结晶学第八讲—种布拉菲格子
1.3 布喇菲空间点阵
基元
晶体微观结构的周期性结构单元
基元：随晶体
简称
不同，基元可以是单个原子，也可以是若干原子之集 团，如:Ca、Cu、Ag、Au、Al、Pb等元素晶体，基元为 单个原子；Mg、Ti、Zn、Cd等元素晶体，基元包括两个 原子 ； 结构较复杂的无机化合物晶体：基元所含原子数目可多 达十几或几十，甚至上百。 结构更复杂的有机化合物晶体：基元所含原子数目多达 一万多，如蛋白质晶体 。
a1 , a2 , a3
简单晶格，任一原子A的位置矢量：
Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a2
Rl 3a1 a2 a3
单胞 —— 为了反映晶格的对称性 常取最小重复单元的几倍作为重复单元 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期 单胞的基矢—— 单胞三个边的矢量
每个晶胞共含有4对离子，其原胞的基矢取法与fcc相同。
5 CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间 对角线位移1／2 的长度套构而成
6. 金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处 —— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体 —— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
19th cent.,Bravais：物质结构研究表明物质内部 有空隙 空间点阵学说：
晶体的内部结构可以概括为由大量相同的点子（格点） 在空间有规则地作周期性的无限分布构成的系统,即布 喇菲点阵。 空间点阵学说+物质微观结构的原子理论 晶体宏观特征起源于晶体独特的微观结构： 组成晶体的原子（或离子，或分子）在空间的规则排 列呈现出一种周期性。X射线衍射技术验证晶体微观结构 的周期性。
固体物理学-布喇菲空间点阵
Solid State Physics
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面
体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复单元称为原胞。
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的周期。
固体物理学原胞体积相同。
由于W-S原胞的构造中不涉及对基矢的任何特殊选择，
因此，它与相应的布喇菲原胞有完全相同的对称性，又称对称化原胞。
Solid State Physics
1.3.3 晶胞与原胞的关系
1. 立方晶系
՜
՜
⊥
՜ ՜
⊥
՜
⊥՜
==
取 Ԧi 为坐标轴的单位矢量,
Solid State Physics
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
Solid State Physics
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选
错误
b. 能够从不同的晶体结构
中正确选取基元
Solid State Physics
结点的选取
结点示意图
结点可以取在基元的重心，也可以取在基元的其它点上
Solid State Physics
晶体结构的构建
点阵+基元=晶体结构
Solid State Physics
晶格（布喇菲格子）
沿三个不同方向通过点阵中的结点作平行的直线族，把结点
1.3布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
10:04
五、简单格子与复式格子
如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个 原子，则形成的晶格为简单格子或称为布拉菲格子。
10:04
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
10:04
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
简立方、体心立方和面心立方三种晶格 ab bc ca
➢ 原胞的选择方式有多种，但原胞的体积都是相同的。
原胞往往反映不出对称性，为了表现对称性结晶学中取的重复单 元不是最小的重复单元，称为晶胞（或单胞、布喇菲原胞）。
晶胞的特点 ➢ 反映晶体的对称性；
➢ 晶胞中的格点不只出现在顶角上，还会出现在体心或面心上；
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
金刚石型结构
10:04
c c 晶胞示意图 金刚石结构是由两个面心立方晶格沿体对角线位移1/4的 长度套构而成,其布喇菲格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个原子。
10:04
金刚石是典型的原子晶体， 原子以共价键结合。图中所 示的连线代表共价键。
每个原子有四个最近邻，这 四个最近邻原子处在正四面 体的顶角上。
晶格，形成晶体，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移 矢量，简称基矢。
2.4.4 常见Bravais格子的Brillouin区
4 4 4 2 e x、 e y、 ez Kh (e x e y e z ) K h a a a a
十四个倒格矢
代入
1 k Kh Kh 2
2
2 3 k x、 k y、 kz k x k y k z a a
（1）体心立方Bravais格子
晶格常数为
a 的体心立方Bravais格子的倒格子是一个“晶格
的面心立方格子
4 a* 常数”为 a
FBZ：棱形十二面体
FBZ界面：十二个第一近邻倒 格点所确定的十二个倒格矢的 十二个垂直平分面所组成，这
