第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形
人教版九年级下册数学第27章 相似 阶段技巧专训 证比例式或等积式的七种常用技巧
9．如图，CE 是 Rt△ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一 点 P，连接 AP，作 BG⊥AP 于点 G，交 CE 于点 D. 求证 CE2＝DE·PE. 证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB， ∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°. ∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°. ∴∠P＝∠ABG. ∴△AEP∽△DEB.
5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 M，N. 求证 BP·CP＝BM·CN.
证明：如图，连接 PM，PN. ∵MN 是 AP 的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP. ∴CBNP＝BCMP ，即 BP·CP＝BM·CN.
【点拨】等线段代换法可以将结论中 的线段进行转移，继而根据三点定型 确定目标相似三角形．
证明：如图，连接 PC. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 垂直平分 BC，∠ABC＝∠ACB. ∴BP＝CP. ∴∠1＝∠2. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC. ∴CPEP＝PCFP，即 CP2＝PF·PE. ∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.
【点拨】利用相似三角形证明等积式或比例式 的一般方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角 形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证 明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不 容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
(名师整理)数学九年级下册第27章《27.2.2相似三角形的性质》优秀教案
相似三角形的性质教学过程：（一）温故知新1、相似三角形有哪些判定方法？（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似（2）三边成比例的两个三角形相似（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（4）两角分别相等的两个三角形相似（5）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似2、相似三角形有什么性质？相似三角形对应角，相似三角形对应边。
想一想：它们还有哪些性质？（二）情景引入1、思考：三角形中有各种各样的几何量，除了三边长度、三个角度外，还有高、中线、角平线、周长、面积等，如果两个三角形相似，那么它们这些量之间有什么关系呢？2、观察：ΔABC ∽ΔA/B/C/，相似比为 对应中线的比4、小结:当ΔABC ∽ΔA/B/C/，且相似比为 时可得：对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 观察这些数据，你会有怎样的猜想呢？猜想：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的 比都等于相似比 5、探索新知 相似三角形的性质1,,:ABC A B C k AD A D BC B C AD A D k'''∆∆''''''=问题：如图所示，∽相似比为其中、分别为、边上的高线求证：21AD A D =''212121=''D A AD =''D A ADB B'ADB A D B 90.ABC A B C ABD A B D AD AB k A D A B '''∆∆∴∠=∠'''∠=∠=︒'''∴∆∆∴==''''解：∽∽ ①相似三角形的对应高之比等于相似比。
6、自主思考--类似结论='''''''''∆∆D A ADC B BC 、D A AD 、k C B A ABC 则边上的中线分别为其中相似比为∽：如图问题,,,2相似三角形的对应中线之比等于相似比。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习(附答案)
专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA2FE＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴CBAM ＝CPAN，即AM·CP＝AN·CB.6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC. 又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。
九年级数学人教版下册第27章第2节第1部分相似三角形的判定教案
27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学第二十七章《相似》第二节《相似三角形》第一课时的内容。
它是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的。
本课时首先复习相似多边形的性质，然后引出两个三角形相似的定义（即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似），然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法。
接下来通过一个探究，由学生动手计算来探究得到平行线分线段成比例的基本事实（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等），从而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础。
●教学目标：【知识与技能目标】1、了解相似三角形的定义；2、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用；3、掌握两个三角形相似的预备定理.【过程与方法目标】经历“动手操作—直观感知—发现事实”的过程，增强学生发现问题，解决问题的能力．【情感态度与价值观目标】1、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.2、在进行探索的活动过程中，发展学生的探索发现归纳意识，并养成合作交流的学习习惯，体现数学的真善美.●教学重点：判定两个三角形相似的预备定理●教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程●教学过程设计：一、复习提问，引入新课问题1：什么是相似多边形？它具有什么性质？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，使学生对上节课所学内容有深刻印象，以引起学生对本节课的研究内容的关注。
设计意图：通过对旧知识的复习和回顾，激发学生的学习兴趣，为学习新知识提供基础。
二、探索新知，自主学习问题2：如何定义相似三角形？问题3：如果k=1，则△ABC______△A'B'C'师生活动：学生观察图形，结合相似多边形的定义，不难发现如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
人教版九年级下册数学同步备课教案-第27章 相似-27.2 相似三角形
