最新初中数学6 利用三角函数测高1
九下第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高作业新版北师大版
解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ AC＝ ×8＝4(km)．
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： ≈1.73)
课题
测量“永泰寺塔”
成员
组长：×××；组员：×××，×××，×××
工具
测倾器、皮尺等
设计方案
方案一
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD表示测倾器，CD的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内，需要测量的数据有BC的长度，∠ADE的度数
设计方案
方案二
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD，FG表示测倾器，CD，FG的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，需要测量的数据有CF的长度，∠ADE，∠AGE的度数
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO；
实施方案
方案二 的测量 数据
∠ADE的平均值
1.6 利用三角函数测高(第1课时)演示文稿2
ME ME DE 在Rt△MED中，由 tan 得， tan DE tan tan ME ME 所以b= ，则 ME b tan tan tan tan
所以物体高度为MN=a+ b tan tan
tan tan
活动二：问题解决
3 3
DM AM tan DAM
30º
D
即 17.3 所以，CD=17.3+1.4=18.7米 A
DM 30
答：学校主楼的高度是18.7米。A
M
B
C
活动二：问题解决 例题2，河对岸的高层建筑AB，为测量其高，在C 处由D点用测量仪测得顶端A的仰角为30º，向高层 建筑物前进50m到达C´处，由D´测得顶端A的仰角 为45º，已知测量仪CD=C´D´=1.2m，求建筑物AB= 的高（精确到0.1米）。 A 解:延长DD´，交AB于点E。 AE ' 在Rt△AD´E中由 tan 45 ' 得， D E AE DE 在Rt△ADE中，由 D´ D E
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高 （第1课时）
活动一：测量物体高度的原理
1、回忆所学测量物体高的方法 2、如何根据“三角函数”测高
类型一：物体底部可到达
类型二：物体底部不可到达
类型一：物体底部可到达
（1）测量以下数值： ∠MCE= ，AN= l ， AC =a, （2）根据三角函数正切值的原理： 在Rt△MEC中，由
tan
所以，物体高度MN=a+ l tan
ME ME l tan CE
得，
类型二：物体底部不可到达
MEC
利用三角函数测高
3. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测 得电线杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测 得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分别是60° 和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出 电线杆PQ的高度．若测出AB的长度为1 m， 3＋ 3 则电线杆PQ的高度是___6____m_.
解：若选择条件①，由题意得CCDE＝BACB，∴11..28＝A9B， 解得 AB＝13.5 m，∴旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 若选择条件②，如图，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F， 则易得四边形 BCDF 是矩形，∴BF＝CD＝1.8 m，DF＝BC＝9 m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝52.46°， ∴AF＝DF·tan 52.46°≈9×1.30＝11.7(m)， ∴AB＝AF＋BF≈11.7＋1.8＝13.5(m)， ∴旗杆 AB 的高度约为 13.5 m.
(参考数据：sin 67.38°≈1123，cos 67.38°≈153，tABC 中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，∴BC＝tan∠ABACB≈1x2＝152x(米)， 5
∴BD＝BC＋CD≈152x＋11米．由题意得 AD∥EF， 则∠FED＝∠ADB，∴tan∠FED＝tan∠ADB，即DDEF＝BADB， ∴21..48≈152x＋x 11，解得 x≈12，经检验，符合题意．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量 城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶 点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他 发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的 点D处，于是他站在D点发现他的影子落在 地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身 高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助 小明算出城墙AB的高．
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要让学生了解利用三角函数测量物体高度的方法，理解三角函数在实际生活中的应用。
通过这一节的学习，学生能够掌握用三角板和皮尺测量物体高度的基本方法，培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对三角板和皮尺等测量工具也有一定的了解。
但是，学生可能对如何将理论运用到实际问题中还有一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的基本方法。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何将所学的三角函数知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际案例引导学生思考，激发学生的学习兴趣；以小组合作的形式，让学生在实际操作中解决问题，培养学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备三角板、皮尺等测量工具。
2.准备相关案例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例引入课题，如：如何测量旗杆的高度。
让学生思考如何解决这个问题，引发学生对利用三角函数测高的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现旗杆高度测量案例，引导学生分析问题，提出解决方案。
让学生尝试用所学的三角函数知识解决问题，教师给予指导。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，用三角板和皮尺测量旗杆的高度。
教师巡回指导，纠正学生在操作过程中可能出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生总结在测量过程中所用的方法和技巧，教师点评并总结。
让学生复述所学的知识点，加深对利用三角函数测高的理解。
1.6 利用三角函数测高(教案)-北师大版数九年级下册