六个倒格矢为
2 2 2 Kh (e x e y )、 (e y e z )、 (e z e x ) a a a
十二个倒格矢
代入
1 k Kh Kh 2
2
2 k x k y、 k y k z、 kz kx a
（2）面心立方Brava格子的倒格子是一个“晶格
常数”为a*
的体心立方格子
FBZ：截角八面体 FBZ界面：八个第一近邻倒格 点和六个第二近邻倒格点所确 定的十四个倒格矢的十四个垂 直平分面所组成，这十四个倒 格矢为
§2.4.4 常见Bravais格子的Brillouin区 及其界面方程
晶体的Brillouin区及其界面，在描述晶体内原子、 电子等微观粒子的运动中有着极为重要的作用。为了
进一步熟悉、了解晶体的Brillouin区及其界面，下面
以几种最常见、最简单的Bravais格子为例，通过分析
倒格子来确定它们的Brillouin区及其界面。
布拉菲晶格布里渊区及费米面的分析和计算
万方数据 万方数据布拉菲晶格布里渊区及费米面的分析和计算作者：杜永胜， 张红霞作者单位：内蒙古科技大学理学院刊名：科技信息(学术版)英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2007(24)参考文献(5条)1.方俊鑫;陆栋固体物理学 19812.黄昆固体物理学 19883.阎守胜固体物理基础 20034.聂向富二维正方格子自由电子气的费米面[期刊论文]-河北师范大学学报(自然科学版) 2002(04)5.吴代鸣固体物理学 1996本文读者也读过(10条)1.汪乔欣.田强.WANG Qiao-xin.TIAN Qiang体心立方晶格的布里渊区形状不是正十二面体[期刊论文]-大学物理2007,26(6)2.马志军.章天金.张柏顺.MA Zhi-jun.ZHANG Tian-jin.ZHANG Bai-shun面心立方晶格第一布里渊区的三维动画模拟[期刊论文]-湖北大学学报（自然科学版）2006,28(4)3.聂向富.马丽梅.郭革新.唐贵德.孙会元二维正方格子自由电子气的费米面[期刊论文]-河北师范大学学报(自然科学版)2002,26(6)4.邵华圣.SHAO Hua-sheng关于第n布里渊区体积等于倒格子原胞体积的证明[期刊论文]-大学物理2009,28(2)5.孟祥东.华中VRML语言及在固体物理教学中的应用[期刊论文]-吉林师范大学学报(自然科学版)2004,25(2)6.张敬周.王旭.仲政电磁弹性复合材料双圆柱夹杂问题[期刊论文]-力学季刊2002,23(3)7.刘昶时.LIU Changshi电离辐射对Si3N4/SiO2/Si中SiO2禁带的影响[期刊论文]-固体电子学研究与进展2009,29(1)8.刘建军.路彦锋.LIU Jian-jun.LU Yan-feng《固体物理》课程虚拟现实可视化教学的研究与实践[期刊论文]-淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）2010,31(4)9.王忆.WANG Yi《固体物理》和《量子力学》课程双语教学实践[期刊论文]-教育与现代化2005(4)10.陈祝.曾勇.陈昌明"固体物理"教学中的数学应用[期刊论文]-技术物理教学2009,17(2)本文链接：/Periodical_kjxx-xsb200824250.aspx。
固体物理§1.2空间点阵
表示结点，其排列可以表示原子团的排列， 成。 、 表示结点，其排列可以表示原子团的排列，一个 基元可以由一个或多个原子组成。 基元可以由一个或多个原子组成。
5
基元
结点
结点
6
7
2.周期性 周期性 (1)布喇菲空间点阵学说概括了晶体的周期性。 布喇菲空间点阵学说概括了晶体的周期性。 布喇菲空间点阵学说概括了晶体的周期性 晶体中所有的基元都是等同的。 晶体中所有的基元都是等同的。 (2)如果知道了一个基元的结构和基元在空间三个方向上 如果知道了一个基元的结构和基元在空间三个方向上 的排列周期，就可以得到整个晶体的结构。 的排列周期，就可以得到整个晶体的结构。 基元沿不同的方向按一定的周期平移就可以构成整 个晶体的结构。 个晶体的结构。 不同方向的周期可以相同，也可以不相同。 不同方向的周期可以相同 ，也可以不相同。 无限分 布的物理意义是指1微米或更大。 布的物理意义是指 微米或更大。 微米或更大
21
基元
结点
22
复式格子的特点
注意事项： 注意事项： 1.晶格、布喇菲格子、复式格子的区别和联系 晶格、布喇菲格子、 晶格 (1)晶格 晶格 通过结点所作的晶面族围成的网格称为晶格。 通过结点所作的晶面族围成的网格称为晶格。 (2)布喇菲格子 (2)布喇菲格子 结点或基元中只包含一种原子的晶格称为布喇菲格 子。 (3)复式格子 复式格子 结点或基元中包含两种或两种以上原子(或分子、 结点或基元中包含两种或两种以上原子 或分子、 或分子 离子)的晶格称为复式格子。 离子 的晶格称为复式格子。 的晶格果基元(或结点 中包含两种或两种以上的原子 如果基元 或结点)中包含两种或两种以上的原子 ， 或结点 中包含两种或两种以上的原子， 则每个基元中相应的同种原子各组成和结点完全相同 的网格(这种网格称为子晶格 ， 这些网格相对有一定 的网格 这种网格称为子晶格)， 这种网格称为子晶格 的位移，称这种格子为复式格子。 的位移，称这种格子为复式格子。 (4)复式格子的特点 复式格子的特点 复式格子是由若干相同的 布拉菲格子相互位移套 复式格子是由 若干相同的 布拉菲格子 相互位移套 若干相同 构而成。 构而成。
3、 晶列、晶面指数、倒格空间
第 28 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
(4)闪锌矿（立方ZnS）型结构
如果在金刚石结构中，顶角与面心处为硫离子，而在立方单元的内部 为锌离子，就形成闪锌矿型结构。
闪锌矿型结构为由硫离子和锌离子各自构成的面心立方子晶格沿立方
体对角线平移1/4长度相互错开穿套而成。 其基由一对硫离子与锌离子组成。 许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿型结构。