27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．理解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角． 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 3．掌握判定三角形相似的预备定理． 【过程与方法】1．通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化，体会数学中的化归思想及数形结合思想．2．通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理，培养学生动手操作能力及直觉思维． 【情感态度与价值观】探究利用平行线判定三角形相似的证明，培养学生合情推理及演绎推理能力，提高逻辑思维能力．二、重难点目标 【教学重点】1．掌握平行线分线段成比例基本事实． 2．利用平行线判定三角形相似． 【教学难点】利用平行线判定三角形相似．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P29～P31的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．如果△ABC ∽△A 1B 1C 1的相似比为k ，则△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.2．如图，l 1、l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝(DE )(EF )，AB (AC )＝(DE )DF ，AB DE ＝(BC )(EF )＝(AC )(DF ).3．如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( A )A.AD DF ＝BC CE B ．BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED ．CD EF ＝AD AF4．平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 5．如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ，若DB ＝4，DA ＝2，BE ＝3，则EC ＝32.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．【互动探索】(引发学生思考)由平行四边形的性质可得两组对边平行，利用平行线中相似三角形的判定方法可得三角形相似．【解答】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ， ∴△DFC ∽△ED A. ∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4,1∶3,3∶4.【互动总结】(学生总结，老师点评)求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．【例2】如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3.已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CBAB的值； (2)求AB 的长．【互动探索】(引发学生思考)(1)根据l 1∥l 2∥l 3可以推出CB AB ＝EF DE ，EFDE 与EF ∶DF 有什么关系？(2)已知AC 的长，要求AB 的长必须知道BC 的长，如何求出BC 的长？【解答】(1)∵l 1∥l 2∥l 3， ∴CB AB ＝EF DE. 又∵EF ∶DF ＝5∶8， ∴EF ∶DE ＝5∶3， ∴CB AB ＝53. (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24， ∴EF DF ＝BC AC ＝58， ∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，ED ∥BC ，EC 、BD 相交于点A ，过点A 的直线交ED 、BC 分别于点M 、N ，则图中有相似三角形( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2．如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是( B )A.AD AB ＝AE AC B ．DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD ．BC DE ＝AC AE3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是( B )A ．∠AEF ＝∠DECB ．F A ∶CD ＝AE ∶BC C ．F A ∶AB ＝FE ∶ECD ．AB ＝DC4．如图所示，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则△ADE 和△ABC 的相似比为1∶3.5．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥C D.求证：AF AD ＝ADAB.证明：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC. ∵EF ∥CD ，∴△AEF ∽△AC D. ∴AF AD ＝AE AC . ∴AF AD ＝AD AB.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：(1)当AFAD＝12时，AEAC＝13；(2)当AFAD＝13时，AEAC＝15；(3)当AFAD＝14时，AEAC＝17；…猜想：当AFAD＝1n＋1时，AEAC＝？并说明理由．【互动探索】要求当AFAD＝1n＋1时，AEAC的值为多少，我们可以通过作辅助线，利用平行线分线段成比例定理，证得AEAG＝AFAD＝1n＋1，得到EG＝nAE，证明EG＝CG，AC＝(2n＋1)AE，即可解决问题．【解答】猜想：当AFAD＝1n＋1时，AEAC＝12n＋1.理由如下：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G.则AEAG＝AFAD＝1n＋1，∴AEEG＝1n，EG＝nAE.∵AD是△ABC的中线，∴EG＝CG，∴AC＝(2n＋1)AE，∴AEAC＝12n＋1.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过作平行线，利用平行线分线段成比例的推论证明三角形中的对应线段成比例，解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线段成比例定理及推论来分析、判断、推理或解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．相似三角形的概念、表示；2．平行线分线段成比例的基本事实；3．平行线分线段成比例的推论；4．平行线证明三角形相似：“A”型和“X”型．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时相似三角形的判定定理1,2 教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定定理的证明过程．2．能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似．【过程与方法】1．在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想．2．经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动，提高学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】1．探究三角形相似的判定定理的证明，培养学生合情推理及演绎推理能力，提高逻辑思维能力．2．在探究活动中通过小组合作交流，培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯．二、重难点目标【教学重点】运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明三角形相似．【教学难点】三角形相似判定定理的证明过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P32～P34的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.2．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3．