18.2 T5)△ABC 中,AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线AD=12cm.求AC 思考与分析:解答本题一定要先根据题意画出相应的图形,求出BD=CD=5cm ，再将题目所给的数据标在图上,得到如图,因此很容易就想到本题的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理说明∠ADB=90°,从而∠ADC=90°,再用勾股定理即可求得AC解: ∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD=21BC=21×10=5cm （由形到数） ∵169144251252222=+=+=+AD BD1691322==AB∴222AB AD BD =+∴△ADB 为直角三角形,且∠ADB=90°（由数到形）∴∠ADC=180°-∠ADB=90°∴△ADC 为直角三角形 （由数到形） ∴131695122222==+=+=CD AD AC cm （由形到数）B C D 13 12 5 5反思:此题综合运用了勾股定理及逆定理,充分体现了由形到数,再由数到形的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.二.勾股定理与分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中,当条件或结论不确定或不唯一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.例2:(课本P76习题18.2 T3)小明向东走80m 后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 回到原地.小明向东走80m 后又向哪个方向走的?思考与分析:观察数据80、60、100,根据勾股定理的逆定理可以判断出小明所走的路线形成了一个直角三角形,即小明向东走的80m 是一直角边,转了90°角后走的60m 是另一直角边,最后走的100m 是斜边.因此得到本题的关键是弄清楚转的90°是往哪个方向转的.情况不确定,故须分类讨论:如果往右转90°,则向南走;如果往左转90°,则向北走.从而得到答案是向南或北走.本题若利用数形结合的思想,根据题意画出如图,思考起来会更直观.教师在讲解本题时也可以先让学生做课本P76练习 T3:A 、B 、C 三地的两两距离如图所示,A 地在B 地的正东方向,C 地在B 地的什么方向?这样设计的目的是让学生经历由易到难的过程,通过类比学习,明白这两题的本质是:一题是明确给出图形,情况唯一;另一题没有给图,情况不唯一,须 分类讨论.还有一道常考题:直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边长为 ,学生审题不清,或容易受到定势思维的影响而漏掉一种情况.教师也可以让学生先做:直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边长为 .对比学习,学生印象更深刻反思:当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图,避免遗漏情况;另在直角三角形中,已知两边长但不明确是直角边还是斜边时,应分类讨论.A B C 12km13km5km北 南南 北三.勾股定理与方程思想方程思想就是指在解决数学问题时,从分析问题的数量关系入手,通过设未知数,把问题中的已知量与未知量之间的数量关系联系起来,从而建立方程或方程组的数学模型,然后求解方程或方程组使问题得以解决.用方程思想分析、处理问题,思路清晰,解题灵活、简便.例3:(课本P81复习题18 T7)一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、尺是长度单位,1丈=10尺.）思考与分析:本题若想直接在Rt △ABC 中运用勾股定理求AB 是行不通的,因为只知道一条边BC 的长,AC 的长不知道,但AC 与AB 有关系AC+AB=10,因此可设AB 为x 尺,则AC 为（10-x ）尺,利用勾股定理可列出方程()222103x x -=+,解得x=4.55反思:勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程,所以,在利用勾股定理求线段的长时常常利用列方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,当无法已知两个量求第三个量时,应采用间接求法,灵活地寻找题中的数量关系,利用勾股定理列方程.四.勾股定理与转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题,将特殊的问题转化为一般的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将综合的问题转化为基本的问题等一种解题的手段.如解方程（组）问题中,高次转化为一次,多元转化为一元;在几何问题中,将多边形转化为三角形,将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4:(课本P81复习题18 T8)已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米?（结果保留小数点后1位）思考与分析:我们知道蚂蚁在圆柱表面爬行的路线是一条曲线,目前学生还无法用所学的知识求曲线的长,另外,在一个曲面上,最短的路线怎样走更是无从知道.