湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2019-2020学年高三年级4月联考文科数学试卷
湖北省武汉市第一中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析
湖北省武汉市第一中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取名学生，并编号；（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A. B. C. D.参考答案：B略2. 若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是( )A.0B. 1C.D. 9参考答案：B作出不等式组表示的可行域（如下图），令，可知当直线经过点时，取得最小值0，故此时取得最小值1.3.在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，则以B，C为焦点，且过D，E 的双曲线的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：答案:D4. 设函数，，若实数a、b满足，，则（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】确定函数单调递增，且，计算得到，再代入计算比较大小关系.【详解】，，故，函数单调递增.，，即.，故或（舍去），故，，故.故选：D.【点睛】本题考查了根据导数判断单调性，零点存在定理，意在考查学生的综合应用能力.5. 已知角的终边经过,则等于( )A．B．C．D．参考答案：A6. 已知双曲线C：的离心率是，F是双曲线C的左焦点，A（，1），P 是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为A． B． C．＋4 D．＋8参考答案：C7. 已知曲线(a＞0，b＞0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为A B C D参考答案：C8. 若对正数，不等式都成立，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：D略9. 函数，已知在时取得极值，则=（）A．2 B．3C．4 D．5参考答案：B10. 设集合M ={x|x2+x-6<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =A [1,2) B[1,2] C( 2,3] D[2,3]参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列为等比数列，若，则公比____________.参考答案：2略12. 在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则____ _参考答案：13. 函数的值域是____________参考答案：略14. 的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为．若点是图象的一个对称中心，且，则▲．参考答案：略15. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，则P（0≤ξ≤1）=．参考答案：0.35【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性计算．【解答】解：∵变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴P（ξ＞1）=0.5，∴P（1≤ξ≤2）=P（ξ＞1）﹣P（ξ＞2）=0.35，∴P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.35．故答案为：0.35．16. 已知实数x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[0,3]17. ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【市级联考】湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学(文)试题
15．将一个表面积为 的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________.
16．已知点 ，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 , 两点，若 ，则点 坐标为________.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知正项等比数列 的前 项和 满足 ， ．
【详解】
在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
12．C
【解析】
【分析】
通过导数的几何意义求得切线方程；再将切线方程与曲线方程联立，求解出根的个数，从而得到公共点个数.
绝密★启用前
【市级联考】湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学（文)试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
（注：问卷满分为 分，成绩 的试卷为“优秀”等级）
(1)从现有 名男生和 名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；
(2)求列联表中 ， ， ， 的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？
男
女
总计
优秀
非优秀
总计
湖北省武汉一中2019-2020学年高三下学期(4月份)高考模拟试卷数学(文科)( 解析版)
湖北武汉2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．13．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．454．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1 8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．39．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或111．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对二、填空题（共4小题）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C 上一点．（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，﹣1，﹣3}；∴A∩B＝{1，﹣1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．1【分析】利用已知条件转化方程通过复数的乘除运算求解即可．解：i为虚数单位，则复数z＝2i﹣＝2i﹣＝2i﹣1+i＝﹣1+3i，则其虚部是3，故选：C．3．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．45【分析】根据题意，由等差数列的性质可得S9＝＝＝9a5，即可得答案．解：根据题意，数列{a n}为等差数列，则S9＝＝＝9a5＝45，故选：D．4．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．解：设向量的夹角为θ，∵，∴，∴，即2﹣2cosθ＝0，∴，∵0≤θ≤π，∴，故选：B．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a＝，即可得到双曲线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的一条渐近线y＝x的距离为，由题意可得d＝＝，即有a＝，双曲线方程为：．故选：C．8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：x，y满足约束条件所表示的可行域为下图中的△ABC，当目标函数对应的直线z＝4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3．故选：D．9．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（3）＜0，即可求出答案．解：∵定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（1）＝1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）＝8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或1【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得d＝＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（﹣2，2），半径r＝2；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d＝＝2，解可得a＝；故选：A．