立体几何综合试题
立体几何综合试题
1.(本小题满分12分)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点。(1)求证:DE∥平面A1B1C1;(2)求二面角A1—DE—B1的大小。
2.(本小题满分12分)
如图:已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。
(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;
(II)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?证明你的结论
A
B C
1
A
1
B
1
C E
D
3. (本小题满分12分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,且
∠ADC =arcsin
5
5
,又PA ⊥平面ABCD ,AD =3AB =3PA =3a 。 (I )求二面角P —CD —A 的正切值; (II )求点A 到平面PBC P
B
C
A D
4.(本小题满分14分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA=CB=CC 1=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点,G 是AA 1上一点,且AC 1⊥EG. (Ⅰ)确定点G 的位置;
(Ⅱ)求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.
已知四棱锥P —ABCD ,底面ABCD 是菱形,⊥?=∠PD DAB ,60平面ABCD ,PD=AD , 点E 为AB 中点,点F 为PD 中点. (1)证明平面PED ⊥平面PAB ;
(2)求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值
6.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心,点P 在棱CC 1
上,且CC 1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ,求证:D 1H ⊥AP ; (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.
· B 1
P A C
D A 1
C 1
D 1
B
O H ·
如图,在四棱锥中,底面ABCD 是正方形,侧棱底面ABCD ,,E是PC 的中点,作交PB于点F。
(I)证明平面;
(II)证明平面EFD;
(III)求二面角的大小。
8.(本小题满分12分)
如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.
(I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(II)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示).
9、(本小题满分12分)
如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是
梯形,AB ∥CD ,AD ⊥DC ,CD=2,DD 1=AB=1,P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点。点P 到
直线 AD 1的距离为
2
2
3
⑴求证:AC ∥平面BPQ ⑵求二面角B-PQ-D 的大小
10(本题满分13分)
已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=4,AA 1=8,E 、F 分别为AD 和CC 1的中点,O 1为下底面正方形的中心。
(Ⅰ)证明:AF ⊥平面FD 1B 1;
(Ⅱ)求异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值;
A B C D A B C D
P
Q 11
11
A 111
立体几何
1、(1)取A 1C 1中点F ,连结B 1F ,DF ,∵D 1E 分别为AC 1和BB 1的中点,DF ∥AA 1, DF=(1/2)AA 1,B 1E ∥AA 1,B 1E=(1/2)AA 1,∴DF ∥B 1E ,DF=B 1E ,∴DEB 1F 为平行四边形,∴DE ∥B 1F ,又B 1F 在平面A 1B 1C 1内,DE 不在平面A 1B 1C 1,∴DE ∥平面A 1B 1C 1 (2)连结A 1D ,A 1E ,在正棱柱ABC —A 1B 1C 1中,因为平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1,A 1C 1是平面A 1B 1C 1与平面ACC 1A 1的交线,又因为B 1F 在平面A 1B 1C 1内,且B 1F ⊥A 1C 1,,所以B 1F ⊥平面ACC 1A 1,又DE ∥B 1F ,所以DE ⊥平面ACC 1A 1所以∠FDA 1为二面角A 1—DE —B 1的平面角。并且∠FDA 1=(1/2)∠A 1DC 1,设正三棱柱的棱长为1,因为∠AA 1C 1=900,D 是AC 1的中点,所以,45,90,2