的点子，通常代表基元的重心。 点阵学说概括了晶体的周期性 晶体结构
第1页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第2页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布拉菲格子（ Bravais lattice）：布拉菲格子是矢量
第3页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第4页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
由氯离子和钠离子组成的两个面心立方晶格，彼此沿立方体边错开
a/2的距离而穿套。a为立方体边长。 子晶格为面心立方的复式格子晶体结构。 固体物理学原胞基矢就是面心立方的基矢，原 胞内包含两个异号离子（氯离子和钠离子）。 注意：不要将这种结构视为原胞边长为a/2 的简立方，因为氯离子和钠离子是不等价的。
格子，一个晶胞内包含8个原子。 固体物理学原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中
包含两个不等价的原子。
第 27 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
原子在金刚石结构立方晶胞中的位置分布图
0 1/2 0 1/4
3/4
1/2
0
1/2
1/4
3/4
0
1/2
0
图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。
十四种布拉菲格子
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何 就目前所知，晶体多达 多种以上， 多种以上 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比， 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的， 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不 格子总共只有十四种不 体微观结构周期性特征的 格子总共只有十四种 同的类型。 同的类型。
Pearson记法 →
hR
7°立方(Cubic) 晶系 立方(Cubic) Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： 格子之惯用元胞的几何特征为
a = b = c，α = β = γ = 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外， Bravais格子 简单立方Bravais格子、 个面心 有 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、 → 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 Bravais格子 Bravais cP、 cP Pearson记法 → 、
cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－ 中的（ cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（l）图、(m)图和（n） 1.2.6 (m)图 图所示 背景音乐： 背景音乐：
十四种布拉菲格子
a = b ≠ c，α = β = γ = 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
→ 两种Bravais格子，分别称 其二，除顶点外， 格子， 其二，除顶点外，还分布于体心 有 两种 格子
格子和 为简单四方Bravais格子和体心四方 简单四方 格子 体心四方Bravais格子 Pearson记法 → tP 格子 中的（ ） 和tI，惯用元胞分别如图 ，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（h）图和(i)图所示 － 中的 图
背景音乐： 背景音乐：
图1.2.6－1 －
十四种Bravais格子按点对称性分为七种点对称性类型，分 格子按点对称性分为七种点对称性类型， 十四种 格子按点对称性分为七种点对称性类型 七个晶系。 别对应于七个晶系 下面，将按晶系对这十四种Bravais格子 格子 别对应于七个晶系。下面，将按晶系对这十四种 的主要特征逐一简介
研究晶体表面的对称分布晶体只有三十二种可能的点对称性类型1849年bravaisbravais格子只有七种可能的点对称性类型再考虑到平移对称性格子只有七种可能的点对称性类型再考虑到平移对称性bravais格子只有十四种不同的类型这十四种bravais格子的惯用元胞如图1261所示???发现??指出????进一步指出????首次导出背景音乐
背景音乐： 背景音乐：
19th Cent.初，Weiss ：研究晶体表面的对称分布 初 晶体学坐标系： 晶体学坐标系：晶体分为七个晶系 1830年， Hessel ：研究晶体表面的对称分布 年 三十二种可能的点对称性类型 1849年，Bravais 年
发现→ 七种
指出 晶体只有 →
固半思考题