但我们知道在平面几何中有一个结论“两点之间,线段最短”,因此我们可以借助平面展开的方法,把圆柱的侧面展开成一个矩形如图,AB 即为所求.通过分析可知AC 对应圆柱的高10cm,BC 是底面圆的周长的一半即为π6,根据勾股定理得 ()m AB 3.2136100610222≈+=+=ππ 反思:在立体图形的表面讨论最短距离,应先将立体图形转化为平面图形,再利用“两点3尺 Ax10-x B A ●C之间,线段最短”及勾股定理求解.本题还可以拓广到在正方体、圆锥、长方体中求最短距离.还应明确的是圆柱、正方体、圆锥的展开方式只有一种,而长方体的展开方式不只一种,须分类讨论,再通过比较得出最后的答案.五.勾股定理与整体思想 整体思想是指对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目.例5.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,求4321S S S S +++思考与分析:本题不可能具体求出1S 、2S 、3S 、4S 的值,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出21S S +、32S S +、43S S +解:易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE∴ AB = CD∵222CE DE CD =+∴222CE DE AB =+∵32S AB =,42S DE =,32=CE ∴343=+S S同理可得121=+S S∴4314321=+=+++S S S S反思:化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,不仅会使问题化繁为简、化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力.六.勾股定理与类比思想类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想得到结论.例6.（1）如图①,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请说明132S S S =+（2）如图②,分别以Rt △ABC 的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,132S S S =+仍然成立吗?请说明理由.（3）如图③,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明.古人云: “授人以鱼,不如授人以渔.”数学教师不仅要教会学生解题,更重要的是让学生学会解题的方法,让学生具备独立分析和解决问题的能力,从而达到举一反三的目的,这是二十一世纪现代素质教育的要求.因此,在数学课堂教学中,需要我们教师有意识的将这些数学思想方法加以点拨并渗透,这对学生来说是终生受益的.。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
数学思想在勾股定理中的运用
由题 意 可 得 Ｒ ＡＡＢ ｔ Ｃ，
使 ＡＣ ＝ ０ ， ＝ ， Ｃ ａ 由 ６ Ｂ ９ 。 Ｃ ｂ Ｂ ＝ ， Ａ
Ｘ— －— ｂ ．Ｍ ＝ 、丽 ／ １ａ２ ２ Ｄ （ ） ＋ ／
、 （－ ） ／ １６ ．
＝
的最短路程（ 精确到Ｑ １ ｍ） ０ ． ｃ
Ｃ Ｂ
Ｃ
毋：， Ｃ Ｌ Ｂ于 点Ｄ， ： 作 Ｄ＿Ａ ｃ 因为Ｃ Ｄ上
由 三 角 形 三 边 关 系得 Ａ Ｃ Ｍ＋ Ｍ＞
ＡＣ， Ｍ＋ Ｄ＞ Ｄ，所 ￣ＡＭ＋ Ｍ＋ Ｍ＋ Ｂ Ｍ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ
Ａ ，／Ａ Ｂ－ ０ Ｂ ＿ Ｃ － 。， 所 以 ／ Ｄ ９ ＿ Ｃ＝ Ａ
ＡＡＣ ９ 。 ． Ｂ＝ ０ ．又 因 为 日 曰． 所 以 ＝
将未知的 、 陌生的 、 复杂的问题
通 过演绎 、 归纳转化 为已知的 、 熟悉
方程（ ） ， 组 模型 从而使 问题得到解决
的思 维方 法．
的、 简单的问题， 这就是转化思想．
翻 （当 为 角 的 １ ｍ 直 边 ）４
长 时 ， 三边 的 长 为、 第 厕
２ ０ ／ ４ ２１ ０ ２２
翻 Ｒ
Ｂ ＝ ， 勾股 定理 得 ｌ （ ） ， Ｆ Ｉｍ 由 ｃ ２５ ＋ 解得 ２ ， 以Ｄ ．ｅＬ ＝ ６所 Ｅ ２ ｒ ６ Ｉ
簟 这 华 师 版 中 黧 是东大初二
年 级 （＼ ／ 年级 ）上 ） ０ ０ －月 第八 （ （ １ｆ７ ２
次 印 ）５ 练 习中的第２ Ｐ１ 题．本题 只知
ＭＤ ４ ＝ｘ ＝、 ２ ／２
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．所 以
蔫 蚂 实上在 柱 蚁 际是 圆的
半 个侧 面 内爬行 。 果将 这半 个侧 面 如 展开． 可得 到 矩 形ＡＢ Ｄ， 据 “ 点 Ｃ 根 两
勾股定理应用中的数学思想
