新古典增长模型完整推导
新古典增长模型
在新古典模型的基本方程中，有
k = s.y-（n +) k
y—人均产量； —资本折旧率 n—劳动力的增长率
k —人均资本的增加，称为资本深化（即意味着每个工
人占有的资本存量增加）
s.y—社会的人均储蓄 (n +) k—新增劳动力所配备的资本数量和资本折旧，称
资本广化（为每一个新增工人提供平均数量资本存量） 所以新古典模型基本方程表述为： 资本深化＝人均储蓄－资本广化
人均生产函数曲线
Y=F（N，K）－－不考虑技术进步 λY=（ λ N， λ K）， 令λ=1/N Y/N=（1，K/N）， 即y=f（k） y
y=f（k）
随着每个工人拥有的 人均资本量的上升， 人均产量也上升，但 在边际报酬递减规律 的作用下，人均产量 增加的速度是递减的。
k
Байду номын сангаас
新古典增长模型基本方程
y
syA
(n +) k
A
sf（k）
kA
k
交点A表示人均储蓄恰 好等于资本广化的需要： syA = (n +) k ，即人均 储蓄恰好够为不断增长 的人口提供资本（设备） 和替换折旧资本而不会 引起人均资本的变化。
经济增长的稳态
（1）储蓄率增加对产量增长的影响 储蓄率的增加不能影响到稳态增长率（因为这一 增长率是独立于储蓄率的），但确实能提高收 入的稳态水平。
2、稳态增长率
稳态指的是一种长期均衡状态。在稳态时，人 均资本达到均衡值并维持在均衡水平不变；在 忽略技术变化的条件下，人均产量也达到稳定 状态；k和y达到一个持久水平。 稳态的条件： s.y=(n
+) k（即 k =0）
新古典增长模型的推导
新古典增长模型的推导
新古典增长模型是一种理论有效经济增长模型，这种模型的推导主要是基于技术进步和投资支出的不断发展，以及以资本库存量调节实现经济增长的观点。
该模型假设经济体存在完全竞争市场，企业可以自由流通资本，具有良好的市场机制和完善的政府政策，技术进步会持续改善企业的生产技术，投资支出会增加资本库存量，进而促进经济增长。
新古典增长模型的推导可以看作是关于经济增长的一个过程，即生产函数的变化，在这个过程中把技术的进步和投资的变化结合起来，用来解释实际经济的增长。
假设在一个期间内，以技术应用来表示时间t的技术水平为$A_t$，投资状况为$I_t$，整体经济产出为$Y_t$，资本库存量为$K_t$，人均经济产出为$Y_t/N_t$，在这个模型中假定有以下基本假设：
1）技术进步：技术进步能够改善资源的生产效率，因此可以认为$A_t$和$A_{t-1}$之间存在技术进步；
2）投资支出：投资支出增加了经济体的生产能力，即$I_t$会增加资本库存量，从而提高生产率和经济产出；
3）资本库存量：增加的资本库存量可能会引起对人力资源和生产要素的放大增补，这一过程。
[经济学]第七讲 新古典经济增长模型全面版
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规划问题。
2021/7/26
25
把约束条件代入目标函数中，我们有：
v(kt
)
max kt 1
u
wt
(1 rt )kt
(1 n)kt1
v(kt1 )
(7.19)
（7.19）式右边最大化问题的一阶条件是：
(1 n)uwt (1 rt )kt (1 n)kt1 v(kt1 ) 0 (7.20)
定，而人均变量的增长率则为零。
2021/7/26
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三、分散经济下的最优
2021/7/26
22
• 虽然我们借助计划者最优问题可以求得最 优的均衡资本数量，但是，为了决定竞争 均衡的价格，我们还是需要通过分别分析 消费者和企业的最优化问题，从而得到一 些求解的有用信息。
2021/7/26
23
消费者的最优化行为
消费者储存资本并进行投资（也即，它们的财富是以资本 的形式表示的），在每一时期里，消费者都会把资本租给企 业并向企业出售自己的劳动。因为劳动并不会给消费者带 来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终 是 1 单位。这样，现在，经济的资源约束条件成为：
Nt ct Kt1 wt Nt (1 rt )Kt （7.16） 这里， wt 表示工资率， rt 代表资本的租金率。
)
max kt1
u
f (kt ) (1 )kt
(1 n)kt1
v(kt1)
(7.8)
（7.8）式右边最大化问题的一阶条件是：
(1 n)u f (kt ) (1 )kt (1 n)kt1 v(kt1) 0 (7.9)
2021/7/26
17
让（7.8）式两边对 kt 求偏导，并应用包洛定理可以得到：
新古典增长理论
评论
1．主要结论 （1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。 （2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高 的增长率。 （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久 性增长。 （4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。 （5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的 产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。 2．批评 （1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长 期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