如图所示，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形(C)A．1对B．2对C．3对D．4对4．下列条件中，能判定△ABC∽△DEF的有(B)①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠D＝45°，DE＝16，DF＝40；②AB＝12，BC＝15，AC＝24，DE＝20，EF＝25，DF＝40；③∠A＝47°，AB＝15，AC＝20，∠D＝47°，DE＝28，DF＝21.A．0个B．1个C．2个D．3个环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm；(2)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm【互动探索】(引发学生思考)(1)已知两个三角形的三条边，考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定，所以只需要计算三边的比，三边的比相等，则两个三角形相似，反之，则两个三角形不相似．(2)已知三角形的两条边和一个角，考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，所以需要计算两条边的比是否相等，且这两条边的夹角是否相等．【解答】(1)∵ABA′B′＝412＝13，BCB′C′＝618＝13，ACA′C′＝824＝13，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.(2)∵ABA′B′＝73，ACA′C′＝146＝73，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.【互动总结】(学生总结，老师点评)在应用相似三角形的判定定理1时，一定要注意先求两个三角形中大边与大边，中间边与中间边，小边与小边的比值，然后判断上述比值是否相等，从而判断两个三角形是否相似．在应用相似三角形的判定定理2时，一定要注意必须是两边夹角相等才行．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，已知△MNP，则下列四个三角形中与△MNP相似的是(C)2．下列选项中，与图中的三角形相似的是(B)3．△ABC的三边长分别为2，2，10，△A1B1C1的两边长分别为1和5，当△A1B1C1的第三边长为2时，△ABC∽△A1B1C1.4．如图，已知线段AB、CD相交于点O，AO＝3，OB＝6，CO＝2，则当CD＝6时，AC∥B D.5．如图所示，已知ABAD＝BCDE＝ACAE，∠BAD＝20°，求∠CAE的大小．解：∵AB AD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE＝20°.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，DE与△ABC的边AB、AC分别相交于D、E两点，若AE＝2 cm，AC＝3 cm，AD＝2.4 cm，AB＝3.6 cm，DE＝43cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形特点，要求BC的长→先证△ADE∽△ABC→DEBC＝AEAC→代入数据解答．【解答】∵AE＝2 cm，AC＝3 cm，AD＝2.4 cm，AB＝3.6 cm，∴AEAC＝ADAB＝23，而∠A＝∠A，∴△ADE∽△AB C.∴DEBC＝AEAC.又∵DE＝43cm，∴43BC＝23，∴BC＝2 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用相似三角形性质与判定可以进行边的计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．相似三角形的判定定理1：三边成比例的两个三角形相似．2．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 相似三角形的判定定理3教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握相似三角形的判定定理3. 2．了解两个直角三角形相似的判定方法．3．深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．【过程与方法】在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想．【情感态度与价值观】进一步发展学生的探究、交流、合情推理能力和逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题．二、重难点目标 【教学重点】运用两角对应相等的两个三角形相似证明三角形相似． 【教学难点】三角形相似判定定理的综合运用．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P35～P36的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2．如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.3．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一个条件为∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB.4．如图所示，∠ABC ＝∠D ＝90°，AC ＝9 cm ，BC ＝6 cm ，则当BD ＝4 cm 时，△ABC ∽△CD B.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要求AD 的长，需先证△AED ∽△ABC ，即可得AD AC ＝AEAB，再代入数据计算． 【解答】∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC ， ∴AD AC ＝AEAB， ∴AD ＝AC ·AE AB ＝8×510＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似．【例2】如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°. (1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长．【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明△ABD ∽△DCE ，已知条件有∠B ＝∠C ＝60°，只需再找出一对角相等；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出等边△ABC的边长．【解答】(1)证明：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE.(2)设AB＝x，则DC＝x－3.∵△ABD∽△DCE，∴ABDC＝BDCE，∴xx－3＝32，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是利用两角分别相等的两个三角形相似，解答此题的关键是利用三角形的外角的性质得出角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，已知∠C＝∠E，则不能使△ABC∽△ADE的条件是(D)A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠DC.BCDE＝ACAE D．ABDE＝ACAE2．如图所示，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有(D)A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图所示，点P是Rt△ABC斜边AB上的任意一点(A、B两点除外)，过点P作一条直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作3条．4．如图所示，点D是△ABC的边AB上一点，连结CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为2 3.5．