线性代数中的合同关系、正定矩阵
正定矩阵合同于单位阵证明
正定矩阵合同于单位阵证明合同矩阵是线性代数中一个重要的概念，它指的是两个矩阵之间存在一个可逆矩阵使得这两个矩阵相似。
而正定矩阵是一个特殊的对称矩阵，它的特点是所有的特征值都是正数。
本文将证明正定矩阵合同于单位阵。
首先，我们先介绍合同矩阵的定义。
设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆阵P，满足$A=P^TBP$，则称矩阵A和B合同。
接下来，我们来证明正定矩阵合同于单位阵。
假设A是一个正定矩阵，那么A的特征值都是正数。
即存在正交矩阵Q，使得$A=Q^TQ$。
现在我们要构造一个可逆矩阵P使得$P^TP=I$，其中I是单位阵。
我们可以使用A的特征向量来构造P。
设Q的列向量为$Q_1,Q_2,...,Q_n$，对应特征向量$v_1,v_2,...,v_n$。
不妨设$Q=(Q_1,Q_2,...Q_n)$，则有$Q^TQ=I$。
我们现在要构造一个矩阵P使得$P^TP = I$。
我们可以将矩阵P定义为$P = (P_1,P_2,...,P_n)$，其中$P_i =\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Q_i$，其中$\lambda_i$是A的特征值。
首先，我们来证明$P^TP=I$。
对于$P^TP$的第i行第j列的元素，有$$(P^TP)_{ij} = (P_i^T)(P_j) =\left(\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Q_i^T\right)\left(\frac{1}{\sqrt {\lambda_j}}Q_j\right)$$$$=\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Q_i^TQ_j\frac{1}{\sqrt{\lambda_ j}}$$$$=\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}(Q^TQ)_{ij}\frac{1}{\sqrt{\lamb da_j}}$$$$=\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}\delta_{ij}\frac{1}{\sqrt{\lamb da_j}}$$$$=\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}\delta_{ij}$$其中，$\delta_{ij}$是克罗内克δ符号，当i=j时为1，否则为0。
两个矩阵合同
两个矩阵合同
两个矩阵的合同，是指两个矩阵具有相同的阶数，并且每个对应的元素也相等。
下面将分别介绍两个矩阵的合同的定义、性质以及实际应用。
一、合同矩阵的定义：
设A、B是两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B，则称A和B是合同矩阵。
二、合同矩阵的性质：
1. 合同矩阵具有相同的阶数，即两个矩阵的行数和列数相等。
2. 如果A和B是合同矩阵，则B和A也是合同矩阵。
3. 如果A和B是合同矩阵，C是任意矩阵，则C^TAC和
C^TBC也是合同矩阵。
4. 合同矩阵的相等是一个等价关系。
三、合同矩阵的应用：
1. 矩阵的合同在线性代数中经常用于矩阵的相似性判断。
如果两个矩阵是合同矩阵，则它们之间存在一个可逆矩阵，可以用来表示相似关系。
2. 合同矩阵也可以用于矩阵的特征值和特征向量的计算。
通过合同变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，便于计算特征值和特征向量。
3. 合同矩阵还可以应用于矩阵的标准型的求解。
通过合同变换，可以将一个矩阵转化为一个特定形式的标准型，进而进行进一步的计算和分析。
4. 合同矩阵在矩阵的相合关系和正定性判断中也具有重要作用。
通过合同矩阵的变换，可以将一个矩阵转化为一个已知的形式，进而判断其性质和特性。
综上所述，合同矩阵在线性代数中具有重要的理论和应用价值。
通过对矩阵的合同性进行研究，可以帮助我们判断矩阵的相似性、特征值和特征向量，以及进行标准型的求解和正定性的判断，对于解决实际问题和推动数学发展都具有重要的意义。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换矩阵的合同变换是一种矩阵变换，它保持矩阵的本征值和本征向量不变。
在讨论矩阵的合同变换之前，我们先来了解一下矩阵的本征值和本征向量。
矩阵的本征值和本征向量是线性代数中非常重要的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为一个常数，那么λ就是矩阵A的一个本征值，相应的x就是对应于λ的一个本征向量。
矩阵的本征值和本征向量可以用于解决线性方程组、矩阵对角化等问题。
现在我们来讨论矩阵的合同变换。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP，那么称矩阵B是矩阵A的合同变换。
合同变换保持矩阵的本征值和本征向量不变。
接下来我们来证明这一结论。
假设x是矩阵A的一个本征向量，对应的本征值为λ，即Ax = λx。
那么根据矩阵的合同变换定义，我们有Bx = P^(-1)APx = P^(-1)λx = λP^(-1)x。
由于P是非奇异矩阵，所以P^(-1)也是非奇异矩阵，因此λP^(-1)x也是矩阵B的一个本征向量，对应的本征值也是λ。
所以合同变换保持矩阵的本征值和本征向量不变。
矩阵的合同变换可以通过矩阵的相似变换来理解。
如果矩阵A 和B相似，即存在一个非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP，那么矩阵B是矩阵A的合同变换。
相似变换也保持矩阵的本征值和本征向量不变。
矩阵的合同变换有一些重要的特性。
首先，合同变换保持矩阵的对称性。
如果矩阵A是对称矩阵，即A = A^T，那么矩阵A 的任意合同变换B也是对称矩阵。
其次，合同变换保持矩阵的正定性。
如果矩阵A是正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，那么矩阵A的任意合同变换B也是正定矩阵。
最后，合同变换可以用于化简矩阵的计算。
通过矩阵的合同变换，我们可以将矩阵化为更简单的形式，从而方便进行计算。
总结起来，矩阵的合同变换是一种保持矩阵的本征值和本征向量不变的矩阵变换。
合同变换可以通过矩阵的相似变换来理解，并且保持矩阵的对称性和正定性。
线性代数中的几个等价关系
线性代数中的几个等价关系作者：李斐郭卉来源：《课程教育研究·上》2013年第08期【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。
【关键词】等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01一、等价关系的定义在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。
如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。
自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。
二、等价关系与分类若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。
这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。
