一元函数微分学习题

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高等数学习题

高等数学复习题一、一元函数微积分概要（一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln(2) y =)12arcsin(312-+-xx .2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域.3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，（7）215lim +-+∞→x x x（8）11lim 21-+→x x x .（9）lim（10）3cos cos limxx - ．（11）xx x)11(lim 2-∞→.（12）30tan sin limx x xx→-． 5.求下列极限（1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→（4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） cos lim x x xx→+∞+6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ，（2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在.7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x x x f0>≤x x ，在点0=x 处的连续性．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导.（2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy5.已知arctan xy=求y ''.6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d7.设xx x f e )(=，求)('x f .8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.9.x x y e 4+=, 求y )4(.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，，求 22d d x y .11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率.12. 求函数xx y tan ln e =的微分.13.试证当1≠x 时，x xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值.15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点.18.求下列曲线的渐近线（1）x x y ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？(2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1,（10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2) ⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4) ⎰x x x d 4sin e 5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .6.计算（1） x xxd e )1(2⎰+ ，（2） 3s e cd x x ⎰．7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？10.已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 ，求 )(x F '．11. 求极限xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .14.计算（1）⎰+-4d 11x xx，（2）⎰4π4d tan sec x x x ．15. 计算下列定积分：（1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcose 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.16.计算（1）⎰1d arctan x x ，（2）x x x d ln 2e e1⎰．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 .(1)⎰∞++022d )1(x x x, (2) ⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d xx ．18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.19.求下列曲线所围成的图形的面积：抛物线 22xy =与直线42=-y x .20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.二、微分方程1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解.2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y .3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=.4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y .10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y .11. 求微分方程 x x y y e 4=-''满足初始条件00==x y ，10='=x y 的特解.12.求微分方程 x y y y x 2sin e 842=+'-''的通解.13.已知某曲线经过点)1,1(，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.三、向量与空间解析几何1. 求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.2. 下列向量哪个是单位向量？（1）k j i r ++=，（2）{}1,0,121-=a ，（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31b .3. 求起点为)1,2,1(A ，终点为)1,18,19(--B 的向量的坐标表达式及||AB .4. 设向量=4i -4j +7k 的终点B 的坐标为(2,-1,7).求 (1)始点A 的坐标；(2)向量AB 的模；(3)向量AB 的方向余弦；(4)与向量AB 方向一致的单位向量.5. 已知向量a 与向量b =k j i 863++及x 轴垂直，且2=a ，求出向量a .6.求平行于y 轴，且过点)1,5,1(-A 与)3,2,3(-B 的平面方程.7. 求点)15,10,5(1M 到点)45,35,25(2M 之间的距离.8. 求λ使向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行.9. 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式.10. 求与向量a ={1，5，6}平行，模为10的向量b 的坐标表达式.11. 求点)1,2,1(M 的向径与坐标轴之间的夹角.12. 求同时垂直于向量{}8,6,3-=a 和y 轴的单位向量.13. 求与k j i a ++=平行且满足1=⋅x a 的向量x .14. {}0,0,1=a ，{}0,1,0=b ，)1,0,0(=c ，求b a ⋅，c a ⋅，c b ⋅，及a a ⨯，b a ⨯，c a ⨯，c b ⨯.15. }}{{1,2,2,21,1==b a ,，求b a ⋅及b a ⨯.16. 证明向量}{1,0,1=a 与向量}{1,1,1-=b 垂直.17. 写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程.18. 