第6节利用三角函数测高1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2.能够对得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,进而得出所要求的结果.3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.让学生经历设计活动方案、自制仪器的过程,通过综合运用直角三角形边角关系的知识,利用数形结合思想解决实际问题,提高学生解决实际问题的能力.通过积极参与数学活动过程,培养学生不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.【重点】综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.【难点】设计活动方案、运用仪器的过程及学生学习品质的培养.【教师准备】测倾器、皮尺等测量工具;多媒体课件.【学生准备】复习三角函数的概念和解直角三角形的相关知识.导入一:一天课外活动课,数学兴趣小组的同学想去操场上测量学校旗杆的高度(如图所示).以下是两位同学设计的测量方案:方案1:用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.方案2:用皮尺和小平面镜能测出旗杆的高度.【问题】你认为这两位同学提出的方案可行吗?如果是阴天没有太阳光怎么办?[设计意图]通过生活中的实际问题引入课题,使学生认识到数学源于生活,增加学生学习数学的兴趣,并让学生带着问题走进今天的学习.导入二:如图所示展示的是山东省青岛市电视塔夜晚的美丽景色,青岛电视塔坐落于市中心榉林公园内116m高的太平山上.由上海同济大学马人乐先生设计.由于其创意新、选点好、功能布局合理、色调协调及综合规模宏大等,1995年被国务院发展研究中心选入《中华之最大荣誉》,认为是“中国第一钢塔”.某数学兴趣小组的同学想测量该电视塔的高度.【问题】测量电视塔的高度和测量旗杆的高度的方法一样吗?两者有什么区别?[设计意图]通过青岛市电视塔的介绍,既让学生增长了课外知识,又引出了新的疑问——测量方法的区别,激发了学生的学习兴趣,为新知的探究奠定了良好的基础.课件出示:(一)测倾器的认识:如图所示的是一个测倾器的外观图,它是测量倾斜角的仪器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.【教师活动】制作测倾器时应注意什么?【学生活动】学生观察、交流后得出:支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要重合,否则测出的角度不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要互相垂直,并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时,铅垂线始终垂直向下.(二)测倾器的使用方法和步骤:【教师活动】用测倾器如何测仰角?【师生活动】学生思考后,师生共同总结:使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.(三)测倾器的运用:课件出示:【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.【师生活动】根据操作步骤:当度盘的直径对准目标M时,铅垂线指向一个度数,即∠BOA的度数.根据图形我们不难发现:∵∠BOA+∠NOA=90°,∠MON+∠NOA=90°,∴∠BOA=∠MON.因此读出∠BOA的度数也就读出了仰角∠MON的度数.∴测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数.【思考】根据上面的做法,如何用测倾器测量一个低处物体的俯角呢?【学生活动】生类比操作:和测量仰角的步骤是一样的,只不过测量俯角时,转动度盘,使度盘的直径对准低处的目标,记下此时铅垂线所指的度数,同样根据“同角的余角相等”,铅垂线所指的度数就是低处的俯角.[设计意图]了解测倾器的构造,学习其使用方法.目的是在测量时能正确地使用,特别注意测量【教师提示】所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察并思考下面的问题:1.如图所示,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据?2.请说出测量物体MN的高度的一般步骤,需要测得的数据用字母表示.【学生活动】学生思考后与同伴交流,统一答案:1.测量A点到物体底部N点的距离AN、测倾器的高度AC的长以及测量仰角∠MCE的度数.2.测量底部可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.(3)量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离).【做一做】根据上面测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:在Rt△MCE中,ME=EC·tanα=AN·tanα=l·tanα,∴MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+a.[设计意图]通过小组合作设计方案,培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力,并积累“做数学”经验.【活动三】测量底部不可以到达的物体的高度【教师提示】所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察,小组交流,思考下面的问题:1.要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗?2.如图所示,你能类比活动二的方法得出测量底部不可以到达的物体的高度的一般步骤吗?需要测得的数据用字母表示.【师生活动】学生交流后代表发言,师生共同订正:1.要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.2.测量底部不可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N都在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE=β.(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:∵在Rt△MDE中,ED=,在Rt△MCE中,EC=,∴EC-ED=b,∴=b,∴ME=,∴MN=+a.【议一议】同学们知道了底部不可以到达的物体高度的测量方案,利用这种方案你们可以测量哪些物体的高度?【学生活动】生发挥想象力,并分组讨论这些高度的测量方案和计算方法.【议一议】问题(1):到目前为止,有哪些测量物体高度的方法?【师生小结】测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.问题(2):如果一个物体的高度已知或容易测量,那么如何测量某测点到该物体的水平距离?【师生小结】以活动三中的图为例,可以测得M的仰角∠MCE=α,以及测倾器的高AC=a,然后根据AN=EC即可求出测点A到物体MN的水平距离AN.[设计意图]引导学生设计测量底部不可以到达的物体的高度,在交流、展示自己设计的方案的过程中完善方案,判断其可行性,为下面的实际操作做准备,同时培养学生科学、严谨的做事态度.【活动四】设计测量方案,撰写活动报告你能根据我们学过的测量物体高度的方法完成下面的问题吗?课件出示:某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:小明:我站在此处看树顶仰角为45°.小华:我站在此处看树顶仰角为30°.小明:我们的身高都是1.6m.小华:我们相距20m.请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果保留三个有效数字)【教师活动】引导学生判断是测量底部可以到达的物体的高度还是测量底部不可以到达的物体的高度,然后从两名学生的对话中分析得到的信息:∠ABE=30°,∠ACE=45°,ED=1.6m,BC=20m.【师生活动】生独立解答后,同伴交流.代表展示,师生共同订正.解:如图所示,延长BC交DA于E.设AE的长为x m.在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°,则∠CAE=45°,∴CE=AE=x.在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,tan B=,即tan30°=,∴BE=x.∵BE-CE=BC,BC=20m,∴x-x=20,解得x=10+10,∴AD=AE+DE=10+10+1.6≈28.9(m).答:这棵汉柏树的高度约为28.9m.【学生活动】撰写活动报告.[设计意图]在解决问题的过程中再一次验证测量方案的可行性,巩固新知的同时,利用生活情境设计问题,培养学生的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.1.