金融随机过程-教学大纲

《金融随机过程》教学大纲

课程编号：111012A

课程类型：专业选修课

总学时：32

学分：2

适用对象：金融工程专业

先修课程：数学分析、线性代数、概率论

一、教学目标

本课程面向具有一定的金融学和数学基础，并对金融量化分析方法感兴趣的金融工程专业高年级学生。本课程在介绍金融随机过程基础理论同时，联系并且生动的分析金融建模中的实例，从量化的角度研究金融学中的一些问题，本课程亦可视为金融风险测度与管理的先导课程。

通过本课程教学，主要实现以下几个目标：

目标1：帮助学生了解金融学（特别是在金融衍生品定价及其风险管理领域）中的重要量化工具，例如：随机过程，随机微积分和偏微分方程，以及Monte Carlo 模拟等模型的数值实现方法。

目标2：通过金融案例教学的方式讲解量化方法在金融建模中的应用；

目标3：帮助学生从量化分析的角度理解金融学中的一些问题，为学生未来继续学习金融工程相关知识或者从事金融量化研究打下基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系

本课程在介绍金融随机过程基础理论同时，联系并且生动的分析金融建模中的实例, 各部分穿插进行，整体课程自成体系。同时，如果时间允许我们将邀请来自量化金融业界的专家结合课程进度为同学们做精彩的报告。我们将根据课程的进展选取如下所列举的内容：

量化工具部分主要介绍条件数学期望、随机过程，鞅、Markov过程，随机游动、Brownian运动、Poisson过程、以及Ito随机积分, Ito公式，随机分析中的一些重要工具（例如Girsanov变换测度等），随机微分方程；偏微分方程相关内容以金融衍生品定价为动机介绍其应用，数学方法方面我们将初步介绍偏微分方程随机微积分的联系(Feynman-Kac定理) 等，抛物型方程初值问题的求解方法。

数值实现方法部分将生动的穿插在理论工具的介绍中，主要介绍Monte Carlo 模拟（随机数产生，重要分布的模拟，随机过程的模拟，提高模拟性能的方差降低方法，随机微分方程的离散模拟等），二项（或多项）格点方法，偏微分方程的数值解等。

量化方法在金融建模中的应用实例大致涉及随机建模和数值方法在金融衍生品定价中的应用。如时间允许我们将从量化原理的角度探讨近期金融衍生品（例如Stocks Index Futures和Credit Default Swap）在我国的发展。

该课程在继概率论与数理统计后，进一步介绍金融领域的随机过程知识，不仅强化与完善了金融专业学生的数理知识体系；而采用结合金融案例的方式进行讲解，更能使学生在充分夯实数理功底的基础上，结合金融实际问题进行思考学习，训练了学生应用数理思维分析金融问题的能力，而这恰是金融工程专业学生的毕业要求之一。

三、各教学环节学时分配

教学课时分配

四、教学内容

第一章一般概率论

第一节概率空间

第二节随机变量

第三节数字特征

第四节极限定理

教学的重点、难点：σ代数的定义；随机变量的定义和分布；期望、方差和矩母函数；随机变量的收敛性、大数定律与中心极限定理。

教学的考核要求：掌握随机变量的定义和几种代表性分布；理解大数定律与中心极限定理，了解σ代数的定义。

第二章信息和条件期望

第一节条件概率和条件期望

第二节马尔科夫过程

第三节鞅过程

第四节选择停时定理

教学的重点、难点：条件概率和条件期望；随机过程的一般定义；马尔科夫过程与转移概率密度；鞅的定义与应用；选择停时定理。

教学的考核要求：理解条件期望及其性质；了解马尔科夫过程及其机制转移特征；理解鞅的定义；了解选择停时定理。

第三章二叉树资产定价模型

第一节单时段二叉树模型

第二节多时段二叉树模型

教学的重点、难点：期权的复制与对冲；无套利定价的基本思想；风险中性定价公式；风险中性概率测度的含义。

教学的考核要求：掌握单时段二叉树模型的基本应用，理解多时段二叉树模型的原理。

第四章布朗运动

第一节布朗运动的定义

第二节布朗运动的性质

第三节二次变差

第四节首达时间分布与反射原理

教学的重点、难点：随机游动与布朗运动的关系；布朗运动的分布、鞅性质与马尔科夫性质；二次变差的概念与含义；首达时间与极值分布。

教学的考核要求：掌握布朗运动的定义和性质；了解二次变差的概念与含义；

了解首达时间分布与反射原理。

第五章随机积分与伊藤公式

第一节简单被积函数的伊藤积分

第二节一般被积函数的伊藤积分

第三节伊藤-德布林公式

第四节多元随机分析

教学的重点、难点：伊藤积分的定义及其金融学含义；各种形式的伊藤-德布林公式及其运用；随机微分和随机积分的计算；多元随机微积分的应用。

教学的考核要求：理解伊藤公式的基本形式，了解伊藤-德布林公式，了解随机微分和随机积分的计算原理，了解多元随机分析的基本概念和应用。

第六章随机微分方程

第一节随机微分方程的一般形式

第二节金融工程中的随机微分方程

教学的重点、难点：随机微分方程解的存在性；单个或多个股票的随机微分方程；利率的随机微分方程：Vasicek模型和CIR模型。

教学的考核要求：理解伊藤公式的基本形式，了解伊藤-德布林公式，了解随机微分和随机积分的计算原理，了解多元随机分析的基本概念和应用。

第七章应用定价实例

第一节无套利定价

第二节风险中性定价

第三节期权定价中的希腊字母

教学的重点、难点：资产组合价值与期权价值的演化相等；风险中性测度下的期权定价方法；希腊字母的含义与计算。

教学的考核要求：理解无套利定价和风险中性定价的基本思路，理解期权定价中的希腊字母的含义和计算。

第八章金融随机过程理论前沿

第一节跳跃扩散过程

第二节布朗运动半鞅过程

第三节伊藤半鞅过程

教学的重点、难点：金融资产价格跳跃的刻画与意义；金融资产价格过程的一般半鞅形式；有限活跃跳跃与无限活跃跳跃的建模。

教学的考核要求：了解几种金融随机过程的基本特征和应用，了解该领域前沿发展趋势。

五、考核方式、成绩评定

本课程结合平时成绩和期末成绩进行综合考核。平时成绩以出勤率、随堂测验和课后作业作为考核标准，期末考试的形式为开卷考试或论文设计，平时成绩与期末成绩的比例为3：7或5：5。

六、主要参考书及其他内容

[1] S. E. Shreve. Stochastic calculus for finance, Volume I, II. Springer Finance. Springer-Verlag, New York, 2004. 影印版.

[2]（美）史蒂文•E.施里夫．《金融随机分析I&II》，上海财经大学出版社，2008.

[3]（美）保罗·威尔莫特.《数量金融（第1~3卷）》，机械工业出版社，2015..

[4]（俄）A.H.施利亚耶夫.《随机金融数学基础（第一卷、第二卷）》，高等教育出