最短路径问题

最短路径问题

（导学案）

洪湖市龙口镇和里中学 龚宝金

教学目标：

1知识与技能：理解和掌握解决最短距离问题的一般思想方法 2.过程与方法：培养学生转化思想和数形结合思想

3.情感态度与价值观: 通过专项讲解，归纳出方法和规律，消除学生对此类问题的陌生感

和畏惧感，提高学生解决问题的信心和解决问题的能力。

教学重点：利用轴对称作图确定使距离最短的点 教学难点：数形结合思想与数学建模思想的培养 教学过程

一． 温故而知新1.

在公路l 两侧有两村庄，现要在公路l 旁修建一所候车亭P ，要使候车亭到两村庄的

距离之和最短，试确定候车亭P 的位置。

★思考：本题运用了 。

随堂练习一.

1. 造桥选址问题：如图，A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何

处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

★思考：本题运用了 。 二．温故而知新2.

如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L 建一泵站P 分别向A 、B 两村庄同时供水，要使泵站P 到A 村、B 村的距离之和最短，确定泵站P 的位置。

★思考：本题运用了 。

A

B

随堂练习二：

1. 如图,已知正方形ABCD ，点M 为BC 边的中点， P 为对角线BD 上的一动点，要

使PM+PC 的值最小，请确定点P 的位置。

2. 如图，已知菱形ABCD ，M 、N 分别为AB 、BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一动点，要使 PM+PN 的值最小，试确定点P 的位置。

三．合作探究——拓展与延伸.

1.如图，点P 在∠AOB 内部，问如何在射线OA 、OB 上分别找点C 、D ， 使PC+CD+DP 之和最小？

2. 饮马问题: 如图牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回

到B 处，请画出最短路径。

第1题图

第2题图

B

A

四、中考链接

如图，以矩形OABC 的顶点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4，OC=2，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点， 在x 轴、y 轴上是否分别存在点N 、M ，使得四边形MNEF 的周长最小？如果存在，请在图中确定点M 、N 的位置，若不存在，请说明理由。

五 课堂小结

谈谈你的收获………

考察知识点：两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等； 数学思想：数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等； 原 型：1.饮马问题， 2. 建桥选址问题；

试题变式背景： 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。 数学模型：

1．实际问题：如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L 建一泵站P 分别向A 、B 两村庄

同时供水，要使泵站P 到A 村、B 村的距离之和最短，确定泵站P 的位置,并在图中作出表示最短距离的线段。

2.数学问题

已知直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作点P ，使PA+PB 的值最小.

l

六． 巩固练习：

1. 如图，已知菱形ABCD ，M 、N 分别为AB 、BC 边的中点，P 为对角线AC 上的

一动点，要使 PM+PN 的值最小，试确定点P

变式1. 如图，已知菱形ABCD ，M 、N 分别为 AB 、BC 边上的点，P 为对角线AC 上

的一动点，要使 PM+PN 的值最小，试确定点P 的位置。

变式2. 如图，已知菱形ABCD 的边长为6，面积为30，∠BAD=60°,点M 为AB 边的中点，点P 为对角线AC 上的一动点，要使 PM+PB 的值最小，试确定点P 的位置，并求出PM+PB 的最小值.

变式3. 如图，已知菱形ABCD ，M 、N 分别为AB 、BC 边上的点，P 为对角线AC 上的一动点，要使 △MPN 的周长最小，试确定点P 的位置.

2. 如图，已知点P 是直线x =1若△OP A 的周长最小,

3. 如图，点A 、B 位于直线请问当MN

变式（2）B 变式1图 第1题图