人教版九年级下册数学：余弦和正切
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用
B
求∠A的度数．
解： （1）在图中，
C 90
6
3
A
C
sin A BC 3 2 AB 6 2
A 45
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的 3 倍，求 a ．
解： （2）在图中，
AO是圆锥的高，O 90 tan a AO 3OB 3
OB OB
a 60
A OB
第一种常见类型 （与数与式结合）
sinB CD 3 21 BC 2 7 14
3、如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，
若sin∠ACB＝
1 ，则sin∠ADC=
3
3 5
4.如图
ABC的外接圆 O
，AD是 O
的直径，若
O
的半径为
3 2
，AC=2
则sinB的值是（ A ）
A
.
2 3
B.
3 2
C.
3 4
D.
4 3
sin
A
A的对边 斜边
锐角a 三角函数
30°
sin a
1
2
cos a
3
2
tan a
3
3
cosA
A的邻边 斜边
tanA
A的对边 A的邻边
45°
60°
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
正弦 余弦 正切 函数 的应 用
1.与数与式有关
2.与坐标系、表格有关 1.三角形
3.与几何图形有关
2.四边形
3.圆形
3 2
．
2、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则∠ABC的正切值是（ 5 ）
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共24张PPT)
本节课你有什么收获呢？
本节课你有什么收获呢？
3.正弦的定义
如图 28-1-2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,
即
sin
A=
A的对边 斜边
a c
.
1
当∠A=30°时,有 sin A=sin 30°= 2 ;
2
当∠A=45°时,有 sin A=sin 45°= 2 .
图 28-1-8
A. 3
B. 3
C. 4 D. 4
4
5
5
3
4.如图 28-1-9,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=2,AC=3,则 sin B 的值是( C )
图 28-1-9
A. 2
B. 3
C. 3
D. 4
3
2
4
3
5.(江苏中考)如图 28-1-10 所示,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,
九年级(下) 人民教育 数学
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
1.理解正弦的含义.(难点) 2.会求某个锐角的正弦值,能根据正弦概念进行计算.(重点)
一、知识回顾 1.如图 28-1-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若 BC=10 m, 则 AB= 20m;若 AB=20 m,则 BC= 10 m.
3
图 28-1-5
A.3
B.4
C.5
D.6
6.如图 28-1-6,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,sin A= 3 ,
新人教版九年级数学下册《余弦和正切》教案
余弦和正切一、教课目的1、使学生知道当直角三角形的锐角固准时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2、逐渐培育学生察看、比较、剖析、归纳的思想能力．二、教课要点、难点要点：理解余弦、正切的观点难点：娴熟运用锐角三角函数的观点进行相关计算CE三、教课过程A ·B OD（一）复习引入1、口述正弦的定义2、（1）如图，已知AB是⊙ O的直径，点 C、D 在⊙ O上，且 AB＝5，BC＝3．则 sin ∠BAC=；sin∠ADC=．（2）﹙ 2006 成都﹚如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB＝90°， CD⊥AB于点 D。
已知 AC= 5，BC=2，那么 sin ∠ACD＝（）A．5B．2C．2 5D．5C 3352（二）实践探究ADB一般地，当∠ A 取其余必定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比能否也是一个固定值？如图： Rt△ABC与 Rt△A`B`C` ，∠ C=∠C` =90 o，∠ B=∠B`=α，那么与有什么关系？剖析：因为∠C=∠C` =90 o，∠B=∠B`=α，因此 Rt△ABC∽Rt△A`B`C` ，，即结论：在直角三角形中，当锐角 B 的度数一准时，不论三角形的大小怎样，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90o，把锐角 B 的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作 cosB 即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切 . 记作 tanA, 即锐角 A 的正弦 , 余弦 , 正切都叫做∠A 的锐角三角函数 .（三）教课互动例 2:如图 ,在中,,BC=6,求cos和tan的值 .解:,.又例 3: (1)如图 (1),在中，,,, 求的度数 .(2)如图 (2), 已知圆锥的高 AO等于圆锥的底面半径 OB的倍, 求 .（四）稳固再现1.在中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠ A、∠B、∠C 的对边，则有（）A．．．．2.在中，∠ C＝90°，假如那么的值为（）A．．．．3、如图： P 是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（ 3，4），则 cos ＝_____________.4、P81 练习 1、2、3四、部署作业P85 1。
人教版数学九年级下册《余弦和正切》教学设计1
人教版数学九年级下册《余弦和正切》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级下册《余弦和正切》是中学数学教育的重要内容，属于三角函数学习的基础部分。
本节课的主要内容是余弦和正切的概念、性质及其应用。
