平面向量的数量积优秀比赛课(公开课)
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高考数学一轮复习第五章平面向量第3节平面向量的数量积市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(2)解决向量的夹角问题时要注意方法的选择，可以用定 义法、坐标法以及图形法求解，在用定义法求解的过程中要 注意运算的准确率．
(3)数量积大于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为锐 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
38/72
1．[角度 1](2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 3 2|b|，
19/72
考点
题型突破
20/72
考点一 平面向量数量积的运算——互动型
21/72
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a
－2b)＝(
)
A．2
B．－2
C．－3
D．4
22/72
(2)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，
|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
则(2a＋b)·a＝(
)
A．－1
B．0
C．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1.
[答案] C
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3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则 m＝(
)
A．－8
B．－6
C．6
D．8
[解析] 由题意可知，向量 a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)
[答案] C
16/72
6．(2016·沧州一中月考)如图，△ABC 中， AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D 是 BC 的中点， 则B→A·A→D的值为________．
(3)数量积大于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为锐 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
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1．[角度 1](2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 3 2|b|，
19/72
考点
题型突破
20/72
考点一 平面向量数量积的运算——互动型
21/72
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a
－2b)＝(
)
A．2
B．－2
C．－3
D．4
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(2)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，
|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
则(2a＋b)·a＝(
)
A．－1
B．0
C．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1.
[答案] C
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3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则 m＝(
)
A．－8
B．－6
C．6
D．8
[解析] 由题意可知，向量 a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)
[答案] C
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6．(2016·沧州一中月考)如图，△ABC 中， AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D 是 BC 的中点， 则B→A·A→D的值为________．
平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
19/42
【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，由(a＋2b)·(a－
b)＝－2 得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝ －2，解得 cos θ＝12，∴θ＝π3 .故填π3 .
(2)由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1， ∴sin θ＝21|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6 ，5π6 .
＝ 22，所以 θ＝π4 ，故选 B.
4/42
2.若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满
足：C→M＝16C→B＋23C→A，M→A·M→B＝( B ) A.－1 B.－2 C.2 D.3
【 解 析 】 因 为 M→A ·M→B ＝ C→A－C→M ·C→B－C→M ＝
13C→A－16C→B
(2) 因 为
a·b
＝
(e1
－
2e2)·(ke1
＋
e2)
＝
ke
2 1
＋
(1
－
2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以 k
＋(1－2k)·－12－2＝0，解得 k＝54.故填54.
14/42
(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°， 且|A→B|＝3，|A→C|＝2， ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos 120°＝2×3×－12＝－3， ∵ A→P ＝ λ A→B ＋ A→C ， 且 A→P ⊥ B→C ， ∴ A→P ·B→C ＝ λA→B＋A→C·B→C＝λA→B＋A→C·A→C－A→B＝0， 即 λA→B·A→C－A→B·A→C＋|A→C|2－λ|A→B|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得 λ＝172， 故答案为172.
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积1全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
12/12
高中数学 必修4
1/12
问题情境
【提出问题】：向量运算有向量加法、减法、数乘， 那么向量与向量能否“相乘” 呢？
2/12
学生活动
【提出问题】：物理学中，物体所做功计算方法：
W | F || S | cos
（其中 是 F 与 S
夹角.)
F
S
3/12
建构数学
【提出问题】：求功运算中能够抽象出什么样数学运算？ 1.向量夹角
号所决定；实数与向量积是一个向量；
②两个向量数量积称为内积，写成 a b ；今后要学到两个向量外积 a × b ，而 a b 是两个向量数量积，书写时要严格区分．
符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③零向量与任一向量数量积是0 ；
④在实数中，若 a 0，且 a b 0 ，则 b 0 ；不过在数量积中，若
a 0，且 a b = 0 ，不能推出 b = 0 .因为其中cos有可能为0；
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3.数量积性质：
设a 、b 都是非零向量， 是a 与 b 夹角,则
① cos a b （|a ||b|≠0）
| a || b |
②当a与 b 同向时，a b | a || b |；
；பைடு நூலகம்
当a与 b 反向时，a b | a || b |； 尤其地： a a | a |2或 | a | a a ；
（1） 1350 ；
（2）a ∥ b ； （3）a ⊥b
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变式： 已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3，a b c 0，
求 a b b c c a ．
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巩固深化，反馈矫正
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高中数学 必修4
1/12
问题情境
【提出问题】：向量运算有向量加法、减法、数乘， 那么向量与向量能否“相乘” 呢？
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学生活动
【提出问题】：物理学中，物体所做功计算方法：
W | F || S | cos
（其中 是 F 与 S
夹角.)