G=a △K/K+（1－a）△L/L+△T/T
上式中△T/T代表技术进步。索洛模型和之后的索洛－米德模型不仅体现了凯恩斯主义，而且体现了新古典 学派的经济思想，常被称为新古典增长模型，该模型所阐述的增长理论被称为增人口提供平均的资本装备nk，这被称作“资本的广化”。换句话说，经济中的全部储蓄 转化为投资后，一部分用于提高人均资本拥有量（资本的深化），另一部分则用于为新增人口提供平均数量的资 本装备（资本的广化）。
图中横轴为人均资本拥有量k，纵轴为人均收入f（k）。集约生产函数曲线f（k）表明随着人均资本拥有量 的增加而增加，人均产量即人均收入f（k）也相应增加。人均储蓄曲线sf(k)位于人均收入曲线f(k)的下方，因 为储蓄只是收入的一部分。
基本信息
新古典增长理论（New-Classical Theory of Economic Growth）
新古典增长理论主要是指美国经济学家索洛所提出的经济增长的理论。索洛以柯布－道格拉斯生产函数为基 础，推导出一个新的增长模型。这个模型假定：第一、资本－产出比率是可变的；资本和劳动可以互相替代；第 二、市场是完全竞争的，价格机制发挥主要调节作用；第三、不考虑技术进步，技术变化不影响资本－产出比率， 因而规模收益不变。用a和1－a分别代表资本和劳动对总产出的贡献，△K/K为资本增长率；△L/L为劳动增长率， 该模型用公式可以表示为：
新古典增长模型(Neoclassical Growth Model)完整推导
2 Model Setup
Representative Firm We assume a competitive economy with identical firms, then we use representatives to build the model. Production function of representative firms is Cobb-Douglas form with Harrod-neutral,
Neoclassical Growth Model
Weijie Chen Department of Political and Economic Studies
University of Helsinki 15 June, 2011
In this article, we use dynamic programming to solve neoclassical growth model which is based on microfoundation. Objectives of agents are formed explicitly, households choose saving in order to maximize utility, firms maximize their profits by decisions of employment and investment. Sometimes Solow model is also called neoclassical growth model, however Solow model is very different from the what we are presenting here, the most prominent feature is that savings rate is exogenous in Solow model.
新古典增长模型
索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。
2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。
（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。
ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。
资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。
0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。
新古典经济增长理论
新古典经济增长理论新古典经济增长模型对我国经济发展的启示王峰杰【摘要】新古典经济增长模型使用可变技术系数的生产函数，认为在市场机制的作用下，宏观经济能够自动沿着充分就业轨迹增长。
由于均衡增长率正好等于劳动增长率，在经济均衡增长时，人均产量将保持不变。
可以通过提高生产技术水平、提高储蓄率与降低人口增长率等，增加人均产量。
【关键词】新古典经济增长模型资本广化资本深化人均产量一、新古典经济增长模型新古典经济增长模型假设:第一，撇开政府与国际部门，为两部门经济。
第二，仅仅使用劳动与投入两种要素生产产品，且不存在技术进步，则总量生产函数为:Q=F(L,K)(1)其中，Q表示总产量，L表示劳动，K表示资本。
第三，各种要素的边际报酬递减，即随着劳动与资本投入的增加，它们的边际产量(、)递减。
第四，规模报酬不变，即:(2)令k表示资本—劳动比率，即k=KL，可得:Q=L•f(k),或QL=f(k)(3)这就是新古典经济增长模型中的生产函数。
与哈罗德经济增长模型中的生产函数不同，该生产函数中的资本—劳动比率(k)可以变动，因为人均产量(QL)就是人均资本量(k)的函数。