固体物理思考题1. 什么是布拉菲格子？格点周围排列情况相同的格子叫布拉菲格子（抽象出来的几何结构）书本定义：如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个原子，则形成的晶格叫简单格子，或布拉菲格子2. 布拉菲格子与晶体结构之间的关系？布拉菲格子（14种）+基元=晶体结构3. 什么是复式格子？复式格子是怎么构成的？复式格子是由两个或两个以上相同的布拉菲格子以确定的方位套构而成4.原胞和晶胞是怎样选取的？它们各自有什么特点？原胞：体积最小的周期性平行六面体单元，选取不唯一(周期性，体积最小，只含一个格点，格点在顶角)晶胞：同时考虑周期性与对称性两个因素选取的重复单元，一般选在晶轴上(周期性，对称性，不止一个格点，格点除顶角外，还可能在面心，体心，底心)5.如何在复式格子中找到布拉菲格子？找等同的原子(周围情况相同的点)6.复式格子是如何选取原胞和晶胞的？找出布拉菲格子----在布拉菲格子中选取原胞和晶胞7.金刚石结构是怎样构成的？金刚石是由C原子组成的，由两个相同的面心立方沿立方体的体1套构而成对角线位移48.氯化钠、氯化铯的布拉菲格子是什么结构？面心立方;简单立方（针对布拉菲格子而言）9.密堆积有几种密积结构?它们是布拉菲格子还是复式格子?两种:密积六方和密积立方;复式格子10.8种独立的基本对称操作是什么?旋转对称:C1 C2 C3 C4 C6 ;反映: ;倒反:i;4度象转:S411.7大晶系是什么?三方四方六方立方正交单斜三斜12.怎样确定晶向指数和晶面指数？晶列在三个基矢方向上的分量化为互质整数[晶向指数] ;晶面在三个基矢方向上的截距取倒化为互质整数（晶面指数）13.晶面指数与晶面在三坐标轴上的截距之间的关系？互为倒数14.通过原点的晶面如何求出其晶面指数？平移坐标轴或晶面15.倒格子的定义？正倒格子之间的关系？倒格子就是一些周期分布点子所组成的格子，以一定的对应关系与晶格相联系，它是波矢(k)空间的数学表示正格子与倒格子互为傅里叶变换16.一维单原子晶格的色散关系？色散关系周期性的物理意义？色散关系:)21sin()21sin(2max qa qa m ωβω==（波矢q 为横轴，角频率ω为纵轴）)2()(a q q πωω+= 意义：原子分布的离散性与周期性17.一维双原子晶格的色散关系? [][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++++=+)2cos(2)()2cos(2)(222_222qa Mm m M m M Mm qa Mm m M m M Mm βωβω声学支：光学支： 18.同一原胞内两种原子有什么振动特点？长波极限（q 在布区中心）短波极限（q 在布区边界）声学波：同向质心振动(原子运动一致);轻原子不动，重原子动 光学波：反向质心不动(原子运动相反);轻原子动，重原子不动19.晶格振动的波矢数、格波支数及格波数是如何确定的？ N （原胞数） n （一个原胞中的原子数）每支格波包含的格波数=原胞数=波矢数=N格波支数=每个原胞中原子的自由度总数=3n （三维）格波数=原子的自由度总数=3Nn （三维）20.声子这个概念是怎样引出的？它是怎样描述晶格振动的？ 描述晶格振动能量时引出的（声子是晶格振动中的简谐振子）；它是晶格振动中能量变化的最小单位（总能量为l Nn l l n E ω ∑=+=31)21(）21.驻波边界条件与行波边界条件下的状态密度分别怎么表示?驻波:1-）（L π(一维)；2-）（L π(二维)；3-）（Lπ(三维)；行波：12-）（L π(一维)；22-）（L π(二维)；32-）（Lπ(三维) 22.一维、二维、三维晶格的能级密度如何求出？一维：dk L2221⨯⨯-）（π 二维:kdk Lππ2222⨯⨯-）（ 三维:dk k L23422ππ⨯⨯-）（ 23.布洛赫定理的内容是什么?①描述在周期势场中运动电子的波函数(布洛赫电子) ②⎪⎩⎪⎨⎧+==)()()()(l k k kr i k k R r u r u e r u r ψ ③r k i e 描述电子在晶体中的共有化运动 ④)(r u k 描述电子在原胞中的运动24.禁带出现的位置和禁带宽度与什么有关?(能量不连续产生禁带，导致能带出现)禁带出现的位置：an k π=(与晶体结构有关) 禁带宽度：n n V E E E 2=-=∆-+(与周期势场有关)25.每个能带能容纳的电子数与什么有关？原胞数；考虑自旋，每个能带能容纳的电子数是原胞数的两倍26.如何运用紧束缚近似下得出的能量公式？∑---=mk i m e E E ργα027.布洛赫电子的速度和有效质量公式？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂=-2221*11k Em k E ν28.有效质量为负值的含义？ 在能带底附近022≥∂∂kE ，电子的有效质量为正，在能带顶附近022≤∂∂kE ，电子的有效质量为负，因为有效质量概括了晶体内部势场的作用，外力作用不足以补偿内部势场的作用时，电子的真实动量是下降的，所以有效质量是负的29.绝缘体、半导体、导体的能带结构及电子填充情况有什么不同？看最高能带的填充情况;导体没填满包含本身未满和能带有交叠两种情况T=0时，半导体与绝缘体最高能带都填满了，温度升高，半导体禁带宽度减小，有电子跃迁32.空穴的定义和性质？空穴：满带或价带中的空状态半导体物理思考题1．半导体呈本征型的条件？高纯无缺陷或是高温下的杂质半导体2．什么是非简并半导体？什么是简并半导体？服从玻尔兹曼分布(T K E E B F 远大于-)的半导体是非简并半导体，服从费米分布的半导体是简并半导体3．n 型和p 型半导体在平衡状态下的载流子浓度公式？ n 型: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T K E E C B F C e N n 0 p 型:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T K E E V B V F e N p 04．非简并半导体的费米能级随温度和杂质浓度的变化？P3275. 半导体在室温全电离下的电中性条件？n 型:D N n =0(施主浓度) p 型:A N p =0(受主浓度)6. 简并半导体形成杂质能带，能带结构有什么变化？ 杂质电离能减小，禁带宽度变窄7．散射的原因是什么？周期势场遭到破坏;原因：一是热运动，二是杂质原子的存在或是原子本身几何排列上的缺陷8．载流子的迁移率和电导率公式？