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π【分析】设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为，求出PO'＝4、OO'＝4﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对【分析】将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．【解答】解：由原方程得sin x＝kx（x≠0），设函数f（x）＝sin x，g（x）＝kx，它们的图象如图所示：方程得sin x＝kx在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，α必是函数g（x）＝kx与f（x）＝sin x在（2π，3π）内相切时切点的横坐标，即切点为（α，sinα），故g（x）＝kx是f（x）＝sin x的切线，k＝cosα，再由sinα＝kα＝αcosα，故α＝tanα，故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【分析】正实数a，b满足＝3，可得，b+2a＝3ab．展开（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足＝3，∴，化为，当且仅当b＝2a＝时取等号．b+2a＝3ab．∴（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2．故答案为：．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|＝，则，∴p＝2．∵点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为（﹣∞，2）．【分析】由f'（x）﹣f（x）＜2e x知，可构造函数g（x）＝﹣2x，g′（x）＜0⇒g （x）在R上为减函数；于是＞xe x⇔g（x）＞0，由g（2）＝与f（2）＝4e2可得：g（2）＝0，于是可得答案．解：解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x，∴构造函数g（x）＝﹣2x，则g′（x）＝﹣2＝﹣2＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在R上为减函数．∵＞xe x⇔＞2x⇔g（x）＞0，又f（2）＝4e2，∴g（2）＝﹣4＝﹣4＝0，∴g（x）＞g（2），∴x＜2，∴＞xe x的解集的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6，可得8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0解出利用通项公式即可得出．（2），利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6所以8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0则．所以．（2），当n＝3或4时，T n取得最大值，且（T n）max＝64．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD＝∠C1B1F．∴∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意计算观测值为K2＝＝9.825＞7.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；（2）记A组推选的4人为a、b、c、d，B组推选的2人为E、F，则从这6人中任取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；其中1人来于A组，1人来于B组的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围【分析】（1）由题意可得AF1＝AF2＝a，即a2＝2c2，根据三角形的面积可得a2＝8，c2＝4，即可求出椭圆的方程，（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y＝﹣x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据﹣＜m＜2，可得|CD|的范围，由S ACBD＝|AB|•|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围解：（1）由已知可得∠AF2F1＝45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1＝AF2＝a，并且2a2＝4c2，即a2＝2c2，又，可得a2＝8，c2＝4，故b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为+＝1．（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，代入到+＝1，可得3x2﹣8x＝0，从而得A（0，2），B（，﹣），∴|AB|＝，又设直线l2的方程为y＝﹣x+m，由条件可得﹣＜m＜2，将y＝﹣x+m代入到+＝1，可得3x2+4mx+2m2﹣8＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，∴|CD|＝•＝•＝•＝•，∵﹣＜m＜2，∴0≤m2＜，∴＜12﹣m2≤12，∴＜|CD|≤．，当且仅当m＝0时取等号，∵S ACBD＝|AB|•|CD|，∴S ACBD＞××＝，S ACBD≤××＝，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是（，]21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用极坐标方程的应用和三角形面积的公式求出结果．解：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得：化简极坐标方程为：曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得：化简极坐标方程为：ρ2（1+3sin2θ）＝7（2）联立，即联立，即故23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。
2019-2020年高三4月第一次综合练习数学文试题 含答案
2019-2020年高三4月第一次综合练习数学文试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知全集，集合，则等于A ．B ．C ．D ．（2）已知命题，，则A ．，B ．,C ．,D ． ，（3）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为A ．B ．C ．D ．（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是A ．计算的值B ．计算的值C ．计算的值D ．计算的值 （5）已知，，满足，则A ．B ．C ．D ．（6）函数图象的一条对称轴方程是A ． B. C. D.（7）已知实数，满足其中．若的最大值为5，则z 的最小值为A ．B ．C ．D ．（8）已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段 上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是第（4）题图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）为虚数单位，计算= ．（10）已知平面向量，满足，与的夹角为，则 ． （11）圆与轴相交于两点，则 弦所对的圆心角的大小为 ．（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）.已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． 第（12）题图正视图侧视图俯视图（14）记为区间的长度．已知函数，()，其值域为，则区间的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在中，，，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的面积．（16）（本小题满分13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．