河南城建学院2013-2014线性代数试卷A

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河南城建学院—第一学期期末考试(A卷)

3.当x 0时，无穷小量sin x(1 cos x)是x2的( A ) (A)高阶无穷小； (B)低阶无穷小；
(C)同阶但不等价无穷小； (D)等价无穷小.
4.下列等式中正确的是( C )
( A) ln x dx d( 1 ); x
(C ) 2 xe x2 dx d (e x2 );
3.d f ( x)dx f ( x)dx .
4.设f
(
x
)是
-1,1
上的连续的偶函数，则 -
1
xf
(
x)dx
2
.
5.函数y 2x3 -3x2在区间[-1,1]上的最大值是０ .
6.已知函数f ( x)的一个原函数是ex cosx,则f ( x) ex cos x.
7.一阶线性微分方程 y+P(x)y Q(x)的通解是
1 2
x2,1
x
, 计算 2
2 0
f ( x)dx.
解：
2
1
2
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0
0
1
1
(x 1)dx
2 1 x2dx
0
12
(1 2
x2
x)
1 0
(1 6
x3 )
2 1
16 . 6
四、求下列不定积分(每小题7分,共１４分)
1.
sinxcosx
1
sin4
[( 2x 1) 2 ( 2x 1) 2]dx
4 2xdx
o
1
1
V 2 4 2 xdx 4 2 2 xdx
0
0
-1
8
2
3
3
x2

(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案

得分五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:Ë¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且

1024111-2 0512131线性代数A

☆☆密封线内不要答题☆☆姓名学号班级河南城建学院2013—2014学年第一学期期末考试《线性代数》试题（A 卷）本套试卷共 3 页一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共15分）1.三阶行列式11002,121D c = ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则 1112132A A A ++的值为（）（A ）0；（B ）D ；（C ）D -；（D ）与c 的取值有关. 2. 设n 阶方阵A 不可逆，则下列说法正确的是（）（A ）0A =； (B)线性方程组0AX =只有零解；（C ）0A =； (D) A 的秩为1n -. 3. 设A 是n 阶可逆矩阵，A *是A 的伴随矩阵,则（）（A ） *=A A ；（B ） *=n A A ；（C ） 1*-=n A A ；（D ） *1-=A A . 4.设A ，B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有（）（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 5.如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（） (A) 00A E λ-≠ (B)00A E λ-≠ (C)00A E λ-= (D) 00A E λ-= 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设矩阵1124A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则*A = . 2. 设n 阶方阵A 满足2230A A E -+=，则1A -= . 3.设6阶方阵A 的秩为4，则其伴随矩阵A *的秩为 .4. 设123123123123(,,), (,24,39)A B αααααααααααα==++++++，如果1A =，那么B = .5.设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一特征值是 .三、计算题（共6小题，共62分）1.问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？（10分）☆☆密封线内不要答题 ☆ ☆ 姓名学号班级2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110011A ，A X AX +=2，求X .（10分） 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．（12分）4.求矩阵11231021112037311031--⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. （10分）☆ ☆密封线内不要答题 ☆ ☆ 姓名学号社班级5.设三元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2，已知它的3个解向量123,,ηηη满足： 1220,2ηη⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭1331,1ηη⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭求该方程组的通解．（10分）6.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=633312321A 的特征值和特征向量.（10分）四、证明题（8分）设112321233123,2322,355b a a a b a a a b a a a =++=-+=+-，证明向量组123,,b b b 线性相关.。

2014线性代数A卷答案

20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。

8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭；（1分）线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭；（1分）又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ），（2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分）证毕。

2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立，（2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分）故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。

同济大学线性代数B第二学期期末考试试卷A卷2013-2014

x1 x3 = 四、（12 分）问为何值时, 线性方程组 4 x1 x2 2 x3 = +2 有解，并求出解的一般形式. 6 x x 4 x =2 +3 3 1 2
2013-2014 学年第二学期《线性代数 B》期终考试试卷(A 卷)
六、（12 分）设 V 为所有二阶对称方阵按照通常矩阵的加法和数乘运算构成的线性空间，在 V 上定义如下变换：对任意 A V , T ( A) (1) 证明： T 是 V 上的一个线性变换； (2）求变换 T 在基 A1
a b 1、行列式 b 1
b a b 2
T
b b a 3
b b 的第四行元素的代数余子式之和 A41 A42 A43 A44 b 4
T T
.
0 1 0 1 1 X AX B ，求 X . 二、（10 分）解矩阵方程: 设 A 1 1 1 ， B 2 0 1 0 1 5 3
1
.
审核教师签名：课名：线性代数Ｂ
)、期终考试(√)、重考( )试卷
.
考试考查：考试
年级题号得分
专业一
二
学号三