F
S
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建构数学
【提出问题】：求功运算中能够抽象出什么样数学运算？ 1.向量夹角
号所决定；实数与向量积是一个向量；
②两个向量数量积称为内积，写成 a b ；今后要学到两个向量外积 a × b ，而 a b 是两个向量数量积，书写时要严格区分．
符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
③零向量与任一向量数量积是0 ；
④在实数中，若 a 0，且 a b 0 ，则 b 0 ；不过在数量积中，若
a 0，且 a b = 0 ，不能推出 b = 0 .因为其中cos有可能为0；
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3.数量积性质：
设a 、b 都是非零向量， 是a 与 b 夹角,则
① cos a b （|a ||b|≠0）
| a || b |
②当a与 b 同向时，a b | a || b |；
；பைடு நூலகம்
当a与 b 反向时，a b | a || b |； 尤其地： a a | a |2或 | a | a a ；
（1） 1350 ；
（2）a ∥ b ； （3）a ⊥b
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变式： 已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3，a b c 0，
求 a b b c c a ．
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巩固深化，反馈矫正
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高三数学复习平面向量的数量积及平面向量的应公开课一等奖课件省赛课获奖课件
AC＝4，则A→B·A→C等于( A．－16
) B．－8
C．8
D．16
(3)(2010 年高考重庆卷)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|
＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0
B．2 2
C．4
D．8
【思路点拨】 运用向量数量积的定义、性质、 运算律及模的求法，即可解决． 【解析】 (1)由题设知 f(x)＝(b2－a2)x，因为|a|≠|b|， 所以函数 f(x)是一次函数且为奇函数． (2)法一：因为 cos A＝AACB，故A→B·A→C＝|A→B||A→C|cosA＝
得|b＋c|＝ sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2
＝ 17－15sin2β≤4 2. 又当 β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
(3)证明：由 tan αtanβ＝16
，得4cosα＝ sinα ，所以 sinβ 4cosβ
a
∥b.
【名师点评】 求解|b＋c|时注意到向量b与向 量c的模都不是定值，因而运用坐标法先求和再 求模，此办法较|b＋c|2＝b2＋c2＋2b·c要快捷 得多．证明两向量平行时，能够运用两向量平行 的充要条件公式．
【解】 (1)因为 a 与 b－2c 垂直，所以 a·(b － 2c) ＝ 4cosαsinβ － 8cosαcosβ ＋ 4sinαcosβ ＋ 8sin αsinβ ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此 tan(α＋β)＝2. (2) 由 b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
例2 (2009年高考江苏卷)设向量a＝(4cosα， sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－ 4sinβ)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； 【(3思)若路ta点nα拨·t】anβ＝运1用6两，向求量证垂：直a∥时b数. 量积为0的 坐标运算公式能够解第一问，第二问中模的最值 能够转化为三角函数的有界性求解，第三问中运 用两向量平行的充要条件进行转化即可得证．
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)当a∥b时，若a与b同向， 则a与b的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos叫θ 做a 与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b，|co其s θ中 θ 是 a 与b的夹角. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向 的投影是 |a|cos θ ，向量b在a方向上的投影是 |b|cos θ .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积( 或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数 量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答 a·b的运算结果是数量.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
3.数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影 |b|cos θ 的乘积.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点一 平面向量数量积的含义
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位 移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的 功W是多少？ 答 W＝|F||s|cos θ.