（18）（本小题满分13分）设数列的前项和为，且，，. （Ⅰ）写出，，的值；A BCDA1 B1C1（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列中，有，，求数列的前项和．（19）（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．（20）（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：在上为增函数；（Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）因为，，又，所以. 由正弦定理得，. 所以.所以. ……… 6分 （Ⅱ）在中，= =. 所以==. ……13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分 （Ⅱ）设事件：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有这4种可能． 所以．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为. ……… 13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以,. 所以底面．因为底面，所以．由已知可得，底面为正三角形． 因为是中点，所以．因为，所以平面． ……… 5分 （Ⅱ）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点．因为是中点， 所以． 又因为平面，平面，所以直线平面． ……… 10分 （Ⅲ）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使． 此时点是在线段上. 证明如下：过作交线段于，由（Ⅰ）可知平面，而平面， 所以． 又，，所以平面． 又平面，所以． ……… 14分 （18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，， 所以，，． ……… 3分（Ⅱ）当时，．又当时，．所以 ……… 6分（Ⅲ）依题意，，.则由得，，,则. 所以 所以.因为=1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯ABCDA 1B 1C 1O C 1ABCDA 1B 1 M E41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以. ……… 13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得，. 故椭圆的方程为． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，，，，由得， 所以． 因为， 所以中点．因此直线方程为． 由解得，．因为四边形为矩形，所以， 即． 所以． 所以．解得．故直线的方程为． ……… 14分（20）（本小题满分13分） 解：函数定义域为，.（Ⅰ）当时，，. 所以.所以曲线在点处的切线方程是，即. ……… 3分 （Ⅱ） 当时，. 设，则.令得，或，注意到，所以. 令得，注意到，得.所以函数在上是减函数，在上是增函数. 所以函数在时取得最小值，且. 所以在上恒大于零. 于是，当，恒成立.所以当时，函数在上为增函数. ……… 7分 （Ⅱ）问另一方法提示：当时，.由于在上成立，即可证明函数在上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）.设，.(1)当时，在上恒成立，即函数在上为增函数.而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；（3）当时，.当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.综上所述.………13分。
湖北省武汉市2019届高中毕业生四月调研测试数学文试题(解析版)
武汉市2019届高中毕业生四月调研测试文 科 数 学 试 题一、选择题：共60分.1. 已知集合{}lg 1A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =A . {}1,2B. {}0,1,2C. {}1D. {}0答案：A考点：对数函数的性质，集合的运算 解析：lg 1x <解得010x <<，所以，A B ={}1,22. 若复数121iz i i-=++，则z = A. i B. 12i + C. 22i +D. 12i -+答案：B考点：复数的运算，复数模的概念。
解析：()()()211111i i i i i i --==-++-，||212z i i i =-+=+ 3. 若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A.15B. 52C. 155或D. 5答案：D考点：三角恒等变换 解析：因为22sin sin (1cos )sin (1cos )1cos 1cos sin a a αααααα++==--1cos sin αα+=， 所以，1cos sin αα+=5 4. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A----结伴步行，B----自行乘车，C----家人接送，D----其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图。
请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是A.30B. 40C. 42D. 48答案：A考点：统计图解析：设总人数为n ，则由C 的人数及百分比得：30n＝25%，所以，n ＝120， A 类人数：120－（42+30+18）＝305. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为CD 中点，则四面体1A BC M -的体积1A BC M V -=A.12B.14C.16D.112答案：C考点：空间几何体的体积 解析：方法一：1111A BC MC ABM C ABCM C ACBM VV V V ----==-1111111(1)11113223226=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 方法二：111111113326A BC M C ABM ABM V V S CC --==⋅=⨯⨯=6. 已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥+-01201042y x y x y x ，则目标函数x y z -=的最小值为A.12 B. 1 C. 2 D. 1-答案：D考点：线性规划 解析：不等式组所表示的平面区域如下图，目标函数z ＝y －x 经过点B （－5，－6）时，取得最小值为－17. 已知0>a 且1≠a ，函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥=1,21,)(x a ax x a x f x 在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是A. ),1(+∞B. )1,0(C. )2,1(D. ]2,1(答案：D考点：函数的单调性解析：画出分段函数的图象，如下图，函数在R 上单调递增，（1）当0＜a ＜1时，x y a =是递减的，不符。
湖北省武汉市2019-2020学年高三数学(文)测试题Word版含解析
湖北省武汉市2019-2020学年高三数学（文）测试题一、选择题：1. 全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。
2. 复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于，故答案为B。
考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算的运用，属于基础题。
3. 若，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由可得，即，解之得或（舍去），应选答案D。
4. 下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：对于A选项，函数的定义域为，函数是非奇非偶函数，A选项不合乎题意；对于B选项，函数的定义域为，，函数为奇函数，且函数在上为减函数，B选项符合题意；对于C选项，函数为奇函数，但是函数在其定义域上不是减函数，C选项不合乎题意；对于D选项，函数是奇函数，函数在区间和上都是递减的，但是函数在定义域上不是递减的，D选项不合乎题意，选B.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性5. 下列命题中真命题的个数是（）①；②若“”是假命题，则都是假命题；③命题“”的否定是“”.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】若，，故命题①假；若“”是假命题，则至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“”的否定是“”，即命题③是真命题，应选答案B。