第五，每一时期的劳动(用L表示)按固定比率n增长，即:(4)第六，不存在资本折旧，则投资(用I表示)会增加资本存量，即:(5)第七，储蓄函数采取长期的形式，即S=s(Y)。
其中，S表示储蓄，s表示储蓄率，即s=SY，Y表示实际产量或实际收入，等同于Q。
第八，经济均衡增长的条件为总需求等于总供给。
在两部门经济中，经济均衡增长的条件就是投资等于储蓄，即:I=S(6)从上述假定条件，可以推导出新古典经济增长模型的基本方程:(9)式就是新古典经济增长模型中的基本方程。
该方程表示，从长期来看，储蓄必然等于投资。
一个社会由人均储蓄sf(k)转化而来的新资本分为两个部分:一部分(nk)是为新增加的每个劳动力提供社会平均水平的资本量，称为“资本广化”;另一部分(dkdt)则用来增加人均资本拥有量，即为每个人配备更多的资本品，称为“资本深化”。
DSGE模型讨论之六——新古典增长模型(入门级DSGE)的推导和Dynare模拟
Substitute (11) and (12) back to the (9), −βEt
−σ Ct +1 −σ Ct
−
Pt Qt Pt+1
=1
3
Rearrange, the final form of Euler equation, βEt Ct+1 Ct
Neoclassical Monetary Model
Weijie Chen Department of Political and Economic Studies University of Helsinki Updated 3 Jan, 2012
0 −100 −200 −300 −400 −500 30 20 10 0 30 25 20 15 10 5 0
Bt−1 denotes one-period riskless bonds, purchased in period t − 1, outstanding in period t. The right-hand side of budget constraint means, labour income Wt Nt plus outstanding bond purchased at t − 1, then subtract lumpsum transfer (can be positive or negative). The left-hand side shows the consumption should not exceed the disposal income, household will consume goods Pt Ct , then buy bonds at price Qt . Besidse, we assume household never be a loaner, thus no-Ponzi-game condition, lim Et BT ≥ 0 (3)
新古典增长模型
索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。
2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。
（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。
ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。
资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。
0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。
第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)
第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）本次授课框架：总结波动理论，引出增长理论。
增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件（2） 人均形式生产函数（3） 总量与人均量之间的关系索洛稳态方程推导过程（1） 索洛稳态定义（2） 根据均衡条件的推导（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析（1） 储蓄率增加情况（2） 人口增长率增加情况总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）新古典增长理论评价一、增长方程推导假设生产函数：N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A YY N K AF Y ∆∂∂*+∆∂∂*+∆=∆=),(),(),(),(),( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。
根据欧拉定理：1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。
第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。
当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。
本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。