(2015·长沙中考)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30m的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.mB.30sinαmC.30tanαmD.30cosαm解析:在Rt△ABO中,∵BO=30m,∠ABO为α,∴AO=BO tanα=30tanα(m).故选C.2.某市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D点用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进30m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,则楼AB的高为.解析:在Rt△AFG中,∠AFG=60°,∠AGC=90°,tan∠AFG=,∴FG==.在Rt△ACG中,∠ACG=30°,tan ∠ACG=,∴CG==AG.∵CG-FG=30m,∴AG-=30,解得AG=15,∴AB=(15+2)m.故填(15+2)m.3.在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度,如图所示,已知塔基AB的高为4m,他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°,然后沿AC方向走5m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求AC的距离;(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=4,tan∠ACB=,∴AC===4(m).答:AC的距离为4m.(2)在Rt△ADE中,∠ADE=50°,AD=5+4,tan∠ADE=,∴AE=AD·tan∠ADE=(5+4)×tan50°≈14(m).答:塔高AE约为14m.6利用三角函数测高1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.利用三角形相似的知识可以测量物体的高度.3.利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.一、教材作业【必做题】教材第23页习题1.7第1,2题.【选做题】教材第23页习题1.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知A,B两点,如果A对B的俯角为α,那么B对A的仰角为()A.αB.90°-αC.90°+αD.180°-α2.如图所示,为了测量电线杆AB的高度,小明将测倾器放在与电线杆的水平距离为9m的D处.若测倾器CD的高度为1.5m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°,则电线杆AB的高度约为m(精确到0.1m).(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)3.如图所示,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为m.(结果不作近似计算)4.(2014·云南中考)如图所示,小明在M处用高1m(DM=1m)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10m到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度.(取≈1.73,结果保留整数)【能力提升】5.(2015·衡阳中考)如图所示,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100m达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:m)为()A.50B.51C.50+1D.1016.在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案(如图(1)所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山(如图(2)所示)高度的方案:(1)在图(2)中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母);(2)写出你的设计方案.【拓展探究】7.如图所示,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3m,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).【答案与解析】1.A2.8.1(解析:在Rt△ACE中,AE=CE·tan36°=BD·tan36°=9×tan36°≈6.57,∴AB=AE+EB=AE+CD ≈6.57+1.5≈8.1(m).故填8.1.)3.12(解析:首先过点D作DE⊥AB于点E,可得四边形BCDE是矩形,然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE 中,利用正切函数的知识,求得AB与AE的长,进而可求得答案.)4.解:∵∠BDE=30°,∠BCE=60°,∴∠CBD=60°-∠BDE=30°=∠BDE,∴BC=CD=10m,在Rt△BCE中,sin 60°=,即=,∴BE=5,AB=BE+AE=5+1≈10(m).答:旗杆AB的高度大约是10m.5.C(解析:设AG=x,在Rt△AEG中,∵tan∠AEG=,∴EG==x.在Rt△ACG中,∵tan∠ACG=,∴CG==x,∵CG-EG=100,∴x-x=100,解得x=50,则AB=50+1(m).故选C.)6.解:(1)画出示意图如图所示.(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.②在测点B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β.③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A,B之间的距离AB=m.根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.7.解:如图所示,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=3.设DE=x,在Rt△CDE 中,∠DCE=60°,∴CE==x.在Rt△ABC中,∵=,AB=3,∴BC=3.在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-3,∠DAF=30°,∴AF==(x-3).∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.∴DE=9m.答:树的高度为9m.这节课采用了学生分组活动与全班交流研讨相结合的方法探究测量物体高度的方案,并利用探索出的方案解决生活问题.本节课给了学生足够多的活动空间,通过师生互动、生生互动等活动,让学生积极参与到活动中来,激发学生学习的兴趣,让学生自主探究利用三角函数测高的步骤和方法,并会对测量物体的高度的方案进行设计.让学生用已有的知识解决生活实际问题,体验数学来源于生活,应用于生活,进一步掌握从实际问题到解直角三角形的建模过程.另外,通过小组合作交流形式,让学生积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,并在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.在探究时给学生充分的自主讨论交流时间,导致后面的当堂检测题处理得比较仓促,部分学生接受起来可能有些困难.针对每种测量方案都给出具体的事例让学生去实践,以检验自己所设计方案的可行性.复习题(教材第24页)1.解:(1).(2)0.(3).2.解:(1)0.7841.(2)0.0374.(3)0.7566.3.解:(1)∠A=45°.(2)a=4,∠A=60°.(3)a=b=4.4.sin A=,tan A=.5.(1)∠A≈42°27'15″.(2)∠B≈85°28'29″.(3)∠C≈88°23'28″.6.解:(1)==1.(2)原式=+2×+1-+=++1-+=2.(3)原式=-tan60°=tan60°-1-tan60°=-1.7.解:AC=2,BC=2,sin A=,cos A=.9.解:(1)tan∠ABC=tan∠ADC.(2)tan∠ABC=tan∠ADC.(3)tan∠ABC=·tan∠ADC.10.CD≈5.82m[提示:CD=BD-BC=20tan56°-20tan50°≈5.82(m).]11.