6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】试题分析：所以输出.考点：程序框图.7. —个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:从题设中所提供的三视图可以看出,该几何体是一个三棱柱,高为,底面周长,故全面积,故应选B．考点：三视图的识读和理解．8. 公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（）A. B. 0 C. 7 D. 40【答案】A【解析】由题设可得，即（舍去），应选答案A。
湖北省武汉一中2020届高三下学期4月模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1.已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,1}-C. {0}D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出AB .【详解】因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有{}1,1A B ⋂=-，故本题选B.【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键.2.已知i 为虚数单位，则复数221z i i=-+的虚部是( ) A. 3i B. iC. 3D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的混合运算，对复数z 进行化简，再求其虚部即可. 【详解】因为221z i i =-+()()()2121311i i i i i -=-=-++-，故可得z 的虚部为3. 故选：C.【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及复数虚部的辨析，属基础题. 3.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（ ） A. 25 B. 90 C. 50 D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题. 4.已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥. 其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】①由线面平行的性质定理可知①正确； ②由面面平行的性质定理可知，αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确；③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确. 所以正确的命题有①②④， 故选：C .【点睛】本题主要考查点、线，面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5.若a =，b =2，且（a b -）a ⊥，则a 与b 的夹角是 A.6π B.4π C.3π D.512π【答案】B 【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=,cos 2||2a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅,所以a 与b 的夹角是4π. 6.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.7.已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a -=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（ ） A. x 2﹣y 2＝1 B. 22x -y 2＝1C. 23x -y 2＝1D. 24x -y 2＝1 【答案】C 【解析】 【分析】 12=，解得23a =，即可得到本题答案.【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，2221x y a-=的其中一条渐近线为0x ay -=，由题，得2121()a =+-，解得23a =， 所以双曲线得标准方程为2213x y -=，故选：C【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法，其中涉及抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程.8.若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A. 9B. 6.5C. 4D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行， 故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3. 故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 9.定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（ ）A. (),0a -B. ()0,aC. (),3aD.()3,3a +【答案】C 【解析】∵函数()224sin xxf x a x -=⋅--为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即()224sin 224sin xx x x a x a x --⋅-+=-⋅--,整理得()()1220xx a --+=在R 上恒成立，∴1a =,∴()224sin x xf x x -=--，∵11(1)224sin10,(0)0,(1)224sin10,f f f ---=-+>==--<23(2)424sin20,(3)824sin30f f --=-->=-->,∴函数()f x 的零点在区间()1,3内．选C ．10.若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为( )A.1528B.2815C.1528或1 D.2815或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得2d ==，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:(2)(2)4C x y ++-=，其圆心为(2,2)-，半径2r ；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离2d ==，解可得1528a =； 故选：A ．【点睛】本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题。
【武汉一中4月高考模拟文数】2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学(文)试题(含答案解析)
一、选择题 1.已知集合 A {1,0, 1} ， B {y | y 2x 1, x A} ，则 A B （ ）
A. {1,0, 1}
B. {1, 1}
C. {0}
2.已知 i 为虚数单位，则复数 z 2i 2 的虚部是( ) 1 i
A. 3i
B. i
面积的取值范围.
21.已知函数 f（x）＝（x﹣a）cosx﹣sinx，g（x） 1 x3 1 ax2，a∈R 32
（1）当 a＝1 时，求函数 y＝f（x）在区间（0， ）上零点的个数；
2
（2）令 F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数 y＝F（x）极值点的个数．
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作
大小关系是（ ）
A. tan
பைடு நூலகம்
B. tan
C. tan
D. 以上都不对
二、填空题（共 4 小题）
13.在 ABC 中， B 45 ， D 是 BC 边上一点， AD 5 ， AC 7 ， DC 3 ，则 AB 的长为______.
14.已知正实数 a ， b 满足 1 2 3 ，则 a 1b 2 的最小值是
．
ab
15.设 m 0 ，点 A(4, m) 为抛物线 y2 2 px( p 0) 上一点， F 为焦点，以 A 为圆心| AF | 为半径的圆 C 被
y 轴截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程为__________．
16.定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 2ex （ e 为自然对数的底数），其中 f ¢( x) 为 f x 的导
函数，若 f 2 4e2 ，则 f x xex 的解集为__________.