如图，以DE 为轴，折叠等边△ABC ，顶点A 正好落在BC 边上F 点，求证：△DBF ∽△FCE .证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 由折叠知，∠DFE ＝∠A ＝60°，在△BDF 中，∠BDF ＋∠BFD ＝180°－∠B ＝120°，∠DFB ＋∠EFC ＝180°－∠DFE ＝120°，∴∠BDF ＝∠EF C. 又∵∠B ＝∠C ＝60°， ∴△DBF ∽△FCE .活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【互动探索】有一组∠ABC ＝∠CDB ＝90°，但不确定对应边的情况，所以需分情况讨论． 【解答】∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD时，△ABC ∽△CDB ， 此时BC BD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CD B.(2)当AB BD ＝BCCD时，△ABC ∽△BDC ， 此时AB BD ＝AC BC，∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b aa 2－b 2.∴当BD ＝baa 2－b 2时，△ABC ∽△BD C.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝baa 2－b 2时，这两个三角形相似．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．相似三角形的判定定理3：两角分别相等的两个三角形相似．2．直角三角形相似的判定方法：一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似．一个锐角相等的两个直角三角形相似．练习设计请完成本课时对应练习！27．2.2 相似三角形的性质(第4课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解并掌握相似三角形周长的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．【过程与方法】1．通过探究、讨论、猜想、证明，让学生经历探索相似三角形性质的过程，体会如何探索研究问题．2．利用相似三角形的性质解决问题，培养学生的创新意识． 【情感态度与价值观】在探索相似三角形性质的过程中，培养学生合作交流能力． 二、重难点目标 【教学重点】相似三角形的各条性质定理的探索及应用． 【教学难点】相似三角形性质的归纳推理．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P37～P38的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？ 解：△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C. ②△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABC C △A ′B ′C ′＝k ，S △ABCS △A ′B ′C ′＝k 2.③相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. ④相似三角形周长的比等于相似比. ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.2．若两个相似三角形的周长比为3∶2，则这两个相似三角形的相似比为3∶2. 3．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比是3∶4，△ABC 的面积是27 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为48 cm 2.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交于点F .(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6 cm 2，求S △AF D .【互动探索】(引发学生思考)利用相似三角形的相似比可以得到周长和面积之比． 【解答】(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△DAF .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为12.(2)由(1)知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝⎝⎛⎭⎫122， ∴S △AFD ＝4S △BEF ＝24 cm 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( B )A ．1∶2B ．2∶2C ．1∶4D ．2∶12．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是( C )A.AE AC ＝12B.DE BC ＝12C.△ADE 的周长△ABC 的周长＝13D.△ADE 的面积△ABC 的面积＝133．如图所示，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB ＝22.4．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm 和14 cm ，它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长．解：∵三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比， ∴可以设一个三角形的周长是5x ，则另一个三角形的周长是2x . ∵周长相差60 cm ，∴5x －2x ＝60， 解得x ＝20，∴这两个三角形的周长分别为100 cm,40 cm.5．如图所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12C D.(1)求证△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CE B.(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE EC 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2， ∴S △CEB ＝18， S △ABF ＝8，∴S 四边形BCDF ＝S △BCE －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【互动探索】(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形P ABQ 的周长相等，可得方程，解方程即可得解．【解答】(1)∵PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△AB C. ∵S △PQC ＝13S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4. ∵14＝12， ∴CP ＝12CA ＝2.(2)∵△PQC ∽△ABC ， ∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ， ∴CP 4＝CQ 3， ∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴CP ＝247.【互动总结】(学生总结，老师点评)由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．练习设计请完成本课时对应练习！27．2.3相似三角形应用举例(第5课时) 教学目标一、基本目标【知识与技能】会利用相似三角形的性质测量物体的高度．【过程与方法】1．经历从实际问题中建立数学模型的过程，增强应用意识，提高实践能力．2．通过把实际问题转化为数学问题，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过积极参加数学探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体会数学与实际生活密切联系．