勾股定理应用中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，揭示了直角三角形的一个重要的三边关系．在勾股定理的探索和应用过程中，蕴含着丰富的数学思想．下面试举几例：一、方程思想方程思想是初中数学中一种常用的数学思想，它通过设未知量、寻找相等关系建立方程模型，运用方程的有关知识沟通“已知”和“未知”之间关系的思想，即方程思想．例1、如图1，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC 边上的高AD ．分析：本题的图形是由一条公共边AD 的两个直角三角形（Rt △ABD 和Rt △ACD ）组成的图形，我们一般称为复合三角形．求解复合三角形的基本思路是抓住公共边，利用公共边相等来建立方程．解析：设DC=x ，则BD=14- x ．根据勾股定理得 AD 2=152-（14- x ）2， AD 2=132- x 2∴152-（14- x ）2=132- x2225-（196-28x + x 2）=169- x 2225-196+28x -x 2=169- x 228x=169-225+196 28x=365-225 28x=140 x=5在Rt △ACD 中 AD 2= AC 2-CD 2=132-52= 144 ∴ AD=12 二、数形结合思想数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例1．如图2有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC•沿直DABC图1线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．解析：本题关键在于观察图形，明确折叠前、后的两个图形是全等的，特别要注意△DEB 仍是直角三角形．通过Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8 利用勾股定理可求出 AB=10．由题意知△ACD ≌△AED ⇒∠AED=∠C=90°⇒∠DEB=90°，且DE=CD ，AC=AE=6，设CD=x ，则DE=x ，而EB=10-6=4，抓住Rt △DEB 的三边关系，利用勾股定理就可以求出．在Rt △DEB 中，BD 2=DE 2+BE 2（8-x ）2=x 2+42， 64-16x+x 2=x 2+16， 16x=48， 解得x=3（cm ）． 即CD 的长是3 cm. 三、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．例3.在一个直角三角形中，已知有两条边的长分别为3和4，求以第三条边为边长的正方形的面积．解析：此题中并没有说明第三条边是直角边还是斜边，所以需要分类讨论，设第三条边的长为x ．（1）当x 为斜边时，根据勾股定理得x 2=32+42=52=25，所以第三条边为边长的正方形的面积是25．（2）当x 为直角边时，根据勾股定理得x 2=42-32=16-9=7，所以第三条边为边长的正方形的面积是7．因此，以第三条边为边长的正方形的面积是25或7. 四、转化思想转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．数学的解题过程，就是图3AMG C DEH FB从“未知”向“已知”、从“复杂”到“简单”的化归转换过程．在本章中，求长方体、圆柱等立体图形表面的最短距离时，通常都是把其侧面展开成平面图形，然后根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求解．例4. 如图3是一个长8 m、宽6m、高5m的长方体形仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，请你帮壁虎设计爬到蚊子处的最短路线，并说明理由．解析：解决立体图形中最短距离问题的关键是把利用转化思想，把陌生的立体图形转化到熟悉的平面图形，再利用“两点之间，线段最短”求解，壁虎要从A点爬到B点，有两条路线可走：（1）如图a，经过CDEF面后进入CFGH面到达B点．在Rt△ABE中，BE=4+5=9m，AE=6m，根据勾股定理得AB2=AE2+BE2=62+92=117 .(2)如图b，经过CDEF面后进入EFGM面，在Rt△ABN中，EN=FB=4m，AN=AE+EN=6+4=10m， BN=FE=5m，所以AB2=AN2+BN2=102+52=125. 显然125＞117,所以壁虎趴到蚊子处的最短路线是沿着图a中的线段AB．图aHCD EFGAB图bG CDFAB。
勾股定理的数学思想
勾股定理中的数学思想 《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。
在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
下面举例说明。
1. 整体思想例1 如图1，已知Rt △ABC 的周长为62+，其中斜边2=AB ，求这个三角形的面积。
图1分析：若要直接求出a 与b 的值，要用二次方程求解较繁。
但由ab S 21=联想到运用整体思想（将ab 视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得2222=+b a 即42)(2=-+ab b a 又由已知得6=+b a所以42)6(2=-ab解得1=ab所以2121==ab S 2. 转换思想例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且40'20==BC AB ，。
根据勾股定理，得 22''BC AB AC +=)(7.44402022cm ≈+= 壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想例3 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。