数学公开课：平面向量数量积的各种求法课件
促进数学教育的普及和提高
平面向量数量积的定义和性质
平面向量数量积的定义
• 定义：两个平面向量的数量积定义为其中一个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量的模的乘积
• 性质：数量积为零当且仅当两个向量垂直；数量积为正表示两个向量方向相同；数量积为负表示两个向 量方向相反 以下是用户提供的信息和标题： 我正在写一份主题为“千里江山图诗歌鉴赏”的PPT,现在 准备介绍“诗歌鉴赏”,请帮我生成“诗歌主题”为标题的内容 诗歌主题
性质：数量积为零意味着两个向量垂直；数量积大于零意味着两个 向量夹角为锐角；数量积小于零意味着两个向量夹角为钝角。
几何意义：数量积的几何意义可以理解为两个向量的合成向量在另一 个向量上的投影长度。
应用：在解决实际问题时，可以利用数量积的性质来判断两个向量 的夹角是锐角、钝角还是直角，以及计算它们的模长等。
运算规则：平面向量数量积的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积等。在三角形中，可以利用这些运算规 则进行计算和化简。
在平行四边形中的应用
平行四边形的性质：平行四边形的对角线 互相平分，且相邻两边互相垂直。
平面向量数量积的定义：两个向量的数量 积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦 值的乘积。
平行四边形中向量数量积的应用：在平 行四边形中，可以通过向量的数量积计 算对角线的长度、判断是否为矩形等。
性质：数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律。
几何意义：两个向量的数量积等于它们所构成的平行四边形的面积。
物理意义：两个向量的数量积可以表示为它们所构成的矢量的合力在某个方向上的投影。
公开课的目的和意义
拓展学生的数学思维和解题 技巧
提高学生对平面向量数量积 的理解和掌握
增强学生的数学兴趣和自信 心
平面向量数量积的定义和性质
平面向量数量积的定义
• 定义：两个平面向量的数量积定义为其中一个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量的模的乘积
• 性质：数量积为零当且仅当两个向量垂直；数量积为正表示两个向量方向相同；数量积为负表示两个向 量方向相反 以下是用户提供的信息和标题： 我正在写一份主题为“千里江山图诗歌鉴赏”的PPT,现在 准备介绍“诗歌鉴赏”,请帮我生成“诗歌主题”为标题的内容 诗歌主题
性质：数量积为零意味着两个向量垂直；数量积大于零意味着两个 向量夹角为锐角；数量积小于零意味着两个向量夹角为钝角。
几何意义：数量积的几何意义可以理解为两个向量的合成向量在另一 个向量上的投影长度。
应用：在解决实际问题时，可以利用数量积的性质来判断两个向量 的夹角是锐角、钝角还是直角，以及计算它们的模长等。
运算规则：平面向量数量积的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积等。在三角形中，可以利用这些运算规 则进行计算和化简。
在平行四边形中的应用
平行四边形的性质：平行四边形的对角线 互相平分，且相邻两边互相垂直。
平面向量数量积的定义：两个向量的数量 积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦 值的乘积。
平行四边形中向量数量积的应用：在平 行四边形中，可以通过向量的数量积计 算对角线的长度、判断是否为矩形等。
性质：数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律。
几何意义：两个向量的数量积等于它们所构成的平行四边形的面积。
物理意义：两个向量的数量积可以表示为它们所构成的矢量的合力在某个方向上的投影。
公开课的目的和意义
拓展学生的数学思维和解题 技巧
提高学生对平面向量数量积 的理解和掌握
增强学生的数学兴趣和自信 心
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|c_o_s__θ_的乘积．
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_(分配律)．
26/44
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x_1_x_2＋__y_1_y_2_. (2)模：|a|＝ a·a＝___x_21_＋__y_21__.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
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解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可 以为正，可以为负，也可以为 0；
②a·b＞0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b＞0 还包含 a 和 b 同向的情形．同样 a·b＜0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角，还包 含 a 和 b 反向的情形；
③由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一定 相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；
5/44
(1)[教材习题改编]在△ABC 中，A→B·B→C>0，则△ABC 是 ___钝__角___三角形．
解析：由向量夹角的定义可知，A→B与B→C的夹角为 π－B，则 A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)>0，
得 cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角 B 为钝角，∴△ABC 为钝 角三角形．
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|c_o_s__θ_的乘积．
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_(分配律)．
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平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x_1_x_2＋__y_1_y_2_. (2)模：|a|＝ a·a＝___x_21_＋__y_21__.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
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解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可 以为正，可以为负，也可以为 0；
②a·b＞0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b＞0 还包含 a 和 b 同向的情形．同样 a·b＜0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角，还包 含 a 和 b 反向的情形；
③由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一定 相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；
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(1)[教材习题改编]在△ABC 中，A→B·B→C>0，则△ABC 是 ___钝__角___三角形．
解析：由向量夹角的定义可知，A→B与B→C的夹角为 π－B，则 A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)>0，
得 cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角 B 为钝角，∴△ABC 为钝 角三角形．
高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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跟踪训练
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝
cos x)，x∈0，π2.
22，－
22，n＝(sinx，
(1)若m⊥n，求tan x值；
解
因为
m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，m⊥n.
所以
m·n＝0，即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，
所以 sin x＝cos x，所以 tan x＝1.