总量表达式2 N N K K A AY YN K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ∆-+∆+∆=∆-=∂∂*=∂∂*)1(1),(),(),(),(θθθθ 总量与人均量的关系N N k k K K N N y y Y Y∆+∆=∆∆+∆=∆人均量表达式 kk A A y y ∆+∆=∆θ索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。
Solow模型（新古典增长模型）
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.2.1),(L K F Y =000220,0F FK K∂∂><∂∂220,0F FL L∂∂><∂∂).(),(L K F L K F λλλ=0 λ)()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅== 3.2L K k /=L Y y /= 3.2)(k f y =0K →∞→∂∂K F0→L FL ∂→∞∂lim lim KL K L F F →→==∞K→∞0→∂∂K F∞→L 0FL ∂→∂lim lim KL K L F F →∞→∞==0δ>K K δ。
t )(t I ，则)(t IK L K sF K sY K I K δδδ-=-=-=),( 3.4)()()()()()(t I t C t S t L t K t Y 、、、、、n s 、、δ （二）稳定状态1. 2. 3. 4.1.经济中各变量随时间变化的路径和增长的性质3.4K L K sF K δ-=),( Lk k sf k L K F s L K L L K sF L K δδδ-=-⋅=-=)()1,/(//),(/ 3.53.5K Kk k nk L K LK L L L K L K L L K dt L K d k -=⋅-=-==///)/(2 （L L n / =） 因此nk k L K +=/，代入3.5式 k k sf nk k δ-=+)(k n k sf k )()(δ+-= 3.63.6式为基本微分方程。
3.6式中，δ、、n s 为外生变量，因此k 只取决于kδn+2.相位图3.6k n k sf k )()(δ+-=ABCEk n )(δ+)(k f )(k sfkL Y /)0(k*k 图3.1 索洛―斯旺模型相位图3.)0(kA⋅f)0(k)(k(ksf)0(k)B⋅+)0(k(δkn)C⋅C⋅B k⋅>)0(k(0)3.6k n k sf k )()(δ+-=*k *k k = k n k sf )()(δ+=**)()(k n k sf δ+= 3.70=k*k k =0=kk n k sf k )()(δ+-= 3.6k/()/()k k sf k k n δ=-+k k /δ、、n s k k f /)(k k f /)(2[()/]'()()0'()/()/['()()/]{[()()]/}d f k k f k k k k f k k f k k k f k k dt k k k k f k f k k f k k f k k k k ⋅⋅-⋅===⋅-⋅'=-=--⋅⋅=)()(k f k k f '⋅-0=kk *k 0=k常数==)(**k f y 常数=⋅-=)()1(**k f s c 常数=⋅=)(*k f s S0)(/)(/***=+-=δn k k sf k kδ+=n k k sf **/)(**)()(k sn k f ⋅+=δ，s n 、、δ为***)()1()()1(ksn s k f s c ⋅+⋅-=⋅-=δ ***)()()(kn k sn s k f s S ⋅+=⋅+⋅=⋅=δδ 2()0Kd K LK K K L k n dt L L L L==-=-⋅= 得n K K =/ ，C L 、同样都以人口增长速率n 增长*C c L=为常数关于t 求导）。
有技术进步的新古典增长模型的证明
有外生技术变动的新古典增长模型的证明
Y ＝F （AN ，K ），A 以速率g 增长
稳态：k g n sy k )(δ++-=∆
由于k ＝K/AN ，y ＝Y/AN ，所以稳态时，K ，Y 都以（n ＋g ）速度增长，而人均产出（Y/N ）则以g 增长。
推导过程：Y ＝F （AN ，K ）
γY ＝F （γAN ，γK ）（Y 是K 和有效劳动AN 的一次齐次函数）
取γ＝1/AN ，有
Y/AN ＝F （1，K/AN ）
人均产量y ＝Y/AN ，k ＝K/AN
得到：y ＝f （k ）＝F （1，k ）
新古典增长模型的基本方程
在一个只有两部门的简单经济中，经济的均衡为：
I ＝S （资本存量的增加等于储蓄）
K I K δ-=∆（折旧比率固定）
K sY K δ-=∆（储蓄率固定）
两边同除以AN ，得到
k sy AN
K δ-=∆ （1）
另一方面：
K ＝k ·A N
全微分：
A kN N kA k AN A A
K N N K k k K K ∆•+∆•+∆•=∆•∂∂+∆•∂∂+∆•∂∂≈
∆ 两边同除以AN ：
gk nk k AN
K ++∆=∆ （2） 结合（1）和（2），得到：
k g n sy k )(++-=∆δ（新古典增长模型的基本方程）。
9.2.2 经济增长模型论： 新古典经济增长模型
基本方程解析
K 2、另一方面，人均资本 k N ln k ln K ln N 两边对时间 求微分 t 1 dk 1 dK 1 dN k dt K dt N dt k K N k K n k K N k K K k k n K K nK K k k K k K K n N k N N 两边同除以 ，得： N K k N K k n k (式2) N
