复变函数学习指导书
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
随着信息技术的发展，现代国家的学习水平也发生了巨大的变化，尤其是高等数学的学习。
有越来越多的人开始关注复变函数的教学。
强调学习学习的书，选择合适的教材是无可争议的重要性。
选择好的教材可以帮助学生更好地掌握知识，增强学习能力和批判性思维。
针对复变函数这一数学学科，目前国内外有许多著名的教材，下面我将介绍几本比较有名的复变函数教材。
首先，《复变函数的应用》（作者：王岩），该书系统介绍了复变
函数的理论和应用，通过深入浅出的讲解，读者可以轻松掌握复变函数的基础知识和经典求解方式。
由于其详细、简明、独特和易于理解的特点，该书被誉为中国著名的复变函数教材。
其次，《复变函数与定积分分析》（作者：何继斌），该书介绍了
复变函数的基本概念和基本定义，更加深入地介绍了定积分分析的各种基本知识，涉及到函数的变换、定积分的计算。
书中的例题和典型实例，有助于学生更加深入地理解和掌握复变函数的相关知识。
最后要介绍的是《高等复变函数》（作者：郑翠林），该书介绍了复变函数的最新研究成果，深入浅出地介绍了复变函数的各种概念和性质，讨论了新兴的应用领域，如动态系统、数值计算和应用数学。
本书具有新颖的观点，使读者在复变函数的学习中有更为深入而宏观的认识。
以上就是推荐的复变函数教材列表，每本教材都有其自身的特点，可以根据自身的实际情况和学习需要来选择适合自己的书籍。
最后要
强调的是，学习复变函数的过程也是一种全方位的探索，需要学生有毅力，不断尝试，多多积累，实践才能有所收获。
复变函数指导书(全)
复变函数学习指导书第一章 复数与复变函数一.内容提要 (一)复数及其表示1.复数的概念形如z x iy =+的数称为复数,其中,x y 是实数,i 是虚数单位,21i =-.,x y 分别为z 的实部与虚部,记为()()Re ,Im x z y z ==. 当0x =时,z iy =为纯虚数;0y =,z x =为实数.称复数x iy -为复数z x iy =+的共轭复数,记为z ,即z x iy =-. 规定:(1)()()()()121212Re Re ,Im Im z z z z z z =⇔==(2)000x z x iy y =⎧=+=⇔⎨=⎩(3)两个复数不能比较大小. 2.复数的表示(1) 点表示：(),z x iy x y =+⇔表示xo y 平面上点的坐标； (2) 矢量表示：用从原点指向点(),x y 的矢量表示，如图（1-1）所示矢量长度为复数z的模，记为z =0z ≠时，称矢量与x 轴正向的夹角为z的幅角，记()Arg z ，此时有()tan y A rgz x=，它是一个多值函数；称位于(,]ππ-中的幅角为z 的主值，记作()arg z ，于是有()()arg 2,(Arg z z k k π=+是整数）。
()a r g z 与arctany x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；(3) 三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=； (4) 指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(5) 复球面表示：复数可用复球面上的点表示。
(二) 复数的运算1.加减法 ● 设复数111222,z x iy z x iy =+=+, 则()()121212z z x x i y y ±=±+±. ● ()()22Re ,22z z x z z z iy iIm z +==-==●12121212,z z z z z z z z +≤+-≥- (请考虑几何意义)2.乘除法 (1) 乘法 ● 若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++ ● 若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z eθθ+= (请考虑几何意义)● ()()()12121212,z z z z Arg z z Arg z Arg z ==+●2221212,z z x y z z z z z =+==,(2) 除法●若111222,z x iy z x iy =+=+,则有 ()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x iz x iy x iy x iy x yx y+-++-===+++-++●若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121122i z z ez z θθ-= (请考虑几何意义)● ()()11112222,z z z Arg Arg z Arg z z z z ⎛⎫==- ⎪⎝⎭●1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ 3.乘幂与方根 (1) 乘幂 ● 若,i z z e θ=则nnin z z e θ=● ()(),nnnzz Arg znArg z ==●()()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ (n 是任意整数) (De Moivre 公式)(2) 方根●122cos sin (0,1,21)nk k zi k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭● 注意：一个复数开n 次方根一定有n 个相异的值；并且负数也能开偶次方根。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
随着现代社会的发展，科学与技术的进步，数学在当前的社会中起着更加重要的作用，因此人们对数学的学习提出了更高的要求。
复变函数的学习就是其中之一。
因此，本文将介绍并推荐适用于学习复变函数的教材。
关于复变函数，《中学数学-复变函数》是一本不可多得的教材。
书中介绍了各种复变函数及其导函数、泰勒级数展开、解析函数等，帮助读者更好地学习和理解复变函数，循序渐进。
书中各章节内容清晰明了，每一章的开头和结尾都由专业的图表和证明引导，以便更好地理解书中的内容。
此外，《复变函数傅立叶变换与应用》是另一本比较有价值的教材。
书中涵盖了复变函数叠加定理、傅立叶级数、傅立叶变换及其应用等内容，具有较为丰富的内容结构，让读者能够更有效地掌握复变函数相关知识。
此外，书中还收录了大量实用案例，可以帮助读者更好地理解和掌握这门学科，也提供了一些有用的思考素材，以便读者认识和掌握复变函数的复杂概念。
以上两本书都是国内复变函数学习的经典之作，将复变函数的学习从基础概念展开，深入剖析，探究复变函数的学习方法，都为复变函数的学习提供了可靠的参考。
无论是学校的数学课程学习，还是复变函数的学习，上述两本书都是不可多得的参考书籍，都可以给读者带来极大的帮助，对提高学习效果具有重要的意义。
到此，本文介绍和推荐了适用于学习复变函数的教材，并简要
介绍了两本书的内容。
上述两本教材都可以给读者带来极大的帮助，令其更好地学习和理解复变函数。
希望本文能够给读者带来帮助，让读者能够更好地学习复变函数。
复变函数全程学习指导与习题精解
复变函数全程学习指导与习题精解
复变函数是数学学科中应用最广泛的技术，它可以用来预测与一个或多
个变量关联的响应变量的取值。
学习复变函数技术是大部分学科中一种最重
要的技能之一，涉及到多个领域，如经济分析、物理科学、生物科学等。
复变函数的学习的步骤包括：了解数据、找到函数形式、估计系数和参数、评价经验拟合性能、预测复变系数和参数及其精确度。
首先，了解数据，这一步是学习复变函数非常重要的第一步，旨在理解数据的概况，即变量之
间的联系，数据本身的特征等。
然后，找到函数形式，通常有线性函数、指
数函数、正态函数或其他形式，根据数据特征选择最适合的函数。
接下来，
我们需要估计系数和参数，以及进行参数调整，使拟合的函数弯曲更加准确。
接着，评估拟合的性能，直觉的，越好的拟合说明参数拟合的精确度更高。
最后，我们可以用复变函数预测参数及其精确度，以确定影响复变结果的影
响因素。
综上所述，学习复变函数技术是一种重要而复杂的过程，需要一系列步骤，以正确解决复变问题。
专业的指导和习题精解可以帮助学习者更容易地
完成这些复变函数的学习，从而更有效地用来预测变量之间联系的取值。
复变函数与积分变换学习指导（第一章）
复变函数与积分变换学习指导（第⼀章）第⼀章复数与复变函数本章⾸先引⼊复数域与复平⾯的概念，其次引⼊复平⾯上的点集、区域、Jordan曲线以及复变函数的极限与连续等概念。
第⼀节复数⼀.复数的表⽰1.2.欧拉公式3.虚数纯虚数且4.模辐⾓主辐⾓5. 与的关系当时，例1 求及解注意：⼀般有两种含义，⼀种是指⾮零复数⽆穷多辐⾓中的⼀⼆.复数的运算复数可以看作与复平⾯上的点对应,也可以看作是与平⾯上的向量相对应。
1.加法（遵循平⾏四边形法则）2.减法（遵循三⾓形法则）3.乘法设4.除法5.乘⽅注意：6.开⽅(即求的根)例2计算解故故例3 解⽅程解由有故三.共轭复数2.3.4.例P38.4证明并说明其⼏何意义。
证⼏何意义:平⾏四边形两条对⾓线长的平⽅和等于四条边长的平⽅和。
例P38.5设三点适合条件及试证是⼀个内接于单位圆周的正三⾓形的顶点。
证由知,位于单位圆周上,故只须证为正三⾓形的顶点即可。
由得⼜（由上题结论知），故即。
同理可得，故得证。
四.常⽤不等式1.2.1.过的直线的实⽅程为当时，表⽰之间的直线段，因此的直线段的复⽅程为过的直线的复⽅程为2. 三点共线3. 的中垂线⽅程为。
4.以为⼼，为半径的圆周⽅程为。
例P35.7证明：复平⾯上的直线⽅程可写成其中为⾮零复常数，为实常数。
证任给实直线⽅程令代⼊化简得令即得反之，设有⽅程令试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在复平⾯上处处连续。