试求BC 的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC 的长可以从以下两方面考虑：（1）如图4，当BC 边上的高线在△ABC 内部时，由勾股定理，得图4912152222=-=-=AD AB BD1612202222=-=-=AD AC CD所以25169=+=+=CD BD BC（2）如图5，当BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得图5169==CD BD ，此时7916=-=-=BD CD BC综上所述，BC 的长为25或7。
勾股定理中隐含的数学思想
．
■
图 １
一
对数学 问题进行 分情况讨 论求解 ，可使解 题准确 ，从而 避
例 ４ 下面是数学课堂的一个学 习片断 ，阅读后 ，请 回答 下
免产生漏解现象出现．
面 的问 题 ．
学 习勾 股定理有 关 内容后 ，张老 师请 同学们交 流讨 论这 样
解 析 ：由题 意可 知 ＋ｂ ＝１ ，（ 一ｂ ｚ ： ３ ０ ）＝１
一
、
课 堂提 问 表 象
思 维起源于 问题 ，没有 问题 就没有思维 ． 数学课堂 中每天都 的研究 调查和实 际操作策 略等方 面的研究较 少 ，已有 的成果被
在 思考问题 ，解决 问题 ，但 这些问题 中的含金量 有多少 呢？有 引入 到具体 的数 学教学 实践时 ，在操作 中就 难免会 出现许 多误 下 效 性多大 呢？结合 笔者听课 经历 ，发 现一部分 教师根 据数学 内 区． 面就课 堂教学 提问中存在 的误 区进行分析与探究． 容设计 问题的意识 比较差 ，有效 提问很少 ． 这种现状直 接导致课 堂 教学 效率低下 ，急需 改观．
陈 同金 （ 西省赣 州 中学） 江
摘 要 ：数学 思想方法对 于打好 “ 双基 ”和加 深对知识 的理
根据完全平方公式 （ —ｂ ２ ａ ｎ ）＝ａ —２ｂ＋ｂ 可得 １ ３—２ｂ＝１ ａ ，
所 以 ２６＝１． ｎ ２ 所 以 （ ＋ｂ ２ ａ ０ ）＝ａ ＋２ｂ＋ｂ ＝１ ３＋１ ２＝２ ． ５
想 ，构造直角三角形 ，再利用勾股定 理求解．任何一个数学 问题
二 、 整体 思 想
对 于数 学问题 ，从 大处着 眼 ，从整 体人手 ，可使 问题 变难 都 是通过数或形 的逐步 转化 ，化 归为一个 比较熟悉 、比较容易
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理是数学中最著名的定理之一，它指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等
于斜边的平方。
勾股定理的教学不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维能力。
首先，勾股定理教学中体现的数学思想是抽象思维。
在教学中，教师要求学生把三角形的
三条边看作是一个抽象的概念，而不是具体的物体，这样学生就可以把它们看作是一个数
学模型，从而更好地理解勾股定理。
其次，勾股定理教学中体现的数学思想是归纳思维。
在教学中，教师要求学生从实际出发，从实际的三角形中抽象出一般的三角形，从而归纳出勾股定理。
最后，勾股定理教学中体现的数学思想是推理思维。
在教学中，教师要求学生从勾股定理
出发，推理出其他的数学定理，如勾股定理的变形，勾股定理的应用等，从而更好地理解
勾股定理。
总之，勾股定理教学中体现的数学思想是抽象思维、归纳思维和推理思维，它们是数学思维能力的基础，也是数学学习的基础。
只有掌握了这些数学思想，学生才能更好地理解勾股定理，并运用它来解决实际问题。
浅谈勾股定理教学中数学思想的体现
５ ２
投 由暂ｓｋ ｖ ３ｏ …………………… 数学藏学通讯（ 稿 ６ ：ｊ ｉ ６．ｒ ｊ ｘ ＠ ｐ ｃｎ １ 教师版 ）…………一 …… … 一 ……－ 题 究＞ 题 究 一 研 试 探 试
立 体 图形 转 换 成 平 面 图形 （ 图４ ， 如 ） 在 Ｒ ＡＡ Ｂ中， Ｃ ２ ｍ，Ｃ １ ｍ， 勾 ｔ Ｃ Ａ ＝０ ｄ Ｂ ＝５ ｄ 由
试 研 试题 究 ………… ………… …… 数学教举通讯（ 题 究， 探 － 教黼
）
投 邮 ｓｋ ｖ。３ｏ 稿 箱：ｊ ｉ ． ｒ ｘ ＠ ｐ ６ｃｎ １
浅
邓 可伟
江苏 江宁桃红 中学
一 个 最 基 数 学 思 想 理 解 和 记 体 现 豫 的 数
２ １５ １１１
最 能 更
直 观 的 图 形 有 机 结 合 来 思 考 ． 抽 象 思 是 维 与 形 象 思 维 的结 合 ．通 过 “ 以形 助 数 ” 或 “ 数解 形” 可使复 杂 问题简 单化 ， 以 ，
倒 ５ 折叠长方 形的一边Ａ Ｄ．点Ｄ
‘ ， ．
３ｄ ｍ
。
２ｄ ｍ
Ｅ
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Ｂ
Ｄ
Ｂ ห้องสมุดไป่ตู้
图１
图２
评 析 ： Ｂ ￣ 斜 三 角形 。 用 化 归 ＡＡ Ｃ ］ 利
思 想 可 化 斜 三 角 形 为 直 角三 角 形 ． 转化
评 析 ： 这是 一 个 生 活 实 际 问 题 ， 我
们 可 以将 它转 化 为 一 个 数 学 问题．先 在 底 面Ａ Ｄ的Ｒ ＡＡ Ｄ中利 用 勾 股 定 理 Ｃ ｔ Ｂ
的知识将 飞机模型完 整地带 上了飞机 ．
倒 １ 已 知 ＡＡ Ｃ中 ， Ｂ＝ ０ Ｂ ６ 。，