反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。
籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。
易于验证该关系是一个等价关系。
也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。
一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。
三、线性代数中的四个等价关系3.1 矩阵的等价关系不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。
矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？该“等”实际是指矩阵的行数和列数相等，同时矩阵的秩相等。
我们有如下关于矩阵等价的定理。
定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们同型且秩相等。
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
线性代数__69 正定矩阵_
6.9 正定矩阵.A n 设是阶实对称矩阵:下列论断彼此等价8定理(1);A 是正定矩阵(2),n A n I 与阶单位矩阵合同(3),nB 存在阶可逆的实矩阵(4).A 的特征值都大于零T;A B B 使得;A n 即的正惯性指数为证明(1)(2)⇒.A 设是正定矩阵T,X AX 因为实二次型是正定的TX AX 所以的规范形为A 因此与单位矩(2)(3)⇒.n A I 设与单位矩阵合同,根据矩阵合同的定义,n P 存在阶可逆的实矩阵T.n P AP I =使得1,B P -=令T 11T()().n A P I P B B --==则有22212.ny y y +++.n I 阵是合同的,n B 设存在阶可逆的实矩阵T.A B B =使得(3)(4)⇒,A λ设是的特征值,A ξλ是的属于特征值的特征向量.A ξλξ=即因为TA ξξT0,ξξ>于是(1)0.λ>所以由等式得到T()()B B ξξ=0,>TT()()B B ξξ=T A ξξT ()ξλξ=T ()A ξξ=T().λξξ=(1)并且.正定矩阵的行列式大于零推论▌证毕.A 设的特征值都大于零(4)(1) T X AX这时实二次型,n 的正惯性指数为T.X AX 即是正定二次型A 因此是正定.矩阵定义(),i j A a n =设是阶矩阵,t A 第个称的顺序主子式为111212122212t t t t t t t a a a a a a M a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的子矩阵1,2,,.t n =的行列式||t t M ∆=9定理n A 阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件,A n 是的个顺序主子式都大于零即1110,a ∆=>1112221220,a a a a ∆=>,||0.n A ∆=>(),i j a n A =设是阶实对称矩阵证明T12(,,,)n f x x x X AX=.A 为矩阵的实二次型12,,,,n x x x 是以为未知数12(,,,,0,,0)t f x x x .是正定二次型8,根据定理的推论0.t t M ∆>的行列式,A n 设是阶实对称矩阵T12(,,,).t t X x x x =记{1,2,,},t n ∈对任意的.必要性,A 因为是正定矩阵12(,,,).n f x x x 所以是正定二次型,因此.充分性A n 并且的个顺序主子.式都大于零T tt tX M X =.t M 于是是正定矩阵1,A n =如果的阶数.A 则显然是正定矩阵1,A n -并且当的阶数为时.结论成立A 现在证明当的阶2,n ≥假设,n 数为时.结论也成立111(1)1(1)1(1)(1)(1)1(1)n nn n n n n n n n nn a a a A a a a a a a ------⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 将按如下方法分块1T.n nn M a αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭.A n A 我们对的阶数用数学归纳法证明是正定矩阵。
正定矩阵地性质和判定方法及应用
正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。
一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。
2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。
3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。
4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。
6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。
二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。
3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。
三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。
例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。
正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。
2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。
例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。
3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。
例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。
正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。
4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。
通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。
综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。
正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
线性代数重点知识总结
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
线性代数总结
第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。
3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。
(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。
性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。
线性代数二、正定矩阵及其最小值