证1）当时，⽆意义，故在原点不连续。
2）若为负实数，则，当由负实轴的下⽅趋于时,故在负实轴上任意⼀点上都不连续；3）对任意且不在负实轴上，，取中⼼在,不包含负实轴上的点，但整个包含在张⾓为的⾓形内的最⼤圆,半径当时,总有第⼆节复平⾯上的点集⼀.基本概念1.的的邻域。
2.的去⼼邻域——。
3.内点——若有⼀个邻域全含于，则为的内点。
4.外点——若且不是的聚点。
5.边界点——若的任意邻域内既有属于的点⼜有不属于的点，则为的边界点。
数学物理方法基础(复变函数)
1.2 复变函数
为了更好的理解这个定义，我们需要 了解以下概念：区域、邻域、内点、外点 、境界线、闭区域、开区域等。
邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε 为 半径作一圆，则圆内所有点的集 合称为Zo的邻域。
内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该 点叫作E的内点。 外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
1
2)
z n n cos n i sin n n ein
n
n z cos i sin e n n n
n i
1-1 课堂练习
1、下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez>1/2
答案
再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z u ( x, y y ) iv( x, y y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim y 0 iy v( x, y ) u ( x, y ) i y y
上篇
复变函数论
主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 拉普拉斯变换与傅立叶变换 线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。
第一章 复变函数
1—1 复数及复数运算 1.复数的基本概念 2.复数及其表示形式 3.无穷远点 4.复数的基本运算
1、什么是复数
一个复数可表示为 z=x + i y, 其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为:x=ReZ, y=ImZ;(i即虚单位)。复数的上述表示 称为复数的代数式. 1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分. 2)若实部x=0 ,虚部y=0 ,则z=0——复数零. 3)如果把x，y看做是平面上的点，那么复数Z就与 平面上的 点一一对应起来，这个平面称作复平面。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是数学中应用最广泛的数学类别之一，它包括复平面函数、极坐标函数、双曲函数和裂点函数等类别。
在现代教学和应用中，这一类别的教材已成为必备的课程材料，它能帮助学生更好地理解和掌握复变函数的基本概念和知识点，并给出有关解决实际问题的步骤和方法。
对于复变函数的教材，我们建议选择以基本概念和知识点为主、讲解清楚，通俗易懂且注重实际应用的教科书和其他教学参考资料。
以下为我们推荐的几本教材：
1.《复变函数理论与应用》，第三版，作者：韩兴宇。
该书系统地讲解了复变函数的概念和理论，着重强调实际应用，还兼顾了重点和重难点的讲解，是复变函数教学的好帮手。
2.《复变函数实务精选》，第三版，作者：范永新。
本书以实际问题为依据，让学生从实践中提高和掌握复变函数的基本概念和知识点，全书以例题为主导，是复变函数应用研究的参考书籍。
3.《复变函数系列教程》，作者：郭家宝。
本书有详细的复变函数理论讲解，并给出了大量的习题和解答，涉及的内容比较全面，是完成复变函数学习的首选教材。
4.《复变函数课程指南》，第四版，作者：张立明。
本教科书讲解了复变函数的基本概念及其应用，并结合实际案例形象地讲解，重点突出，易于理解，是复变函数教学的好帮手。
以上就是复变函数教材的介绍，以上每一本书籍都有其值得推荐
的地方，无论你是一个初学者还是一个专业的数学老师，你都可以从上面推荐的教材中找到适合自己的教材。
希望上述推荐能够对大家有所帮助，最后，祝大家在复变函数学习中取得好运！。
复变函数课程自学指导书
复变函数与积分变换课程自学辅导资料二○○八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
参考教材：1 《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。
（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。
是后续各章的基础。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（二）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。
学习时要注意下边几点：（1）正确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2-3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。
无穷远点和无穷大∞这个复数相对应。
这里的无穷大∞是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。
（1）平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域；（2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同；复变函数极限的定义与一元实变函数极限定义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐随着数学的发展，复变函数的应用也日趋广泛。
复变函数可以应用于重力学、物理、植物学、物理化学、生物、动物学和其他科学等各个学科，它也在工程和技术领域中有重要应用。
复变函数的学习也在数学学科中起到至关重要的作用，所以推荐一些质量良好的教材十分必要。
2材简介2.1 《复变函数》（第五版）《复变函数》（第五版）由李爱国编著，陕西教育出版社出版，它是以复变函数为主题的一本综合性教材，既有简单易懂的教学章节，也有复杂深入的解题技巧。
该书前面部分介绍了复变函数的基本概念，让读者具备基本的数学函数知识，然后进入具体的复变函数分析方法，及其应用，在最后部分还有一些习题和参考答案，全书配有详细的图表和图示，有助于读者的理解。
2.2 《复变函数与微积分》（第三版）《复变函数与微积分》（第三版）是由罗正平编著，山东教育出版社出版的教材，全书以复变函数和微积分为主题，从学习入门开始，浅显易懂，突出实用性，以分析论述的形式解释复变函数的基本概念和运用，重点介绍了复变函数的几何意义、极值的求法、导数的计算算法等，全书以及里面的例题、习题都以实际问题为出发点，内容着重于实用性，并附有例题、习题及参考答案，可以帮助读者加深对复变函数的理解。
2.3 《复变函数与积分学》《复变函数与积分学》是由余士林编著，湖北教育出版社出版的教材，该书全面系统地论述了复变函数的基本概念及其应用，从数学方法复变函数的定义和性质，到复变函数的性质，再到复变函数积分的求法及其应用，最后也涉及到单变量函数的根和多变量函数的极值，展示了复变函数在分析几何中的应用。
全书内容丰富，里面的例题、习题及参考答案对于学习者理解复变函数的原理有很大帮助。
3 优缺点从上面介绍的三本教材中可以发现，它们都具有良好的质量。
比较而言，《复变函数》（第五版）有着较为丰富的图表和图示，引导读者从熟悉的概念入手，把握其中的技巧，也有详细的例题和习题让学习者加深对复变函数知识的理解；《复变函数与微积分》（第三版）以实用性为特点，以分析论述的形式解释复变函数的基本概念和运用，全书中的例题也均以实际问题出发；《复变函数与积分学》主要以复变函数和积分学为主题，从定义和性质到复变函数积分的求法及其应用，它把复变函数与积分学有机结合起来，可以更全面地帮助读者了解复变函数。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是一门基础的数学课程，学习它有助于我们更好地理解复杂的数学问题。
为了让学生更好地掌握复变函数的基础知识，专业的教材显得尤为重要。
本文将介绍几种推荐的复变函数教材。
首先推荐的是《复变函数教程》，这是一本深入浅出的复变函数
教材，由专业教师撰写。
书中介绍的内容包括复变函数的基本概念、指数复变函数、对数复变函数、参数变换复变函数及其应用等。
例题丰富，解题技巧翔实，深入浅出的表达方式深受学生的喜爱。
其次推荐的是《复变函数高分突破》，这是一本详细讲解复变函
数的专业教材，主要针对高考考生。
书中涉及了复变函数的语言表达、求导与积分、复变函数的几何认识、复变函数的应用等课题，并列出了大量的习题，具体详细，并给出了解答，可以深入浅出地帮助学生掌握复变函数的基础知识。
最后推荐的是《复变函数精品课堂》，书中记录了大量实用的复
变函数课堂教学案例，可以充分利用好课堂的教学时间，让学生们更加深入的了解复变函数。
学生可以根据书中的案例设计自己的练习，激发自己的知识探索能力，辅以书中的详细的讲解，可以轻松掌握复变函数的相关知识。
总而言之，复变函数教材的选择十分重要。
在购买时，应该根据自己的情况选择最适合自己的教材，才能更好地掌握复变函数的知识。
- 1 -。
北京大学数学物理方法经典课件第一章——复变函数
( 3 ) z z Re( z ) Im( z ) ;