四
姓名五
六
任课教师七总分
.
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 120 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）
一、填空与单项选择题（每小题 4 分，共 32 分）
五、（12 分）求一个正交变换 x Py, 把二次型 f 4x2 3x3 4x1 x2 4x1 x3 +8x2 x3 化为标准
2 2
形，并写出标准形．

参考答案A卷

1 3 1 3
12 01, 02 11,
(1) A1 [1,1, 0]T 0 3 1 2 11,
1 1 0 故 M 1 0 1.
0 1 1
(3)
解法 1
(1 ) (2 )
A1 A2
[2, 2, 2]T , [0, 2, 0]T
(3) A3 [2, 0, 0]T ,
1
b
4
0 0 0 0
0
通解为
[x1 , x2 , x3 , xT4 ]
b[ 2
,34b 4
,b1 T ,0k] [ 1 ,T 2 , 0k, 1.] , 4
P
3
1 1 1
五、解 (1) 由基(I)到(II)的过渡矩阵为 S 1
1
1
;
1 1 1
(2)
( (
3 2
) )
A 3 A 2
[0,1,1]T [1, 0,1]T
a 1b ,
或
1,
1 b a
解得 1, a b .
故 0 1 0.
a 又1 A 4
1 a
1 a 3 2 a 2, 0 a
故 a b 3.
1
四、（12 分）解对其增广矩阵施行初等行变换，得
1 1 5 1 1 1 1
5 1 1
A 1 1 1 3 2 a 2
3 3 0 2
A 0 1 3 2 1 0 1 3 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
对增广矩阵初等行变换，得
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
x1 2x3 x2 3x 3
2, 1,
x4 0.
通解为
x1 2 2

2013-2014-1线性代数(本科)A卷答案

武汉科技大学2013-2014-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1. 设A 是n 阶可逆方阵,则T B A A =-是( D ).A.正交矩阵；B.对称矩阵；C.可逆矩阵；D.反对称矩阵. 2. 向量组12,,,m ααα线性无关，则下列结论不正确的是（ B ）.A. 12,,,m ααα的秩为m ；B. 12,,,m ααα的极大无关组不唯一C. 12,,,m ααα中任意两个向量的分量不对应成比例；D. 12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余1m -个向量线性表示.3. 行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a a a a a a aa a a ---------的值为（ A ）.A ．12; B. 11; C. 13; D. 14.4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ A ）．A ．122331,,a a a a a a +++；B ．213213,,a a a a a a ---；C ．21321312,,2a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---.5. 下列不是方阵A 可逆的充要条件的是（ C ）A. A 的行向量组线性无关；B. A 的列向量组线性无关;C. 零为A 的特征值;D. 非齐次线性方程组Ax b =有唯一解.6．非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则( A ).A.r m =时，方程组Ax b =有解；B. r n =时，方程组Ax b =有唯一解；C.m n =时，方程组Ax b =有唯一解；D. r n <时，方程组Ax b =有无穷多解.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.A 为3阶方阵，且1A =-,则1*(2)A A --=____278____;8. 若121210021A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -= 101212423⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;9. 01010000A x ⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，当 1± 时，矩阵A 为正交矩阵;10. 向量组123(2,4,2),(1,2,1),(3,5,2)ααα==---=的秩为 2 ;11. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关，记 ()2,,P x Ax A x =，若有AP PB =，则B =000103011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭;12. 已知20132013001335100010242010100111001A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，00020002B λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 相似于B ，则λ= 6.三、解答题（本大题共4个小题，第13、14、15题，每小题10分，第16题12分，共42分）13. 计算行列式1122100000000011111n n n a a a a D a a +--=-。