线性代数⼆、正定矩阵及其最⼩值⼀、说明 本博客讲述内容根据MIT 线性代数第⼆⼗⼋课归纳⽽成。
⼆、主要讲述问题 1-如何判断⼀个矩阵是正定矩阵 2-正定矩阵的最⼩值 3-正定矩阵的⼏何解释三、如何判断⼀个矩阵是正定矩阵 1-正定矩阵 ⼀个矩阵是正定矩阵，那么必须要满⾜以下的关系 (1)它必须是⼀个nXn 的⽅阵（我们⽤符号A 来表⽰） （2）对于任意的⼀个向量x （不是每⼀个元素都是0）, 都必须满⾜这样的⼀个条件：x T Ax >0 2-正定矩阵具有的特点 （这个可以参考第⼆⼗六课内容，如果有时间我会补充） （1）它的所有的主元都必须是⼤于0的 （2）它的所有的特征值都是⼤于0的（实际上，特征值和主元的符号是相同的，⽐如，如果主元有三个正的，两个负的，那么特征值也是这样） （3）它的所有的⼦⾏列式都是⼤于0的。
⾄于什么是⼦⾏列式，我们可以看⼀下下⾯的例⼦： 对于⼀个矩阵： 231022111 那么它的⼦⾏列式有：2,2302 231022111 3-如何判断 根据上⾯的条件，那么⾃然⽽然就知道如何判断⼀个矩阵是不是正定矩阵： （1）只有所有的主元都是正的，那么这个矩阵是正定矩阵 （2）所有的特征值是正的，那么这个矩阵是正定矩阵 （3）这个矩阵的所有⼦⾏列式是正的，那么这个矩阵是正定矩阵 （4）如果对于矩阵A, x T Ax >0 （这个是根据定义式出发） 4-⼀个例⼦[][][][] 4.1对于⼀个⼆阶矩阵a b c d ，那么下⾯的四个条件都可以判断： (1) λ1>0,λ2>0 (2) a >0,ac −bda >0 （3）a >0,ac −bd >0 (4) x T Ax >0 4.2如下⾯⼀个矩阵：26618 我们可以看到，第⼀列和第⼆列存在⼀个倍数的关系，所以这是⼀个奇异矩阵。
奇异矩阵⼀定有⼀个特征值是0， 另外⼀个特征值就等于迹减去这个特征值（这⾥是根据特征值之和等于主对⾓线的元素之和，也就是迹） 所以另外⼀个特征值是：20。
矩阵ab合同的定义
矩阵合同的定义在数学的分支——线性代数中，矩阵理论是研究线性方程组、向量空间和线性变换的重要工具。
特别是，当我们讨论两个矩阵A和B时，一个常见的概念是它们之间的“合同”关系。
本文旨在解释矩阵合同的定义及其在线性代数中的应用。
矩阵合同的基本定义两个矩阵A和B被称为合同（congruent），如果存在一个可逆矩阵P，使得： [ P^TAP = B ] 其中，( P^T )表示P的转置矩阵。
这个定义表明，通过适当的线性变换（这里由P代表），矩阵A可以变换成矩阵B。
这种变换保持了矩阵的某些性质不变，例如对称性和正定性。
合同矩阵的性质1. 对称性保持：如果A是对称矩阵，那么任何与A合同的矩阵B也是对称的。
这是因为( (P^TAP)^T = P^T(P^TAP) = P^TAP = B )。
2. 正定性：如果A是正定矩阵，则任何与A合同的矩阵B也是正定的。
这意味着两个矩阵具有相同的正负特征值。
3. 行列式值：合同变换不改变矩阵的行列式的值，即( \det(A) = \det(B) )。
这是因为( \det(P^TAP) = \det(P^T)\det(A)\det(P) = \det(P)^2\det(A) = \det(A) )。
合同矩阵的应用- 二次型优化问题：在优化理论中，通过适当的合同变换，可以将一般的二次型转化为标准形式，从而简化问题的求解过程。
- 相似矩阵理论：虽然合同和相似是两个不同的概念，但它们之间存在一定的联系。
理解合同可以帮助我们更好地理解相似矩阵及其在特征值问题中的应用。
- 数值分析：在处理实际问题时，如统计分析或工程计算，合同变换可以用来简化数据的结构，使其更易于分析和处理。
结论矩阵合同是线性代数中的一个基本概念，涉及到矩阵的等价变换和性质的保持。
通过理解和运用合同的概念，我们可以在多个数学和应用领域中解决问题，特别是在处理涉及线性变换和二次型的问题时。
掌握这一概念不仅有助于理论研究，也对实际应用有重要的指导意义。
矩阵的分类
合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)标签：分类：工作篇校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。
两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。
性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。
传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。
由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。
根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。
如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。
对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。
因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。
在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。
如果设1的个数是p，-1的个数是q,那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。
数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，J 的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。
据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。
正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。
如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。
一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是no正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。
同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。
参看相似矩阵参考资料北京人学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。
正定矩阵通俗解释
正定矩阵通俗解释正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程应用中有着广泛的应用。
所谓正定矩阵，指的是一个实对称矩阵，且对于任意的非零实向量，该矩阵与向量的内积都大于零。
正定矩阵的定义可能较为抽象，下面将通过通俗的语言来解释正定矩阵的概念。
我们先来理解一下内积的概念。
在日常生活中，我们经常会遇到两个物体之间有一种“相关性”。
例如，买菜的时候，某种蔬菜的价格与其重量有一定的关系，重量越大价格越高。
在这个例子中，我们可以将价格看作一个向量，重量看作另一个向量，两者之间的乘积就是它们的“内积”。
类似地，在数学中，我们可以将两个向量之间的乘积称为内积，它虽然不是数值，但它反映了两个向量的关系，从而对于一些数学理论和应用有着重要的意义。
回到正定矩阵，正定矩阵是对内积的一个扩展，它不仅仅是两个向量之间的内积大于零，而是矩阵与任意非零实向量的内积都大于零。
这意味着正定矩阵不仅仅是某两个向量之间有一种关系，而是对于所有的向量都有一种“正相关性”。