2 2
( 4 ) z z 2 R e ( z ) , z z 2 i I m ( z ) .
以上各式证明略.
12.03.2019 21
例3
设 z1 , z2 为两个任意复数 , 证明 : (1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
2
2 2
z z 2zz 2 12
z z 2 z z 1 2
2 ( z z ) 1 2 ,
2 1 2 2
2 1
2
z z z . 两边同时开方得 z 1 2 1 2
z 同理可证： z 1 2 z 1 z 2 .
12.03.2019 23
1.2 复变函数
自变量与因变量都是复数的函数,称复变量函数. (一) 复变函数定义 设B和F是复平面中的两个集合.如果有一种对应规 则f,使得B中的每个点z,都有一个唯一确定的点w Є F 与之对应,则我们称f是一个复变量函数,或简称复变函 数,记作w=f(z)(z Є E). B 是函数 w = f (z )的定义域。F是f(z)的值域. 如果 z 的一个值对应着一个 w 的值 ,那末
x
2
iy2 0
1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) 2 0 2 两个复数相除等 1 于它们的模相除， exp[i(1 2 )] 2 幅角相减
12.03.2019 17
开平方
如果给定复数为i( 0) ，我们来求其的开平 方。设有一个新复数 x i y ，使得
2.复数的定义:
i-虚单位 满足：i2=-1 为复数 虚部 记做：Imz=y
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是一门基础数学课程，它包含多象限函数、二重函数、极限运算和导数等等，是学生掌握数学知识的一个重要组成部分。
学习复变函数的时候，学生需要一本讲解清楚的教材，以便可以深入研究。
现在，有许多关于复变函数的教材，但是，学生可以根据自己的要求，找到最适合自己的一本。
下面给出几本值得推荐的教材，有助于提高学生的学习水平。
第一本书是高等数学（复变函数）（第四版），作者是李秀英。
这本书内容丰富，适合中高级学生深入学习复变函数。
李秀英老师把复变函数的概念、特性以及基础知识清楚地列出来，并且还给出了一些实例，以便学生可以更加轻松地理解和掌握。
第二本是《复变函数：历史发展，理论与应用》，作者是丁秀珍。
这本书由历史发展、理论、应用三部分组成，比较全面地介绍了复变函数的发展历史、基本概念、定义和一些重要的实例，以及它在多种应用中的作用。
丁老师的写作风格比较生动，学生可以轻松把握这些概念。
第三本是《复变函数：从入门到精通》，作者是葛豫林。
这本书分为入门篇、中级篇、高级篇三个部分，详细介绍了复变函数的基本概念、定义、实例、应用、数学原理等等。
葛老师还特意提供了一些计算机程序，使学生可以实际操作，从而更加深入地理解复变函数的知识点。
上述三本书是学习复变函数的不错的教材，非常值得推荐。
这些教材都以不同的风格和方式介绍复变函数的基本知识，所以学生可以根据自己的兴趣和要求，选择最适合自己的一本教材。
只要学生仔细学习，就可以掌握复变函数的基础知识，从而更好地学习数学。
复变函数课程自学指导书-华北电力大学.docx
复变函数与积分变换课程自学辅导资料二OO八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末血授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
参考教材：I《复变函数》（笫以版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962《复变两数与积分变换》（第二版），华屮科技人学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一. 本章的核心.重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。
（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。
是后续各章的基础。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（-）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（-）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。
学习时要注意下边几点：（1）止确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2・3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的儿何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平而的概念，它们是为了用球而上的点来表示复数而引入。
无穷远点和无穷大oo这个复数相对应。
这里的无穷大-是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》屮相应概念的推广，它们有相似之处，乂有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。
复变函数书籍
复变函数书籍《复变函数导论》：揭开复数世界的神秘面纱复变函数是数学中一个重要的分支，它通过引入复数的概念，将实数域扩展到复数域，拓宽了数学的应用领域。
《复变函数导论》一书全面而深入地介绍了复变函数的基本理论和应用，帮助读者理解复数世界的奥秘。
本书首先从复数的定义和性质入手，详细介绍了复数的四则运算、共轭与模、幂与指数等基本概念。
复数的引入使得函数在复数域上有了更为丰富的性质和变化规律，这也为复变函数的研究奠定了基础。
随后，《复变函数导论》系统地阐述了复变函数的连续性与可导性。
对于实变函数来说，函数的可导性仅仅意味着函数在某一点的导数存在，而对于复变函数来说，可导性要求函数在某一点的导数存在且在该点的邻域内处处可导。
这一特性为复变函数带来了更多的性质和应用，例如解析函数的概念就是基于复变函数的可导性进行定义的。
《复变函数导论》还探讨了复变函数的积分论。
复变函数的积分与实变函数的积分存在着一些显著的差异，例如复变函数的积分与路径有关，而实变函数的积分与路径无关。
这一特性使得复变函数的积分具有更广泛的应用，例如在物理学和工程学中的电路分析和电磁场计算中，复变函数的积分被广泛应用于计算复杂曲线下的积分值。
除此之外，《复变函数导论》还介绍了复变函数的级数展开、留数理论和调和函数等重要内容。
级数展开是将复变函数表示为一系列幂级数的形式，使得函数的计算更加便捷和灵活。
留数理论是复变函数理论中的重要工具，它将复变函数与复变积分紧密结合，为解决复杂积分和求解特殊函数值提供了有力的手段。
调和函数则是复变函数中的一类特殊函数，它在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在电势和流体力学中的研究中，调和函数扮演着重要的角色。
《复变函数导论》一书内容丰富、结构严谨、逻辑清晰。
通过深入浅出的讲解，读者可以逐步了解复变函数的基本概念和性质，掌握复变函数的基本技巧和求解方法。
同时，本书还提供了丰富的习题和例题，帮助读者巩固理论知识，培养解决实际问题的能力。
复变函数教材推荐
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然而，由于复变函数在高中数学教学中是非常重要的一个部分，所以教材的质量对学生学习成绩产生了重要影响。
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其中，书中对复变函数的各种基本求解方法的详细讲解，让学生可以更好地理解复变函数的基本概念，同时也可以帮助学生更好地掌握复变函数的应用。
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该书全面地介绍了复变函数的基本概念与定义，以及复变函数的各种性质；而且，书中还详细论述了复变函数的各种求解方法，使学生可以更好地掌握复变函数各种绘图和计算工作；此外，书中还涉及了复变函数的应用，包括极限、数列和微积分等内容；最后，书中还提供了大量的习题，可以帮助学生更好地理解复变函数的相关知识，更好地掌握该课程。
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综上所述，以上三本书都是用于复变函数学习的经典教材，帮助学生掌握复变函数的基础知识，了解复变函数的各种求解方法等。
希望以上三本书可以为学生提供更多的帮助，让学生能够更好地掌握该课程的知识和技能，从而帮助他们在学习复变函数的过程中取得更好的成绩。
复变函数第一章学习指导