求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程.19. 写出过点()1,1,10M 且以{}2,3,4=a 为方向向量的直线方程.20. 求过两点()()2,1,2,1,2,1B A 的直线方程.21. 求过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线L 的方程.22. 求直线⎩⎨⎧=+-=++032,1z y x z y x 的点向式方程.23. 求直线23121z y x =-=-与平面0=+-z y x 的夹角.24. 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与xOy 平面成3π角的平面的方程.23. 求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02,032z y x z y x 的平面方程.24. 求通过点)3,1,2(0-P 且与直线22011-==--z y x 垂直相交的直线方程.25.求过点)1,2,1(0-M 且与两平面1π：12=-+z y x 和2π：12=-+z y x 平行的直线方程.26. 指出下列方程所表示的几何图形的名称，并画草图.（1）⎩⎨⎧=+=-,02,05z x （2）254322=+y x , （3）z y x 422=+, （4）022=-x z .27. 分别求曲线⎩⎨⎧=+=1,22z y x z 在xOy 面及yOz 面的投影.28. 求2y z =绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程？29. 曲线⎩⎨⎧==0,52y x z 绕x 轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？30. 画出曲面221y x z --=与22y x z +=所围空间图形.四、多元函数的微分学1.表达式()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→→→y x f y x f y y x x y y x x ,lim lim ,lim 0000成立吗？2. 已知()y x y x f 23,+=，求)],(,[y x f xy f .3. 求x xy y x sin lim20→→.4. 求函数)1ln(42222-+--=y x y x z 的定义域, 并画出定义域的图形.5.83),(y x y x f =，求)0,1(x f ，)1,1(y f .6.xy u x sin e =, 求)0,1()1,0(,y u x u ∂∂∂∂.7.y x z =，求x z ∂∂，y z ∂∂.8.xy z ln =，求x z ∂∂，yz ∂∂.9.yx z e 8=，求x z ∂∂，22x z ∂∂，y z ∂∂.10.z = )32sin(y x +，求x z ，y z ，xx z ，yy z ，xy z .11.若xy x z )1(+=，求x z ∂∂，y z ∂∂.12.若yx y x y x f sin ln )1(),(-+=，求)1,(x f x .13.z xy e xy cos =，求yz x z ∂∂∂∂,.14. ()232z y x u ++=，求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,.15.设y xy z ln =，试用两种方法求z d .16.设,x y z =当2.0,1.0,1,2-=∆=∆==y x y x , 求z ∆及dz .17.43e y x xy z xy +=，求z d .18.设)2(ln 22y x y x z -=，求 xz ∂∂ ，y z ∂∂.19.设)sin ,(2xy x y f x z =，求x z ∂∂ ，y z ∂∂.20.已知)ln(e),(23sin xy x y x f x y +⋅=，求 )0,1(x f .21.求()2432ln zy x u ++=的全微分.22.利用全微分求()99.201.1的近似值.23.若()z y x f z -+=，求y z x z ∂∂∂∂,.24.设 0e 2e=+---z xy z ，求xz ∂∂ ，y z ∂∂.25.求曲面 xy z =的平行于平面093=+++z y x 的切平面方程.26.求空间曲线()21,,32≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x 在点()1,1,1处的切线方程与法平面方程.27.设21y x z --=，（1）求221y x z --=的极值, （2）求221y x z --=在条件2=y 下的极值.28.求()()22sin 21,y x y x f +-=的极值.29.求函数)2(e),(22y x y x f y x -=-的极值.30. 某工厂要用钢板制作一个容积为1003m 的有盖长方体容器，若不计钢板的原度，怎样制作材料最省？五、多元函数积分学1.计算()σd 100⎰⎰++D y x , 其中(){}11,10,≤≤-≤≤=y x y x D .2. 计算⎰⎰+D y x σd e 6，其中D 由xOy 面上的直线2,1==y y 及2,1=-=x x 所围成.3.计算()σd 100ln 22⎰⎰++Dy x ，其中(){}1,22≤+=y x y x D .4.计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.5. 计算σ++⎰⎰d )1(D y x ，其中D ：1≤+y x .6.已知 I =x y x f y y d ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.7.计算σd 2⎰⎰D y ，其中D 是由圆周122=+y x 与222π4=+y x 所围成的平面区域.8.计算⎰⎰σD x y d arctan ，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.9.求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.10.画出二次积分()x y x f y y y d ,d 22424220⎰⎰-+--的积分区域D 并交换积分次序.11.利用二重积分求下列几何体的体积：（1）平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的几何体.（2）平面z = 0及抛物面z y x -=+622所围成的几何体.六、无穷级数1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=-+1)1(n n n , （2）∑∞=131n n,（3）∑∞=1!n n n n ,（4）)1(1)1(11+-∑∞=-n n n n .2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin n n θθθθ对任何θ都收敛.3. 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛 (1)∑∞=-2ln )1(n n n ，(2)∑∞=+-11)1(n n na )0(>a ．第21页 4. 将循环小数83.0 化为分数.5. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性.6.求下列幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!n n x n , （2）∑∞=1)!2(n nn x .7.求下列幂级数的收敛域 (1) n n x n )3(11∑∞= ， (2)∑∞=+0)21(n n x ， (3) ∑∞=-02)!2()1(n n n n x ．8. 求幂级数∑∞=+-0)1()1(n n n x n 的和函数.9. 将x x f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域.10. 以函数xx f -=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域. （1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +, （4）x arctan , （5）x cot cos .。

