第五章指数模型于套利定价理论

单指数模型
• 我们有：
• 显期然 的， 风险αi表补示偿G，DβPi表的示预公期司增i长股率票为的0预时期股风票险预补 偿对GDP的预期增长率的敏感度。通过线性回 归GD分P的析增，长αi=率4为%，2.9β%i=，2，股在票例的子实中际，风第险六补年偿为 13%，有3.2%（13%-（4%+2*2.9%））的股票 风险补偿。来自公司自身的贡献。
多因素的套利定价理论
• 比如，无风险利率为4%，因素组合1和2的预期 收益率分别为10%和12%，A对两个宏观因素 的贝塔值分别为0.5和0.75，这时A的风险补偿 为：
0.5*（10%－4%）+0.75（12%－4%）
=9% 于是A的预期收益率为4%+9%=13%，如果A的 预期收益率为12%，这时就可无风险套利。
套利头寸
可取50%的因素组合1和75%的因素组合2以 及-25%的无风险证券，这个组合的预期 收益率为： 0.50*10%+0.75*12%－0.25*4%=13%
第五章指数模型于套利 定价理论
2020/8/20
单指数模型
• 一些投资者认为证券的回报率由某一个 因素决定。
年
GDP的增长率（ 通货膨胀率（% 公司I股票的收益
%）
）
率与rf的差（%）
1
5.7
1.1
14.3
2
6.4
4.4
19.2
3
7.9
4.4
23.4
4
7.0
4.6
15.6
5
5.1
6.1
9.2
6
2.9
• 单因素的套利定价理论APT—arbitrage pricing theory,理论模型为：
• 这里ri、ei和F是随机变量，Ｆ为宏观因素的实 际值，它的预期值为０，因此Ｆ应为对实际值 的偏离。 ei的预期值同样为０，由于其反映的 是企业风险，所以不同资产的ei不相关。在这 里，系统风险与非系统风险完全分离，所以Ｆ 与ei也是不相关的。
APT
• 说明：例如：如果充分分散化的投资组 合A和B，其贝塔值都为1.0，A的期望收 益率为10%，B的收益率为8%，我们卖 空100万元的证券B，同时将100万元投资 于证券A，这时到期的组合收益率为：
• （10%+1.0*F）*100-（8%+1.0F）100 =2万元，出现了无风险套利机会。
市场模型
• 当我们拥有风险资产的市场组合的风险 补偿为指数时，有：
• 显然βM=1，于是：
• 于是：
wk.baidu.com
市场模型
• 我们有：
• 与CAPM比较， αi多了出来，它应是证券 收益率超出市场均衡收益率的部分，当 市场处于均衡状态时，应有αi=0。
可以击败市场的组合
• 如果可以找到一项共同基金，它的运作 水平使αA >0,这时A会位于SML的上面， 我们有；A与M的组合边界不会在M点与 CML相切；同时A也不会落在有效组合 边界上。这样A与M的组合边界与有效组 合边界相交。如下图：
• 图形分析：
假定有有一充分 分散化的投资组 合C，其贝塔值 为0.5，期望收
益率为6%
APT
与宏观因素有关的 贝塔值
APT
• 如果以M的未预期到的收益的变化作为 系统风险的度量，则M的贝塔值为1，我 们有：
APT
• 对于任意两个充分分散化的投资组合P和 Q，有：
• 同时套利定价理论还证明了，对于组合 中的任意两个不同的证券来说，上面的 关系几乎也成立。
• 收益与风险权衡所主导的市场均衡，一旦价格 失衡，就会有许多投资者构造调整自己的投资 组合来重建市场均衡，但每位投资者只对自己 的头寸作有限范围的调整。套利则不然，一旦 出现套利机会，每一位套利者都会尽可能大的 构造自己的套利头寸。因此从理论上讲，只需 要少数的套利者就可以重建市场均衡。
套利定价理论
单指数模型
• 我们来看其的收益方差：由于ei与G不相 关，有：
• 其中前面一项反映了系统风险，后面一 项则是非系统风险，利用统计方法可以 计算出股票收益的方差为0.00272。
单指数模型
• 如果有另外一家公司j，它的贝塔值为βj 则两家公司的风险补偿的斜方差为：
• 这样，当我们考虑组合的斜方差矩阵时 ，计算量要小的多。
3.1
13.0
单指数模型
• 设ri-rf=αi+ β iE(G)+ei • 在这里，我们假定证券i的风险补偿由GDP的增
长率主要决定，（注意：还可考虑通胀率等你 认为必要的因素）。无风险利率为常量（外生 变量） • 这里 ri,G和ei为随机变量。αi，βi为回归系数， G对应整个市场的系统风险因素，因此ei对应企 业的个体风险，其期望值为零。
• 其中F.可以是某几个宏观因素对其预期值的偏 离，F1、F2、ei都不相关，ei、ej也不相关。
多因素的套利定价理论
• 因素组合：风险完全分散化，对其中一个的贝 塔值为1，对其它因素的贝塔值为0。它是定价 的基准。
• 多因素的APT指出：如何一个完全分散化的投 资组合A的风险补偿应当是投资者承受这两种 宏观因素的所应得到的风险补偿的和。而每种 宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素 的贝塔值乘以因素组合的风险补偿，即有：
APT
• APT的优越性：APT模型不需要CAPM中 的各种假设；另外，CAPM中，我们必 须根据有风险市场组合才能得到CML和 SML，这里M是定价的基础；APT允许 任何一个充分分散化的投资组合作为基 准。这样任何指数化的投资组合都可以 用来为证券定价。
多因素的套利定价理论
• 在实践中，更有用的是多因素的套利定价理论 。下面我们以两因素的APT为例来介绍该理论 。这里假设：
M A
可以击败市场的组合
• 这时所有投资者可得到更多的效用，因
此如果能找到α>0的 投资组合，就能 够击败市场。
因此，一个好的指数可以给我们带 来可能的击败市场的机会，同时作为有 风险市场组合的替代品，成为有风险资 产定价的基础。
多指数模型
• 模型假设：
• 方差为：
套利概念的深化
• 套利就是投资者利用市场的暂时失衡，进行无 风险的套利。
ＡＰＴ
• 对于风险充分分散化的投资组合Ｐ来说 有：
ＡＰＴ
• 由于Ｐ是完全分散化的组合，因此 σ２（ｅｐ）应该为０，所以ｅｐ=0，因此 有：
APT
• 在无套利条件下我们有：1、如果两个充 分分散化的投资组合的贝塔值相等，则 它们的期望收益率一定相等；2、对于不 同贝塔值的充分分散化的投资组合，其 预期收益率的风险补偿必须正比与贝塔 值。