船与观测者之间的水平距离约为173.2m.[提示:水平距离=≈173.2(m).]12.解:(1)如图所示,由两直线平行,内错角相等得∠ABD=60°.∵∠CBE=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10km,∴AC==10≈14.1(km).(2)∵AB=BC,∴∠CAB=∠C=45°,∴C港在A港北偏东60°-45°=15°的方向上.13.解:依题意知PQ=180m,∠PTQ=50°,∴∠PQT=40°.∵tan∠PQT=,∴PT=PQ·tan40°≈180×0.839≈151(m).14.解:在Rt△ABC中,AC=6.3,BC=9.8,∴tan B==.∴∠B≈32°44'7″.因此射线与皮肤的夹角为32°44'7″.15.解:(1)在Rt△ACB中,∵AB=4m,∠ABC=60°,cos∠ABC=,∴BC=AB·cos60°=4×=2(m).(2)在Rt △DCE中,∵CD=2.3m,ED=4m,∴sin∠DEC===0.575,∴∠DEC≈35°5'58.68″.16.解:如图所示,在Rt△ACB中,∵AC=30m,∠BAC=30°,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan30°=30×=10≈17.3(m).∵CE=AD=40m,∴BE=BC+CE=17.3+40≈57(m),∴乙楼高约57m.17.解:在Rt△BED 中,tan∠BDE =.在Rt△ACB 中,tan∠BAC =.∵∠BDE =30°,∠BAC =60°,DE =AC ,EC =AD =30m ,∴tan 30°=,即BC -30=AC ·tan 30°.又tan 60°=,即BC =AC ·tan 60°,∴AC -30=AC ,∴AC =30,∴AC ==15≈25.98(m ),∴BC ≈25.98×≈45.00(m ).18.解:设渔船到海岛A 的最近距离为x n mile ,由题意得(x -12)=x ,解得x =6>8,所以渔船没有触礁的危险.19.解:过点C 作CF ⊥AB 于F ,则△ADE ∽△ACF ,∴=,即=,∴CF =2.7m .∵BC =2.8m ,∴sin α==≈0.9643,∴α≈74°38'39.14″.20.解:如图所示,连接BD ,过点B 作BE ⊥CD 于E ,过点D 作DF ⊥AB 于F ,在Rt△BEC 中,sin C =,∴BE =BC ·sin 60°=20×=10(m ).在Rt△AFD 中,sin A =,∴DF =AD ·sin 60°=30×=15(m ),∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB ·DF +CD ·BE =×50×15+×50×10=625≈1082.53(m 2).21.解:(1)如图所示,过A 作AG ⊥CD 于G ,过E 作EF ⊥CD 于F ,依题意知AB =5m ,BC =30m ,∠DEF =30°,EB =1.4m .在Rt△DFE 中,∵tan∠DEF =,∴DF =BC ·tan30°=30×=10(m ),∴DC =DF +FC =DF +EB =10+1.4≈18.72(m ).(2)∵GC =AB =5m ,∴DG =DC -GC ≈18.72-5=13.72(m ).∵AG =BC =30m ,∴AD =≈≈32.99(m ).22.提示:各边长约为0.34m ,0.34m ,0.66m .23.解:(1)由勾股定理可知OA 1=,OA 2=,OA 3=,…,OA n =.∵tan∠A 0OA 1==,∴∠A 0OA 1=45°.∵tan∠A 1OA 2==,∴∠A 1OA 2≈35°15'51.8″.∵tan ∠A 2OA 3==,∴∠A 2OA 3=30°.(2)∵tan 20°≈0.3640,tan∠A n -1OA n ==<tan 20°,∴>≈2.7473,∴n >7.5477,∴n 的值为8.本节课探究学习的主要任务是掌握利用测倾器测倾斜角和测量物体高度的方法,所以前提条件是要对测倾器有足够的了解,学生在课前可以自己制作一个简单的测倾器,这样就会非常熟悉其操作原理,对于活动一,测量倾斜角就会感觉非常容易;对于活动二、三的探究,分组讨论和全班的交流讨论就显得尤为重要,要积极投身其中,区分测量底部可以到达的物体的高度和底部不可以到达的物体的高度的方法,熟练掌握各种方案的步骤,并利用所学知识解决实际问题,达到学以致用.测量物体的高度时容易漏掉测倾器的高度.李明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21m 的D 点,用高1.2m 的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角α=30°,则电线杆AB 的高为m .【错解】7【错解分析】在利用三角函数计算出AE 的长度后,忽略测倾器的高度,漏加CD ,造成错误.【正解】7+1.2【正解分析】CE =DB =21m ,BE =CD =1.2m .在Rt△ACE 中,∠α=30°,CE =21m ,∴AE =CE ·tan 30°=7(m ),∴AB =AE +BE =(7+1.2)m .(2014·绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图(1)所示,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.(2)如图(2)所示,第二小组用皮尺量得EF为16m(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9m,请你求出E点离地面FB的高度.(3)如图(3)所示,第三小组利用第一、第二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4m到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1 m).备用数据:tan60°≈1.732,tan30°≈0.577,≈1.732,≈1.414.〔解析〕(1)根据∠α=2∠CDB即可得出答案.(2)设EF的中点为M,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,如图所示,根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度.(3)延长AE,交PB的延长线于点C,设AE=x,则AC=x+3.8,CQ=x-0.2,根据=得出=,求出x即可.解:(1)∵BD=BC,∴∠CDB=∠DCB,∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°.(2)设EF的中点为M,如图所示,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,∵MN∥EH,MN=1.9,∴EH=2MN=3.8(m),∴E点离地面FB的高度是3.8m.(3)延长AE,交PB于点C,如图所示,设AE=x,则AC=x+3.8,∵∠APB=45°,∴PC=AC=x+3.8.∵PQ=4,∴CQ=x+3.8-4=x-0.2,∴tan∠AQC==tan60°=,∴=,解得x=≈5.7,∴AE≈5.7m.答:旗杆的高度约是5.7m.[解题策略]此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是仰角的定义,能作出辅助线并借助仰角构造直角三角形是解本题的关键.。
《第一章6利用三角函数测高》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级下册
《利用三角函数测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生能够理解并掌握三角函数的基本概念及意义。
2. 通过实践活动，让学生学会利用三角函数解决实际问题，特别是测高问题。
3. 培养学生的观察能力、实践能力和问题解决能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要围绕三角函数测高的实际应用展开。
具体内容如下：（一）基本理论学习学生需认真阅读教材，掌握三角函数的基本概念、正弦、余弦和正切的定义及其在直角三角形中的应用。
理解角度与边长的关系，并能够用三角函数表示这些关系。
（二）实践活动1. 实地测量：学生需在安全的环境下，选择合适的参照物（如建筑物、树木等），利用直角三角尺和角度计测量目标的高度。
记录测量数据，并绘制出简单的测量示意图。
2. 数据分析：学生需根据测量的数据，运用三角函数知识，计算出目标的高度。
并分析误差产生的原因，思考如何提高测量的准确性。