2019-2020年高三4月联考数学(文)试卷 含答案
2019-2020年高三4月联考数学（文）试卷 含答案 数学试卷（文科） xx.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则_________．2．已知为虚数单位，复数满足，则__________．3．设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标是___________．4．计算：__________．5．在平面直角坐标系内，直线，将与两条坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知，，则_____________．7．设定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是__________________．8．在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线（）的焦点，则抛物线的方程为_____________．9．已知、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤,02,4,y y x x y 则的最小值为____________．10．已知在（为常数）的展开式中，项的系数等于，则_____________．11．从棱长为的正方体的个顶点中任取个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是______________．12．已知数列满足n n a a a n 3221+=+++ （），则__________．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或不答得分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有道题的选项不同，如果甲最终的得分为分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零实数的值为_____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“”是“”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线∥平面，直线∥平面，则∥；（B ）若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；（C ）直线与平面所成角的取值范围是；（D ）若直线平面，直线平面，则∥.17．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）18．已知直线：与函数的图像交于、两点，设为坐标原点，记△的面积为，则函数是（ ）．（A ）奇函数且在上单调递增 （B ）偶函数且在上单调递增（A ）奇函数且在上单调递减 （D ）偶函数且在上单调递减三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．（1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12cos 2sin 3)(-+=x x x f （）．（1）写出函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，求的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．A B C A 1 B 1 C 1 D（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xx a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是四条直线，所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，是椭圆上任意一点，若，求证：为定值；（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且满足△与△的面积的比值为，求直线的方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列、满足：，，．（1）求，，，；（2）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（3）设13221++++=n n n a a a a a a S ，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．文科数学参考答案一．填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，（2分）因为平面，所以， ………………………………………（4分）所以，平面． ……………………………………………………（5分）（2）取点，连结、，则∥所以，就是异面直线与所成角（或其补角）． …………………（2分）解法一：由已知，，，所以平面，所以△是直角三角形，且， …………………………………………（4分）因为，，所以，， ……………………（6分）所以，异面直线与所成角的大小为． …………………………（7分）解法二：在△中，，，， 由余弦定理得，322325492cos 1212211=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠DE D B E B DE D B DE B ． ……………（6分） 所以，异面直线与所成角的大小为． ……………………………（7分）20．（1）， …………………………………………（3分）所以，的最小小正周期， …………………………………………（4分） 的单调递增区间是，． ……………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故， 所以，或（），因为是三角形内角，所以． …………………………（3分）而，所以，， …………………………（5分）又，所以，，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，． …………………………………（8分）21．（1），则在上是增函数，故，即， ……………………………………………（2分）故，所以是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界满足，所有上界的集合是． ……………………（6分）（2）由题意，对恒成立， 即3412113≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≤-x x a ， ……………………………………………（1分） 令，则，原不等式变为，故， 故minmax 24⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t a t t ， ……………………（3分） 因为在上是增函数，故， …………………（5分）又在上是减函数，故． ………………………（7分）综上，实数的取值范围是． ………………………（8分）22．（1）由已知，， …………………………………………………（1分） 又，故， ………………………………………………（2分）所以，，所以，椭圆的标准方程为． ……………（4分）（2），， ………………………………………………（1分）设，则，由已知，得 ……………………（4分） 所以，13)(34)(422=++-n m n m ，即为定值． ……………（6分） （3）等价于， ……………………………………………（1分）当直线的斜斜率不存在时，，不合题意． ……………………………（2分）故直线的斜率存在，设：， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 消去，得096)43(222=-++k ky y k ， ……………………（3分） 设，，则，，由，得，则，，从而，． …………………………………………（5分）所以，直线的方程为． …………………………………………（6分）23．