二、重难点目标【教学重点】利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．【教学难点】将实际问题转化为数学问题，构建相似三角形模型解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比.2．太阳光下，同一时刻，不同物体的高度、影子、光线构成的三角形相似.3．通过自学教材P39例4，能建立相似三角形模型解决“利用影长求物体的高度问题”．4．通过自学教材P40例5，能建立相似三角形模型解决“河宽问题”．5．通过自学教材P40～P41例6，能建立相似三角形模型解决“有关角度问题”．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20 m．当她与镜子的距离CE＝2.5 m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度．(注：∠BEA＝∠DEC)【互动探索】(引发学生思考)观察法：要解决问题，需构建△BAE∽△DCE模型来解答．【解答】∵∠BEA＝∠DEC，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴ABDC＝AEEC.∵CE＝2.5 m，DC＝1.6 m，AE＝20 m，∴AB1.6＝202.5，∴AB＝12.8，即大楼AB的高度为12.8 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程．活动2巩固练习(学生独学)在一次数学活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度．他手拿一支铅笔MN，边观察边移动(铅笔MN始终与地面垂直)．如图所示，当小明移动到点D时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线．此时，测得DB＝50 m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65 m，铅笔MN的长为0.16 m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m)．解：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E，则CF＝DB＝50 m，CE ＝0.65 m.∵MN∥AB，∴△CMN∽△CA B.∴CE CF ＝MN AB， ∴AB ＝MN ·CF CE ＝0.16×500.65≈12.3(m)． 即旗杆AB 的高度约为12.3 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D 处时，笑笑在地面上找到一点G ，使得点G 、雯雯的头顶C 以及旗杆的顶部A 三点在同一直线上，并测得DG ＝2.8 m ；然后雯雯向前移动1.5 m 到达点F 处，笑笑同样在地面上找到一点H ，使得点H 、雯雯的头顶E 以及旗杆的顶部A 三点在同一直线上，并测得GH ＝1.7 m ，已知图中的所有点均在同一平面内，AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，雯雯的身高CD ＝EF ＝1.6 m ．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度A B.【互动探索】易得△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，利用相似三角形的性质求出BD 的长，进而求出AB 的长．【解答】∵DG ＝2.8 m ，DF ＝1.5 m ，GH ＝1.7 m ，∴FH ＝FG ＋GH ＝DG －DF ＋GH ＝2.8－1.5＋1.7＝3(m)．∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG BG ，EF AB ＝FH BH ， ∴DG BG ＝FH BH ， 即 2.8BD ＋2.8＝3BD ＋2.8＋1.7， 解得BD ＝21.∴1.6AB ＝ 2.821＋2.8， 解得AB ＝13.6.即该校旗杆的高度AB为13.6 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的应用、在用相似比解决问题时，若所列的比例式中含两个未知数，要考虑再找一组相似三角形，并列出比例式，联立两个比例式求解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．利用相似三角形测量物体的高度；2．利用相似三角形测量河的宽度；3．设计方案测量物体高度．练习设计请完成本课时对应练习！。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(平行线法)教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和测量，学生可以直观地感受相似三角形的性质。
在讲授过程中，我尽力用清晰的图示和实际的例题来解释同位角、内错角等概念，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然是一个难点。我意识到，可能需要通过更多的互动和实际操作来加强他们的理解。在未来的教学中，我打算引入更多的实物模型或互动软件，让学生能够更直观地感受这些几何关系。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果比我预期的要好，大家积极参与，热烈讨论。我观察到他们在解决问题的过程中能够运用所学的知识，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，这可能是因为他们对问题的理解不够深入。在接下来的教学中，我需要更明确地设定讨论的主题和目标，引导学生们更加聚焦。
在小组讨论环节，我发现学生们对于相似三角形在实际生活中的应用有很多自己的想法，这是一个很好的现象。通过分享和交流，他们能够从不同的角度理解相似三角形的应用。但同时，我也注意到有些学生在讨论中比较沉默，可能是因为他们不够自信或者没有被充分地激发思考。我需要在这方面多做一些工作，鼓励每个学生都参与到讨论中来，提高他们的参与度和自信心。
-强调：在讲解过程中，教师要着重强调这些判定条件的逻辑关系，以及如何从已知条件出发，逐步推导出相似关系。
2.教学难点
-难点内容：本节课的难点在于学生对于平行线法的理解和应用，尤其是在实际问题中的运用。
人教数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形 教学课件
C′
想一想：如果对应相等的角不是两组对应边的夹角， 那么两个三角形是否相似呢？
D C
F
A
B
E
【跟踪训练】
下列各组条件中不一定使△ABC与△DEF相似的是（ D ） A.∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE B.∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° C.∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10 D.∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF 注意：对应相等的角必须是两组对应边的夹角，如果不是夹 角，则它们不一定会相似．
设其他两边分别为x,y ①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
1.（泰州·中考）一个铝质三角形框架三条边长分别
为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形
框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的
一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
D
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
A′
B′
C′
A
E
B
C
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角 相等，那么这两个三角形相似 .