k为人均资本的折旧；
2、 y为人均储蓄，S S y; S 3、k为人均资本量； k 0称为资本深化； 4、k S y n ）k说明一定的人均储蓄S y必须用于装备新 （ 工人（量为n k），另一部分必须替换 旧资本（量为 k）； 所以，装备新工人和替 换折旧的人均储蓄称资 本广化。 如果 S y n ），k 0，称为资本深化 （ 即资本深化k 人均储蓄S y 资本广化（n ）k
人均储蓄
k sy (n )k sy k (n )k
n—人口增长率 δ—资本折旧率，0＜ δ＜1 nk—为增加的人口配备的资本 δk——用于折旧的资本
基本方程解析
1、一方面，存量资本的 变化k取决于净投资 净投资k 总投资I 折旧（设折旧率为 ） K I K K S Y K 又因为均衡条件 S I N 两边同除以劳动量 S SY K S y k (式1) N
三、新古典稳态分析 1、稳态含义：指人均资本k和人均产量y达到一个稳定水平 的长期状态。
三、新古典稳态分析 2、稳态特征： （1）人均资本达到均衡值。△k=0，即人均资本的增量为 零。 （2）人均产量也达到均衡值。△y=0，因为y=f(k)。 （3）人均资本、人均产量不变，并不是总资本、总产量不 变，实际上，由于N以n增长率上升，经济也在增长。此时经 济增长率为：
评述新古典增长理论
1．评述新古典增长理论答：(1)新古典增长理论放弃了哈罗德-多马模型中关于资本和劳动不可替代的假设。
模型的假设前提大致是：①全社会只生产一种产品；②储蓄函数为S =sY ，s 是作为参数的储蓄，且0<s <1；③不存在技术进步，也不存在资本折旧；④生产的规模报酬不变；⑤劳动力按一个不变的比率n 增长。
索洛推导出新古典增长模型的基本方程为：()sf k k nk =+，其中，k=K/L=资本与劳动力之比，大致为每一个劳动力所能分摊到的(或按人口平均的)资本设备；d /d k k t ==每单位时间k 的增加量，即按人口平均的资本增加量；()/f k y Y L ===每个劳动力的平均生产量，大致为按人口平均的产量；s 为储蓄比例，n 为人口增长率。
这一基本方程式说明，一社会的人均储蓄可以被用于两个部分：一部分为人均资本的增加k ，即为每一个人配备更多的资本设备，这被称为资本的深化。
另一部分是为每一增加的人口配备每人平均应得的资本设备nk ，这被称为资本的广化。
大致意思是说，在一个社会全部产品中减去被消费掉的部分(C )以后，剩下来的便是储蓄；在投资等于储蓄的条件下，整个社会的储蓄可以被用于两个部分：一部分用于给每个人增添更多的资本设备(即资本深化)，另一部分则为新生的每一人口提供平均数量的资本设备(即资本的广化)。
(2) 新古典增长理论的四个关键性结论：①稳态中的产量增长率是外生的。
在上面的模型中为n ，它独立于储蓄率s 。
②尽管储蓄率的增加没有影响到稳态增长率，但是通过增加资本-产量比率，它确定提高了收入的稳态水平。
③产量的稳态增长率保持外生。
人均收入的稳态增长率决定了技术进步率，总产量的稳定增长率是技术进步率与人口增长率之和。
④如果两个国家有着相同的人口增长率、相同的储蓄率和相同的生产函数，那么它们最终会达到相同的收入水平。
如果两个国家之间有着不同的储蓄率，那么它们会在稳态中达到不同的收入水平，但如果他们的技术进步率和人口增长率相同，那么它们的稳定增长率也将相司。
第三节新古典经济增长模型第八章经济增长理论和经济周期理论宏观经济学ppt课件
六、资本的黄金律水平
黄金分割律：使人均消费最大化的人均资本。 1）由于总产出等于消费加投资，即Y = C + I，若两边同
除N，则有： Y/N = C/N + I/N
2）由于Y/N = f(k)，I/N=K/N = k+ nk, 则有： f(k) = C/N + k+ nk
人均产出f(k)可以配置到人均消费C/N、资本深化 k 、 资本广化nk三种用途上。
（2）假定有资本和劳动两个生产要素，且两个要素能相 互替代，资本和劳动能够以可变的比例组合。在此假定下， 资本产出比率即资本生产率是可变的。
（3）劳动力按一个不变的比率n增长。
（4）生产的规模报酬不变。并且资本与劳动的边际生产 率递减。
（5）市场是完全竞争型的，价格机制起着主要调节作用。 因而劳动和资本的边际生产率分别决定工资和利润，资本 和劳动这两个生产要素都可以得到充分利用。于是对哈罗 德模型来说有意义的实际增长率与均衡增长率之间的背离 状态，对新古典经济增长模型就失去了意义。
Δk/k=ΔK/K-ΔN/N=ΔK/K-n
最后一个等式用到了ΔN/N=n。于是有：ΔK=(Δk/k)K+nK
上式两端同除以N，则有： ΔK/N=Δk+nk （2）
将（1）和（2）合并，消去ΔK/N，则有：
Δk＝sy-（n+λ）k （3）
k sy (n )k
sy k (n )k
三、新古典增长模型的基本方程
y
(n+δ)k
（一）储蓄率变动的影响
➢ 几何意义：储蓄率上升， sy曲线斜率增加，移动至 s’y。这时，均衡点右移。
C’ C
s’y sy
➢ 经济学意义：储蓄率上升
新古典增长模型
（六）人口增长
假设人口和劳动力按一个不变 的比率n增长。
L n L
比如: 第一年L = 1.5亿人，人口增长率为 1%/年 (n = 0.01)。 那么 第二年L = 1.515亿人， 第三年L = 1.53015亿人，等等
（七）技术进步
一个新变量: E = 劳动效率 假设:
稳定状态代表了经济的长期均衡。
向稳态变动
如上图，经济小于稳定状态的资 本存量，投资水平大于折旧量， 随时间推移，资本存量将增加， 并将一直增加到稳定状态。
只要 k < k*, 投资就会超过折旧, k 就会继续趋近 k*.