复变函数第一章学习指导一．知识结构1. n ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩复数的定义有序实数对代数式复数的五种表示三角式复数指数式向量复数的模、辐角、共轭复数棣莫夫公式复数的次方根 2. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩平面点集预备知识区域曲线复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质二．学习要求⒈了解复数定义及其几何意义；⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；⒍理解复变函数的极限与连续.三．内容提要复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数.要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠.正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+,),(),(),(d b c a d c b a --=-, ),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅,0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c dc ad bc d c bd ac d c b a . 复数的四则运算满足以下运算律①加法交换律 1221z z z z +=+,②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++, ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅,④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅,⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅,),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z .22y x +称为),(y x z =的模，记为z .共轭复数满足 z zz z zz z z z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅, 2121z z z z ±=±, 2121z z z z ⋅=⋅, 0,)(22121≠=z z zz z . 复数的三角式 )sin i (cos θθ+=r z （其中z r =） 复数的指数式 θi e r z =, 由此得如下关系式)(i 21i 2i 1212121e e e θθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z ,0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ,θn n n r z i e =, 2121z z z z ⋅=⋅,0,22121≠=z z z z z ,)Arg()Arg()Arg(2121z z z z +=⋅, )Arg()Arg()Arg(2121z z z z -=. 对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(eπ2i-==+n k r z nk n n θ.0z 点的ρ邻域为复数集合}:{0ρ<-z z z ，记为),(0ρz N .0z 点的去心ρ邻域为复数集合}0:{0ρ<-<z z z ，记为),(0*ρz N .无穷远点的ρ邻域为复数集合}:{ρ>z z ，记为),(ρ∞N .开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集. 区域：1. D 是开集；2. D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D .对于区域D ，若D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域.不是单连通区域的区域称为复连通区域.复变函数的定义： 设G C ⊂，如果对于G .中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =.复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形. 注1.此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应； 注2.同样可以定义函数的定义域与值域； 注3.复变函数等价于两个实变量的实值函数.复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数.如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0δδε=>，使得当z E ∈，并且00||z z δ<-<时，|()|f z a ε-<，则称a 为函数()f z 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即A z f A z f z z z z z z Re )(Re lim )(lim 000Im Im Re Re =⇔=→→→且A z f z z z z Im )(Im lim 00Im Im Re Re =→→复变函数连续性的定义：如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果()f z 在E 中每一点连续，则称()f z 在E 上连续.如果()(,)(,)f z u x y iv x y =+，000z x iy =+，()f z 在0z 处连续的充要条件为：00000000,,,,lim(,)(,)lim(,)(,).x x y y x x y y u x y u x y v x y v x y →→→→==，四. 疑难解析复数的概念与几何表示1.复数为什么不能比较大小?答: 实数能比较大小,是因为实数是有序的；而复数是无序的,所以不能比较大小.因为复数是实数的推广,则若复数有大小,其大小关系应与实数中大小关系保持一致.不妨取复数0和加以讨论:因为0i ≠,设0i >,则00i i i ⋅>⋅=,得-1>0,显然不成立;设0i <,则00i i i ⋅>⋅=(不等式两边同乘以小于零的数,不等号反向),也有-1>0,所以,i 与0无法比较大小.从而知,两个复数是不能比较大小的.然而,复数的模.实部和虚部都是实数,辐角也是实数,是有序的,因此,可以比较两个复数的模.实部.虚部和辐角的大小,在这个意义上,也称复数是部分有序的.2.怎样确定辐角的主值argz ?答: 因为复数z 的辐角,tan yxθθ=A rgz =.而πθπ≤0-<argz =.所以, θ0(见图1.2)按下列关系式来确定.arctan ,arctan arctan arctan 2yxy xy xyx πππ+-+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩在第一象限，在第二象限，在第三象限， 在第四象限 z z z z argz =3.复数可以用向量表示,是否就此可以认为复数的运算与向量的运算相同?答: 不能.复数的运算与向量的运算有相同之处也有不同之处.如复数运算与向量运算有相同的加法运算和数乘运算,但向量运算有数量积.向量积和混合积,复数则没有;复数运算有乘.除.乘幂和方根,向量则没有.复数相乘的几何意义是将复数1z 放大2z 倍,再将其辐角按逆时针方向旋转角度2argz ,即先作一个相似变换,再作一个旋转变换,而向量的数量积与向量积都不是这样的.4.怎样理解两个复数1z 与2z 的乘积和商的辐角公式? )=+1212Arg(z z Argz Argz ,=-2121z A rgA rgz A rgz z . 答: 由于上述两个公式两边的辐角都有无穷多个值,因此等式的意义是;任意给定一个等式右边两个多值函数一对可能取的值,右边多值函数也必有一个值使这个等式成立.反之也是这样.也就是说,等式的值是在全体意义上的相等,而不是某一组值的相等.例如,若1θ和2θ为1Argz 和2Argz 的任一对选定值,则)12Arg(z z 中一定有一个θ存在,使12cos cos()θθθ=+,12sin sin()θθθ=+,θ不一定就是12θθ+,而可以是使122k θπθθ+=+中的一个.反之也是这样.5.复数所具有的运算性质是否使复数集合成为复数域? 答: 是.复数的运算具有以下规律: (1) 若1z ,2z 是复数,则12+z z 也是复数.(2) 满足对加法的结合律与交换律,即对于复数1z ,2z ,3z 有 ()()112123++=++z z z z z z , 1221+=+z z z z .(3) 关于加法存在零元素,对于任意复数z ,有00+=+=z z z . (4) 关于加法存在逆元素.对于任意复数z ,存在复数-z ,使()()0+-=-+=z z z z .(5) 若1z ,2z 是复数,则12z z 也是复数.(6) 满足对乘法的结合律与交换律,即对于复数1z ,2z ,3z 有123123()()=z z z z z z , 1221=z z z z .(7) 关于乘法存在单位元素1,对于任意复数z ,有⋅⋅1z =z =z .(8) 关于乘法存在逆元素.对于任意复数z =0,存在复数1z,使⋅=⋅11z z =1z z. (9) 满足对加法与乘法的分配律,即对于任意复数1z ,2z ,3z ,有()13133+=⋅+⋅22z z z z z z z ,所以,全体复数构成一个复数域.复球面与平面区域1.为什么在复平面中规定无穷远点只是一个点?答: 在实数中,∞分为+∞与-∞,对应于数轴两端无限远处的点,而在复平面上只有唯一的无限远点∞.这是因为,有复球面上的点与复平面上的点一一对应性,复球面上的北极N 与拓广的复平面上唯一的无穷远点构成一一对应.引入唯一的无穷远点在理论上有重大的意义,它不仅可以作为复平面唯一的边界点,而且还可以存在自己的邻域.2.无穷远点的数学意义是什么?它存在哪些运算?答: 复平面加上无穷远点后称为扩充复平面.复平面又称为有限复平面. 复数∞的实部.虚部和辐角均无意义,复数∞的模规定为∞=+∞，规定关于的四则运算为,,a a a a +∞=∞+=∞-∞=∞-=∞,0,,0a a a a a ∞⋅∞=∞⋅=∞==∞=∞∞其中是不等于∞的复数(又称为有限点).3.复数平面区域的概念与微积分中二元函数区域的概念是否相同?答: 可以认为相同.