通过学习，学生能够理解余弦和正切函数的定义，掌握它们的性质，并能运用到实际问题中。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解余弦和正切的概念，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数、几何等基础知识，具备一定的数学思维能力和问题解决能力。
但是，对于余弦和正切这些较为抽象的数学概念，学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻、具体例题等方式，帮助学生理解和掌握余弦和正切的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解余弦和正切的概念，掌握它们的性质，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，学生能够培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：余弦和正切的概念、性质及其应用。
2.难点：余弦和正切函数的图像和性质的理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动形象的比喻、具体例题等方式，帮助学生理解和掌握余弦和正切的概念和性质。
2.自主学习法：鼓励学生自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题的规律，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握余弦和正切的相关知识，准备生动形象的比喻和具体例题。
2.学生准备：掌握初中阶段的代数、几何基础知识，准备积极参与课堂讨论和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的问题或者生活实例，引出余弦和正切的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现余弦和正切的定义和性质，同时给出具体的例题，让学生初步理解和掌握。
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 余弦、正切
∴DM＝533(负值舍去)．
∴tan∠DCB＝DCMM＝5
3 3.
12．【2021·白银】如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上 一点，∠DCB＝∠OAC，过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠OCA＋∠OCB＝90°. ∴∠DCB＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°. ∴OC⊥DC. 又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
b c
2．【教材P69习题T6变式】【中考·丽水】如图，点A为∠α边上的任意一点，作 AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是 ()
C ··
BD BC AD CD A.BC B.AB C.AC D.AC
3．【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ABC的 值为( )
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值． 【思路点拨】(2)中求∠OCB的正切值，从图中看出∠OCB所在的三角形不是直 角三角形，需要利用等角的转化．由“两直线平行，内错角相等”得∠EOC＝ ∠OCB，从而在Rt△OCE中求解．
解：∵OE∥BC，∴BODB＝CCDE. ∵CD＝4，CE＝6，∴BODB＝46＝23.
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
解：sin A＝BACB＝2245， cos A＝AACB＝275， tan A＝BACC＝274.
10．【2021·上海】如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，
cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
数学人教版九年级下册正弦、余弦、正切函数的简单计算.1.2余弦定理课件新人教版必修5
定 理 证 明
定 理 应 用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知 两边和 它们的 夹角， 求第 三边和 其它两 个角。
定 理 内 容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法
证 明 方 法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点 ，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系 ，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到 原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由 三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共32张PPT)
C 30°
1.5
D
10
B
例 操场有一旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.小明站在 离旗杆底部10米的位置,目测旗杆的顶部,视线与水平线的 夹角为30度,并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆 的高度了.你知道小明怎样算出的吗？
A
C 30°
1.5
D
10
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
你知道小明怎样算出的吗？ ∵CD⊥DB，AB⊥DB
三角形
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.
初三的学习既是机遇也是挑战，只有团结一致，相互帮助，互相追赶，才能到达理想的彼岸。
过点C作CH⊥AB于点H
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
锐角三 ∴CH=DB=10,HB=CD=1.