（1）由已知，nn n n n n n n b b b b a a b b -=-=+-=+21)2()1)(1(1， 因为，所以，，，，． …………（4分）（每个1分）（2），n n n n b b b b --=--=-+2112111， ……………………（2分） 所以，11112111--=--=-+n n n n b b b b ， 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列． ……………………（4分）所以，，（）． ………………………………（6分）（3）因为，从而， ………………………………（1分）所以，13221++++=n n n a a a a a a S )4)(3(1651541++++⨯+⨯=n n ， …………………………………（2分）解法一：所以，不等式化为，即当时恒成立， …………………………………………（4分） 令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则随着的增大而减小，且恒成立． ………………………………（7分）故，所以，实数的取值范围是． …………………………………（8分）解法二：)4)(3(8)2(3)1(32442++--+-=++-+=-n n n a n a n n n an b S a n n n ， 若不等式对任意恒成立，则当且仅当08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意恒成立． ………………………………（4分） 设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，，当时，恒成立； …………………………（5分）当时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，由，得，所以当时，对恒成立．综上，实数的取值范围是． …………………………（8分）。
湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2019-2020学年高三下学期4月联考文科数学试题(word无答案)
湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2019-2020学年高三下学期4月联考文科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知为虚数单位，则复数（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知集合，，，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．B．2C．D．4(★) 4 . 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步(★★) 5 . 运行如图所示的程序框图，若输入的的值为2时，输出的的值为，则判断框中可以填（）A．B．C．D．(★) 6 . 若，，则（）A．B．C．D．(★★) 7 . 在三棱柱中，已知，平面，则下列选项中，能使异面直线与相互垂直的条件为（）A．B．C．四边形为正方形D．四边形为正方形(★★) 8 . 已知非零实数满足，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．(★★) 9 . 在中，已知，，，则的面积的最大值为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 11 . 已知函数，，现有如下四个结论：①函数 的极大值为；②函数的最小值为0；③函数在上单调递减；④函数在上单调递减；则上述结论正确的是（）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④(★★) 12 . 已知四面体 的外接球的球心为 ，点 在四面体内部，，.过点 作平面 截球 得到圆面，若圆的面积的最大值为，且为等边三角形，则四面体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(★) 13 . 已知向量 ， ，其中 .若向量与共线，则_____.(★) 14 . 已知实数 满足 ，则的最大值为_______.(★) 15 . 已知函数的定义域为，其图象关于原点对称，且当时，则不等式 的解集为______（用区间表示）. (★) 16 . 在平面直角坐标系中，已知正方形关于坐标轴对称，且点 在椭圆上，设椭圆 的右焦点为，若点在正方形内部（不包括边界），则椭圆 的离心率 的取值范围为______.三、解答题(★) 17 . 为了调查抑郁症患者的发病情况与睡眠时间是否具有相关性，研究人员随机调查了200名抑郁症患者，统计了他们近250天每天的睡眠时间.（1）某抑郁症患者近250天每天的睡眠时间的统计数据如下表所示，求该抑郁症患者这250天的日平均睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；睡眠时间（小时）频数（天）151008550（2）将这200名抑郁症患者这250天的发病次数与日平均睡眠时间进行统计，得到如下表所示的 列联表，请将该 列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“睡眠时间的长短”与“发病次数的多少”有关系？睡眠时间少于4小时睡眠时间不少于4小时 总计发病次数不小于5次60发病次数小于5次20总计100参考公式及数据： ，其中 .0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(★★) 18 . 如图，四边形为菱形，，∥，为等边三角形，且平面与平面无公共点.（1）求证： ∥平面 ； （2）若，，求三棱锥的体积.(★★) 19 . 已知首项为 的数列满足，记数列的前 项和为.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）求数列的前项和.(★★) 20 . 已知抛物线与过点的直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.(★★★★) 21 . 已知函数，.（1）探究函数的极值点情况；（2）求证：当时，恒成立，其中为自然对数的底数.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线与轴交于两点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的普通方程及曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线在第一象限交于点，且线段的中点为，点在曲线上，求的最小值.(★★) 23 . （1）已知均为正数，且，求证：；（2）已知实数满足，，求证：.。
2019-2020学年湖北省武汉市江夏第一高级中学高一数学文下学期期末试卷含解析
2019-2020学年湖北省武汉市江夏第一高级中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的都有，则称和在[a，b]上是“依函数”，区间[a，b]为“依区间”，设与在区间[a，b]上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A．[3,4] B．[2,4] C．[2,3] D．[1,4]参考答案：C因为与在上是“依函数”，则即即，化简得，因为的即与轴没有交点，由开口向上得到恒成立；所以由解得，所以它的“依区间”是，故选C.2. 已知定义在区间[0,2]上的函数的图像如右图所示，则的图像为（）参考答案：A3. 设S n为数列{a n}的前n项和，，则的值为（）A. 3B.C.D. 不确定参考答案：C【分析】令，由求出的值，再令时，由得出，两式相减可推出数列是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出的值.【详解】当时，，得；当时，由得出，两式相减得，可得. 所以，数列是以2为首项，以为公比的等比数列，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用前项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及与时，可利用公式求解出，也可以转化为来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4. 若等比数列的前五项的积的平方为1024，且首项，则等于（）A． B． C．2D．