迁移率：*nn n m q τμ=, *p p p m q τμ= 电导率:n n nq μσ=, p p pq μσ=9．什么是准费米能级？P352准费米能级是在非平衡状态下，导带和价带的局部费米能级10．多子的准费米能级偏离平衡费米能级与少子的偏离有什么不同？多子偏离小，少子偏离大11. 爱因斯坦关系式？表明了非简并情况下载流子迁移率和扩散系数之间的关系; 关系式：q T K D B n n=μ, q T K D B p p =μ 12．什么是p-n 结的空间电荷区？自建场是怎样建立起来的？P37013．平衡P-N 结和非平衡P-N 结的能带图？P371 P376 P37714. 雪崩击穿和隧道击穿的机理？雪崩击穿：碰撞电离引起载流子倍增隧道击穿：隧道效应15．什么是功函数？什么是电子亲和能？P388功函数：费米能级上的电子逸出体外所作的功⎩⎨⎧+=-=-=n s F s mF m E X E E W E E W )()(00半导体体内：金属体内： ;电子亲和能:半导体导带底的电子跃迁到体外的最小能量 C E E X -=016．金属-半导体接触的四种类型？n 型阻挡层，n 型反阻挡层，p 型阻挡层，p 型反阻挡层17．在考虑表面态的情况下，怎样形成欧姆接触？高掺杂的半导体与金属接触。
对称性和布拉维格子的分类
四.7 种晶系和14种布拉菲格子：
1.1 中我们讨论了晶体的周期性，现在我们又分 析了晶体的宏观对称性，它们是晶体中原子有序排列 所反映的相互联系、相互制约的两个侧面。任何晶体 都具有晶体点阵所代表的基本周期性，由此我们导出 了晶体宏观对称性所具有的 32 种点群类型。现在我 们反过来提出问题，晶体如果具有某种宏观对称，它 应该具有怎样的点阵？也就是说如果要求一个晶体
除了普通的三个空间维度（即位置坐标）外，还 可能要考虑另一个具有不连续的维度，例如原子自旋 上下，这时该空间的对称群被叫做色群，理论分析应 该有1651种类型。（见冯端书p51-52)
六. 点群对称性和晶体的物理性质：
物体的物理性质，常通过两个物理量之间的关系来 定义，例如以下关系分别给出密度、电导率和介电常数：
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保 持不变的操作。
点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。
对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
一些图形的对称操作：
●
●
如何科学地概括和区别四种图形的对称性？
从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形 只能旋转 , , 3 才保持不变；后2个图形只有 2 的旋转。
22
圆形的任一直径都是对称线；正方形只有4条连线是对称线；
等腰梯形只有两底中心连线是对称线。
以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
这些晶系的对称性，我们称之为惯用晶胞。它们都是 简单格子，例如简立方格子包含 4个 3重轴和 3个 4次 轴，可以代表立方晶系的晶胞等，如此我们得到的 7 个晶系的名称及其对晶胞的要求、所含点群类型见下 页表。
1.2-布喇菲格子-原胞和晶胞-1.3-密堆积PPT优秀课件
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
晶体倒格子和布里渊区
(i
j)
v
a1
(a2
a3
)
a3 4
b1
2 (a2 a3 )
v
2
a
(i
j
k)
b2
2 (a3 a1)
v
2
a
(i
j
k)
b3
2 (a1 a2 )
v
2
a
(i
j
k)
对
a1
a 2
(i
j
k)
比
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a (i 2
j
k)
二者只相差一常数公
因子，因此得证。
由于布里渊区界面是某倒格矢 G 的垂直平分面，如果
用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程：
k
G
1
G2
2
该方程称作布里渊区的界面方程
• 二维正方格子的布区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为 d 2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
M R X
K L U W X
结晶学与矿物学 第8章
若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平移的距离t 应为（s/n）·T。
如21，2为轴次（2次螺旋轴），最小基转角α＝180°，平
移距离t=1/2T
21 31 32 41 42 43 61 62 63 64 65
左旋31= 32 左旋41= 43
11
第八章 晶体结构
（3）.滑移面（glice plane of symmetry）
1
第八章 晶体结构
第一节 十四布拉维空间格子
1. 空间格子的划分 （1）划分原则 a. 反映固有的对称性； b. 在上述前提下，棱与棱之间的直
角关系力求最多； c. 在以上二条件的基础上，体积力
求最小；
2
（2）. 各晶系平行六面体的形状
晶族
晶系
格子类型
晶体常数
高级 中级
低级
等轴 立方格子
四方 四方格子
19
第八章 晶体结构
1．点缺陷（point defect） 是发生在一个或若干个质点范围内所形成的晶格缺
陷。最常见的点缺陷表现形式有下列几种。
（1）空位 晶格中应有质点占据 的位置因缺失质点而 造成空位。
20
1．点缺陷（point defect）
（2）填隙 在晶体结构中正常排列的质
点之间，存在多余的质点填充 晶格空隙 ——
晶体中的结构单位为中性分子，分子内部通常以较强的共价键联结，分子间以微弱的分 子键即范德华力（the Van Der Weals bond）相联结。如自然硫（S）
17