高等数学：一元函数微分学习题含答案

第二章一元函数微分学一、选择题1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（）.A．)()(h o h x f +'B．)()(h o h x f +'C．)()(h o h x f +'-D．)()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ，则)(0x f '等于（）.A．0B．1-C．1D．2-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（）.A．00)()(limx x x f x f x x --→存在B．00)()(limx x x f x f x x --→不存在C．00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D．00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→xtx f x )(lim 0（）.A.)(t f B.)0(f 'C．)0(f t 'D．不存在5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（）.A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．函数x x f =)(在0=x 处（）.A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续D．不连续也不可导7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→等于（）.A．)(x f 'B．)0(f 'C．)0(f D．)0(21f '8．设21)1(+=+x x f ，则)(x f '等于（）.A．2)1(1--x B．2)1(1+-x C．11+x D．11--x9．设x x f sin )(=，则0=x 处（）.A．1)0(,1)0(='='-+f f B．1)0(,1)0(-='='-+f f C．1)0(,1)0(-='-='-+f f D．1)0(,1)0(='-='-+f f 10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处（）.A．左右导数均存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左右导数均不存在11．设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，周期为2，又12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为（）.A．21B．1C．2-D．212．设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处满足（）.A．0)0(='f B．1)0(='f C．3)0(='f D．)0(f '不存在13．已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ，且)2(ϕ'存在，则常数b a ,的值为（）.A．1,2==b a B．5,1=-=b a C．5,4-==b a D．3,3-==b a 14．函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导，且有1)0(='f ，此外，对任何的实数x ，y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，那么=')(x f （）.A．xe B．xC．12+x D．1+x 15．设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2，则[]='))((x g f （）.A．x xe e 2212+B．x xe e 221+C．xxe e 2212-D．xxe e 221-16．设2)(-=x xf ，则)2(f '满足（）.A．值为2-B．值为2C．值为1D．不存在17．设)(x f y =的导数2)0(='f ，则=-→xx f f x 2)()0(lim 0（）.A．1B．2-C．1-D．218．设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ，要使)0(f '存在，则b a ,的值分别是（）.A．1,1==b a B．0,1==b a C．0,0==b a D．1,1-=-=b a 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是（）.A．连续且可导B．连续但不可导C．既不连续也不可导D．可导但不连续20．设2arcsin cosxy =，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y （）.A．21-B．21C．23-D．2321．函数xe y sin =，则y ''等于（）.A．xesin B．)sin (sin x ex-C．[]2sin cos x e xD．]sin )[(cos 2sin x x ex-22．函数x x x f )2()(+=的导数为（）.A．1)2(-+x x x B．1)2(-+x x C．)2ln()2(++x x x D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23．已知x x y ln =，则)12(y 等于（）.A．111x -B．111x C．11!10x D．11!10x -24．设xxe e y --=，则)2016(y等于（）.A．xxee -+B．xxee --C．xxee ---D．xx ee -+-25．已知函数)(x f 具有任何阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（）.A．[]1)(!+n x f n B．[]1)(+n x f n C．[]nx f 2)(D．[]nx f n 2)(!26．由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d （）.A．yy x -cos B．xy y -cos C．yx y cos -D．yx x -cos 27．由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d （）.A．()11++--y x e y x y B．()11-++-y x e y x y C．()11++-+y x e y x y D．()11-+-+y x e y x y 28．设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定，则=')0(y （）.A．12+πB．12+-πC．12-πD．12--π29．设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数，则==0d d t x y（）.A．21e B．e21-C．e1-D．e2-30．曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是（）.A．012=-+-y x B．012=-+y x C．012=+-y x D．012=-+y x 31．曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是（）.A．)1(22-=-x y B．)1(212--=-x y C．)1(22-=+x y D．)1(212--=+x y 32．曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是（）.A．332π+=x y B．332π+-=x y C．332π--=x y D．xy 32-=33．曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是（）.A．)222222-=-x y B．)2222-=x y C．)22(22--=x y D．y 22=34．设1212+=x y ，则当01.0,1=∆=x x 时，y d 与y ∆分别为（）.A．2,01.0d =∆=y y B．01.0,201.12d =∆-=y y C．21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D．1,01.0d =∆=y y 35．若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的（）.A．等价无穷小B．同阶但不等价的无穷小C．低阶无穷小D．高阶无穷大36．xx y 1=在e x =处取得（）.A．极大值B．最大值C．极小值D．最小值37．下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是（）.A．xx sin ln ln +B．xln 1C．)2ln(+x D．)2ln(2x -38．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则下列命题正确的是（）.A．)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B．)(x f 必在区间内部取得最小值C．)(x f 必在区间端点处取得最大值D．若)(x f 在[]b a ,内有极值，则此值必为最值39．设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处)(x f （）.A．可导且1)(-='a f B．)(a f 是)(x f 的极小值C．不可导D．)(a f 是)(x f 的极大值40．设函数c bx ax x x f +++=23)(，且0)0()0(='=f f ，则下列结论不正确的是（）.A．0==c b B．当0>a 时，)0(f 为极小值C．当0<a 时，)0(f 为极大值D．当0≠a 时，())0(,0f 为拐点41．函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是（）.A．0B．1-C．80D．5-42．若当0→x 时，)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小，则（）.A．1,1==b a B．1,21==b a C．1,21=-=b a D．1,1-=-=b a 43．（数二）已知某产品的需求函数为510QP -=，则当30=Q 时的边际收益为（）.A．2-B．3-C．2D．344．（数二）若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(，其中0,0,0≥≥>c b a ，当产量=Q （）时，平均成本最低？A．a cB．ca C．ac D．ca 二、填空题45．设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______．46．设2)3(='f ，则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______．47．设xe xf 1)(=，则=--→h f h f h )2()2(lim_______．48．设2)(x x f =，则=--→2)2()(lim2x f x f x _______．49．))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，则=')0(f _______．50．设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ，则=')1(f _______．51．设1)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______．52．设215)()5(lim5-=--→x x f f x ，则=')5(f _______．53．设)(x f 在点0x 处可导，且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ，则=')(0x f _______．54．已知)(x f 在0=x 处可导，且0,6)0(≠='h f ，则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______．55．若1)1(2-=-x x f ，则=')(x f _______．56．曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______．57．已知x x y arctan )1(2+=，则=''y _______．58．已知)1ln(2x x y ++=，则=''y _______．59．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2，则='y _______．60．设)1sin(2+=x e y x，则=y d _______．61．求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______．62．设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有_______个实根．63．函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______．64．函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______．65．曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______．66．曲线35)2(-=x y 的拐点为_______．67．（数一）曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是．68．（数一）1)(22-=x x x f 有条渐近线．69．（数一）111)(-+=x e x f 有条渐近线．70．已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处有极值，=a ，=b ，=c .71．（数二）已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ，则当产量10=x 时，其边际成本是．72．（数二）已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当=Q 时边际收入为0．73．（数二）设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数，xx y 164++=（元），若产品以每件1000元的价格销量，当产量=x 时总利润最大．74．（数二）生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ，固定成本1000)0(=C ，求生产x 个产品的总成本函数.75．（数二）设边际收入函数为q q R 32)(+='，且0)0(=R ，则平均收入函数为__________.76．