大物习题答案

习题六

6—1 一轻弹簧在60N得拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧得下端,并使之静止,再把物体向下拉10cm,然后释放并开始计时。求:(1)物体得振动方程;(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体得拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起,到它运动到上方5cm处所需要得最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向,建立坐标系

设振动方程为x=cos(7、07t+φ)

t=0时, x=0、1 0、1=0、1cosφφ=0

故振动方程为x=0、1cos(7、07t)(m)

(2)设此时弹簧对物体作用力为F,则:

F＝k(Δx)=k(x0 +x)

=mg/k=40/200=0、2(m)

其中x

因而有F= 200(0、2-0、05)=30(N)

(3)设第一次越过平衡位置时刻为t1,则:

0=0、1cos(7、07t1 ) t1 =0、5π/7、07

第一次运动到上方5cm处时刻为t2,则

-0、05=0、1cos(7、07t2) t2=2π/(3×7、07)

故所需最短时间为:

Δt=t2 -t1 =0、074s

6—2 一质点在x轴上作谐振动,选取该质点向右运动通过点A时作为计时起点(t＝0),经过2s后质点第一次经过点B,再经2s后,质点第二经过点B,若已知该质点在A、B两点具有相同得速率,且AB=10cm,求:(1)质点得振动方程:(1)质点在A点处得速率。

[解] 由旋转矢量图与可知s

(1) 以得中点为坐标原点,x轴指向右方。

t=0时,

t=2s时,

由以上二式得

因为在A点质点得速度大于零,所以

所以,运动方程为:

(2)速度为:

当t=2s时

6—3 一质量为M得物体在光滑水平面上作谐振动,振幅为12cm,在距平衡位置6cm处,速度为24,求:(1)周期T; (2)速度为12时得位移。

[解] (1) 设振动方程为

以、、代入,得:

利用则

解得

(2) 以代入,得:

解得: 所以

故

6—4 一谐振动得振动曲线如图所示,求振动方程。

[解] 设振动方程为:

根据振动曲线可画出旋转矢量图

由图可得: φ=2π/3

ω=Δφ/Δt=(π/3+π/2)/2=5π/12

故振动方程为x=10cos(5πt/12+2π/3) (cm)

6—5 一质点沿x轴作简谐振动,其角频率,试分别写出以下两种初始状态得振动方程;(1)其初始位移＝7、5 cm,初始速度;(2)其初始位移＝7、5 cm,初速度。

[解] 设振动方程为x=A cos(10t+φ)

(1) 由题意得: 7、5=Acosφ

75=-10A sinφ

解得: A=10、6cm

故振动方程为:

x=10、6cos(10t)(cm)

(2) 同理可得:x=10、6cos(10t)

本题用旋转矢量法更为直观。另外,同学们在做作业时,不要用“同理可得”。

6—6 一轻弹簧在60 N得拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧得下端并在它上面放一小物体,它们得总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm,然后释放。问:(1)此小物体就是停止在推动物体上面还就是离开它?(2)如果使放在振动物体上得小物体与振动物体分离,则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?

[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长,则

又

故

当小物体与振动物体分离时,即,

故在平衡位置上方0、196m处分离。

6—7 一木板在水平面上作简谐振动,振幅就是12cm,在距平衡位置6cm处,速度就是24。如果一小物块置于振动木板上,由于静摩擦力得作用,小物块与木板一起运动(振动频率不变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始在木板上滑动,问物块与木板之间得静摩系数就是多大?

[解] 设振动方程为x=12cos(ωt+φ)

则:v=-12ωsin(ωt+φ)

以x=6cm v=24cm/s代入得:

6=12cos(ωt+φ)

24=-12ωsin(ωt+φ)

解得ω=

最大位移处:

由题意,知

6—8 两根倔强系数分别为与得轻弹簧串接后,上端固定,下端与质量为m得物体相连结,组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时,物体就是否作谐振动?若作谐振动,其周期就是多少?若将两弹簧并联,其周期就是多少?

[解] (1) 串接:当弹簧、与物体静止时,

将串接得两弹簧瞧作一个弹性系数为k得弹簧,由于,得到

选平衡位置为坐标原点,正方向朝下。

分析受力,根据牛顿第二定律。

由于,代入得到,

符合第二个判据,所以该系统得运动就是简谐振动。

其角频率

因此周期

(2) 并接:当弹簧、与物体静止时,

将并接得两弹簧瞧作一个弹性系数为k得弹簧,由于,得到

选平衡位置为坐标原点,,正方向朝下。

分析受力,根据牛顿第二定律。

由于,代入得到,

符合第二个判据,所以该系统得运动就是简谐振动。

其角频率

因此周期

6—9 在竖直平面内半径为R得一段光滑圆弧轨道上放一小物体,使其静上于轨道得最低点,如图所示。若触动小物体,使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动,试证明:(1)此物体作谐振动;(2)振动周期。

[证明] 取最低点为平衡位置,物体与O点连线偏离得角为。

(1) 物体与O点连线偏离角时,指向平衡位置得力矩,很小,故,所以

可见该力矩为指向平衡位置得线形回复力矩,故物体作谐振动。

(2) 因为所以

因此所以

6—10 如图所示,半径为R得圆环静止于刀口点O上,令其在自身

平面内作微小得摆动。(1)求其振动得周期;(2)求与其振动周期相等得单