思考：变动过程？
如果开始经济大于稳定状态的资本 存量呢？
向稳态的移动: 一个数字例子
第二章 经济发展理论（一）
二、索洛-斯旺模型
罗 伯 特 ·索 洛 (Robert Merton Solow ,1924年 8 月 23 日 -) ， 美 国 经 济 学 家，以其新古典经济增
长理论著称，并在1961
年被美国经济学会授予
青年经济学家的“约 翰 ·贝 茨 ·克 拉 克 奖”(John Bates Clark Medal) ； 在 1987 年 被 瑞 典皇家科学院授予诺贝 尔经济学奖 。
（一）分析目的
新古典增长理论分析资本积累、 人口增长和技术进步对经济增长 的作用。着重分析储蓄对资本存 量变化的影响，揭示经济长期增 长的产出水平和资本水平实现稳 态均衡的条件，以及如何向稳态 均衡状态调整。
（二）假设条件
索洛-斯旺模型保留了哈罗德-多 马模型的假设，不同之处： （1）生产函数不同。 （2）资本折旧率不为零。
技术进步是劳动加强型的:使劳动效率按 照外生比率g提高:
新古典经济增长模型
新古典经济增长模型索洛经济增长模型概述索洛经济增长模型〔SolowGrowthModel〕是罗伯特·索洛所提出的开展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。
正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛〔RobertM·Solow〕许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动乱，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。
可是，他的这一理论———说明各种不同因素是如何对经济增长和开展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为?对经济增长理论的奉献?的论文中就提出来了。
索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资索洛模型的数学公式模型的根本假定索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。
索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡〞，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。
这些参数值假设稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。
用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡〞是以保证增长率〔用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯〕和自然增长率〔用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加〕的相等来支撑的。
索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。
倘假设放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡〞也就随之消失。
基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。
该模型的假设条件包括：1.只生产一种复合产品。
2.产出是一种资本折旧后的净产出。
新古典增长模型的基本公式
新古典增长模型的基本公式
新古典增长模型是用来研究经济增长的一种经济学模型。
它的基本公式如下：
$$Y_t=A_tF(K_t,L_t)$$
其中，$Y_t$ 表示第 $t$ 时期的总产出；$A_t$ 表示第
$t$ 时期的技术水平；$K_t$ 表示第
$t$ 时期的资本总量；$L_t$ 表示第
$t$ 时期的劳动力总量；$F(K_t,L_t)$ 表示资本和劳动力的生产函数。
新古典增长模型认为，经济增长的主要驱动因素是技术进步和资本的增加。
当技术水平提高或者资本总
量增加时，经济的总产出也会增加。
新古典增长模型还提出了资本-
劳动比和技术进步率两个重要概念。
资本-
劳动比表示资本对劳动力的数量关系，反映了生产率的水平。
技术进步率表示技术水平的变化率，反映了技术进步的速度。
新古典增长模型的基本公式可以帮助经济学家研究经济增长的本质机制，并为政策制定提供依据。
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Kt+1 + Kt Kt+1
(1 + rt+1 )Kt+1 Kt+2 (1 + rt+2 )Kt+2 Kt+3 + + ··· 1 + rt+1 (1 + rt+1 )(1 + rt+2 ) Kt+2 Kt+2 Kt+3 Kt+1 + Kt+1 + ··· 1 + rt+1 1 + rt+1 (1 + rt+1 )(1 + rt+2 ) Kt+1 +
↵ = ↵Kt
1 @ V (Kt+1 ) @ Kt+1 1 + rt+1 @ Kt+1 @ Kt 1 1 ( At L t ) 1 ↵ + V 0 (Kt+1 )(1 ) 1 + rt+1
1
( At L t ) 1
↵
+
(8)
Note that we do not choose controls to make Gs (xt , yt ) = 0, so we need more steps. Rearrange (7), 1 @ V (Kt+1 ) =1 1 + rt+1 @ Kt+1 V 0 (Kt+1 ) = 1 + rt+1 Then substitute into (8),
1
Ts
Marginal cost of labour.