解析 答案 51/76
4.(·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝
A.－32
B.－32
2 C.3 解析
√D.23
AB2＋AC2－BC2 在△ABC 中，cos∠BAC＝ 2AB·AC
＝92＋×43－×120＝14，
∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC＝3×2×41＝23.
(4)(a·b)c＝a(b·c).( × )
(5)两个向量夹角范围是
0.，( π2 ) ×
(6)若a·b>0，则a和b夹角为锐角；若a·b<0，则a和b夹角为钝角.( ) ×
123456
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题组二 教材改编 2.[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝__1_2___.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b夹角，则cos θ＝
a·b 2 2
22
|a＝||b| x ＋y x ＋.y 1 1 2 2 _______________________________________
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【知识拓展】 1.两个向量a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算惯用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
跟踪训练
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝
cos x)，x∈0，π2.
22，－
22，n＝(sinx，
(1)若m⊥n，求tan x值；
解
因为
m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，m⊥n.
所以
m·n＝0，即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，
所以 sin x＝cos x，所以 tan x＝1.
解析 答案 51/76
4.(·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝
A.－32
B.－32
2 C.3 解析
√D.23
AB2＋AC2－BC2 在△ABC 中，cos∠BAC＝ 2AB·AC
＝92＋×43－×120＝14，
∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC＝3×2×41＝23.
(4)(a·b)c＝a(b·c).( × )
(5)两个向量夹角范围是
0.，( π2 ) ×
(6)若a·b>0，则a和b夹角为锐角；若a·b<0，则a和b夹角为钝角.( ) ×
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题组二 教材改编 2.[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝__1_2___.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b夹角，则cos θ＝
a·b 2 2
22
|a＝||b| x ＋y x ＋.y 1 1 2 2 _______________________________________
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【知识拓展】 1.两个向量a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算惯用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。
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a c b c , c 0 , 但a b .
b
c
a
小结：
2、数量积：a b a b cos
1、物理背景：W F S F S cos
3、几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投 影 b cos 的乘积 .
答案：不一定 . 当 a b 时， a b 0 ， 但两个向量可以都不是 零向量 .
(2) 如果 a、b、c 都是实数，a · c= b · c, 且 c≠0，那么，a = b . 这一结论对于向量能成立吗？
也就是，若 a c b c , 且 c 0 , 则一定有 a b 吗？ 答案：如图， a b , ,
0
5. 向量数量积的性质
设 a , b 都是非零向量， 是a 与 b 的夹角，则
(1) a b a b 0 .
（2）当 0， 时，a b 0; 2 当 ， 时，a b 0. 2
(3) 当 a 与 b 同向时， a b a b ; 当 a 与 b 反向时， a b a b .
A D
C
60
B
(1) 定义：如图，设OA a , OB b , AOB , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1 b cos . 我们把 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.
B
4. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
o
2
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中， 设BC a， CA b 求a b 的值。
o 解：如图可知： a与b 的夹角 120 o a b a b cos 2 2 cos120 1
A
B
C
练习：在平行四边形ABCD中， 已知|AB |=4，|AD|=3，DAB 60 求：(1)AD BC (2) AB CD (3) AB DA
a
OA 1 | a | cos
A
B
B
b
B1 O
b
a
A
O(B1)
a
A
注意：当 为锐角时，投影是正值：
当 为钝角时，投影是负值；当 = 90°
时, 投影是 0 . 当 = 0º时，投影为 当 = 180°时，投影为 b .
b
;
•
(2) 两个向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos 的乘积.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义（一）
•
1. 两个向量的夹角
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 作 OA a ,
OB b , 则 AOB ( 0 180 ) 叫做向量 a 和b 的夹角.
O A a 显然，当 0 时， a 与 b 同向；当 180 时， B
特别地，a a
2
2
, 也就是 a a .
2
(4) cos
a b a b
. (5)
a b a b .
•
6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0 .这一结论对于向量，还 成立吗？ 若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有b 0 .
b
a 与 b 反向 . 定义：如果 a 与 b 的夹角是90，我们就说 a 与 b
垂直，记作 a b .
•
2 . 物理中功的算法
F
s
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 所作的功 W可用下式计算
W F s cos 其中 是 F 和 s 的夹角 .
下面我们引入向量数量积的概念.
谢谢！
o
解： a b | a || b | cos
5 4 cos120 10
o
随堂练习： 1 1、若 | a | 2,| b | , a与b的夹角为60， 2 1 则a b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a b 54 2, 则向量a与向量b的夹角 （45 ）
(2) 前面所说的力所做的功 ，就是力 F 与其作用下物体产生的 位移 s 的数 量积 F s .