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
作业布置：课本78页 7、8、9
谢谢聆听！
∠ACH＝30°，CD=1.5
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
∠ACH＝30°，CD=1.5
过点C作CH⊥AB于点H
？
H
B
A
解：由题意可知：DB＝10，
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
∠ACH＝30°，CD=1.5
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.Leabharlann C1.53300°°
D
10
A
？
H B
解：由题意可知：DB＝10， ∠ACH＝30°，CD=1.5
人教版数学九年级下册第28章(教案)：28.1锐角三角函数-余弦、正切
-函数定义的抽象理解：锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程，这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握：理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式，让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分，我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维，通过组织各类活动，锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈，调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，分析锐角α的正切值等于直角三角形中，角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质：分析余弦、正切函数随角度变化的规律，探讨它们在0°～90°范围内的变化趋势。
4.应用举例：结合实际问题，运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固：通过典型例题和练习题，使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章（教案）：28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节，本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括：
1.余弦函数的定义：通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用
它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
60°80
A
P C
30°
B
当堂检测
如图，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处 测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼 的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？
在Rt△ADC中， AD
∵ tan∠DCA=-----DC
∴AD= tan600x= x 3
在Rt△ADB中，
∵
tan30˚=
AD
----
=
-√-----3--
x
BD X+24 X=12
AD≈12×1.732 =20.784 > 20
答：货轮无触礁危险。
A
N1
N
DX C
24海里
B
变式三
பைடு நூலகம்
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，
西30˚，货轮继续向西航行，
有无触礁的危险？
A
N1
N
DX C
24海里
B
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，小亮乘坐的一艘货轮由东 向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北偏西60˚.在c见岛A在北偏 西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
通过这几道习题你能发现什么？ 以4人小组为单位，分享你的发现。
我的收获
模型一
A
C
D
B
模型二
B
C
模型三
人教版九年级数学课件《余弦、正切》
【点睛】在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值
典例解析
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA= ， 求sinA，cosB 的值.
针对练习
例3.如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．
解：过A作，垂足为点H，如图所示：在中，，，∴，，在中，，∴，∴，∵垂直平分，∴，，
C
B
达标检测
3.如图，直径为10的☉A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧☉A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )A. B. C. D.
C
达标检测
4.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5，CD=3，则tanC等于( )A. B. C. D.
达标检测
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样地，cosA，tanA，也是A的函数.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
小结梳理
达标检测
10.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的圆的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于_______.11.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°,AD∥BC，AD=2BC,AC与BD交于点E,AC⊥BD，则tan∠BAC的值等于______.
达标检测
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,且b=8，c=17.求: sinA、 cosA、 tanA、 sinB、cosB、 tanB.
B
达标检测
5.如图，在△ABC中，CA=CB=4，cosC=,则sinB的值为( )A. B. C. D.
人教版九年级下册数学28.2.1正弦、余弦、正切函数课件(共15张PPT)
小结
• 1.通过本节课的复习你有那些收获? • 2. 你还有哪些疑惑？
3
3．解直角三角形的依据
三边关系：
；
三角关系：
；
边角关系：sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
tanA= ， tanB = 。
┃简单应用┃
► 一 锐角三角函数定义 1 如 图 28 － 2 所 示 ， ∠ BAC 位 于 6×6 的 方 格 纸 中 ， 则
tan∠BAC＝___32_____.
数学·新课标（RJ）
• 7.准备在A、B两地之间修一条2千米的笔直 公路，经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7 千米的公园，问计划修建的公路会不会穿 过公园？为什么？