参考答案：D略5. 直角坐标系xOy中，已知点P(2﹣t，2t﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l：．若对任意的t R，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为A. (0，2)B. (2，3)C. (，)D. (，3)参考答案：C【分析】先求出点P的轨迹和直线l的方程，再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t R，点P到直线l的距离为定值，所以直线l的方程为2x+y=0.设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．可能共面，也可能异面参考答案：D略7. 定义运算：，则函数的值域为A．R B．(0，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1]参考答案：D由题意可得：，绘制函数图像如图中实线部分所示，观察可得，函数的值域为(0，1].本题选择D选项.8. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若则；③若则；④若m、n是异面直线，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】利用面面平行的判定定理及性质定理和推论判断即可。
湖北省武汉市2019-2020学年高三下学期第一次月考数学(文)测试题Word版含解析
湖北省武汉市2019-2020学年高三下学期第一次月考数学（文）测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知是虚数单位，则满足的复数在复平面上对应点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：，，对应点，在第一象限．故选A．考点：复数的模，复数的几何意义．2. 已知集合，，，则，，的关系是（）A. 是的真子集、是的真子集B. 是的真子集、是的真子集C. 是的真子集、D.【答案】C【解析】∵，，∴A=B；故排除选项A，B；又∵，∴排除D，故选C.3. 对下方的程序框图描述错误的是（）A. 输出2000以内所有奇数B. 第二个输出的是3C. 最后一个输出的是1023D. 输出结果一共10个数【答案】A【解析】执行程序框图，依次输出：1，3，7，15，31，63，127，255，511，1023，结束循环.根据选项知A不正确.故选A.4. 设函数与的图象的交点为，则所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先画出两个函数图象的草图，可以看出两个函数图象的交点的横坐标大致应在内，下面给出准确的验证，当时，，当时，，由于，则，则，因此，则所在的区间是.考点：函数图象，函数的零点.5. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位得考点：三角函数图像平移6. 在等比数列中，若，，则的最小值为（）A. B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式可得，，故选B. 考点：1、等比数列的性质；2、基本不等式求最值.7. 已知圆的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知，已知圆的圆心坐标∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得，且方程的斜率为∴该直径所在的直线的斜率为：−2，∴该直线方程；即2x+y−3=0，故选D.8. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】∵等比数列的各项均为正数,且，，成等差数列，∴，即，解得(舍)或，∴.故选：D.点睛：等差中项的性质：若成等差，则.等比数列的通项公式：.9. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的平分线的长等于（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理及知：，得，故，故选D.考点：1、正弦定理的应用；2特殊角的三角函数.10. 已知，（，）的图象过点，则在区间上的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，有，得，而，所以，其中，故，由知，，故，即的值域为，故选B.考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的图象与三角函数的最值.【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数的最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值.本题是利用方法③的思路解答的.11. 在体积为的三棱锥中，，，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图,设球心为,半径为,取中点为,连,依据图形的对称性,点必在上,由题设可知,解之得,连,则在中,,解之得,则,故应选B.考点：几何体的外接球与体积的计算公式.12. 若函数，在区间和上均为增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由下图可得，故选B．考点：函数的图象与性质．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，且，则等于__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，，解得，而，得，故，故答案为.考点：1、余弦的二倍角公式；2、诱导公式及特殊角的三角函数.14. 一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则几何体的表面积为__________．【答案】【解析】该多面体是由一个正方体沿着相邻三个面的对角线切割去一个三棱锥．其表面积：.15. 已知向量，，若向量在方向上的投影为1，则__________．【答案】【解析】∵向量，,向量在方向上的投影长为1∴解得.故答案为：.16. 设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由得,直线是斜率为−a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：则A(1,1),B(2,4)，∵的最大值为，最小值为，∴直线过点B时，取得最大值为，经过点时取得最小值为，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上，故答案为：[−2,1].学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，，且满足（）.（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）得：试题解析：（Ⅰ）证明：由条件可知，，即，整理得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，令，①，②—②得，，整理得.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：（Ⅰ）求表中，，的值，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在内为及格）；（Ⅱ）设茎叶图中成绩在范围内的样本的中位数为，若从成绩在范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字的概率.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，由此能估计这次考试全校高三数学成绩的及格率．（Ⅱ）由茎叶图得m=106，列出一切可能的结果组成的基本事件空间，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，求出A包含的基本事件个数，由此能求出∴取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在范围内的有2人，在范围内的有3人，∴，，成绩在范围内的频率为，∴成绩在范围内的样本数为，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：.