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=； 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b c 222+=，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考． 一、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想． 例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-22222230)5()5(20x y x y只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值．②-①得10（x+y ）=500∴x+y=50故标杆的高为50cm评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．二、方程思想例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；图1出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题．析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为x 尺，根据勾股定理，可得2222(0.5)x x +=+，所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺． 三、转化思想例4．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ⨯=．在Rt ACB △中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，因此彩带的长为 2.9m AB =．（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．∵EF 为木柱的17，∴2m 7EF =. 又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222DE DF EF =+， ∴29m 70DE =，因此，彩带的长为7 2.9m DE ⨯=． 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．四、分类讨论思想例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．A .)323(+厘米B .97厘米C .85 厘米D .9厘米分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得222310AB +==109． 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得22267AB +==85．分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得22294AB +==97． 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以85=AB 厘米．故选C ．五、整体思想例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC =分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b ，则S △ABC 即可求出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S △ABC =ab 21，那么只要求出ab 这一整体就可以了．解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196， 所以ab=()219622b a +- 根据勾股定理，a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48 因此S △ABC =ab 21=48例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在Rt FAC △中，22222135194F C A F A C =+=+=，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成） 评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
《勾股定理》中的数学思想
庭雹） ） ０国 学圆阁
浙江 杨 燕
角 三 角形 的 两 直 角 边 长 分 别 为 ａ， 。 边 长 为 ｃ ｂ斜 ，
形 的 三 边 长 ａ， ｃ满 足 ｎ ＋ ６ ｂ， 一 ｃ 。那 么这 个 三
角三 角形 三边 关 系 的重要 性质 ； 的逆 定理 则 是 它 从 三 角形 三边关 系 判定 三 角形是 否是 直 角三 角形 的一 个 方法 ． 学 习《 勾股 定 理 》 一章 ， 了掌 握 上 述 两个 定 理 之 外 ， 应 了 解 ： 这 除 还 这 … 章 中蕴含着 哪 些重 要的 数学 思 想方 法 ？ 主 要 的数学 思 想方 法 ， 至 包括 以下 两 点 ：
—
积 一 Ｅ３・ Ｈ ・ ｉＬ ＥＤ 如 果 ＥｏＨ 一 ３ 。 则 Ａ Ｃ 的面 积 一 ｌ Ｆ ｓ ｎ ｌＨ． ０， Ｂ Ｄ