3. 实验报告：学生需将上述过程以书面形式进行记录和整理，包括测量的地点、目标物、使用的工具、测量步骤和计算结果等，同时需写出自己对测量过程和结果的反思与感悟。
（三）理论应用练习完成一组与三角函数测高相关的练习题，加深对理论知识的理解和应用能力。
三、作业要求1. 学生在进行实地测量时，需注意安全，遵循老师的指导。
2. 实验报告需字迹清晰、内容完整，体现出学生的思考和总结。
3. 练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。
4. 作业需在规定时间内提交，并按时参加课堂讲解和讨论。
四、作业评价1. 老师将根据学生的实验报告内容、格式、字迹等方面进行评价。
2. 对于实地测量和理论应用练习部分，老师将根据学生的正确性、准确性和解题思路进行评价。
3. 鼓励学生相互评价和讨论，取长补短，共同进步。
五、作业反馈1. 老师将对每位学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足。
2. 在课堂上进行作业讲解和讨论，针对学生的疑惑进行解答和指导。
3. 根据作业情况，对学生的学习情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。
6 利用三角函数测高
解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m， 在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH≈12×1.28＝15.36(m)． ∵∠BEH＝45°， ∴BH＝EH＝12 m. ∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m. 答：旗杆AB的高度约为3.4 m.
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
A．asinα＋asinβ B．acosα＋acosβ C．atanα＋atanβ D.taanα＋taanβ
2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为 60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为( C )
A．5 m C．7 m
B．6 m D．8 m
(1)求古树BH的高； (2)求教学楼CG的高．(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°， ∴HE＝EF＝10. ∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5. 答：古树的高为11.5米．
(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°， ∴DG＝DE·tan60°＝ 3DE. 设DE＝x米，则DG＝ 3x米， 在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°， ∴GD＝DF＝EF＋DE. ∴ 3x＝10＋x. 解得x＝5 3＋5. ∴CG＝DG＋DC＝ 3x＋1.5＝ 3(5 3＋5)＋1.5＝16.5＋5 3≈25. 答：教学楼CG的高约为25米．
课题 成员 测量工具
测量 示意图
测量旗杆的高度 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量角度的仪器，皮尺等 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器 的高度AC＝BD＝1.5 m，测点A，B与H在同一 条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测 得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平 面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上.
利用三角函数测高优秀教案
利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。
教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。
教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。
2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。
2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。
3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。
三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。
c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。
d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。
2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。
四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。
2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。
五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。
2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。
六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。
2.核对课程目标，评估学生的学习情况。
七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。
教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。
利用三角函数测高
本课主要学习测量物体.测量底部不可以到达的物体的高度. 3.目前我们学习的测量物体高度的方法有相似法、 全等法、三角函数法.
（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活
动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步 骤如下： （1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角 ∠AFH=30°； （2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一 直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上 红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°； （3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为 288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山 与中心广场的相对高度AB．（ 取1.732，结果保留整数）
6
利用三角函数测高（1）
90° 60° 30° 90°
60° 0°
30°
1.能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够 掌握测倾器测角的方法. 2..能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际 问题
1.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知a， ∠A的值，则c的值为
a A. atanA B. asinA D. sin A（ D ） 3 2.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知 tan A ，BC＝6， 4 a C. cos A
测量倾斜角（仰角或俯角）
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅 锤和支杆组成(如图).
