平面向量的数量积优秀比赛课(公开课)
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o
解： a b | a || b | cos
5 4 cos120 10
o
随堂练习： 1 1、若 | a | 2,| b | , a与b的夹角为60， 2 1 则a b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a b 54 2, 则向量a与向量b的夹角 （45 ）
A D
C
60
B
(1) 定义：如图，设OA a , OB b , AOB , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1 b cos . 我们把 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.
B
4. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
3. 平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 它们的夹角 为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量 积（或内积），记作a b ，即 a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注： (1) 两个向量的数量积是一个数量，这个 数量的大小与两个向量的长度及其夹角 有关. 此
a
OA 1 | a | cos
A
B
B
b
B1 O
b
a
A
O(B1)
a
A
注意：当 为锐角时，投影是正值：
当 为钝角时，投影是负值；当 = 90°
时, 投影是 0 . 当 = 0º时，投影为 当 = 180°时，投影为 b .
b
;
•
(2) 两个向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos 的乘积.
答案：不一定 . 当 a b 时， a b 0 ， 但两个向量可以都不是 零向量 .
(2) 如果 a、b、c 都是实数，a · c= b · c, 且 c≠0，那么，a = b . 这一结论对于向量能成立吗？
也就是，若 a c b c , 且 c 0 , 则一定有 a b 吗？ 答案：如图， a b , ,
谢谢！
b
a 与 b 反向 . 定义：如果 a 与 b 的夹角是90，我们就说 a 与 b
垂直，记作 a b .
•
2 . 物理中功的算法
F
s
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 所作的功 W可用下式计算
W F s cos 其中 是 F 和 s 的夹角 .
下面我们引入向量数量积的概念.
o
2
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中， 设BC a， CA b 求a b 的值。
o 解：如图可知： a与b 的夹角 120 o a b a b cos 2 2 cos120 1
A
B
源自文库
C
练习：在平行四边形ABCD中， 已知|AB |=4，|AD|=3，DAB 60 求：(1)AD BC (2) AB CD (3) AB DA
(2) 前面所说的力所做的功 ，就是力 F 与其作用下物体产生的 位移 s 的数 量积 F s .
点 很 重 要
(3) 两个向量a 与 b 的数量积 只能写成 a b ,中间的“” 不能去掉，也不能写成 “ ” .
例 1 已知 a 5 , b 4 , a 与 b 的夹角 120 ，求 a b .
0
5. 向量数量积的性质
设 a , b 都是非零向量， 是a 与 b 的夹角，则
(1) a b a b 0 .
（2）当 0， 时，a b 0; 2 当 ， 时，a b 0. 2
(3) 当 a 与 b 同向时， a b a b ; 当 a 与 b 反向时， a b a b .
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义（一）
•
1. 两个向量的夹角
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 作 OA a ,
OB b , 则 AOB ( 0 180 ) 叫做向量 a 和b 的夹角.
O A a 显然，当 0 时， a 与 b 同向；当 180 时， B
B B
b
O
b
a
B1
A
B1
O
a
A
练习： 1、 a 6, e 为单位向量，它们之 o 间的夹角为60 ，则a在e 方向上 的投影是（ 3 ） . 2、已知 a 3, b 5, a b 12, 求 12 a在b 方向上的投影 . 5
3、已知 | a | 4， | b | 5， 在下列条件下，求 a b （ 1） a // b （2） ab （3） a与b的夹角为30
a c b c , c 0 , 但a b .
b
c
a
小结：
2、数量积：a b a b cos
1、物理背景：W F S F S cos
3、几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投 影 b cos 的乘积 .
特别地，a a
2
2
, 也就是 a a .
2
(4) cos
a b a b
. (5)
a b a b .
•
6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0 .这一结论对于向量，还 成立吗？ 若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有b 0 .
解： a b | a || b | cos
5 4 cos120 10
o
随堂练习： 1 1、若 | a | 2,| b | , a与b的夹角为60， 2 1 则a b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a b 54 2, 则向量a与向量b的夹角 （45 ）
A D
C
60
B
(1) 定义：如图，设OA a , OB b , AOB , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1 b cos . 我们把 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.
B
4. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
3. 平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 它们的夹角 为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量 积（或内积），记作a b ，即 a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注： (1) 两个向量的数量积是一个数量，这个 数量的大小与两个向量的长度及其夹角 有关. 此
a
OA 1 | a | cos
A
B
B
b
B1 O
b
a
A
O(B1)
a
A
注意：当 为锐角时，投影是正值：
当 为钝角时，投影是负值；当 = 90°
时, 投影是 0 . 当 = 0º时，投影为 当 = 180°时，投影为 b .
b
;
•
(2) 两个向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos 的乘积.
答案：不一定 . 当 a b 时， a b 0 ， 但两个向量可以都不是 零向量 .
(2) 如果 a、b、c 都是实数，a · c= b · c, 且 c≠0，那么，a = b . 这一结论对于向量能成立吗？
也就是，若 a c b c , 且 c 0 , 则一定有 a b 吗？ 答案：如图， a b , ,
谢谢！
b
a 与 b 反向 . 定义：如果 a 与 b 的夹角是90，我们就说 a 与 b
垂直，记作 a b .
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2 . 物理中功的算法
F
s
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 所作的功 W可用下式计算
W F s cos 其中 是 F 和 s 的夹角 .
下面我们引入向量数量积的概念.
o
2
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中， 设BC a， CA b 求a b 的值。
o 解：如图可知： a与b 的夹角 120 o a b a b cos 2 2 cos120 1
A
B
源自文库
C
练习：在平行四边形ABCD中， 已知|AB |=4，|AD|=3，DAB 60 求：(1)AD BC (2) AB CD (3) AB DA
(2) 前面所说的力所做的功 ，就是力 F 与其作用下物体产生的 位移 s 的数 量积 F s .
点 很 重 要
(3) 两个向量a 与 b 的数量积 只能写成 a b ,中间的“” 不能去掉，也不能写成 “ ” .
例 1 已知 a 5 , b 4 , a 与 b 的夹角 120 ，求 a b .
0
5. 向量数量积的性质
设 a , b 都是非零向量， 是a 与 b 的夹角，则
(1) a b a b 0 .
（2）当 0， 时，a b 0; 2 当 ， 时，a b 0. 2
(3) 当 a 与 b 同向时， a b a b ; 当 a 与 b 反向时， a b a b .
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义（一）
•
1. 两个向量的夹角
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 作 OA a ,
OB b , 则 AOB ( 0 180 ) 叫做向量 a 和b 的夹角.
O A a 显然，当 0 时， a 与 b 同向；当 180 时， B
B B
b
O
b
a
B1
A
B1
O
a
A
练习： 1、 a 6, e 为单位向量，它们之 o 间的夹角为60 ，则a在e 方向上 的投影是（ 3 ） . 2、已知 a 3, b 5, a b 12, 求 12 a在b 方向上的投影 . 5
3、已知 | a | 4， | b | 5， 在下列条件下，求 a b （ 1） a // b （2） ab （3） a与b的夹角为30
a c b c , c 0 , 但a b .
b
c
a
小结：
2、数量积：a b a b cos
1、物理背景：W F S F S cos
3、几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投 影 b cos 的乘积 .
特别地，a a
2
2
, 也就是 a a .
2
(4) cos
a b a b
. (5)
a b a b .
•
6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0 .这一结论对于向量，还 成立吗？ 若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有b 0 .