（数二）某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77．设)1ln(cos )(2x x f -=，求)(x f '．78．4312)(+-=xx x f ，求)(x f '．79．221cos 5ln x x y -+=，求y '及y d ．80．设x ey x3cos -=，求y '．81．设xy 1cosln =，求y '．82．设1133+-=x x y ，求y '．83．设2x xee y +=，求1.00 d =∆=x x y．84．设x x y +=，求y '．85．设)32(2+-=-x x ey x，求y '．86．设212arcsintty +=，求y '．87．设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ，且2arcsin )(x x f ='，求d d =x x y ．88．设134)1(2++=+x x x f ，)()(xe f x g -=，求)(x g '．89．求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ，在1=x 处可导．90．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导，求a 和b 的值．91．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ，求)0(-'f ，)0(+'f ，同时讨论)0(f '是否存在．92．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f '．93．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数．94．设)(x ϕ在a 点的某领域内连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．95．设)(x f ''连续，0)0(=f ，记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，证明)(x F '连续．96．设函数)(x f 处处可导，[]{})(x f f f y =，求x yd d ．97．设x x y ln 22+=，求y ''．98．设xx y +-=11，求)(n y ．99．设x x y ln =，求)(n y ．100．设)1ln(2x x y ++=，求y ''．101．[])(ln x f y =，求y ''102．)2(2x x f y +=，其中f 二阶可导，求y ''．103．设)(x f ''存在，)(x xe f y -=，求y ''．104．求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d ．105．求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数．106．已知222222b a y a x b =+，求y ''107．求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程．108．设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y '．109．用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数．110．用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数．111．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定，求3d d π=t x y ．112．设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定，求曲线在4π=t 处的切线方程．113．设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22，求22d d x y ．114．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定，22d d ,d d x yx y ．115．求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数．116．x xx x 20tan )1ln(lim -+→．117．x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ．118.xx x cos 1120)1(lim -→-．119．求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ．120．求()x x x ln 31102sin lim +→+．121．求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→．122.ax a x a x --→sin sin lim .123．xx x 5tan 3sin lim π→.124．22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125．)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126．xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127．x xx 3tan tan lim 2π→.128．xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130．x x x 2cot lim 0→.131．2120lim x xe x →.132．⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133．122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134．x x x sin 0lim +→.135．x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136．求7186223---=x x x y 的单调区间．137．求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间．138．求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值．139．求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值．140．求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值．141．设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值，求a 的值．142．求曲线)1ln(2+=x y 的拐点．143．设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定，求)(x f y =的极值．144．求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点．145．设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值，求b a ,的值．146．已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处取得极值，求b a ,c 的值．147．求函数12+=x x y 的极值．148．求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值．149．设曲线方程为462++=x x y ，求曲线在)4,2(--处的切线方程．150．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．151．求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程．152．求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程．153．确定c b a ,,的值，使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点，且在0=x 处有极大值为1，并求此函数的极小值．154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导，0>a 且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加．155．求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值．156．求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值．157．求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程．158．求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程．159．设甲船以km/h 6的速率向东行驶，乙船以8km/h 的速度向南行驶，在中午十二点整时，乙船位于甲船之北16km 处，问下午一点整时两船相离的速率为多少？160．已知曲线2x y =与3x y =的切线平行，求x 的取值．161．求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程．162．设甲、乙两船同时从一码头出发，甲船以km/h 30的速度向北行驶，乙船以km/h 40的速度向东行驶，求两船间的距离增加的速度．163．已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ，证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164．（数一）求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线．165．设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程．166．设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点，求a 和b 的值．167．设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0，求a 和b 的值．168．设函数)(x f 满足)()(x f x f ='，且1)0(=f ，求证:x e x f =)(．169．求函数xe y x+=1的单调区间和极值．170．设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=，求y d ．171．求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值．172．已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ，曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ，求21)(S S c S +=的最小值.173．求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174．用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框，试问：当矩形的长和宽各为多少时，围成的矩形面积最大？175．用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用材料最省.176．已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比，若每小时行驶10海里的耗油费为25元，其余费用每小时100元，求最经济的速度．177．欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝价是木板价的5倍，问怎样做才能使费用最少．178．窗子的上半部为半圆，下半部为矩形，如果窗子的周长L 固定，试问当圆的半径r 取何值时，能使窗子的面积最大．179．欲围一个面积为2m 150的矩形场地，所用材料的造价是正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长，宽各为多少米时，才能使所用材料费最少．180．设甲船位于乙船东75海里，以12海里每小时的速度向西行驶，而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？181．用a 万元购料，建造一个宽于深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍，求水池长与宽（深）各是多少，才能使容积最大.（地面单位面积材料费为1万元）.182．在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点，使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小，并求最小值.183．已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理，求相关的ξ值．184．（数二）设某工厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位商品成本增加5（百元），且已知需求函数P Q 2100-=（其中P 为价格，Q 为产量）.这种商品在市场上市场上畅销的．（1）试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式．（2）求出使该商品的总利润最大时的产量．185．（数二）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-='，其中Q (单位：吨)为产量.试求：（1）该产品的边际成本函数；（2）该产品的总收入函数；（3）Q 为多少时，该厂总利润L 最大？最大利润是多少？186．（数二）某工厂生产某产品时，每日总成本为C 元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加2元，该产品的需求函数为505Q p =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？最大利润是多少？187．（数二）某商品的需求函数为275)(p p f Q -==，（1）求5=p 时的边际需求；（2）当p 为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？31第二章一元函数微分学1.D 。