2
,220101111=∠∴=∠==FDA DC A D A DC 即为所求的二面角的度数。
2.(I )连结DF ,DC ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱, ∴CC 1⊥平面ABC ,∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC
∵AB =AC ,D 为BC 的中点,∴AD ⊥BC ,AD ⊥平面BB 1C 1C 3'
∴DF 为EF 在平面BB 1C 1C 上的射影,
在△DFC 1中,∵DF 2=BF 2+BD 2=5a 2,21DC =21CC +DC 2=10a 2, 2
1FC =B 1F 2+211C B =5a 2, ∴21DC =DF 2+21FC ,∴DF ⊥FC 1
FC 1⊥EF 6'
(II )∵AD ⊥平面BB 1C 1C ,∴∠DFE 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角 8'
在△EDF 中,若∠EFD =60°,则ED =DFtg60°=3·a 5=a 15,
∴a 15>a 3,∴E 在DA 的延长线上,而不在线段AD 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角。 12'
在Rt AED ?中,
AD a ADE =∠=355,arcsin
∴=?∠=AE AD ADE a sin 355
………………4分 在Rt PAE ?中,tan ∠=
=PEA PA AE 5
3
∴二面角P —CD —A 的正切值为5
3
………………6分 (II )在平面APB 中,过A 作AH ⊥PB ,垂足为H ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BC 又AB ⊥BC ,∴BC ⊥平面PAB ∴平面PBC ⊥平面PAB
∴AH ⊥平面PBC 故AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离………………10分 4, 在等腰直角三角形PAB 中,AH a =
22,所以点A 到平面PBC 的距离为22
a 4.(本小题满分14分)
解法一:(Ⅰ)以C 为原点,分别以CB 、CA 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
则F (1,0,0),E (1,1,0),A (0,2,0),C 1(0,0,2),
)2,2,0(1-=AC ………………3分
设G (0,2,h ),则.0,).,1,1(11=?∴⊥-=AC EG EG AC h EG ∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1,即G 是AA 1的中点. …………6分 (Ⅱ)设),,(z y x m =是平面EFG 的法向量,则.,EG m FE m ⊥⊥
所以?
??=++-=?+?+?.0,0010z y x z y x 平面EFG 的一个法向量m =(1,0,1)…………10分
∵,2
1
2
222|
|||sin 11=
?=
?=AC m θ ∴6
π
θ=
, 即AC 1与平面EFG 所成角θ为
6
π
………………14分 解法二:(Ⅰ)取AC 的中点D ,连结DE 、DG ,则ED//BC …………1分 ∵BC ⊥AC ,∴ED ⊥AC.
又CC 1⊥平面ABC ,而ED ?平面ABC ,∴CC 1⊥ED. ∵CC 1∩AC=C ,∴ED ⊥平面A 1ACC 1. ……3分 又∵AC 1⊥EG ,∴AC 1⊥DG.…………4分 连结A 1C ,∵AC 1⊥A 1C ,∴A 1C//DG .
∵D 是AC 的中点,∴G 是AA 1的中点. …………6分
(Ⅱ)取CC 1的中点M ,连结GM 、FM ,则EF//GM ,
∴E 、F 、M 、G 共面.作C 1H ⊥FM ,交FM 的延长线于H ,∵AC ⊥平面BB 1C 1C , C 1H ?平面BB 1C 1C ,∴AC ⊥G 1H ,又AC//GM ,∴GM ⊥C 1H. ∵GM ∩FM=M ,
∴C 1H ⊥平面EFG ,设AC 1与MG 相交于N 点,所以∠C 1NH 为直线AC 1与平面EFG 所成角θ. ……………………12分 因为.6,2
1222sin ,2,2211πθθ=∴==∴==
N C H C ……14分 . 5.本小题主要考查空间中的线面关系,四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识,考查空
间想象能力和推理能力. 满分12分. (1)证明:连接BD.
ADB DAB AD AB ?∴?=∠=,60, 为等边三角形.