90° 90°
60°
30° 30°
60° 0°
2.使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
1)把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅锤线和
度盘的0°刻度线 重合 ，这时度盘的顶线PQ在水平位置。 2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅 垂线所指的 度数 。如图度数为 30O 。
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计（北师大版）一、教学目标1.了解三角函数的定义和性质。
2.学会使用正弦、余弦、正切函数测量高度。
3.掌握解决与高度和角度相关的实际问题的方法和步骤。
二、教学内容1.三角函数的定义和性质。
2.正弦、余弦、正切函数的用法。
3.利用三角函数测量高度的实际问题。
三、教学重点1.理解三角函数的定义和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的用法。
3.运用三角函数解决实际问题。
四、教学难点1.学习如何应用三角函数测量高度。
2.解决与高度和角度相关的实际问题。
五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法。
2.视频和实物模型展示三角函数测高的应用。
3.组织学生进行实际操作和练习。
六、教学过程1. 导入新知识通过提问和引导，导入三角函数的概念和性质，引起学生的兴趣，并激发学生对测量高度的需求。
2. 讲解三角函数的定义和性质利用教材和课件，详细讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，并与实际问题联系起来，解释三角函数与高度的关系。
3. 演示三角函数测高的方法通过播放视频或展示实物模型，演示如何使用三角函数测量高度的方法和步骤，并让学生观察和思考。
4. 实际操作和练习将学生分成小组，配备测量工具，进行实际操作和练习，例如利用三角函数测量树木高度、建筑物高度等。
教师和助教进行指导和解答疑惑。
5. 总结与归纳让学生整理笔记，总结三角函数测高的方法和步骤，并与实际问题进行对比，并解答学生的问题。
七、教学评价1.在实际操作中，观察学生是否能正确使用三角函数测量高度。
2.组织小组讨论，评价学生对三角函数测高方法的理解和应用能力。
3.布置练习题，检查学生对三角函数测高的掌握情况。
八、教学延伸利用三角函数测高的方法，引出其他与高度和角度相关的实际问题，如建筑物的倾斜角度、塔吊的工作范围等。
并鼓励学生进行独立思考和解答。
九、板书设计1.6 利用三角函数测高- 三角函数的定义和性质- 正弦、余弦、正切函数的用法- 测量高度的实际问题十、教学反思本节课将数学知识与实际问题相结合，培养了学生的测量和解决问题的能力。
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。
通过本节课的学习，学生能够理解利用三角函数测高的原理，掌握用三角板和尺子测量物体高度的方法，并能够运用到实际生活中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对三角板和尺子的使用也有一定的了解。
但是，学生可能对实际应用三角函数测量高度的方法还不够熟悉，需要通过实例的讲解和操作来加深理解。
三. 教学目标1.理解利用三角函数测高的原理。
2.学会使用三角板和尺子测量物体高度的方法。
3.能够将三角函数知识应用到实际生活中。
四. 教学重难点1.教学重点：利用三角函数测高的原理和方法。
2.教学难点：如何将三角函数知识应用到实际测量中。
五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备三角板、尺子等测量工具。
2.准备相关的多媒体教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如何测量学校旗杆的高度？让学生思考如何利用三角函数来解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测高的原理，并通过多媒体课件展示具体的测量方法和步骤。
同时，引导学生理解三角函数在测量中的作用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板和尺子测量教室内的物体高度。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）学生汇报测量结果，并交流在操作过程中遇到的问题和解决方法。
教师总结测量的高度计算公式，并强调注意事项。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了测量物体高度，三角函数还可以应用到哪些实际问题中？让学生举例说明，并进行讨论。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调利用三角函数测高的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题作业：测量家里电视的高度。
06-第一章6利用三角函数测高
6 利用三角函数测高
栏目索引
发挥直观想象,构造直角三角形 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变 化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助 空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分 析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题 的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成 论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几 何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达 的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高 度:(1)在测点A处安置 测倾器,测得此时M的 仰角∠MCE=α.(2)在测 点A与物体之间的B处 安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得 此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测 点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求 出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角 形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根 据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。
通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。
同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。
2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。
3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。
（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。
1.6 利用三角函数测高 (1)
1.6利用三角函数测高一．选择题（共6小题）1．（2020•沙坪坝区校级一模）碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C处测得碧津塔顶部A 处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得碧津塔顶部A的仰角为37°，碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面内，则碧津塔AB的高约为（）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24 2．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，则旗杆AB的高度是（）（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，3≈1.732，5≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8 3．（2019春•江岸区校级月考）如图，甲乙两楼相距30m，甲楼高度为40m，自乙楼楼顶A处看甲楼楼顶B处仰角为30°，则乙楼高度为（）A．10米B．(40−153)米C．25米D．(40−103)米4．（2020秋•遵义期末）小明在学了间接测量法之后，设计了一个测算古树高度的方法：如图所示，从B处观测A处的仰角∠ABC＝30°然后尝试着向树的方向前进12m到达D处，此时观测A处的仰角正好为∠ADC＝60°，假设树身AC正好与地面BC垂直，他很快就算出了树的高度AC为63m，则你知道CD的长是（）A．43B．5C．6D．122 5．（2021•九龙坡区校级模拟）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到305米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．906．（2020秋•盘龙区期末）如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（）米．（参考数据：3≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30二．填空题（共5小题）7．（2019•辽阳模拟）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．8．（2020秋•密云区期末）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）9．（2020秋•通州区期末）如图，输电塔高41.7m．在远离高压输电塔100m的D处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为θ．已知测角仪高AD＝1.7m，则tanθ＝．10．（2020秋•大东区期末）如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为1.5m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D的仰角为45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．则建筑物CD的高度m．11．（2020秋•桂林期末）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为m．（结果精确到1m，3≈1.73）三．解答题（共29小题）12．（2020•雁塔区校级模拟）陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手栽种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）13．（2020•西青区二模）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）14．（2019•邓州市二模）如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑﹣福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45°，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40°，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）15．（2019•聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，2≈1.41，3≈1.73）16．（2020秋•成都期末）如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．17．（2021春•武侯区校级月考）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D 到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝338米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长．（结果保留根号）18．