点 很 重 要
(3) 两个向量a 与 b 的数量积 只能写成 a b ,中间的“” 不能去掉，也不能写成 “ ” .
例 1 已知 a 5 , b 4 , a 与 b 的夹角 120 ，求 a b .
3. 平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 它们的夹角 为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量 积（或内积），记作a b ，即 a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注： (1) 两个向量的数量积是一个数量，这个 数量的大小与两个向量
a
B1
A
B1
O
a
A
练习： 1、 a 6, e 为单位向量，它们之 o 间的夹角为60 ，则a在e 方向上 的投影是（ 3 ） . 2、已知 a 3, b 5, a b 12, 求 12 a在b 方向上的投影 . 5
3、已知 | a | 4， | b | 5， 在下列条件下，求 a b （ 1） a // b （2） ab （3） a与b的夹角为30
b
c
a
小结：
2、数量积：a b a b cos
1、物理背景：W F S F S cos
3、几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投 影 b cos 的乘积 .
答案：不一定 . 当 a b 时， a b 0 ， 但两个向量可以都不是 零向量 .
(2) 如果 a、b、c 都是实数，a · c= b · c, 且 c≠0，那么，a = b . 这一结论对于向量能成立吗？
也就是，若 a c b c , 且 c 0 , 则一定有 a b 吗？ 答案：如图， a b , ,
0
5. 向量数量积的性质
设 a , b 都是非零向量， 是a 与 b 的夹角，则
(1) a b a b 0 .
（2）当 0， 时，a b 0; 2 当 ， 时，a b 0. 2
(3) 当 a 与 b 同向时， a b a b ; 当 a 与 b 反向时， a b a b .
A D
C
60
B
(1) 定义：如图，设OA a , OB b , AOB , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1 b cos . 我们把 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.
B
4. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
o
2
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中， 设BC a， CA b 求a b 的值。
o 解：如图可知： a与b 的夹角 120 o a b a b cos 2 2 cos120 1
A
B
C
练习：在平行四边形ABCD中， 已知|AB |=4，|AD|=3，DAB 60 求：(1)AD BC (2) AB CD (3) AB DA
a
OA 1 | a | cos
A
B
B
b
B1 O
b
a
A
O(B1)
a
A
注意：当 为锐角时，投影是正值：
当 为钝角时，投影是负值；当 = 90°
时, 投影是 0 . 当 = 0º时，投影为 当 = 180°时，投影为 b .
b
;
•
(2) 两个向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos 的乘积.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义（一）
•
1. 两个向量的夹角
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 作 OA a ,
OB b , 则 AOB ( 0 180 ) 叫做向量 a 和b 的夹角.
O A a 显然，当 0 时， a 与 b 同向；当 180 时， B
特别地，a a
2
2
, 也就是 a a .
2
(4) cos
a b a b
. (5)
a b a b .
•
6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0 .这一结论对于向量，还 成立吗？ 若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有b 0 .
b
a 与 b 反向 . 定义：如果 a 与 b 的夹角是90，我们就说 a 与 b
垂直，记作 a b .
•
2 . 物理中功的算法
F
s
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 所作的功 W可用下式计算
W F s cos 其中 是 F 和 s 的夹角 .
下面我们引入向量数量积的概念.
谢谢！
o
解： a b | a || b | cos
5 4 cos120 10
o
随堂练习： 1 1、若 | a | 2,| b | , a与b的夹角为60， 2 1 则a b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a b 54 2, 则向量a与向量b的夹角 （45 ）
(2) 前面所说的力所做的功 ，就是力 F 与其作用下物体产生的 位移 s 的数 量积 F s .
点 很 重 要
(3) 两个向量a 与 b 的数量积 只能写成 a b ,中间的“” 不能去掉，也不能写成 “ ” .
例 1 已知 a 5 , b 4 , a 与 b 的夹角 120 ，求 a b .
3. 平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 它们的夹角 为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量 积（或内积），记作a b ，即 a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注： (1) 两个向量的数量积是一个数量，这个 数量的大小与两个向量
a
B1
A
B1
O
a
A
练习： 1、 a 6, e 为单位向量，它们之 o 间的夹角为60 ，则a在e 方向上 的投影是（ 3 ） . 2、已知 a 3, b 5, a b 12, 求 12 a在b 方向上的投影 . 5
3、已知 | a | 4， | b | 5， 在下列条件下，求 a b （ 1） a // b （2） ab （3） a与b的夹角为30