A
Q AB AC k
AB AC
B
C
A = A
A′
∴△ABC∽△ ABC.
B′
证明：∵
AB 6 1 , AB 18 3
BC 8 1 , BC 24 3
AC 10 1 , AC 30 3
∴
AB BC AC ,
初三九年级数学人教版 第27章 相似27.2 相似三角形27.2.3 用平行线判定三角形相似习题课件
(1)证明：∵四边形EFGH是正方形， 边FG在BC上，
∴EH∥BC.
∴△AEH∽△ABC.
(2)解：设EH与AD交于点P.
由(1)知△AEH∽△ABC，
∴
.
∵EH∥BCE，H∴ AH BC AC
.
AP AH AD AC
∴ EH AP . ∵ABDC是BCA边D 上的高，
∴四边形EFDP是矩形． ∴PD＝EF. ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝FG＝GH＝EH. ∴AP＝AD－PD＝AD－EF＝AD－EH.
解：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD. ∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD. ∵BC＝4，∴CD＝4. ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.
∴ AB AE ，即 8 AE . ∴ACED＝2CCEE. 4 CE
∵AC＝6＝AE＋CE，∴AE＝4.
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7．(中考·临安)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与
AB ， AC 相 交 于 点 D ， E ， 若 AD ＝ 4 ， DB ＝ 2 ， 则
DE∶BC的值为( )
A.
B.
A C.
D.
2
1
3
3
3
2
4
5
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8．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD
的延长线于点E，则下列结论错误的是( ) C
返回
ABO
CDO
返回
2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( B )
A．0对
B．3对
C．2对
D．1对
返回
3．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一
共有( ) C
九年级数学 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1(第1课时 平行线分线段成比例)
C B′
C′
讲授新课
一 平行线分线段成比例（基本事实）
合作探究
如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分
别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1
B1
a
b
A2
B2
A3 m
12/11/2021
图①
B3 c n
A1
B1
A2
B2
A3 m
(1) 计算 A1 A2 ， B1B2 ，你有什么发现？ A2 A3 B2 B3
分 线 段
◑基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
◑相似三角形判定的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似
12/11/2021
12/11/2021
E C
O F D
12/11/2021
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm， 那么 A′B′C′ 的最大边长是_2_4_c_m__.
12/11/2021
当堂练习
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1，
解：∵ AE AF ， BE FC
∴7 AF ， 74
解得 AF = 4.
A
E
F
B
C
12/11/2021
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 Nhomakorabea少？
解：∵ AE AF ， ∴ 6 5 ， AB AC 10 AC
第27章《相似》大单元(教案)
此外，今天的总结回顾环节中，学生们提出了一些很好的问题，这表明他们在课堂上进行了积极的思考。我感到很高兴，因为他们不仅学会了相似的知识点，还学会了如何提出问题和思考问题。这也提醒我，在今后的教学中，要继续鼓励学生提问，培养他们的探究精神。
-在实际应用中，难点在于培养学生将现实问题转化为数学问题的能力，例如从建筑物的平面图抽象出相似关系，进而计算面积、长驱动等教学方法，帮助学生突破这些难点，确保学生对相似知识的理解透彻。同时，教师应设计不同难度的练习题，以适应不同学生的学习需求，巩固学生对重点知识的掌握。
-在实际应用中，如何从众多信息中抽象出相似关系，并构建数学模型解决实际问题。
举例解释：
-在相似性质的证明过程中，难点在于如何引导学生理解“对应角相等，对应边成比例”这一核心概念，并通过具体例题帮助学生掌握证明方法。
-在位似变换的教学中，难点在于让学生理解位似中心的选择对图形变换的影响，以及如何在实际操作中准确计算位似比。
3.拓展相似的概念到多边形，探究相似多边形的性质与判定方法。
4.分析生活中的相似现象，运用相似知识解决实际问题，提高学生的观察能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
本章节旨在培养学生以下核心素养：
1.增强空间观念，提高观察能力和想象能力，通过相似变换理解图形之间的关系，把握图形的本质特征。
2.培养逻辑推理能力，运用定义、定理、公理进行严谨的证明，掌握相似性质与判定的逻辑推理过程。
九年级数学下册第27章相似27-2相似三角形2用平行线判定三角形相似新版新人教版
12 ． 如 图 ， 在 ⊙ O 中 ， 已 知 AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 点 D 在 ⊙ O 上 ， AC 平 分
∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接BC.且AB＝10，
AD＝6，求CE的长．
解：如图，连接BD.连接OC交BD于点H，∵AB
是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝10，AD＝6，
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4．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的
延长线于点E，则下列结论错误的是( D )
··
A．△ BCF∽△EDF
点拨】由矩形的性质可得
B. EEDA＝DABF C．△ DEF∽△AEB D. DBCE＝BBFE
BC∥AE，DF∥AB，则A、
C正确，根据相似三角形对
应边成比例可知B正确， DBCE＝BEFF，∴D错误．故选D.