（2020秋•成华区期末）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面CD的中点B垂直起飞到达点A处，测得一号楼顶部E的俯角为55°，测得二号楼顶部F的俯角为37°，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高CE为20米，求二号楼的高DF．（结果精确到1米）（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）19．（2020秋•盐城期末）如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房项部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：3，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：3≈1.73，2≈1.41）20．（2020秋•长春期末）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]21．（2020秋•平谷区期末）如图，热气球探测器显示，从热气球M处看一座电视塔尖A处的仰角为20°，看这座电视塔底部B处的俯角为45°，热气球与塔的水平距离MC为200米，试求这座电视塔AB的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22．（2020秋•溧阳市期末）如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，2=1.414，3=1.732）23．（2020秋•青羊区期末）如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30°，从B点测得C点的俯角为45°，已知BD＝69米，求两建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高．（结果保留根号）24．（2020秋•大兴区期末）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．25．（2020秋•历下区期末）如图，楼和塔之间的距离AC为50m，小明在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求楼高AD．26．（2020秋•龙泉驿区期末）如图，楼房AB建在山坡BC上，其坡度为i＝1：2，小明从山坡底部C处测得点A的仰角为56.35°，已知山坡的高度BD为10米，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度BD与水平宽度CD的比）（结果精确到1米，参考数据：sin56.35°≈0.83，cos56.35°≈0.55，tan56.35°≈1.50）27．（2020秋•昌平区期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：tan50°≈1.19，tan40°≈0.84，3≈1.73）．28．（2020秋•成都期末）疫情期间，某中学为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图．已知测温门顶部A距地面高AD＝2.2m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6m的小明做了如下实验：当他在地面N处时，测温门开始显示额头温度，此时测得A的仰角∠ABE＝18°；当到达地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时测得的仰角∠ACE＝53°．求小明在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1米）[参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33]29．（2020秋•郴州期末）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功．如图，运载火箭从地面A处发射．当运载火箭到达点B处时，地面点O处的雷达站测得B 处的仰角为30°，12s后，火箭直线上升到达点C处．此时地面点O处的雷达站测得C 处的仰角为60°，并测得OC的距离是6km．试求火箭从B处到C处的平均速度为多少m/s？（结果精确到1m/s，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）30．（2020秋•武侯区期末）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）31．（2020秋•罗湖区期末）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）32．（2020秋•龙口市期末）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，2≈1.4，3≈1.7）33．（2020秋•龙岗区期末）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°，从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°，已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43．）34．（2020秋•门头沟区期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．35．（2020秋•金山区期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：3，山坡坡底点B到坡顶A 的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB 在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）36．（2020秋•镇平县期末）如图，某小区楼房附近有一个斜坡CD＝6m，坡角到楼房的距离CB＝8m，在坡顶D点处观察点A的仰角为54°，已知坡角为30°，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73）37．（2020秋•孟津县期末）某学习小组，为了测量旗杆AB 的高度，他们在大楼MN 第10层D 点测得旗杆底端B 的俯角是32°，又上到第35层，在C 点测得旗杆顶端A 的俯角是60°，每层楼高度是2.8米，请你根据以上数据计算旗杆AB 的高度．（精确到0.1米，已知：sin32°≈0.37，cos32°≈0.93，tan32°≈0.62，3≈1.73）38．（2020秋•宝山区期末）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB ）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB ）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]39．（2020秋•桐城市期末）如图，在某居民楼AB楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D点处有一个斜坡，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝26m，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°（居民楼AB，横幅BC与斜坡DE的剖面在同一平面内），则广告牌BC的高度约为多少？（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）40．（2020秋•茌平区期末）如图，在淮河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度 =1：3的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了10米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．（结果保留整数）（参考数据3≈1.7）。
6利用三角函数测高
C′
B′
x ta 6 n 0 x ta 3 n 0 50 D
C
B
x 5 0 2 53 4 3 .3 (m ) ta n 6 0 ta n 3 0
x 4 3 .3 1 .5 4 4 .8 4 5 ( m )
解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）； （2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ B E ，
∠DEM=30°,BC=EM=30 m,
M
CM=BE=1.4m
在Rt△DEM中， DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)， CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).
三 测量底部不可以到达的物体的高度
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚
Eα F β
G
B CD
30° 45°
60m
解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° ,
QtanAG,tanAG,
EG
FG
EG AG AG 3AG,
tan tan30
FG AG AG AG,
tan tan45
CDEF EGFG( 31)AG,
A G C D6 03 0 (3 1 )(m ), 3 1 3 1
DE
4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝ 80米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小 明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为 37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居 民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
（参考数据：s i n 3 7 o 3 ， t a n 3 7 o 3 ， s i n 4 8 o 7 ， t a n 4 8 o 1 1 ）
北师版九年级数学下册6 利用三角函数测高
1.6 利用三角函数测高1.请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).3.学习完本节内容后, 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).活动报告300米的山顶观测点D 处测得点A,点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)BDAC5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB 的高度(精确到0.1米)实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________.(1)(2)6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)100m2.5cm×50000B A B '7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。
1.6 利用三角函数测高1
1.6 利用三角函数测高1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析；(重点)2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝ACEC，即可求出AC的长．所以，旗杆AB的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】测量底部不可到达的物体的高度解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形，并通过解直角三角形解决实际问题，这本身是一个质的飞跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
备课时间： 上课时间：
课型：新授课 课时：1课时
§1.6 测量物体的高度
本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.因此本节课采用活动的形式，先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，要求学生写出活动报告.重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.综合运用直角三角形的边角关系的知识.解决实际问题，培养学生不怕困难的品质，发展学生的合作意识和科学精神.