可以这样理解，正定矩阵是一种描述向量集合的方式，它反映了向量集合中的向量之间的整体关系。
正定矩阵在数学和工程应用中有着广泛的应用。
在数学领域，正定矩阵是研究线性代数、数值分析、微分方程等领域的基础工具。
它在数值计算中的应用尤为重要，例如在求解线性方程组、最小二乘拟合、优化算法等问题中都用到了正定矩阵。
在工程应用中，正定矩阵常常用于描述物理系统的性质和行为，例如热传导、弹性力学、信号处理等。
在机器学习和人工智能领域，正定矩阵也被广泛应用于特征提取、模式识别等任务中。
为了更深入地了解正定矩阵，下面给出一些相关的参考内容，供读者进一步学习和了解。
1. 《线性代数及其应用》（作者：Gilbert Strang）这本教材是线性代数领域的经典之作，其中有一个章节专门介绍正定矩阵及其应用。
适合想要深入了解正定矩阵的读者阅读。
2. 《秩量及其应用》（作者：J. W. S. Cassels）这本书是关于代数几何和数论中的秩量理论的经典教材之一。
正定矩阵
等价命题
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的： （1）A是正定矩阵； （2）A的一切顺序主子式均为正； （3）A的一切主子式均为正； （4）A的特征值均为正； （5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C； （6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B； （7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R 。
正定矩阵
高等数学术语
01 定义
2 性质 04 充要条件 06 应用
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix)有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的 性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双 线性形式）。
判定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法： （1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。 （2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式 为负，偶数阶为正，则A为负定的。
应用
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定 矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
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定义
设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。 Hermite正定矩阵 设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵 。
性质
正定矩阵有以下性质 ： （1）正定矩阵的行列式恒为正； （2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同； （3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵； （4）两个正定矩阵的和是正定矩阵； （5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
矩阵合同变换
矩阵合同变换矩阵合同变换是线性代数中的重要概念之一，它涉及到矩阵的相似性和二次型的性质。
在矩阵合同变换中，我们通过左乘和右乘一个可逆矩阵来改变矩阵的形式，但不改变矩阵的相似性质。
首先，我们来定义一个正定矩阵。
一个对称矩阵A是正定矩阵，如果对于所有非零向量x，都有x^T * A * x > 0。
接下来，我们来定义一个合同变换。
给定两个n × n的矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A = P^T * B * P，则称A和B合同。
而P就是用于合同变换的矩阵。
我们可以通过矩阵的相似性质来理解合同变换。
当矩阵A和B合同时，它们有相同的特征值和特征向量。
这意味着通过合同变换，我们可以将一个矩阵转换为对角矩阵，其中对角线上的元素就是矩阵的特征值。
此外，合同变换还能改变矩阵的二次型的形式。
二次型是一个关于向量的二次多项式，可以表示为x^T * A * x，其中A是一个矩阵。
通过合同变换，我们可以将二次型转换为规范形式：x^T * A * x = y^T * D * y，其中D是一个对角矩阵，y是一个新的向量。
合同变换有许多重要的应用。
例如，在数学中，合同变换可以用来证明矩阵的相似对角化定理。
在物理中，合同变换可以用来将一个关于物理量的矩阵转换为一个更简单的形式。
在工程中，合同变换可以用来简化问题的求解过程。
总的来说，矩阵合同变换是一种通过左乘和右乘一个可逆矩阵来改变矩阵形式的方法。
它能保持矩阵的相似性质，同时改变矩阵的二次型的形式。
矩阵合同变换在线性代数和其它数学领域中有广泛的应用，是理解和处理矩阵问题的重要工具。
矩阵的分类
合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)分类：工作篇标签：校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。
两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得。
对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。
性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。
传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。
由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。
根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。
如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。
对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。
因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。
在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。
如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。
数对(p,q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，-1的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。
据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。
正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。
如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。