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

河南城建学院-12级高等数学下册中考试卷答案

☆☆密封线内不要答题 ☆ ☆8分，共24分） 212f y f x xz '+'=∂∂ 22212222f xy f f x y x u ''+'++''=∂∂∂ )()(13216++-=z y z x dx dy z 得：22450x y +=，求导得：45.dy x dx y=-.)(πρρθσρπ193920992222-==⎰⎰⎰⎰-≤+--e d e d d ey y x原式＝.5131221=⎰⎰xx ydy x dx 7分，共28分）),,(),,(),.(5415211042=x.5104412-=-=-z y x ; 06854=-++Zy x⎩⎨⎧===-=04012y z x z y x 得驻点),(021边界上，x y -=1 25312222+-=--+=x x x x x z )(☆☆密封线内不要答题☆☆在驻点),(021处162=-BAC>0且A>0所以，极小值4121-=),(z令056=-=xdxdx，得65=x，622=dxxd>0,此时函数达到边界上的极小值1216165-=),(z故：函数的最小值是4121-=),(z解法二：配方得：2211224()z x y=-+-，易知它的图形是开口向上的椭圆抛物面，顶点为1124(,,)-，且12(,)在已知区域内，所以，1124min(,).z z==-在3.解：σdyxyxVyx)(22222224+---=⎰⎰≤+.)()(32484222-=--=⎰⎰πρρρρθπdd解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππϕϕθ2422drrdddVV sin.)(3248-=π六、证明题（6分）证明：（直接法）两边分别对yx,求偏导得：xzxzzyx∂∂-=∂∂--+3131322))(cos(yzyzzyx∂∂-=∂∂--+3232322))(cos(联立解得：3231=∂∂=∂∂yzxz,，故：.1=∂∂+∂∂yzxz证明：（公式法）令zyxzyxzyxF32322+---+=)sin(),,(左＝zyzxFFFF--13326232433261322=+-+---+-+-+---+-)cos()cos()cos()cos(zyxzyxzyxzyx＝右证明：（全微分形式不变法）两边求全微分得))(cos(dzdydxzyx32322-+-+dzdydx32-+=dydxdz3231+=∴3231=∂∂=∂∂∴yzxz,故：.1=∂∂+∂∂yzxz证明：（显化法）由已知易知23x y z m+-=（常数）12333mz x y∴=+-3231=∂∂=∂∂∴yzxz,故：.1=∂∂+∂∂yzxz。

2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

河南城建学院-----期末考试A线代

线内不要答题☆河南城建学院2014—2015学年第一学期期末考试《线性代数》试题（A卷）本套试卷共 3 页一填空题(每题3分，共15分)1．设637471113A=-,则A中元素23a的代数余子式等于___；2.排列7682314的逆序数为；3.设矩阵()(),ij ijm n p qA aB b⨯⨯==, 则AB有意义的条件是；4.设1212,,1034B C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且有ABC E=,则1_______A-=;5.设,A B为6阶方阵, 1,2A B==-，求12T A B-=；二选择题(每题3分，共15分)1.已知111222333a b ca b c ma b c=≠，则111122223333232323a b c ca b c ca b c c++=+（）。

A. 2m;B.3m;C.6m;D.12m2.向量组12,,sαααL线性相关且秩为r，则（）。

A. r s=B. r s<C.r s>D.s r≤3.,A B均为n阶矩阵，下列命题正确的是（）A.()2222A B A AB B+=++； B.()()22A B A B A B+-=-;C. ()()2A E A E A E-=+-; D.()333AB A B=4.矩阵2301031542071054A-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭的秩()R A为( )。

A. 1B. 2C. 3D. 05.若BA,为)2(≥nn阶方阵,则下列各式正确的是( ).A.BABA+=+ B.TTT BAAB=)(C.BAAB= D.BAAB=三计算题(共50分)1. 计算矩阵方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1131122141X☆☆密封线内不要答题☆☆2求行列式xaaaxaaaxDnΛΛΛΛΛΛΛ=．3设线性方程组为123412341234123430235132713x x x xx x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪-+-=⎩ｃ问c,b各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解?有解时写出方程组的通解。