E 是AB 中点,.DE AB ⊥∴…………2分
⊥PD 面ABCD ,AB ?面ABCD ,.PD AB ⊥∴
?DE 面PED ,PD ?面PED ,⊥∴=AB D PD DE , 面PED.…………4分 ?AB 面PAB ,⊥∴PED 面面PAB. ……………………6分
(2)解:⊥AB 平面PED ,PE ?面PED ,.PE AB ⊥∴ 连接EF ,?EF PED ,.EF AB ⊥∴
PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角. ………… 9分 设AD=2,那么PF=FD=1,DE=3. 在,1,2,7,===
?PF EF PE PEF 中
,14
7
57
2212)7(cos 22=
?-+=
∠∴PEF 即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.14
7
5…12分 6、解(1)4
arctan
1717
APB ∠= (2)略 (3)3
22
7 方法一:
(I)证明:连结AC ,AC 交BD 于O 。连结EO 。 底面ABCD 是正方形,
点O 是AC 的中点
在中,EO 是中位线,。
而平面EDB 且
平面EDB ,
所以,
平面EDB 。
(II)证明:底在ABCD且底面ABCD,
①同样由底面ABCD,得底面ABCD是正方形,有
平面PDC
而平面PDC,②………………………………6分
由①和②推得平面PBC 而平面PBC,
又且,所以平面EFD
(III)解:由(II)知,,故是二面角的平面角
由(II)知,设正方形ABCD的边长为,则
在中,
在中,
所以,二面角的大小为
方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点。设
(I)证明:连结AC,AC交BD于G。连结EG。依题意得
底面ABCD是正方形,是此正方形的中心,故点G的坐标为
且
。这表明。
而平面EDB且平面EDB,平面EDB。
(II)证明:依题意得。又故
由已知,且所以平面EFD。
(III)解:设点F的坐标为则
从而所以
由条件知,即
解得。
点F的坐标为且
即,故是二面角的平面角。
且
8.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力,满分12分. 解法一:(I )连结A 1B ,则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ;内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ,∴D 1E ⊥AB 1, 于是D 1E ⊥平面AB 1F ?D 1E ⊥AF. 连结DE ,则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影. ∴D 1E ⊥AF ?DE ⊥AF. ∵ABCD 是正方形,E 是BC 的中点. ∴当且仅当F 是CD 的中点时,DE ⊥AF , 即当点F 是CD 的中点时,D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分
(II )当D 1E ⊥平面AB 1F 时,由(I )知点F 是CD 的中点.
又已知点E 是BC 的中点,连结EF ,则EF ∥BD. 连结AC , 设AC 与EF 交于点H ,则CH ⊥EF ,连结C 1H ,则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ,即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.
在Rt △C 1CH 中,∵C 1C=1,CH=
4
1
AC=42,
∴tan ∠C 1HC=
224
2
1
1==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22,从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.
解法二:以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (1)设DF=x ,则A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),
A 1(0,0,1),
B (1,0,1),D 1(0,1,1),E )0,2
1
,
1(,F (x ,1,0)
F
AB E D CD F x x AF E D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AF AB E D 1111111
11111,.2
1
2
1
0,011)
0,1,(),1,0,1(),1,21
,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-?=???⊥⊥=-=?∴==--=∴
(1)当D 1E ⊥平面AB 1F 时,F 是CD 的中点,又E 是BC 的中点,连结EF ,则EF ∥
BD. 连结AC ,设AC 与EF 交于点H ,则AH ⊥EF. 连结C 1H ,则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.
∴C 1H ⊥EF ,即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.
3
18
9898
3
||||cos ).