一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是n。
正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。
同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。
参看相似矩阵参考资料北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。
矩阵ab合同的定义
矩阵ab合同的定义
在数学中，特别是线性代数领域，两个矩阵被称为合同(congruent)的，如果它们具有相同的正负符号模式。
具体来说，给定两个实对称矩阵 (A) 和 (B)，如果存在一个可逆矩阵 (P) 使得：
[ P^TAP = B, ]
则称 (A) 与 (B) 是合同的。
这个定义揭示了合同矩阵之间的一种等价关系，它与矩阵的特征值有密切的联系。
合同矩阵的性质
1. 特征值相同: 合同矩阵具有相同的特征值，这是因为相似变换不改变矩阵的特征
值，而合同矩阵通过适当的相似变换可以互相转换。
2. 正定性: 如果 (A) 是正定的，那么任何与 (A) 合同的矩阵也是正定的。
3. 行列式相等: 合同矩阵的行列式值相等，即 (\det(A) = \det(B))。
4. 迹数相等: 合同矩阵的迹数（主对角线元素的和）也相等，因为迹数是相似变换
下的不变量。
合同矩阵的应用
- 二次型理论: 在研究二次型时，合同矩阵提供了一种简化问题的方法，通过选择合适的基，可以将一个复杂的二次型转换为标准形式。
- 矩阵分解: 合同关系在矩阵分解中扮演着重要角色，特别是在Cholesky分解和谱分解中。
- 优化问题: 在优化问题中，通过将约束条件或目标函数表示为矩阵的形式，利用合同性可以简化问题的求解过程。
结论
合同矩阵的概念不仅在理论上具有重要性，而且在实际应用中也非常有用。
它为我们提供了一种强有力的工具来理解和处理涉及矩阵的问题，尤其是在处理对称矩阵和二次型时。
通过理解合同矩阵的定义和性质，我们可以更深入地探索线性代数的许多方面，并应用这些知识来解决实际问题。
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什么是线性代数中的合同？惯性定律？
“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照
它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?
不对，反例： 1 2
2 1
只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定
设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量
X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即：A正定
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结
一、行列式定义
行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？
行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。
（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
二、行列式性质
行列式的那几条性质其实也很容易记忆。
1、行列式转置值不变。
这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。
2、互换两行（列），行列式变号。
3、两行（列）相等，则行列式为0。
4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！
5、两行（列）成比例，则行列式为0。
6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。
7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。
这7条性质往往组合使用来求行列式的值。
尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。
三、行列式行（列）展开法则
行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。
行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。
（即我一直强调的：要配套。
）
如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。
（即：不配套。
）
矩阵小结
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。
初等变换有三类：
1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；
2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。
则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。
1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。
初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。
首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。
最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？
当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。
具体来说：
左乘的情况：
1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；
2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；
3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。
结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。
右乘的情况：
4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；
5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；
6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。
结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~
请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。
初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。
若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。
或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A 去做处理，而是通过一种间接方式去实现。