因为复数z 对应复平面上的点(,)x y ,所以复数与微积分中二元函数有密切的关系.如对复变函数w =f(z)的研究就可以化为对一对实二元函数的研究,从而使我们可以利用微积分中学到的知识来分析.讨论和解决问题.4.集合G 的内点与聚点(或极限点)有什么区别?答: 若对于集合G,0z 为平面上一点,若在0z 的任一邻域内都含有G 的无穷多个点,则称0z 为G 的一个聚点.以下五个说法是互相等价的:(1)0z 为G 的聚点;(2)0z 的任一邻域内含有G 的无穷多个点;(3)0z 的任一邻域内至少含有异于0z 而属于G 的一个点; (4)0z 的任一邻域内至少含有G 的两个点;(5)可在G 中取出点列,(),⋅⋅⋅⋅⋅⋅≠12n n 0z z ,,z ,z z 而n z 以0z 为极限.即对任给0ε>,存在0N >,当n N >时,ε<n 0z -z 属于G 又不是G 的聚点的点称为G 的孤立点.聚点与内点不同.内点是聚点,但聚点不一定G,不一定是内点.如0是点列111,,,,2n⋅⋅⋅⋅⋅⋅的聚点,但不是内点.边界点可能是聚点,也可能不是. 复变函数.极限与连续性1.函数.映射和变换是否是同一概念?答: 函数.映射和变换都是一种对应关系的反映,它们是同一概念.在分析中,习惯把变量之间的对应关系称为函数,如()f ω=z 就反映在确定的法则下,集合G中的数与集合*G 中的数ω一种函数关系;在几何中,习惯把两个点集之间的对应关系称为映射,如()f ω=z 就反映z 平面上一个点集G 与ω平面上一个点集*G 的一映射关系;而代数中,又把变量之间的对应关系称为变换,如()f ω=z 就反映集合G 到集合*G 的变换关系.因此,在复变函数中我们不再区分函数.映射和变换,而把它们都看作z 平面上集合G 与ω平面上集合*G 之间的一种对应.2.复变函数()f ω=z 与实变函数有什么关系?答: 设x iy u iv ωz =+,=+,则()(,)(,)f u x y iv x y ω==+z ,所以一个复变函数()f ω=z 相当于定义两个实变函数(,)u u x y =和(,)v v x y =.讨论一个复变函数()f ω=z 的极限与连续性就需要讨论两个实二元函数的极限与连续性.复变函数的定义虽然在形式上与实一元函数的定义几乎完全一致,但反映的实质却不相同.复变函数反映z 平面上点集G 与ω平面上点集*G 的对应关系,需要两个平面来表示;而实一元函数反映两个实轴上点集之间的对应关系,只需一个平面上的一条曲线就可以直观地表示,显然要简单的多.3.为什么在复变函数的极限概念中,要强调→0z z 的方式是任意的? 答: 复变函数()f ω=z 当→0z z 的极限与实变函数()y f x =当0x x →的极限在形式上与叙述方法上几乎一致,但要求却大不相同.对极限0lim ()x x f x →而言,只能在x 轴上取值,0x x →只能从左,从右或时左时右地在直线方向上发生.而对极限lim ()f →0z z z 来说,z 在复平面上取值,→0z z 可以从任意方向.以任意方式发生.而对极限lim ()f →0z z z 来说z 在复平面上取值，→0z z 可以从任意方式发生.所以,必须强调在→0z z 的任意方式下极限的唯一性,因而对函数的要求更高,更严格.但是,两个极限的几何意义是完全相同的.即只要z (或x )进入0z (或0x )的δ邻域,它的像点()f z (或()f x )就进入 A 的ε邻域,只是以圆形的δ邻域代替了数轴上的δ邻域,正因为如此,()f z 与()f x 有相同的极限运算法则.五．典型例题例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果.解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z . 例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=.由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A .例3 求8)i 1(+．解 4πie 2i 1=+，故有16e 16e)2()e 2()i 1(2πi 4π8i 884πi8====+⋅.例4 设i z +=1，求4z ．解 因4πi e 2=z ，故4arg ,2π==z z ．于是，z 的四个四次方根为 16πi80e 2=w , 169πi81e2=w , 16π17i82e 2=w , 16π25i83e2=w .例5 试确定不等式0arg4z i z i π-<<+所确定的点集是什么图形？ 解法1 （按复数几何意义和辐角定义分析）先考虑满足等式arg4z i z i π-=+的点的集合.因为()()arg arg arg z iz i z i z i-=--++,又arg(i)z -和arg(i)z +分别是始点在i 和i -而终点在z 的向量与正实轴的夹角（根据本书规定：主辐角的范围为0arg 2πz ≤<，故上述描述成立）.因此等式arg4z i z i π-=+ 表示到两定点i,i -的张角之差等于定数4π的点z 的集合.由平面几何的定理知，这是缺了点i 和i -的两个圆弧.见图1.10所示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是arg4z i z i π-=+所确定的点集；虚线圆弧不是arg 4z i z i π-=+所确定的点集. 再考虑等式arg 4z i z i π-=+确定的点集.实际上，此点集是虚轴上点i 以上，点i -以下的点的全体.从图中看出可见，该点集和图1.10中实线圆弧将整个平面分为两半. 容易验证，左边的部分除去圆域（即图中淡灰色）为不等式0arg4z i z i π-<<+所确定的点集.解法2 根据辐角定义得出，由i z x y =+22222222i i i 12i i i i (1)(1)i 2arg()arctan i 1z x y x y xz x y x y x y z x z x y -+-+--==++++++++--∴=++-由题意得到222π0arctan()14x x y -<<+-注意到，在(0,π/4)的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等式两边均取正切得到222011xx y -<<+-由此得到220(1)2x x y <⎧⎨++>⎩ 或 220(1)2x x y >⎧⎨++<⎩注意到 22(1)2x y ++=是以（－1，0题给条件的是图1.10中灰色的部分. 根据题给辐角不等式，对于0x >，其辐角图 1.10不满足要求.例 6研究下列函数在0z =点的连续性. （1）Im()()1z f z zz =+（2）Re(), 0()0, 0z z z f z zz ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩解（1）i i 2000sin sin lim ()lim lim 011z r r r r f z re re r θθθθ-→→→===++又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.（2）i 2i i 000cos lim ()lim lim cos 0z r r re r f z re re θθθθθ-→→→===又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.1.证明不等式（1）z z R t ≤，z z I m ≤（2）2121z z z z +≤+证明：（1）设设ｚ＝ｘ＋iy ，则z ＝22y x +故 z y x x z R t =+≤=22同理:zy x y z I m =+≤=2(2)由221z z +＝（1z ＋2z ）（1z ＋2z ）＝1z ·2z ＋1z ·2z ＋1z ·2z ＋1z ·2z＝21212221z z z z z z ⋅+⋅++＝t R z z 22221++（1z ·2z ）由（1）≤2122212z z z z ++＝221)z z +（∴2121z z z z +≤+2.证明：（1）123123()()z z z z z z ++=++，并作图. （2）1231213()z z z z z z z +=+.证明：设111222333,,z x iy z x iy z x iy =+=+=+， 则(1) 232323()()z z x x i y y +=+++，121212()()z z x x i y y +=+++，所以123112323()[()()]z z z x iy x x i y y ++=+++++123123()()x x x i y y y =+++++123121233()[()()]z z z x x i y y x iy ++=+++++123123()()x x x i y y y =+++++ 123().z z z =++(2) 232323()()z z x x i y y +=+++123112323()()[()()]z z z x iy x x i y y +=++++123123123123[()()][()()]x x x y y y i x y y y x x =+-+++++ 1213121312131213()()x x x x y y y y i x y x y y x y x =+--++++ 12112212121212()()()()z z x iy x iy x x y y i x y y x =++=-++ 13113313131313()()()()z z x iy x iy x x y y i x y y x =++=-++ 所以，1231213()z z z z z z z +=+.3.证明：设1z ,2z 是两复数.如果12z z +和12z z 都是实数，那么1z ,2z 或者都是实数，或者是一对共轭复数.