现代控制理论

一个状态空间描述为：
b0 0 m n
y(n) a1 y(n1) an1 y an y b0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
x1 0
x2
0
x3
0
x n 1 xn
0 an
1 0 0 0 an1
0 1 0 0 an2
0 0 0 0 a2
《现代控制理论》知识点总结
第1章—第6章
第1章：线性系统的状态空间描述
state variable state vector state space state space description：state equation and output equation MIMO (multiple-input multiple-output) linear time-varying (LTV) system linear time-invariant (LTI) system（A： system matrix or coefficient matrix；B：input matrix； C：output matrix；D：forward matrix Transfer function matrix Eigenvalue、Eigenvector controllable 、 diagonal 、 Jordan canonical form State transformation
x1 0
1
x2
0
0
x n 1
0
0
0 0 x1 0
1
0
x
2
0
u (1.58)
0
1
xn1
0
xn
an
an1
an2
x1
a1
x n
1
x
2
y bn
bn1
b2
b1
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n1
(1.60)
xn
(1.58) and (1.60)给出的状态空间描述, 称为能控规范型/能控标
准型(controllable canonical form)
•直接分解法(Direct Decomposition)
G(s) Y (s) 结论2：m n
U (s)
(1.61)
b0
(b1
b0 a1 ) s n1
(b2
b0a2 )sn2 (bn1 b0an1)s sn a1sn1 an1s an
r1, ,n are the other distinct characteristic roots of D(s).
x1 1 1 0 0
G(s)
Y (s) U (s)
b0 s m
b1s m1 b2 s m2 bm1s s n a1s n1 an1s an
bm
(1.50)
定义：当 m n 时，系统(1.50)是真有理系统(proper rational
system) ； 当 m<n 时 , 系 统 (1.50) 是 严 真 系 统 (strictly proper
system)
•直接分解法(Direct Decomposition)
结论1：
mn
G(s)
Y (s) U (s)
b1s n1 b2 s n2 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
(1.51)
State space description of 严真系统(strictly proper system) ：
第1章：线性系统的状态空间描述
由输入-输出描述
状态空间描述
选取适当 状态变量
确定参数 ABC D
x Ax Bu y Cx Du
2020/7/6
▪ 由微分方程
（m=0,m<=n两个结论）
▪由传递函数G(s)
[直接分解(m<n,m<=n)]
[并行分解(D(s)有重根;无 重根)]
▪方块图法（等价系统）
0 x1 1
0
x2
2
0
x3
3
u
1
xn1
n1
a1 xn n
x1
x2
y 1
0
0
0
0
x3
0 u
xn1
xn
0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20 n1 bn1 a1n2 a2n3 an21 an10 n bn a1n1 a2n2 an22 an11 an0
实现问题
3
由微分方程描述导出状态空间描述(Obtaining State
Space Description from Differential Equation)
结论1 m=0时，设微分方程描述为如下形式，
y(n) a1y(n1) an1y an y b0u
则其对应的一个状态空间描述为：
由 传 递 函 数 导 出 状 态 空 间 描 述 （ Obtaining State Space Description from Transfer Function）
• 直接分解法(Direct Decomposition) • 并行分解法(Parallel Decomposition)
•研究对象是SISO的常系数系统，且它的传递函数为：
x1 0
1
x2
0
0
x n 1
0
0
0 0 x1 0
1
0
x2
0
u
0
1
xn1
0
xn an an1 an2 a1 xn b0
x1
x2
y 1
0
0
0
x3
xn
结论2 m n 时，设微分方程描述为如下形式，则对应的
(bn
b0an
)
Then, the state space description of proper rational system
（真有理系统）can be represented as:
X AX bu
y
cX
du
0 1
0 0
0
0
1
0
Where
A
0
0
0
1
an an1 an2 a1
0 0 b 0 1
(1.69)
c bn b0an bn1 b0an1 b2 b0a2 b1 b0a1 d b0
Method 2: Parallel Decomposition（并行分解）
结论1:（约当规范型）1 is the characteristic root of multiplicity r,