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13．已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，点D为AO上一点，
连接AC，BD交于点P.
(1)如图①，当点D为AO的中点时，求
AP PC
的值；
【思路点拨】过一点作平行于
三角形一边的线段，构造相似
三角形来解决问题．
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解：如图①，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD. ∴OCED＝BBOC＝12.∴CE＝12OD＝12AD.
在Rt△ABC中，∠A＝60°，易求得AB＝ 3.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴DBCE＝AADB，即13＝
3－BD，解得 3
BD＝2
3
3.
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7．【立德树人·坚定文化自信】《九章算术》是中国古代的数学专
著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中
第27章相似-相似三角形中的新定义专题(教案)
最后，针对教学过程中的难点和学生的反馈，我认识到需要在课后加强个别辅导，关注学生的个体差异。对于理解能力较弱的学生，我可以提供一些额外的学习资源，帮助他们巩固知识点。
第27章相似-相似三角形中的新定义专题（教案）
一、教学内容
第27章相似-相似三角形中的新定义专题（教案）
1.教材章节：本节课内容依据人教版八年级下册第27章“相似”中的第三节“相似三角形的新定义”进行设计。
2.教学内容：
（1）相似三角形的判定：了解相似三角形的定义，掌握AA、SAS、SSS相似三角形的判定方法；
（3）解决实际问题的能力：将相似三角形的知识应用于解决生活中的问题，如测量物体的高度、计算地图上的距离等。此部分难点在于：
-建立正确的几何模பைடு நூலகம்；
-将已知条件转化为几何关系；
-灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似-相似三角形中的新定义专题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量无法直接到达的高处或远距离的情况？”（如测量大楼的高度、河流的宽度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
5.培养学生的团队协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生与他人合作解决问题的能力，增强团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的判定：AA、SAS、SSS相似三角形的判定方法是本节课的核心内容。在教学过程中，需强调以下细节：
人教版九年级下册数学第27章 相似 用平行线判定三角形相似 (2)
6．相似三角形的_对__应_边____成比例．在涉及平行条件的三角形边(线 段)的关系中，若这些边(线段)有在平行线上时，则应用相似三 角形对应边___成_比__例__________求解．
7．如图，点 F 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，射线 BF 交 AD 的 延长线于点 E，则下列结论错．误．的是( C )
(2)若 DG＝4，求 FG 的长． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CB，∴△FGC∽△DGA， ∴DFGG＝AFDC，易知AFDC＝12，∴DFGG＝12， 即F4G＝12，解得 FG＝2.
13．(2020·天门)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 的直线 EF 交 AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 E，且∠BAC＝2∠BDE.
14．已知线段 OA⊥OB，点 C 为 OB 的中点，点 D 为 AO 上一点， 连接 AC，BD 交于点 P.
(1)如图①，当 OA＝OB 且点 D 为 AO 的中点时，求APCP的值； 【思路点拨】以 AP，PC 为三角形的对应边，通过作平行线构造 相似三角形．
解：过点 C 作 CE∥OA 交 BD 于点 E， 则△BCE∽△BOD，所以OCED＝BBOC＝12，所以 CE＝12OD＝12AD. 因为 CE∥OA，所以△ECP∽△DAP，所以APCP＝ACDE＝2.
12．(2019·张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连接 DE，分别交 BC， AC 于点 F，G.