证明：设111222,,z x iy z x iy =+=+121212()()z z x x i y y +=+++,1212121212()()z z x x y y i x y y x =-++由于12z z +和12z z 为实数，所以1212210y y x y x y +=⎧⎨+=⎩ 若120,0y y ==则，因此1z ,2z 为实数；若1210,0y y y ≠=-≠则，所以12x x =，即222111z x iy x iy z =+=-=.4.求复数11z z -+的实部与虚部. 解： 21(1)(1)(1)(1)1|1|(1)(1)z z z z z w z z z z --+-+===++++ 222(1)12Im |1||1||1|zz z z zz zi z z z +---==++++ 所以，21Re |1|zz w z -=+，22Im Im |1|zw z =+. 5.设1z ,2z 是两复数，求证（1）.222121212||||||2Re z z z z z z -=+-； （2）1212||||||||z z z z -≥-；（3）.2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义. 证明：(1).2121212||()()z z z z z z -=--121211221212()()z z z z z z z z z z z z =--=+--22121212||||()z z z z z z =+-+ 221212||||2Re z z z z =+- (2).因为||Re z z ≥，所以222121212||||||2Re z z z z z z -=+-222212121212||||2||||||2||||z z z z z z z z ≥+-=+-212(||||)z z =-， 所以1212||||||||z z z z -≥-(3).222121212||||||2Re z z z z z z -=+-，222121212||||||2Re ()z z z z z z +=+---221212||||2Re z z z z =++ 所以，2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+几何意义如图，平行四边形的对角线的平方和2乘以起两边的平方和.6.设z x iy=+，证明||||||z x y≤≤+.证明：||||2||2222yxyxyxz++≤+=||||x y=+，因为2||||||||22yxyx+≤（算术-几何平均不等式）所以222||2||||||2x x y y++=222222||||||||||||2x x y yx y+++≤=+，所以||z≤.7.试证：分别以1z,2z,3z及1w,2w,3w为顶点的两个三角形相似的必要与充分条件是123123111z z zw w w=.证明：1231231110z z zw w w==233112132132()z w z w z w z w z w z w=++-++231331211232z w z w z w z w z w z w=-+-+-213321132()()()z z w z z w z z w=-+-+-21z+2z21321131132()()()z z w z z z z w z z w =---+-+- 213211131132()()()()z z w z z w z z w z z w =-----+- 21311321()()()()z z w w z z w w =--+-- 所以，21213131z z w w z z w w --=--,同理，有， 21213232z z w w z z w w --=-- 所以313221213132z z z z z z w w w w w w ---==---313221213132||||||||||||z z z z z z w w w w w w ---==--- 即三角形的三边成比例，所以相似，反之，若三角形相似，则对应三边成比例，对应角相等，可以证明313221213132z z z z z z w w w w w w ---==---，所以结论成立.8.如果123||||||1z z z ===，且1230z z z ++=，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆的一个正三角形.证明：由于123||||||1z z z ===，所以它们在单位圆上；又因为1230z z z ++=，故123z z z +=-如图，则1z 与3z -的夹角和2z 与3z -的夹角相等； 同理，2z 与1z -的夹角和3z 与1z -的夹角相等；1z 与2z -的夹角和3z 与2z -的夹角相等；因此，容易证明，1z ,2z ,3z 的夹角为120度，所以结论成立.9.求证：(1cos sin )2cos (cossin )222n n nn n i i θθθθθ++=+ 证明：|1cos sin |i θθ++==2cos2θ==，所以 21cos sin 2cos 2cos sin 222i i θθθθθ++=+2cos (cos sin )222i θθθ=+故 (1cos sin )2cos (cossin )222n n n n n i i θθθθθ++=+. 11.设0||1z <，证明： 如果||1z =，那么11z z zz -=-；如果||1z <，那么 （1）.011z z z z-<-； （2）.22200200(1||)(1||)11|1|z z z z z z z z ----=--；（3）.000000||||||||||1||||11||||z z z z z z z z z z z z --+≤≤--+； （4）.00||||1z z z z z z-≤+-.证明：||1z =，所以1z z =，因此 00001(1)||111z z z z z z z z z z--===--； (1). 222000||||||2Re z z z z zz -=+-22000|1|1(||||)2Re zz z z zz -=+-，所以222220000|||1|||||1(||||)z z zz z z z z ---=+-- 220(||1)(1||)0z z =--≤即 2200|||1|z z zz -≤-， 所以011z z z z-<-； (2).由上面的讨论，有：2222000|||1|(1||)(1||)z z zz z z ---=---，即 22200200(1||)(1||)11|1|z z z z z z z z ----=--(3).222000200||||2Re 1|1|z z z z z zz z z z -+-=--222000||||||2Re z z z z zz -=+- 2200||(1||||)z z z z -+ 22003300004224220000||||2Re 2||||2||||4||||Re ||||||||2||||Re z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z=+-++-++- 22000|1|1(||||)2Re zz z z zz -=+- 2200|1|(||||)zz z z -+ 24220033000022420000||||||2||Re 2||||2||||4||||Re ||||||2||Re z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z=+-++-++- 22220000||(1||||)|1|(||||)z z z z zz z z -+--+ 3333000022200020002||||2||||2||||2||||2||||Re 2||Re 2||Re 2Re z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z=+---++-222200022200002||||(||||1||||)2||(||1)Re 2(||1)Re z z z z z z z z z z z z z =+----+-220022200002||||(||1)(||1)2||(||1)Re 2(||1)Re z z z z z z z z z z z=----+-220002(||1)(||1)(||||Re )0z z z z z z =---≥， 所以，220000||||()11||||z z z z z z z z -+≤-+；2200||(1||||)z z z z -- 22003300004224220000||||2Re 2||||2||||4||||Re ||||||||2||||Re z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z=+---+++- 22000|1|1(||||)2Re zz z z zz -=+- 2200|1|(||||)zz z z -- 24220033000022420000||||||2||Re 2||||2||||4||||Re ||||||2||Re z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z=+---+++- 22220000||(1||||)|1|(||||)z z z z zz z z ----- 3333000022200020002||||2||||2||||2||||2||||Re 2||Re 2||Re 2Re z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z=+---++-222200022200002||||(1||||||||)2||(||1)Re 2(||1)Re z z z z z z z z z z z z z =+----+-220022002||||(1||)(1||)2(1||)(||1)Re z z z z z z z z=--+--220002(1||)(1||)(||||Re )0z z z z z z =---≥ 所以22220000||(1||||)|1|(||||)z z z z zz z z --≥--0000||||||1||||1z z z z z z z z--≤--；(4).