2013-2014(1)线性代数课程试卷A卷答案

2013--2014第一学期线性代数课程试卷（期末）（A 卷）参考答案与评分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设n 阶方阵B A ,等价，则（ C ）（A ） B A = （B ）B A ≠ （C ）0≠A 则必有0≠B （D ） B A -= 2.对矩阵54⨯A ，以下结论正确的是（ B ）（A ）A 的秩至少是4 （B ）A 的列向量组线性相关（C ）A 的列向量组线性无关（D ）A 中存在4阶非零子式 3．A 是n m ⨯矩阵，R(A)= m<n, 则下列正确的是( D )（A ）A 的任意m 个列向量线性无关（B ）A 的任意一个m 阶子式必不为零（C ）A 经过初等行变换必可化为)0,(m E 的形式（D ）齐次线性方程组AX=0有无穷解4.设二次型323121232221321222444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则( C )（A ）f 的秩为1 （B ）f 的秩为2 （C ）f 为正定二次型（D ）f 为负定二次型 5. 若三阶方阵A 的三个特征值为1，2，-3,属于特征值1的特征向量为T )1,1,1(1=β,属于特征值2的特征向量为T )0,1,1(2-=β，则向量T )1,0,2(21--=--=βββ（ D ）（A ）是A 的属于特征值1的特征向量（B ）是A 的属于特征值2的特征向量（C ）是A 的属于特征值-3的特征向量（D ）不是A 的特征向量二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为__负____。

7. 设A 是3×3矩阵，2-=A ，把A 按列分块为],,[321ααα=A ，其中 j α)3,2,1(=j 是A 的第j 列，则________6___,3,21213=-αααα。

8.X 和Y 是nR 中的任意两个非零向量，记TY X A =，则矩阵A 的秩是___1___.9. 若n 元线性方程组有唯一解，且其系数矩阵的秩为r ，则r 与n 的关系必为__r =n___.10. 设向量空间{}R x x x x x W T∈=21121,)3,2,(，则W 的维数等于__2__ _。

2013-2014第一学期高等数学试卷A及答案

郑州轻工业学院2013-2014学年第一学期高等数学A 试卷A试卷号：A20140100（1）一、单项选择题(每题3分，共15分)1．xx e 10lim →=（ D ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）-∞ （D ）不存在 2．当0x →时，下列与x 不等价的无穷小是（ C ）（A ）tan x ；（B ）sin 1xe-；（C1；（D3．已知),)()()(()(d x c x b x a x x f ----=且))()(()(0d a c a b a x f ---='，则（Ａ）．（A ） a x =0；（B ） b x =0；（C ）c x =0；（D ） d x =0。

4．下列命题中，正确的是（Ｂ）A 若函数()y f x =在点0x 没有定义，则)(lim 0x f x x →一定不存在；B 若函数()y f x =在点0x 可导，则它在点0x 必然连续；C 即使函数()y f x =在点0x 可导，它在点0x 不一定可微；D 若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在点0x 一定连续5．若⎰⎰'=',)()(dx x g dx x f 则必有Ｃ。

（A ）)()(x g x f = （B ）dx x g dx x f )()(⎰⎰=（C ）c x g x f +=)()( （D ）0)()(=-x g x f二、填空题(每题3分，共15分)1．设点(1,2)为曲线23bx ax y +=的拐点，则数组=),(b a （－１,３）． 2．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f ξ'=()()f b f a b a-- .3. 极限203050(21)(32)lim (35)x x x x →∞+-=+ 202()3.4．设,a x y x a dy =+=则 1(ln )a x ax a a dx -+5．⎰=-+dx x x x)cos 156(2565tan ln 5x x x c +-+ 三、计算题 (每题6分，共36分) 1．已知函数)1)(1()(2--=x x x f ，求函数的单调区间解：()(1)(31)f x x x '=-+令()0f x '= 得1x =或13x =- 3分当1(,)3x ∈-∞-时 0y '> ，()y f x =单增当1(,1)3x ∈-时 0y '< ，()y f x =单减当(1,)x ∈+∞时 0y '> ，()y f x =单增 6分 2．求极限：x x x x 2)1212(lim +-∞→解：21222221212lim()lim(1)2121x x x x x x x x x +-⋅⋅-+→∞→∞--=+++ 4分 2e -= 6分3．验证e sin x y x =满足关系式''2'20y y y -+=解：'e sin e cos ,x x y x x =+， 2分 ''e sin 2e cos e sin 2e cos x x x x y x x x x =+-= 4分代入等式左边''2'22e cos 2(e sin e cos )2e sin 0xxxxy y y x x x x =-+=-++==右边。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