（Ⅱ）由茎叶图得，一切可能的结果组成的基本事件空间为：，共15个基本事件组成；设事件“取出的两个样本中恰好有一个是数字”，则，共由8个基本事件组成，∴.19. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，、分别为、上的动点，且，（）.（Ⅰ）若，求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取和中点、，连接、、,只要证明四边形为平行四边形即可；（Ⅱ）在平面内作，可以证明就是三棱锥的高；先将表示成的函数再求其最大值.试题解析：（1）分别取和中点、，连接、、，则,,所以,四边形为平行四边形．,又∥． 4分（2）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以． 7分（或平面中，所以）因为,所以．,, 10分12分的最大值为考点：空间直线、平面的位置关系、空间几何体的体积.20. 在中角、、所对边分别为，，.已知，.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的大小.【答案】(1) 最小值;(2) 当时，求得.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用余弦定理和基本不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件运用向量的数量积公式和正弦定理求解。
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睡眠时间少于 4 小时 睡眠时间不少于 4 小时 总计
文科数学 第 3页（共 5页）
发病次数不小于 5 次
60
发病次数小于 5 次
20
总计
100
参考公式及数据：
K2
(a
n(ad bc)2 b)(c d )(a c)(b
B． 9 19 i 13 13
C． 9 19 i 13 13
D． 9 19 i 13 13
2．已知集合U R ， A {x | y log4 (x 1)} ， B {y | y 2x 3, x A} ，则 A (ðU B)
A． (1,5)
B． (1,5]
C． (5, )
3．双曲线 C : x2 y2 1 的右焦点到一条渐近线的距离为 16 48
[三四]又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是
A．问题[三三]中扇形的面积为 240 平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为 5049 平方步 4
C．问题[三三]中扇形的面积为 60 平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为 5049 平方步 2
5．运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为 20 ，则判断框中可以填
D． (1, )
A． 2 3
B． 2
C． 4 3
D． 4
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步．问这块田面积是多少？
16 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 正 方 形 MNPQ 关 于 坐 标 轴 对 称 ， 且 点 M , N , P,Q 在 椭 圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1 (a b
0) 上，设椭圆 C
的右焦点为 F
，若点 F
在正方形 MNPQ 内部（不包括边界），则
椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为____________．
江夏一中、汉阳一中 2020 年 4 月高三年级联考试卷
文科数学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的）
1．已知
i
为虚数单位，则复数
5 3
3i 2i
A． 9 19 i 13 13
文科数学 第 1页（共 5页）
A．k<3？
B．k<4？
6．若
( 2
,
)
，
cos
2
7 25
，则
sin sin(3
)
2
A． 3 4
B． 3 4
C．k<5？ C． 4
3
D．k<6？ D． 4
3
7．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB AC ， AA1 平面 A1B1C1 ，则下列选项中，能使异面直线 BC1 与 A1C
文科数学 第 2页（共 5页）
则上述结论正确的是
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
12．已知四面体
ABCD
的外接球的球心为
O
，点
O
在四面体
ABCD
内部，
BC
3 2
OA
，
AB
AC
AD
．过
点 A 作平面 截球 O 得到圆面 O' ，若圆 O' 的面积的最大值为16 ，且 △BCD 为等边三角形，则四面
均睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
睡眠时间（小时）
[1, 2)
[2, 3)
[3, 4)
[4, 5]
频数（天）
15
100
85
50
（2）将这 200 名抑郁症患者这 250 天的发病次数与日平均睡眠时间进行统计，得到如下表所示的 2 2 列联表，请将该 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 99.9% 的把握认为“睡眠时间的长短”与“发病 次数的多少”有关系？
B． (1,1]
C． [1, 2]
11．已知函数
f
(x)
x(x 4) x 1
ex
，
x [0, )
，现有如下四个结论：
D． [1,1)
①函数 f (x) 的极大值为 2 e1 3 ；
②函数 f (x) 的最小值为 0 ；
③函数 f (x) 在[0, 3 1) 上单调递减；
④函数 f (x) 在 ( 3 1, ) 上单调递减．
体 ABCD 的表面积为
A．18( 13 3)
B．18( 39 3)
C． 9( 39 3)
D． 9( 13 3)
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量 m (3, 2) ， n (,1) ，其中 R ．若向量 m 与 2m 3n 共线，则 ____________．
D． m2 n2
9．在
△ABC
中，已知
ACB
பைடு நூலகம்
60
，
BM
MC
，
|
AM
|
3
，则
△ABC
的面积的最大值为
A． 9 3 4
B． 9 3 2
C． 3
D． 2 3
10．已知函数 f (x) 3 sin 3x cos 3x m, x [0, ] 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围为
A． (1,1)
相互垂直的条件为
A． A1CA 45
B． ABC 45
C．四边形 ABB1 A1 为正方形
D．四边形 BCC1B1 为正方形
8．已知非零实数 m ， n 满足 m2 | m | n2 | n | ，则下列结论错误的是
A． ln | m | ln | n |
B．
|
1 m
|
|
1 n
|
C． | m | sin | m || n | sin | n |
x 2y 4 0
14．已知实数
x
，
y
满足
y
2
，则 z 3x y 的最大值为____________．
x y 0
15．已知函数 f (x) 的定义域为 [9,9] ，其图象关于原点对称，且当 x (0,9] 时 f (x) 3x 2x 13，则不等式
f (x) 0 的解集为____________（用区间表示）．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分） 为了调查抑郁症患者的发病情况与睡眠时间是否具有相关性，研究人员随机调查了 200 名抑郁症患者，
统计了他们近 250 天每天的睡眠时间．
（1）某抑郁症患者近 250 天每天的睡眠时间的统计数据如下表所示，求该抑郁症患者这 250 天的日平