类似于(3)，可以证明结论.14.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么？如果是区域，是单连通区域还是多连通区域：（1）Im 3z =； 解：直线，不是区域；（2）1Re 2z >；解：半平面，单连通无界区域；（3）|||2|z i i -≤+；解：|||2|z i i -≤+=，圆心在i ，（4）|2||2|5z z -++=；解：椭圆，不是区域；（5）arg()4z i π-=；解：半射线，不是区域；（6）1||1,Re 2z z <≤；解：半园，不是区域，因为既不是开集，也不是闭集； （7）0|1|2z i <++<；解：去心圆盘，有界多连通区域；（8）121z z -≤+； 解：圆盘的外区域，无界多连通闭区域；z x iy =+，2233()48x y ++≥；（9）1arg(1),2Re 34z z π<-<<<；解：梯形区域，有界单连通区域；（10）0arg4z i z i π-<<+； 解：arg arg()arg()z iz i z i z i-=--++，圆盘的外区域，无界多连通闭区域.六．单元检测 一、单项选择题：1、设32z i =--，则arg z =___________. A) 2ar 3ctgB) 3ar 2ctg C) 2ar 3ctg π- D) 2ar 3ctg π+ 2、设cos cos z i θ=+,则z =____________.A)1 B) cos θ C) θ 3、设12,w z z w z z =⋅=+,则1arg w _________ ()2arg Re 0w z ≠ A) = B) ≤ C) < D) ≥4、设(),,0,1,2,3,4i k kz re w k θ===则arg kw=____________.25k θπ+ C)25k θπ+ D)22,0,15k n n θππ++=±5. 若12z iz =,则1oz 与2oz 的关系是__________A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对6.复平面上三点: 134,0,34i i+-+,则__________A)三点共圆 B)三点共线C)三点是直角∆顶点 D)三点是正∆顶点 7.简单曲线(即约当曲线)是__________曲线.A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑 8.设函数w z =,其定义域E 为1z <,则值域M 为____________. A) 1w < B) [)0,1 C) ()1,1- D) {}|01,0x yi x y +≤<=9.函数1w z=将Z 平面上直线1x =变成W 平面上_________ A ）直线 B ）圆 C ）双曲线 D ）抛物线10. 4(1)i +=___________A ）2B ）2-C ）4D ）4-11.区域12z <<的边界是1z =，2z =，它们的正方向_____________ A ）1z =，2z =都是“逆时针” B ）1z =“顺时针”， 2z =“逆时针” C ）1z =，2z =都是“顺时针” D ）1z =“逆时针”， 2z =“顺时针” 12.极限0lim ()z z f z →与z 趋于0z 的方式__________________A ）无关B ）有关C ）不一定有关D ）与方向有关13.函数238()8z f z z +=+的不连续点集为____________A ）{2,1--±B ）{}2-C ）{2,1D ）{2,1-±14. 53(cos sin )(cos3sin3)i i e i ϕθθθθ-=+，则ϕ=_________________A ）2θB ）4θ-C ）4θD ）14θ-15.扩充复平面上，无穷远点∞的ε-邻域是指含于条件_________的点集A ）z ε<B ）z ε>C ）1z ε<D ）1z ε>二、多项选择题：1.若12z iz =，则12oz z 是______________ A ）锐角B ）钝角C ）直角D ）等腰E ）正2.表示实轴的方程是_____________（其中t 是实参数） A ）Re 0z = B ）Im 0z = C ）11z t i -=- D ）12z t -= E ）3z t = 3.函数2w z =将Z 平面的曲线_____________变成W 平面上的直线(,)z x iy w u iv =+=+A ）3z = B) 224x y += C ）224x y -= D ）4xy = E ）229y x -=4.函数1()1f z z=-在单位圆1z <内______________ A ）连续 B ）不连续 C ）一致连续 D ）非一致连续 E ）解析5.对无穷远点∞，规定________________无意义A ）运算∞+∞B ）运算∞-∞C ）∞的实部D ）∞的虚部E ）∞的幅角 三、填充题：1.复数z x i =+，当0,x y <≥时，其幅角的主值a r g z =___________________________.2.复数i z re θ=的n 将方根k k w ==________________________.3.具备下列性质的非空点集D 称为区域：（1）________________________ __________（2）___________________________________.4.设D 为复平面上的区域，若_______________________________,则称D 为单连通区域.5.设E 为一复数集,若_______________________________________________则称在E 上确定了一个单值函数()w f z =.6.在关系式00lim ()()z z f z f z →=中,如果__________________________________就称()f z 在点0z 为广义连续的.7.设12z z i ==,指数形式:12z z =_______________________.8. Z 平面上的圆周一般方程可以写成： 其中： . 9．考虑点集E 若 ，则称0z 为点集E 的聚点.10．任一简单闭曲线C 将E 平面唯一地分成C 、()I C 、及()E C 三个点集，它们具有性质：（1） （2） （3） （4） 四、计算题：1．解方程：440z a +=()0a >.2．将复数：1cos sin i ϕϕ-+（0ϕπ<≤）化为指数形式.3．求函数1w z =将Z 平面上曲线11z -=变成W 平面上的曲线. 4．求复数()111zw z z+=≠-的实部，虚部，模.5．求cos 4θ及sin 4θ 用cos 4θ与sin 4θ表示的式子. 五、证明题 综合题：1．设1z =，试证：1az b b z a--+=+.2．设(1nn n x iy +=-（n x ，n y 为实数，n 为正整数）试证：114n n n n n x y x y ----=.3．试证：以123,,z z z 为顶点的三角行和以123,,w w w 为顶点的三角形同向相似的充要条件为：1122331101z w z w z w =. 4．试证：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：34141232:z z z z z z z z ----为实数. 5．函数()11f z z=-在单位圆1z <内是否连续？是否一致连续？证明之. 6．证明：Z 平面上的圆周可以写成：0Az z z z C ββ---+++=其中A ，C 为实数，0A ≠且2AC β>.单元检测答案：一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A13.D 14.D 15D二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE三、1. y arctg xπ+()20,1,,1k i n k n θπ+=- .3.(1).D 开集 (2)D 中任意两点可用全在D 中的折线连接.4.在D 内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D.5.对E 内每一复数,z 有唯一确定的复数w 与之对应.6.如果0z 及()0f z 之一或者它们同时取∞.7. 51212e π. 8. 0z z r -=,0z 为圆心,r 为半径.9.平面上点0z 的任意邻域都有E 的无穷多个点.10.(1)彼此不交 (2)()I C 是一个有界区域 (3)()E C 是一个无界区域 (4)若简单折线p 的一个点属于()I C ,另一个端点属于()E C ,则p 必与C 有交点.四、1.解:44z a =-22cos sin,0,1,2,344k k k z i k ππππ++⎫=+=⎪⎭2.解:21cos sin 2sin 2sincos222i i ψψψψψ-+=+2sinsin cos 222i ψψψ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sincos sin 22222i ψπψπψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222sin2i eπψψ⎛⎫- ⎪⎝⎭=.3.