学习中，关注的是学生是否积极地投入到数学活动中去.在活动中是否能积极想办法，克服困难，团结合作等.
教学目标
知识与技能目标
能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
过程与方法目标
经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
情感与价值观要求
通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
教学重点、难点
设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养。
教具准备
自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.
教学过程
提出问题，引入新课
现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高
度时，用到了哪些仪器? 有何用途? 如何制作一个测角
仪？它的工作原理是怎样的？
活动一：设计活动方案，自制仪器
首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般
的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为
单位，分组制作如图所示的测倾器.
制作测角仪时应注意什么?
支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ 与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ 的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下
.
一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤)
活动二：测量倾斜角
（1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.
（2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M ，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M 的仰角.
问题1、它的工作原理是怎样的？
如图，要测点M 的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使
支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘
的顶线PQ 在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目
标M ，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA 的度数.根据图形
我们不难发现∠BCA+∠ECB ＝90°，而∠MCE+∠ECB=
90°，即∠BCA 、∠MCE 都是∠ECB 的余角，根据同角的余角
相等，得∠BCA ＝∠MCE.因此读出∠BCA 的度数，也就读出了仰角∠MCE 的度数. 问题2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢?
和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角. 活动三：测量底部可以到达的物体的高度.
“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地
直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
要测旗杆MN 的高度，可按下列步骤进行：(如
下图)
1.在测点A 处安置测倾器(即测角仪)，测得M 的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN ＝l.
3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC ＝a(即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN 的高度.
在Rt △MEC 中，∠MCE=α，AN=EC=l ，所以tan α=EC
ME ，即ME=tana ·EC ＝l ·tan α.
又因为NE ＝AC ＝a ，所以MN ＝ME+EN ＝l ·tan α+a.
活动四：测量底部不可以到达的物体的高度.
所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.
可按下面的步骤进行(如图所示)：
1.在测点A 处安置测角仪，测得此时物体
MN 的顶端M 的仰角∠MCE ＝α.
2.在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪
(A 、B 与N 都在同一条直线上)，此时测得M 的
仰角∠MDE=β.
3.量出测角仪的高度AC ＝BD ＝a ，以及测点A ，B 之间的距离AB=b
根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE
的大小，根据直角
三角形的边角关系.即可求出MN 的高度。
在Rt △MEC 中，∠MCE ＝α，则tan α＝
EC ME ，EC=a ME tan ； 在Rt △MED 中，∠MDE ＝β则tan β＝ED ME ，ED ＝β
tan ME ； 根据CD ＝AB ＝b ，且CD ＝EC-ED=b. 所以a ME tan -βtan ME =b, ME=βαtan 1tan 1-b MN=βαtan 1tan 1-b
+a 即为所求物体MN 的高度.
今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大.
归纳提炼
本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中，想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中.
课后作业
制作简单的测角仪
活动与探究
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形
建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.
该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测
得。
从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H.可供使用
的测员工具有皮尺，测倾器(即测角仪).
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑
物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案.
具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，
并将应测数据标记在图形上(如果测A 、D 间距
离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；
如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不
计)
(2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的
高度HG(用字母表示),
I
方案1：(1)如图(a)(测四个数据)
AD ＝m.CD ＝n ，∠HDM ＝α,∠HAM ＝β
(2)设HG ＝x ，HM ＝x-n ，
在Rt △HDM 中，tan αDM HM ,DM=.
tan αn x - 在Rt △HAM 中，tan α
AM HM ,DM=.tan βn x - ∵AM-DM ＝AD ， ∴.tan βn x --.
tan αn x -=m, x=
.tan tan tan tan βαβα-⋅m +n. 方案2：(1)如图(b)(测三个数据) CD ＝n ，∠HDM ＝α，∠HCG ＝γ.
(2)设HG ＝x ，HM ＝x-n ，
在Rt △CHG 中，tan γ=
CG HG ,CG=χtan x , 在Rt △HDM 中，tan α
DM HM ,DM=.tan αn x -, ∵CG ＝DM. ∴χtan x =.tan αn x -,x=.
tan tan tan αχ-y n 参考练习
1.
如图，湖泊中央有一个
建筑物AB ，某人在地
面C 处测得其顶部A
的仰角为60°，然后自C 处沿BC 方向行100 m 至D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物AB 的高.(精确到0.01 m 3，≈1.732)
答案：建筑物AB 的高约为86.60 m.
2.今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位.一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上.前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上.在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩.如果这条航继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险?( 3≈1.73)
答案：过C作CD⊥AB，垂足为D，可求得CD＝136.5 m. ∵CD=136.5 m>120 m.
∴船继续前进没有浅滩阻碍的危险.。