告磁 ・ Ｈ， Ｆ 这说明， 当时农民承租土地时是受到极大损失的． ”
余育 以上 ３条 性质是 所 有 四边形 都 具有 的 ， 学 习四边 形的 过 程 在
中应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ好 好掌握 它们．
考
例 １ （ Ｏ ５年 江西 省 中考题 ）如 图 １ 正 ２Ｏ ，
方形 网格 中， 个 小 正方 形 的边 长 为 １则 网榕 上 的 每 ，
＼
ｊ
三角形 ＡＢＣ 中， 长 为无理 数 的边 数是 （ 边
（ Ａ） ０
（ Ｃ） ２
） ．
＼、
１ ， ／
（ Ｂ） ｌ
（ Ｄ） ３
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分析
本 题 由网格 中直 角三 角 形 求 ＡＢ，
图 ｌ
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法作者：祁静来源：《初中生世界·八年级》2014年第12期勾股定理是数学中几个重要定理之一，其中蕴含了多种数学思想方法，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，而熟练地运用这些思想则可提高独立分析问题、解决问题的能力.现将常见的数学思想列举如下.一、方程思想方程思想是初中数学中的一种基本的数学思想方法.在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要应用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.【点评】勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程，所以在利用勾股定理求线段的长时常常利用解方程来解决. 勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段的长时需要明确的思路.二、数形结合思想所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而达到迅速解决问题的目的.例2 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20 m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，距离以直线计算，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？【分析】根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.解：如图2所示，【点评】在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免遗漏.四、转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题，将繁杂转化为简单，将综合转化为基本的一种解题手段.如在几何题中，将多边形转化为三角形，将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4 已知长方体的长BC=2 cm，宽AC=1 cm，高AA′=4 cm. 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【分析】在长方体上爬行，从A点爬到B′点至少需要经过两个面，因此蚂蚁爬行路线是曲线或折线，不易计算其长度，将长方体沿棱打开，则从A点爬到B′点的距离是线段AB′的长度.解：根据题意，如图6所示，最短路径有以下三种情况：答：最短路径为（1）所示的5 cm.【点评】在立体图形的表面讨论最短距离，求解的基本步骤是：（1）将立体图形转化为平面图形，长方形通常有几种不同的展开方式，而正方体、圆柱、圆锥通常只有一种；（2）连接两点，利用“两点之间线段最短”，求得两点之间线段长度，通过比较，得出答案.（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）。
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透
１ ｋ ｍ 在公路上的费用为 ５ 忌 ， 考虑 选址 在 Ｄ 时 ， 总 物 流 费用 为 Ｙ一 ３ ｋ Ｂ Ｄ１ ＋５ ｋ Ｄ１ Ｃ一 （ ３ Ｂ Ｄ１ ＋５ Ｄ１ Ｃ） 忌 ， 而
解： 如 图 １所 示 ， 建 立平 面直角 坐标 系， 设 动 点 Ｐ（ ｘ， ） ， 且点 Ｐ到 两定 点 Ａ、 Ｃ的距 离 比值 为 ３：５ ， 所
长．
Ｃ
要爆破 ， 已知 点 Ｃ与 公路 上 的停 靠 站 Ａ 的距 离 为 ３ ０ ０米 ， 与公 路 上 的 另一 停靠 站 Ｂ 的距 离 为 ４ ０ ０米 ， 且 Ｃ Ａ上Ｃ Ｂ， 如 图 ２所 示． 为 了安 全 起
图２
解： 设Ｃ Ｅ： ｃ ｍ， 。 ． ‘ ＡＣ 一４ ｃ ｍ，
图 １
经整理化简 得动 点 Ｐ（ ｚ ， ） 的轨迹 方 程 ： ２ ｘ ２ ＋２ ｙ 。 ＋４ ５ 一４ ５ ０ —０ ， 令 一 ０ ， 得 ｚ４ － ５ （ 舍 正值 ） ， 即 得 点 Ｄ（ 一１ ５ ， ０ ） ， 则 Ｄ Ａ一１ ｌ ５ ， Ｄ Ｃ ＝２ ５ ． 所 以点 Ｄ位于线段 ＡＢ上距离 Ａ 点 １ ５ ｋ ｍ处．
１ ９