C
60°
45°
A B
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
8．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼 房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该 屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测 得 BE ＝ 21 米 ， 请 你 帮 小 刚 求 出 该 屏 幕 上 端 与 下 端 之 间 的 距 离 CD.(结果保留根号)
7千米的公园，问计划修建的公路会不会穿过公园？为什么？
2 3 2 6 3 6 6 1 5 如如图图， ，为为测测楼楼房房BBCC的的高高，，在在距距楼楼房房3300米米的的 AA处处测测得得楼楼顶顶的的仰仰角角为为 αα ，，则则楼楼高高BBCC为为
解：原式＝ 2 2× － ＋ － ＝2－ ＋ － ＝ . 第28章讲练 ┃ 试卷讲练 2 2 4 3 2 2 3 3 ► 一 锐角三角函数定义
人教版九年级数学下28.1余弦和正切(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余弦和正切》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量角度或计算高度的情况？”（如太阳高度角测量、建筑物高度估算等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余弦和正切的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尝试以理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式进行讲解。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。但在讲解过程中，我意识到在阐述余弦和正切函数的性质时，可能需要更多的实际例子和图像辅助，以便学生更直观地理解。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，但我发现部分学生在讨论过程中还是显得有些迷茫。为了提高讨论的效率，我考虑在下次教学中，为学生提供更明确的讨论方向和指导，以便他们能更好地展开讨论。
人教版九年级数学下28.1余弦和正切（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册第28.1节“余弦和正切”主要包括以下内容：
1.余弦函数的定义与性质：通过直角三角形的边长关系引出余弦函数的定义，探讨余弦函数在不同象限的符号及其图像特点。
2.余弦函数的应用：结合实际情境，运用余弦函数解决一些与角度有关的计算问题。
总体来说，今天的课堂教学还是取得了一定的效果，但同时也暴露出了一些问题。在今后的教学中，我会针对这些问题进行调整，努力提高教学效果，让学生们在轻松愉快的氛围中掌握余弦和正切的知识。同时，我也将不断学习，提升自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
此外，学生小组讨论环节，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有部分学生表现较为沉默。针对这一问题，我计划在今后的教学中，加强对这些学生的关注和引导，鼓励他们大胆发表自己的观点，提高课堂参与度。
人教版九年级数学下册第2课时 余弦和正切
余弦和正切
R·九年级下册
复习回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对 B 边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A c a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有
sin A sin 30 1 2
cos A
斜边
c
三角函数．
典例解析
3 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 求cosA、tanB的值．
BC 解：∵ sin A AB BC 5 AB 6 10 sin A 3
又
，
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
A C
AC AB2 BC2 102 62 8
4 sin 5
A
C P O
D
B
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， 3 tanA＝ ，求：sinA、cosB的值．
解： tan A
BC 3 AC 4 ∵AC＝8 3 3 BC AC 8 6 4 4
4
B
C
8
A
AB AC 2 BC2 82 62 10
sin A BC 6 3 AB 10 5
BC 6 3 cos B AB 10 5
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°， cosB＝1 ， 3 （1）求 cosA 和 tanA 的值； （2）若AB＝5，求BC和AC的长.
解：
＝1 ，设BC＝x，则AB＝3x. （1）由于 cosB＝ BC AB 3
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine）， 记作cosA，即 A的邻边 b
人教版初中数学九年级下册 余弦和正切得奖
c a AB BC 斜边A的对边sinA ==∠=锐角三角函数（第2课时）—余弦、正切教学目标1、理解掌握余弦、正切的概念。
能根据余弦、正切的概念，正确进行计算2、通过类比的方法得出余弦、正切的概念，增强利用类比思想分析问题的能力3、引导学生结合图形，探索数量关系，培养学习数学的兴趣，进一步领会数形结合的思想方法教学重点 理解余弦、正切的概念教学难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算教学过程（一）复习回顾 温故知新1正弦的定义: 在Rt △ABC 中，∠A 的正弦：2、当锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定。
此时，其他边之间的比是否也随之确定呢（二）类比学习 提出猜想1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗这样的比有多少2、当锐角A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比，∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗在Rt △ABC 中，对于任意确定的锐角A ，说说你有什么猜想（三）自主探究 验证猜想1、画一个 Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A=30°（1）满足条件的三角形有多少个它们之间是什么关系（2）∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值吗如果是，是多少∠A 的对边与邻边呢（3）它们的比值与三角形的大小有关吗2、画一个 Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A=45°（1）满足条件的三角形有多少个它们之间是什么关系（2） ∠A 的对边与斜边的比是一个固定值吗如果是，是多少（3）∠A 的对边与斜边的比值与三角形的大小有关吗教师问：通过探究，你有什么重大发现吗结论（1）： 在Rt △ABC 中，如果一个锐角等于30°, 那么无论这个三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比值是一个固定值, 为 。
