线性代数中的合同关系、正定矩阵

什么是线性代数中的合同？惯性定律？

“合同”是矩阵之间的一种关系。两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。按照

它可以对n阶方阵的全体进行分类。对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。

①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。

②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。

结果②就是“惯性定理”。

一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?

不对，反例： 1 2

2 1

只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定

设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量

X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。

证明：若，则有

∴λ＞0

反之，必存在U使

即：A正定

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

特征值都在主对角线上运算你知道的吧。

行列式小结

一、行列式定义

行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？

行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。

二、行列式性质

行列式的那几条性质其实也很容易记忆。

1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。

2、互换两行（列），行列式变号。

3、两行（列）相等，则行列式为0。

4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！

5、两行（列）成比例，则行列式为0。

6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。

7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。

这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。

三、行列式行（列）展开法则

行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。

行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。（即我一直强调的：要配套。）

如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。（即：不配套。）

矩阵小结

初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类：

1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；

2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；

3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。

则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。

1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；

2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；

3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。

其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。

初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。

最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？

当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说：

左乘的情况：

1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；

2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；

3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。

结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。

右乘的情况：

4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；

5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；

6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。

结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。

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请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。

初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。

若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A 去做处理，而是通过一种间接方式去实现。