5
which means the issued public debt of year t Bs+1 should cover the di↵erence between outstanding debt Bs+1 (including interest rBs+1 ) and tax. And transversality condition 2 is lim ✓Y s ◆ 1 Bs+1 = 0 1 + rs 0
Since Kt+1 is state variable, we use Benveniste-Scheinkman envelope theorem to find the express for V 0 (Kt+1 ), V 0 (xt ) = Fx (xt , yt ) + V 0 G(xt , yt ) Gx (xt , yt ) @ V ( Kt ) ↵ = ↵Kt @ Kt
Since it is competitive economy, Yt is firm’s real revenue in period t, thus dividends for shareholders in t is, D t = Yt w t Lt It (3)
where wt is real wage. The reason of setting up a dividends equation is to establish the value function of representative firm, ◆ 1 ✓ Y s X 1 Vt = Ds 0 1 + rs 0 s=t
(5)
subject to,
↵ Y t = Kt ( At L t ) 1 ↵
Kt+1 = (1 F.O.C. w.r.t. Lt , (1
↵ 1 ↵ ) Kt At ↵
) Kt + I t
Lt
↵
wt = 0
(6)
F.O.C. w.r.t. It , and due to the second constraint, 1+ 1 @ V (Kt+1 ) =0 1 + rt+1 @ Kt+1 (7)
↵ ) Yt
= K t ( rt + ) = K t rt + K t = K t rt + K t = (1 + rt )Kt Resubstitute back to equation (4), Vt = (1 + rt )Kt = (1 + rt )Kt = K (1 + rt )
Kt + Kt ) Kt
s =t+1
(4)
= Dt + Dt+2 · · · 1 + rt+1 1 + rr+1 1 + rr+2
Set up Bellman equation, with Lt , It being controls, ✓ ◆ 1 V (Kt ) = max Dt + V (Kt+1 ) Lt ,It 1+r ✓ ◆ 1 = max Yt wt Lt It + V (Kt+1 ) Lt ,It 1+r ✓ ◆ 1 ↵ 1 ↵ = max Kt (At Lt ) w t Lt It + V (Kt+1 ) Lt ,It 1+r 2
微观基础
⺫目目标
文文本
1
The Decentralised Economy
What we have seen previously, single individual economy or Robinson Crusoe model is called centralised economy, representative agent make decisions on consumption, saving, leisure and works, which means it can be replicated by a central planner making decision for all individuals. There is no need for market structure, all decisions automatically coordinate. In order to coordinate decision in decentralised economy, we need to introduce markets, such as labour market, capital market, assets market and etc. Neoclassical growth model is a decentralised economy model, it is the baseline model for DSGE modeling. Households and firms will optimise their preferences based on dynamic budget constraints. A general equilibrium will be reached between representative household, representative firm and government.
1
2
Model Setup
We assume a competitive economy with identical
Representative Firm
firms, then we use representatives to build the model. Production function of representative firms is Cobb-Douglas form with Harrod-neutral,
(11)
The modified final F.O.C.s are equations (9) and (11), Yt = rt + Kt Yt ↵) = wt Lt ↵ 4 (5.9) (5.10)
(1
In a competitive economy, M P L = M CL1 and M P K = M CK where M CK equals rent interest r and depreciation . In order to find the equilibrium value of representative firm, substitute F.O.C.s (9), (11) and law of motion of capital (2) into dividend expression (3), D t = Yt = Yt = Yt = ↵ Yt w t Lt (1 (1 It Kt+1 (Kt+1 (1 ) Kt ↵) It Yt Lt Lt It It
This is equilibrium time path of value of firms, which is a function of initial capital stock and real interest rate. Government The dynamic budget constraint is, Bt+1 = Bt (1 + rt ) + Gs
(9) (10)
We have the second F.O.C. to manipulate (6), substitute production function into it, (1
↵ 1 ↵ ) Kt At ↵
Lt
↵
wt = 0
(1
↵)
↵ A1 ↵ L 1 ↵ Kt t t = wt Lt Yt (1 ↵) = wt Lt
↵ V 0 (Kt ) = ↵Kt ↵ = ↵Kt ↵ = ↵Kt
1 V 0 (Kt+1 )(1 1 + rt+1 1 1 ( At L t ) 1 ↵ + 1 + rt+1 (1 1 + rt+1