2013级线性代数期末考试题(A卷)答案

2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中（本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。

解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。

（本题14分）解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。

全国2014年10月自考线性代数(经管类)试题和答案

】
a13 a 23 =2 ，若元素 aij 的代数余子公式为 Aij （ i,j=1,2,3) ，则 1
A31 A32 A33 【
A. 1 B.0 C.1 D.2 正确答案：D（2 分）
2.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 3 行乘以则 A =【 A. 2 B. C. 】
A 表示方阵 A 的行列式， r A 表示矩阵 A 的秩。
一.单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
a11 1.设 3 阶行列式 a 21 1
a12 a 22 1
正确答案：解：
a3 2 a a 1
a2 a 1 0
a 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 a 2 a 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 1 a
0 1 a a2
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ......2 分 1 0 0 1 0 0 a 1 1 0 0 0
1 得到单位矩阵 E ， 2
1 2
1 2
D.2 正确答案：A（2 分） 3.设向量组 1 , 2 , 3 的秩为 2，则 1 , 2 , 3 中【 A.必有一个零向量 B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出正确答案：C（2 分）】
正确答案：B（2 分）
2 2 2 5.二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 4x1 x2 的正惯性指数为【
】
A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案：C（2 分）二.填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设 f ( x)

2013-2014-2-线性代数A卷答案及评分标准(1份)

k11 k2 2 , km ，使 kii
, m 是线性无关的向量组.
km m .……………………………（3 分）
, m) 左乘上式两端，得
不妨设向量为列向量，则以 iT (i 1, 2,
.0 ………………………（5 分） ki T , ) i i k ( i i i 因 i ，故 (i , i ) 0 ，从而必有 ki 0 (i 1, 2, 于是， 1 , 2 ,
…...................………………（4 分）
…………………………（5 分） ………………………...…（6 分） ………………...…………（8 分）.
1 , 2 是一个最大无关组；
（2）3 1 2 , 4 1 2
2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组 , , 证：设有 k1 , k2 ,
1 1 1 x
.
1
1 1 x 1 1 0 x 0 1 1 1
解: D
1 1 1 x 0 0 0
=x
1 x 1
……………（2 分）
0 x x
= x x 0 x ………………………… …（5 分）
=x
0 0 x
= x( x)
0 x x 0
= x 4 ………………………............………………（8 分）
A卷
2013—2014 学年第二学期《线性代数》期末试卷
答案及评分标准
专业班级 _____________________ 姓学名 _____________________ 号 _____________________ 应用数学系 2014 年 6 月 8 日

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姓名
☆
学号
☆
班级
密
封
线
内
不
要
答
题 ☆ ☆
2013—2014学年第一学期期末考试
《线性代数》试题（A卷）
2013年12月
题号一
二
三
四
五
总
分
得分
阅卷人
本套试卷共3 页
一．选择题（每小题3分，共15分）
1、设是3阶方阵，等于
（
）
（A）（B）（C）（D）
2、已知3阶方阵，其中为的列向量组，若行列式，则行列式
大无关组线性表示。
四．解答题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1．已知为阶方阵，且满足，请说明及均为可逆矩阵，并求解它们
的逆矩阵。
2. 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知是它的4个解向量，且，求该方程组的通解。
五、证明题（本题10分）
已知线性无关，证明（1）必能由线性表示，且表示式唯一（2）不能由线性表示。
（
）
（A）2；（B）-2；（C）4；
3、下列说法错误的为
（
）
（A）若、均为阶方阵，且，则或。
（B）若，且，则。
（C）若，则或。
（D）若、均为阶方阵，则。
（D）-4；
4.下列选项中，两向量组是等价关系的为
（
）
（A）（B）
（C）
（D）
5. 设为阶方阵，，则
（
）
（A）的列向量组中任一列均可由其他列线性表示
（B）中阶子式均不为零；
（C）方程组仅零解；
（D）.
二．填空题（每小题3分，共15分）
1．五阶行列式中，前符号为负，则
.
2. 设，则，则
.
3. 设，则
.
4．已知：,则
.
5.设线性相关，则
.
三．计算题（本题共4小题，每题10分，共40分）
1．行列式，计算
2. 设，求
3.求线性方程组的通解.
4．求下列矩阵的列向量组的一个最