结论（2）： 在Rt △ABC 中，如果一个锐角等于45°, 那么无论这个三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比值是一个固定值，为 ．一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值（四）归纳总结 形成概念1余弦、正切的定义如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，那么与有什么关系分析：由于∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，所以Rt △ABC ∽Rt △A`B`C`，，即结论：在直角三角形中，当锐角B 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B 的邻边与斜边的比也是一个固定值如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，★我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cosA ， 即：★我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ， 即：教师点拨：①cosA ，tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的余弦、正切，当用一个大写字母、阿拉伯数字或者希腊字母表示角时，记号里习惯省去角的符号“∠”；如果用三个字母表示角时，符号“∠”不能省略。
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sin A BC 8k 8 , AB 17k 17
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
2.已知锐角α的一边在x轴的正半轴
上(顶点在原点)，另一边上一点P的坐
标为(1，2)，求角α的三个三角函数
值。
解：过点P作PA⊥x轴
∵P（1，2） ∴OA=1,PA=2,OP= 5
sina = 2 = 2 5 55
巩固
2、如图，在Rt△ABC中，如果各边长 都扩大2倍，那么锐角A的余弦值和正 切值有什么变化？为什么？
B
B′
A
C A′
C′
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10，BC=6,求sinA,cosA,tanA的值。
解：勾股定理得
B
AC= AB2 BC2 = 102 62 =8
6
因此sinA= BACB
3.三角函数的定义
作业: 1、完成教材68-69页 2、6题。 2、预习66—67页内容。
拓展：
1、 若 tan 2, 求 5cos 2sin 的值
3cos sin
2、tan270 tan630 2 sin2 150 cos2 150
同学们，再见！
B的距离，在距A点17米的C处(AC⊥
AB)测得∠ACB=50°，则A、B间的
距离为( c )
A. 17sin50°米
B. 17cos50°米 A
B
C. 17tan50°米
D. 34sin50°米
C
小结
1.余弦的定义：
cosA
A的邻边 斜边
b c
2.正切的定义：
tan A
A的对边 A的邻边
b a
tan A
A的对边 A的邻边
a b
巩固
1、如图，分别求出下列两个直角三角
形两个锐角的余弦值和正切值。
C
B
5
12
B
13
（1）
cosA= 12
13
5
tanA= 12
5
cosB= 13
12
tanB= 5
13
2
A
C 3
A
（2）
3 13
cosA= 13
2 13
cosB= 13
2 tanA= 3
3
tanB= 2
公式一 ∠A+∠B=90°时，
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA ·ta·nB=1
公式二 sin2 A cos2 A 1
公式三 tan A sin A cos A
巩固
1、如果α是锐角，且cosα= 3 ，那么
sin(90°-α)的值等于( C 5)
9
A. 25
B. 4
5
3
16
斜边
c
cosA= A的邻边 = b
斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sinα＜1，
0＜cosα＜1，
tanα ＞0，
sin A a cos A b tan A = a
c
c
互b
为
倒
B
sin B b c
cos B a c
数b tan B =
a
c
a ┌
cosa = 1 = 5 55
y P(1,2)
α
oA
x
tana = 2
新知
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一的值与它对应，所以 sinA是A的函数。同样地，cosA、 tanA也是A的函数。
三角函数的定义： 锐角A的正弦、余弦、正切统称为
锐角三角函数。
知识 提升
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
6
=10
3
=5
A
C
AC 8 4
cosA= AB=10 = 5
BC
tanA=AC
=
6 8
=
3 4
1练、如习图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝15 ，
17 求sinA、tanA的值．
B
解：如图在Rt△ABC中，
∵ cos A AC 15 AB 17
设AC=15k，则AB=17k
A
C
所以 BC AB2 AC2 (17k)2 (15k)2 8k
BC 与 BC 有什么关系？
AC AC
B′
B
Aα
C A′ α
C′
新知
余弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们 把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 余弦。记作cosA，即
cosA
A的邻边 斜边
b c
新知
正切的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们 把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切。记作tanA，即
28.1锐角三角函数(2) 余弦和正切
知识链接
正弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们
把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的
正弦。记作sinA，即
斜边c
B
ห้องสมุดไป่ตู้对边a
A
C
sin
A
A的对边 斜边
a c
探究
一、如图，在Rt△ABC中，∠C=90° B
斜边c
对边a
A
C
邻边b
当∠A确定时，∠A的对边与斜边的
C. 5 D. 25
4、直角三角形的斜边和一条直角边的
比为25∶24，则其中最小的角的正切
值为
7
。
24
巩固
2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD
= 3 ，sin∠DBC= 12 ，求AB、BC、
5
13
CD的长。
D
C
A
B
巩固
3、如图，为测河两岸相对两电线杆A、
比就确定。此时，其他边之间的比
是否也确定呢？
探究 二、如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，那么
AC 与 AC 有什么关系？
AB AB
B′
B
Aα
C A′ α
C′
探究
三、如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′ =α，那么