Ｅ ． 啪 ｉ ｌ ： ｚ ｘ ｃ ｋ ｌ ｋ ＠１ ６ ３ ・ ｃ 。 Ｉ ｛ ｌ
数学 ・ 教 学经 纬
分析 ： 如图３ ， 本 题关 键 是要 求 对此要分三种情况 ： 、
点 ｃ到直线 Ａ Ｂ 的距离 Ｃ Ｄ， 等积思 想就是求 Ｃ Ｄ 的思维方法． 解： 如图 ３ ， 作 Ｃ Ｄ Ｊ ＿ ＡＢ， 垂足 为 点 Ｄ， 在 Ｒ ｔ △Ａ Ｂ Ｃ中 ， ＡＣ ＝３ ０ ０ ， Ｂ Ｃ
（ Ｅ ｌ Ｄ １ ＋Ｄ Ｃ ） ５ 足 ≥（ Ｃ Ｄ＋Ｄ Ｅ） ５ ｋ 一５ ｋ Ｃ Ｅ， 当且 仅 当点
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透作者：曾祥华来源：《中学教学参考·理科版》2014年第01期数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导.勾股定理是数学中的一个重要定理，因此在教学过程中要注意渗透以下五种思想，从而提高学生的解题能力.一、方程思想方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.【例1】如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.解：设CE=xcm，∵AC=4cm，∴AE=AC-CE=（4-x）cm，通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.四、化归思想化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.【例4】如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）.连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得BE2+BF2=EF2.∵∠DCE=45°，∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，∴△CDE≌△CFE，∴DE=EF，∴DE2=AD2+BE2.勾股定理这章蕴含了多种数学思想，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学教学的灵魂.因此，教师在勾股定理教学中要注意数学思想的渗透，让学生掌握这些基本的数学思想方法，从而提高他们的解题能力.。
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勾股定理教学中体现的数学思想
丹阳市华南实验学校 夏青梅
随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：
一、化归思想
所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，
AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模
型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，
我们可以将它转化归结为一个数学问
题。
先在底面ABCD 的直角三角形
ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
例3、如图所示是一个三块台阶，它的每一
块的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，点
A 和点
B 是这个台阶两个相对的点，A 点有一
只蚂蚁，想到B 点吃可口的食物，则蚂蚁沿着
台阶爬到B 点的最短路程是 dm 。
评析：求几何体表面的最短路程时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转换成平面图形（如右图）,在直角三角
形ACB 中,AC=20dm,BC=15dm,由勾股定理
易求出AB=25dm,即蚂蚁沿着台阶爬到B 点
的最短路程是25dm,问题便迎刃而解了。
二、数形结合的思想
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形有机结合来思考，是抽象思维与形象思维的结合。
通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
C
D
A
例4、A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40千米速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域。
( 1) A 城是否受到此次台风的影响？
为什么？
(2) 若A 城受到这次台风的影响，那
么A 城遭受这次台风影响有多长
时间？
评析：本题的情景与人们的日常生活
密切相关，其思维深度具有一定的挑
战性，如何将实际问题转化为数学模型（数形结合），是解决本题的关键。
如图所示构造数学模型，作AP ⊥BF ，在Rt △ABP 中∠ABP=30°，AB=320km ，∴AP=160km ＜200km,即A 城受到这次台风的影响。
设AD=AC=200km ，在Rt △ADP 中，应用勾股定理，得DP=22AP AD - =22160200-=120km
∴A 城遭受风暴影响的时间为
40
1202⨯=6（小时） 三、方程思想 方程思想就是根据问题的条件或结论,列出方程或方程组,通过解方程或方程组从而使问题得到解决.
