近几年高考万有引力与航天难题详析

近几年高考“万有引力与航天”10难题详析江苏省特级教师 戴儒京万有引力与航天，历来是高考的重点、热点和难点，体现在每年的高考试卷中都有有关万有引力与航天的题目，每套物理试卷或理综试卷都有有关万有引力与航天的题目。

本文就近几年高考“万有引力与航天”的难题10题，给以详细解析，以帮助广大高三或高一的学生学习这一部分内容。

当你读本文时，对每一题，还是先自己解一下，然后再看本文的解析与答案。

1．（2010年浙江卷第20题）. 宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。

已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球处置周期为T 。

太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，则A. 飞船绕地球运动的线速度为22sin(RT απB. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T 0C. 飞船每次“日全食”过程的时间为0/(2)aT πD. 飞船周期为【解析】飞船绕地球运动的线速度为Trv π2=由几何关系知rR=)2/sin(α，所以 )2/sin(r αR =)2/sin(2απT Rv =∴，A 正确；因为r T m r mM G 22)2(π= 所以GMrrGM r T ππ223== 因为)2/sin(r αR =所以)2/sin()2/sin(2ααπGM RRT ⋅=，D 正确。

一天内飞船经历“日全食”的次数为Thn 24==T 0/T ，所以B 错误； 飞船每次“日全食”过程的时间，如下图所示，是飞船沿BAC 圆弧从B到C 的时间，因为tan OBC 21∠=r R ，r R 2sin =α，所以∠OBC=α，时间T t πα2=，所以C 错误；【答案】AD【点评】本题考查圆周运动与航天知识及用数学解决物理问题的能力。

2．（2010安徽卷17）．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。

假设探测器在离火星表面高度分别为1h 和2h 的圆轨道上运动时，周期分别为1T 和2T 。

火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。

仅利用以上数据，可以计算出A ．火星的密度和火星表面的重力加速度B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C ．火星的半径和“萤火一号”的质量D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力【解析】由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有212112()()Mm G m R h R h T π⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭；222222()()MmG m R h R h T π⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，可求得火星的质量23231222124()4()R h R h M GT GT ππ++==和火星的半径R =，根据密度公式得：333443M M MV R R ρππ===。

在火星表面的物体有2Mm G mg R =，可得火星表面的重力加速度2GMg R=，故选项A 正确。

【答案】A3．（2010全国卷1。

25）．（18分）如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。

已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。

引力常数为G 。

⑴ 求两星球做圆周运动的周期。

⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。

已知地球和月球的质量分别为×1024kg 和 ×1022kg 。

求T 2与T 1两者平方之比。

（结果保留3位小数）【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。

且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。

因此有R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=，L M m Mr += 对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M MT m LGMm +=22)2(π化简得 )(23m M G L T +=π⑵将地月看成双星，由⑴得)(231m M G L T +=π将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L GMm 22)2(π=化简得 GML T 322π=所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(242224212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T 2 【答案】⑴)(23m M G L T +=π ⑵4、（2009年海南物理 6）．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则A ．4/31122g T g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ． 4/31221g T g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ． 21122g T g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ． 21221g T g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有2GMm R ＝m 22()TπR,可得23T R ＝K 为常数，由重力等于万有引力2GMm R ＝mg ，联立解得g则g与43T 成反比。

【答案】B 5、（2009年重庆 17）．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200km 和100km ，运动速率分别为v 1和v 2，那么v 1和v 2的比值为（月球半径取1700km ） A ．1918 B．1819【解析】“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力有2GMmR＝2mv R 可得vM 为月球质量），它们的轨道半径分R 1＝1900Km 、R 2＝1800Km ，则v 1：v 2。

【答案】C 6、（2009年全国卷Ⅱ第26题）．如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。

如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。

为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G（1）设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ x =求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常 （2）若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k >1）之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心，如果这种反常是于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积【解析】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。

因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力2MmG m g r =∆………①来计算，式中的m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量,M V ρ=……………②而r 是球形空腔中心O 至Q点的距离r ………③g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。

Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常g '∆是这一改变在竖直方向上的投影dg g r'∆=∆………④联立以上式子得 223/2()G Vdg d x ρ'∆=+,…………⑤(2)由⑤式得,重力加速度反常g '∆的最大值和最小值分别为()2max G Vg d ρ'∆=⑥ ()223/2min ()G Vdg d L ρ'∆=+……………⑦由题设有()max g k δ'∆=、()min g δ'∆=……⑧ 联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d =,22/3(1)L k V G k δρ=- 【答案】（1）223/2()G Vdd x ρ+ （2）d =,22/3(1)L k V G k δρ=- 7、（2009年天津卷第12题）．2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。

研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为⨯天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。

观测得到S2星的运行周期为年。

(1)若将S2星的运行轨道视为半径r=⨯天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s 的多少倍(结果保留一位有效数字)；(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。

由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为E p =-G MmR(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M 、R分别表示黑洞的质量和半径。

已知引力常量G=⨯·m 2/kg 2，光速c=⨯108ms ，太阳质量M s =⨯1030kg ，太阳半径R s =⨯108m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径g R 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。

【解析】（1）S2星绕人马座A *做圆周运动的向心力由人马座A *对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，则2A 222M G S S mm r r ω= ①2T πω= ②设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则2S 2M GE E E Em m r r ω= ③ 综合上述三式得32A S M M E E T r r T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 式中 T E =1年 ④ r E =1天文单位 ⑤代入数据可得6ASM 410M =⨯ ⑥ （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。

“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有 2102Mmmc G R -< ⑦依题意可知 A R R =，A M M = 可得 A 22R AGM c<⑧ 代入数据得 101.210m A R <⨯ ⑨17ASR R < ⑩【答案】（1）6410⨯，（2）17<8.(06天津理综25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；（3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=×105 m/s,运行周期T=π×104 s,质量m1=6 ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G=×10-11 N·m2/kg2,ms=×1030 kg)【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有F A =m1ω2r1F B =m2ω2r2F A =FB设A、B之间的距离为r,又r =r1+r2,由上述各式得r = ①由万有引力定律,有FA=将①代入得FA=G令FA=比较可得m′= ②（2）由牛顿第二定律,有③又可见星A的轨道半径r1= ④由②③④式解得⑤（3）将m1=6 ms代入⑤式,得代入数据得⑥设m2=nms(n > 0),将其代入⑥式,得⑦可见,的值随n的增大而增大,试令n=2,得⑧若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.【答案】 (1) (2) (3)暗星B有可能是黑洞9.（2008高考全国理综2卷第25题，20分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。