(1)求证 BF＝CF；
证明：∵BE＝AB，∴BEEA＝12. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD，∴ABDF＝EEBA＝12， ∴BF＝12AD＝12BC，∴BF＝CF.
人教版数学九年级下册第二十七章27用平行线判定三角形相似课件
*5.如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线与对角线 AC、
边 AD 分别交于点 E 和点 F，过点 E 作 EG∥BC，交 AB 于点
的比相 这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，
于是可从图中找出符合“A”型相似的
应边所夹的角是对应角．
等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
应边所夹的角是对应角．
型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，
出线段 ∴△AEF∽△CDF.
其25中尺正确的有D∵．( 56D.) E//BC，
∴△AEF∽△CDF.
写③出OE图:A中C的＝相∴似:三6；∠角形A，并D指E出其=相∠似比B. ，∠AED=∠C.
其中正确的有( )
再证明两个三角形的边成比例. 型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，
过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相 只要过点E作EF//AB，交
的长．
巩固新知
1 【中考·眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木
于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”
这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问
题，它的题意可以由图获得，
则井深为( B )
A．1.25尺
B．57.5尺
C．6.25尺
D．56.5尺
2 【中考·哈尔滨】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，
只要过点E作EF//AB，交
AD
=而A E
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第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形
名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．
巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ：
QD.
(第1题
)
过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE
EC
的值．
(第2题)
3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ．
(第3题
)
过一边上的点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD
EC
.
(第4题
)
过一点作平行线构造相似三角形
5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1
4
AB ，连接EM 并延
长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一：
(第5题①)
作辅助线的方法二：
(第5题②)
作辅助线的方法三：
(第5题③)
作辅助线的方法四：
(第5题④)
答案
1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点， ∴BE ＝EF ＝FC.
∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD. ∴DF 是△ACE 的中位线．
∴DF ∥AE ，且DF ＝1
2AE.∴DF ∥PE.
∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝PE DF ＝BP
BD
.
∵BF ＝2BE ，∴DF ＝2PE ，BD ＝2BP.∴BP ＝PD. ∵DF ∥AE ，∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP
DF .
设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a. ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2. ∴BP PQ QD ＝5 3 2.
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G. ∴△GCD ∽△AFD.∴CG FA ＝CD
FD
.
又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝FD.∴AF ＝CG . ∵BF AF ＝3 2，∴AB AF ＝5 2.
∵AB ∥CG ，∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝5
2
.
3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ．
【分析】过点D 作DN ∥CF ，交AB 于点N ．结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．
【解答】证明：如图，过点D 作DN ∥CF ，交AB 于点N ． ∵DC=DB ， ∴FN=NB=FB ， ∵DN ∥CF ，
∴AE ：ED=AF ：FN ， 即AE ：ED=AF ：FB ， ∴AE ：ED=2AF ：FB ．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．
4．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，
∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD
CF .
∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠
EFC.
(第3题)
∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED. ∵∠AED ＝∠CEP ， ∴∠EFC ＝∠CEP. ∴EC ＝CF.∴
BP CP ＝BD EC
. 5．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ，
(第4题①)
∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD
BD .
∵点M 为AC 边的中点， ∴AM ＝CM.
易证△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF. ∵AE ＝1
4AB ，∴BE ＝3AE.
∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD
， ∴
AE BE ＝CD BD ＝1
3
，即BD ＝3CD.∴BC ＝
2CD.
(第4题②)
(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM
AC .
又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM.
∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF. 又∵AE AB ＝14，∴BF EF ＝2.
又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC
CD ＝2.
∴BC ＝
2CD.
(第4题③)
(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ， ∴△AEF ∽△ABC. ∴
EF BC ＝AE AB ＝AF AC
. 由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AF AC ＝AE AB ＝1
4，
∴EF ＝14BC ，AF ＝1
4
AC.
由EF ∥CD ，得△EFM ∽△DCM ， ∴
EF CD ＝MF MC .又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12
MC. ∴EF ＝1
2
CD.∴BC ＝
2CD.
(第4题④)
(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，
∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF
BD .
∵AE ＝1
4
AB ，
∴AE ＝13BE.∴AF ＝1
3
BD.
由AF ∥CD ，AM ＝MC ，易证得△AFM ≌△CDM.
∴AF ＝CD.
∴CD ＝1
3
BD.∴BC ＝2CD.
点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．。