例5、折叠长方形的一边AD ，点D 落在
BC 边的点F 处，AE 为折痕。
已知AB=8cm ，
BC=10cm ，试求EC 的长。
评析：由折叠重合可知△ADE ≌△AFE ，从而AD=AF=10cm ，DE=EF ，在直角△ABF 中，AB=8cm
，由勾股定理容E
F D C B A
E B 北
易求出BF=22BF AF =6cm ，又因为BC=10cm, 易求CF=4cm ，再在直
角△CEF 中，若设CE=x,则EF=DE=8-x,由勾股定理得CE 2+CF 2=EF 2，可构
造方程x 2+16=(8-x)2，只要求出方程的解，则问题便水到渠成。
四、分类讨论思想
分类讨论可以使解答更为严密完整，避免漏解的情况发生，分类时要引导学生按一定的标准，将问题分成既不重复又不遗漏的类别。
例6、已知△ABC 中，AB=20，AC=15，高AD=12，
求（1）BC 的长 （2）求△ABC 的面积
评析：由于三角形的高线的位置随其形状的不同而改变。
本题中若△ABC 为锐角三角形，则其高线在三角形的内部；若△ABC 为钝角三角形，则其高线在三角形的外部；若△ABC 为直角三角形，则其高线在三角形边上且与AC 重合，而AC ≠AD ，所以△ABC
不为直角三角形。
故而本题只须分两种情
况讨论（如右图）。
五、整体思想：
整体思想就是把考虑的对象作为一个整体看待，进而解决问题的一种数学思想。
应用整体思想解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的作用。
例7、已知直角三角形的周长为18，斜边长为8，求直角三角形的面积。
评析：若设两直角边长分别为a,b ，因为a+b=10, 则b=10-a ，由勾股定理得a 2+b 2=64,所以要直接求出a ，b 的值，只要用一元二次方程a 2+(10-a)2=64可解。
但解这个方程较繁，而由S=2
1ab 联想到可运用整体思想：将ab 视为一个整体，∵（a+b ）2= a 2+b 2+2ab ，∴2ab=（a+b ）2-( a 2+b 2)=100-64=36,
D C B A D B A
∴ab=18, ∴S=2
1ab=9,问题便顺利获解。
例8、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4= 。
评析：此题不可能分别求出S 1、S 2、S 3、S 4，但我们可以分别求出S 1+S 2，S 3+S 4。
例如S 3+S 4可用以下方法求得：易知Rt △ABC ≌Rt △CDE ，∴AB=CD ，BC=DE 又CD 2+DE 2=CE 2，而CD 2=AB 2=S 3，DE 2=S 4，CE 2=3∴S 3+S 4=3， 同理S 1+S 2=1，∴S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4。
以上仅在勾股定理中体现的数学思想，只要我们平时多加留意，引导得当，学生的数学思维能力定会大有提高。
B。