第八章 晶体结构
第二节 晶体结构类型与典型结构
2．典型结构
不同晶体的结构，若其对应质点的排列方式相同，则称它们的结构是等型 的。
结晶学第八讲—14种布拉菲格子 共37页
111 110
100
一般点及其操作
110
101
111
001
011
010 y
z
111 101
110
y
x
100
x
3、4、2次轴
23 (3L24L3)
立 方
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
X
z
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
32 (L33L2)
y
x
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
4 (S43, Li4)
6 (S35, Li6)
旋转反演轴， n
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
特点
三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠
2(C2)或2(m)
单 斜 a≠b≠c, = = 90o≠
两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c, = = = 90o
4(C4)或4(S43)
全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
点群各符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜 只用一个符号
单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
正交 2或2沿a
2或2沿b
2或2沿c
四方 4或4沿c 2或2沿a和b
2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
3m
(L33P)
m3
(3L24L33PC)
32 2/m mmm 4mm 6mm 32(L33L2) 43m
结晶学第八讲—14种布拉菲格子
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群
点对称操作
1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3) 4 (C4, L4) 6 (C6, L6)
旋转轴， n
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
1 (i, C) 2 (σ, P), m
+, + _, +
3 (S65, Li3)
y
系
y
x
x
没有4次真旋转轴！
432 (43, 3L44L36L2)
z
立
方
晶 系
y
y
x
x
有4次轴！
x
z y
X
y
X
m3 (2/m3, 3L24L33PC) x
m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC)
z
立
方
晶 系
y
y
x
x
有4次轴！
y
432 (43, 3L44L36L2) x
23 (3L24L3)
4
[2,2]
centrosymmetric
8
[4]+ enantiomorphic polar 4
cyclic cyclic 2×cyclic dihedral dihedral 2×dihedral Cyclic
x
3、4、2次轴
23 (3L24L3)
立 方
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
X
z
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
32 (L33L2)
y
x
氯化钠晶体布拉菲格子形状
氯化钠晶体布拉菲格子形状引言氯化钠（NaCl）是一种常见的无机化合物，也是我们日常生活中常见的食盐的主要成分。
它是一种具有晶体结构的化合物，具有布拉菲格子形状。
本文将详细探讨氯化钠晶体的结构特点以及布拉菲格子形状的具体表现。
氯化钠晶体结构特点布拉菲格子结构氯化钠晶体具有布拉菲格子结构（BCC structure），在晶体学中也称为立方密堆积结构。
这种结构是常见的晶体结构之一，也是金属和离子化合物中最简单的晶体结构之一。
结构单元氯化钠晶体由氯化钠离子组成，其中钠离子（Na+）和氯离子（Cl-）按照一定的排列方式相互堆积形成晶体。
钠离子具有正电荷，氯离子具有负电荷，它们的排列方式决定了晶体的结构。
单元胞在布拉菲格子结构中，晶体被分解为许多相同的小单元，称为单元胞。
氯化钠晶体的单元胞是一个正方体，其中每个角上有一个离子。
离子排列在氯化钠晶体中，钠离子和氯离子按照一定的规则排列。
钠离子和氯离子交替排列，形成一个紧密堆积的结构。
具体来说，每个钠离子的周围环绕着6个氯离子，而每个氯离子的周围环绕着6个钠离子。
布拉菲格子形状的表现对称性布拉菲格子具有一定的对称性。
它具有立方对称性，即使在不同方向上观察，晶体的外观是一致的。
结晶面布拉菲格子结构可以通过晶体中的结晶面来观察和描述。
结晶面是晶体中原子或离子排列的一个截面，它可以通过晶体的外观来观察到。
晶体形状布拉菲格子的晶体形状通常为六面体或立方体。
这是因为在布拉菲格子中，每个离子周围都有6个最近邻离子，所以在生长过程中，晶体形状会呈现出这种六面体或立方体的形态。
结论氯化钠晶体具有布拉菲格子结构，这种结构在晶体学中被广泛研究和应用。
布拉菲格子结构凭借其对称性和晶体形状的特点，使得氯化钠晶体在化学、物理和生命科学领域有着重要的应用价值。
同时，深入了解布拉菲格子形状的特点，也有助于我们更好地理解晶体的结构和性质。
参考文献[1] 胡茂林, 化学基础. 高等教育出版社, 2005. [2] 何明, 材料科学与工程导论. 中国轻工业出版社, 2019.。