解:设,,z x iy w u iv =+=+则曲线11z -=,可写成222x y x +=, 2222221z x iv x yw iz x y x y x y z z -====-+++⋅, 即22122x x u x y x ===+.故1w z =将z 平面上曲线11z -=变成w 平面上的直线12u =. 4.解:设z x iy =+,则()()()()22221211111x y yi x iy z w z x iy x y--++++===----+, 故()22221Re 1x y w x y--=-+ ()2221m y I w x y =-+,w =5.解:()4cos sin i θθ+432234cos 4cos sin 6cos sin 4cos sin sin i i θθθθθθθθ=+--+,但()4cos sin cos 4sin 4i i θθθθ+=+.故442222cos 4cos sin 6cos sin 18sin cos θθθθθθθ=+-=-,33sin 44cos sin 4cos sin θθθθθ=-.五.1.证明21,az b az b az bz bz a bz a bz a +++=∴=⋅+++ 22221a abz abz bb abz abz a+++==+++, 故1az bbz a+=+.设(1nn n x iy +=- (.n n x y 为实数,n 为正整数). 2.证明:已知(155122cos sin 2233nnn n n n n n x iy i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此 552cos ,2sin 33n n n n n n x y ππ==. 11n n n n x y x y ---()()151515522cos sin sin cos 3333n n n n n n ππππ---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()215152sin 33n n n ππ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭21211542sin 2sin 4332n n n n ππ---⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭3.证明:由于123z z z ∆与123w w w ∆同向相似的充要条件是33,z w ∠=∠且23231313z z w w z z w w --=--,而23313arg,z z z z z -∠=-2313arg w w w w w -∠=-,于是有23231313z z w w z z w w --=--,即1122331101z w z w z w =,试证:以123,,z z z 为顶点的三角形和以123,,w w w 为顶点的三角形同相似的充要条件为1122331101z w z w z w =.4．证明：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：34141232:z z z z z z z z ----为实数.但3212321argz z z z z z z -∠=-，1434143arg z zz z z z z -∠=-, 3232141421432143argarg arg z z z z z zz z z z z z z z z z ----+=⋅----， 因此1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件为34141232:z z z z z z z z ----为实数, 5．()11f z z=-在1z <内连续但非一致连续. 证明 （1）1z -在1z <内连续且不为0，故11z-在1z <内连续.（2）011,0,2εδδ⎛⎫∃=∀>< ⎪⎝⎭，均存在121,142z z δδ=-=-使得124z z δδ-=<,()()1212112111f z f z z z δ-=-=>--,故()f x 在1z <内非一致连续.6．证明： Z 平面上的圆周可以写成()0z z -=γγ>0 其中0z 为圆心，γ为半径 ()()2000z z z z z z 2∴γ=-=-- 0000z z z z z z z z =⋅-⋅-⋅+⋅, 令2001,,A B z C z 2==-=-γ，从而圆周可以写成0AZZ BZ BZ C +++=,A C 为实数，且22200B z z AC 2=>-γ=.。
复变函数教材推荐
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复变函数是一门中学数学的重要学科。
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复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x iz x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数 1）指数函数：()cos sin z xe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：ze 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±± （多值函数）；主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：(0)b bLnaa e a =≠；(0)b bLnzz e z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1bb z bz-'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）4） 双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==；shz 奇函数，chz 是偶函数。
,shz chz 在z 平面内解析，且()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()000limz f z z f z z∆→+∆-∆；2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u vf z i x x∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u vf z i x x∂∂'=+∂∂。
注： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nkkcn k f z dz f zξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质 1）()()1ccf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）；2） ()()()()[],,cccf zg z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数；3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12cc c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：()cccf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则()()[]()cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则①()cf z dz ⎰ ()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与kc均取正向；②()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -= 所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()212112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n c f z i dz f z n z z n π+==-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。
7．重要结论：12,010,0()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰ 。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 内解析， ● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰ ●c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 内不解析● 曲线c 内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰ （()f z 在c 内解析）● 曲线c 内有多于一个奇点：()cf z dz ⎰ ()1knk c f z dz ==∑⎰ （ic 内只有一个奇点kz）或：()12Re [(),]nkk cf z dz i s f z z π==∑⎰ （留数基本定理）● 若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 内有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为实部u 的共轭调和函数。