0,4
3
,43(),1,41,41(),
0,43
,43(),1,1,1(11111-
=?-=
?=
∠∴--==HC HA AHC HA HC H C
9、⑴连接CD 1 ∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的
中点。∴CD 1∥PQ 故CD 1∥平面BPQ 又D 1Q=AB=1,D 1Q ∥AB , 得平行四边形ABQD 1,故AD 1∥平面BPQ
∴平面ACD 1∥平面BPQ
∴AC ∥平面BPQ (4分) ⑵设DD 1中点为E ,连EF ,则PE ∥CD
∵CD ⊥AD ,CD ⊥DD 1 ∴CD ⊥平面ADD 1 ∴PE ⊥平面ADD 1
过E 作EF ⊥AD 1于F ,连PF 。则PF ⊥AD 1,PF 为点P 到直线AD 1的距离(6分) PF=
22
3,PE=2 ∴EF=22 又D 1E=2
1,D 1D=1,∴AD=1 (8分)
取CD 中点G ,连BG ,由AB ∥DG ,AB=DG 得GB ∥AD 。∵AD ⊥DC ,AD ⊥DD 1∴AD ⊥平面DCC 1D 1,则BG ⊥平面DCC 1D 1
过G 作GH ⊥PQ 于H ,连BH ,则BH ⊥PQ ,故∠BHG 是二面角B-PQ-D 的平面角。 (10分)
由△GHQ ∽△QC 1P 得GH=
5
2,又BG=1,得tan ∠BHG=
2
5 ∴二面角B-PQ-D 大小为arctan
2
5
(12分)
10、解 本题考查空间的线面关系,向量法及其运算。
(Ⅰ)证法一:如图建立空间直角坐标系。则D 1(0,0,0)、O 1(2,2,0)
A B C D A B C
D P Q 1
1
11E F G
H
B 1(4,4,0)、E (2,0,8)、A (4,0,8)、B (4,4,8)、 F (0,4,4)。 …………………2分 AF =(-4,4,-4)
,1D F =(0,4,4), 1B F =(-4,0,4) …………………….4分 1AF D F =0+16-16=0,1AF B F =16+0-16=0
∴AF ⊥平面FD 1B 1. …………………6分 证法二:连结BF 、DF ,则BF 是AF 在面BC 1上的射影,易证得BF ⊥B 1F ,
DF 是AF 在面DC 1上的射影,也易证得DF ⊥D 1F ,所 以AF ⊥平面FD 1B 1.
(Ⅱ)解法一:EB =(2,4,0),1O F =(-2,2,4) ………………….9分
设EB 与1O F 的夹角为θ,则
11cos ||||
EB O F
EB O F θ=
=
2
2
(2)2-+=
30
…………………13分
解法二:在B 1C 1上取点H ,使B 1H=1,连O 1H 和FH 。
易证明O 1H ∥EB ,则∠FO 1H 为异面直线EB 与1O F 所成角。………………………...9分
又O 1H=
2
1BE=5,HF=2
243+=5, O 1F=2
22422++=26,
∴在△O 1HF 中,由余弦定理,得
cos ∠FO 1H=6
25225524??-+=
30
30
………………………………….………………..13分
A 1
1
1
立体几何高考真题专项练习2019
立体几何高考真题专项练习2019 1.(2018)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC 的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. 2.(2017)如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线BC∥平面PAD; (2)若△PCD面积为2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
3.(2016)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (Ⅰ)证明:AC⊥HD′; (Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′﹣ABCFE体积. 4.(2015)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
5.(2014)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E 为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离. 6.(2013)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD; (Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C﹣A1DE的体积. 7.(2012)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=
必修二立体几何测试题资料
2015-2016学年第一学期立体几何测试 高二理科数学 参考公式: 圆柱的表面积公式:rl r S ππ222 +=,圆锥的表面积公式:rl r S ππ+=2 台体的体积公式h S S S S V )(3 1'' ++= ,球的表面积公式:24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2 2,球的体积公式:33 4r V π= 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列四个几何体中,是棱台的为( ) 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( ) 3.给出下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②若直线a ,b ,c 满足a ∥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ; ③若直线l 1,l 2是异面直线,则与l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
4.空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( ) A .96 B .136 C .152 D .192 5.若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切,则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π 6 6.对于直线m ,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( ) A .m ⊥n ,m ∥α,n ∥β B .m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C .m ∥n ,n ⊥β,m ?α D .m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .10π+96 B .9π+96 C .8π+96 D .9π+80 8.m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( ) ①m ⊥α,n ∥β,α∥β?m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α?n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α?n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β?n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4