最新2014年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年湖南省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

2

3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，

=

=

B

2222

，半径为

，

7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）

8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

r=，

．

﹣＞lnx2﹣lnx1﹣＜lnx2﹣lnx1 2121

，

．

10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）

[，[，

||=1

||=1

，

++=

|++==

，，

==

|++的取值范围是

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．

=．

（

12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣1=0．

：

13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．，解得，即

14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．

15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=﹣．

=lne

﹣

，

三、解答题（共6小题，75分）

16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．

﹣

17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：

（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），

（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）

其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．

（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．

=

==

= ==

，），，），，，），

，

．

18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．

（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；

（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

，

=ADO==

所成角的余弦值为

19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．

（Ⅰ）求sin∠CED的值；

（Ⅱ）求BE的长．

中，由正弦定理得

CED=

，由（Ⅰ）知=

AEB=

）

=cos cos+sin sin

BE=

20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）

和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个

焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．

）在上求得

=，可得=﹣

||||

=

，可得|||

）在上，∴﹣，

，= =﹣的方程为：+

，或

时，可得，，﹣）|，||=2

|+||

时，也有|+||

．

可得

≠，∴，|+||

21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．

），

时，有=成立．

+＜＜

+

[]

）＜

++＜．