1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
描写晶体的对称性
• 点对称性 点对称性——周期性 周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 空间（实空间） 布拉伐格子 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间) 空间(相空间) 倒格子 布里渊区 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格 格子，
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子 布拉伐格子
9
晶格
10
原胞的选取
11
• 结点 格点 ：代表基元的几何点 结点(格点 代表基元的几何点 格点)： • 点阵(格子 ：结点的总和 点阵 格子)： 格子
晶体结构= 点阵+ 基元
结构 具体
用没有大小的 几何点来代表 基元， 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵 阵列 点阵
12
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 基元平移（没有转动） 晶体结构， 上 晶体结构，基元将填满所有空 没有重叠， 间，没有重叠，也没有遗漏 • 思考：基元形状？ 思考：基元形状？
30
a1 a2 a3
k
bcc基矢的另一种选取： a = aˆ i 1 a = aˆ j
2
a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j + k ) 2
P
格点P的位矢：
a3 a1 a2
P = −a1 − a2 + 2a3
i
j k
31
面心立方
a ˆ ˆ a1 = ( j + k ) 2 a ˆ ˆ a1 = (k + i ) 2 a ˆ ˆ a 3 = (i + j) 2
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？ 思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
§1.8 晶体表面的几何结构
表面相的基矢可能和体内同一晶面簇中基矢存在 差异，这种现象称为表面再构。
7
固体物理
固体物理学
表面再典型例子
两族基矢不再平行但夹角不变，相当于旋转了一定角度
8
固体物理
固体物理学
Si(111)7×7 —— 硅（111）表面原子排列的周期
为体内相应平面的7 倍。
不同的方法可以获得不同的再构表面，表面的再构现象与表面 原子的驰豫、原子的吸附有关，通常可由低能电子衍射（LEED， Low Energy Electron Diffraction）获得表面再构的几何规律。
4
固体物理
固体物理学
二维晶格的晶系和布喇菲格子
晶系 斜方 长方 正方 六角 轴和角度 布喇菲格子 简单斜方 简单长方 中心长方 简单正方 简单六方
5
固体物理
固体物理学
6
固体物理
固体物理学
晶体表面相 对于晶体表面结构的研究表明，晶体表面的结 构不完全是晶体内部相应结构的面的延续。晶体表 面是晶体三维周期性结构和真空之间的过渡层，可 以将它看作是特殊的相—— 表面相。
晶体总是存在着表面垂直于晶体表面的方向为Z 轴， X 和Y 轴在晶体表面上。晶体在Z 轴方向上的周期性被 破坏，而在XY 平面内仍然保持着周期性。用二维布喇 二维布喇 菲格子来表征晶体表面的空间周期性。 菲格子
1
固体物理
固体物理学
对于面心立方晶体，在（100）方向上表面二维布喇菲格子是 正方格子
在（111）方向上表面二维布喇菲格子是密排结构
二维倒格子与二维布喇菲格子的关系满足定义垂直于表面的单位矢量所有倒格点的集合构成二维倒格子空间固体物理学固体物理由于晶格周期性在z轴方向的限制二维晶格的对称素只有6垂直于表面的n重转轴种对称素可以组成10种二维点群按照点群对基矢的要求划分二维格子有4个晶系5种布喇菲格子
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群
点对称操作
1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3) 4 (C4, L4) 6 (C6, L6)
旋转轴， n
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
1 (i, C) 2 (σ, P), m
+, + _, +
3 (S65, Li3)
及
y
其
422
622
3m
m3m
点
x
(L44L2)
(L66L2)
(Li33L23P) (3L44L36L29PC)
对
4 (Li4)
6 (Li6)
称
操
42m 62m
y
作
(Li42L22P) (Li63L23P)
x
按晶系推到点群举例
正
交
y
y
y
晶
系
x
x
x
222
(3L2)
mm2
(L22P)
mmm
(3L23PC)
3m
(L33P)
m3
(3L24L33PC)
32 2/m mmm 4mm 6mm 32(L33L2) 43m
种 (L2PC) (3L23PC) (L44P)
(L66P)
(3Li44L36P)
点 群
4/mmm 6/mmm 3(Li3)
(L44L25PC) (L66L27PC)
432
(3L44L36L2)
011
111 110
100
一般点及其操作
110
101
111
001
011
010 y
z
111 101
110
y
x
100
x
3、4、2次轴
23 (3L24L3)
立 方
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
X
z
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
32 (L33L2)
y
x
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立
z
方
X
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
X
y
没有4次轴！ 左右手问题
X
x
43m (3Li44L36P)
立
z
方 晶
y
系
y
x
x
没有4次真旋转轴！
432 (43, 3L44L36L2)
z
立
方
晶 系
y
y
x
x
有4次轴！
x
z y
X
y
X
m3 (2/m3, 3L24L33PC) x
m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC)
z
立
方
晶 系
y
y
x
x
有4次轴！
y
432 (43, 3L44L36L2) x
23 (3L24L3)
T
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
Th
43m (3Li44L36P)
Td
Tetragonal
Octahedral
100
x
110
110
101
111
111
010
011
001
011
010 y
z
111 110
3
59
4
Orthorhombic
Tetragonal
1 fourfold axis of rotation
7
68
2
Tetragonal
Hexagonal
Trigonal Hexagonal
1 threefold axis of rotation 1 sixfold axis of rotation
7 5
(Li42L22P)
一般形，可直观地反映(尤其是同一晶系)各点群的差别
110
111
010
011
111 110
100
101
001
面、方向、轴
110
111
z
011
010 y
111
y
101
x
110
100
x
45o, 54o44’ ,109o28’
35o16’ , 70o32’, 60o
110
111
010
4 (S43, Li4)
6 (S35, Li6)
旋转反演轴， n
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
特点
三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠
2(C2)或2(m)
单 斜 a≠b≠c, = = 90o≠
两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c, = = = 90o
4(C4)或4(S43)
Triclinic
None
2
2
1
Triclinic
Monoclinic
1 twofold axis of rotation or 1 mirror plane
3
13
2
Monoclinic
Orthorhombic
3 twofold axes of rotation or 1 twofold axis of rotation and two mirror planes.
18
7
27
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rhombohedral
1
Hexagonal
Cubic
4 threefold axes of rotation
5
36
3
Cubic
Total: 6
7
32
230
14
7
记住专业术语！
点对称操作符号
1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3)
四 方 a = b≠c, = = = 90o
3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35)
三方 六方
a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = 菱形
a = b≠c, = = 90o, = 120o
四个三次轴 立 方 a = b = c, = = = 90o
按晶系推到点群举例
四
方
晶
系
4 (L4)
4/m
(L4PC)
4mm
(L44P)
4/mmm
(L44L25PC)
422 (42,
L44L2)
4 (Li4)
42m (Li42L22P)
四
方
晶 系
4 (L4)
4/m
(L4PC)
4mm
(L44P)
4/mmm
(L44L25PC)
422 (42, L44L2)
4 42m (Li4)
全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
点群各符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜 只用一个符号
单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
正交 2或2沿a
2或2沿b
2或2沿c
四方 4或4沿c 2或2沿a和b
2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
101
100
x
111
110
x
y
Td
432 (43, 3L44L36L2)
O
m3m (3L44L3 6L29PC)
Oh
Crystal family Crystal system
Required symmetries of point group
point groups space groups bravais lattices Lattice system
六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
立方 4、4、2或2
沿<100>
3或3沿<111>
2或2沿<110>
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4)
6(L6)
3(L3)
23(3L24L3)
1(C) m(P) mm2 4/m
(L22P) (L4PC)
6/m
(L6PC)