一元函数微分学练习题

第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时，且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点（B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导（D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（）（A ）极限不存在（B ）极限存在但不连续（C ）连续但不可导（D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有（）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围（）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为，垂直渐近线方程为，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。

一元微积分高难度习题

第一章、极限与连续 1．求21)]1x x x -→+∞+-。

2。

求n (0≥x )。

3．设3214lim1x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。

4。

求已知()0lim x f x →存在，且3x →=，求()0lim x f x →．5。

极限sin sin sin lim sin x t xt xt x -→⎛⎫⎪⎝⎭，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。

6。

求常数,a b ，使()1,0, 011arctan , 1-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩在所定义的区间上连续． 7。

设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61(Λ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。

第二章、导数1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0),0(,0,)()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（）（A ）连续点；（B ）第一类间断点；（C ）第二类间断点；（D ）不能确定。

2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。

3．⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。

4．设x x x x f -=2)(，则)(x f （）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。

第二章一元函数微分学测试卷

第二章一元函数微分学测试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共计15分）1．设()f x 在0x x =可导，则下列各式中结果等于0()f x '的是（） A ．000()()lim x f x f x x x∆→-+∆∆；B ．000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆C ．000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆； D ．000(2)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆． 2．函数()1f x x =-（）A ．在1x =处连续可导B ．在1x =处不连续C ．在0x =处连续可导D ．在0x =处不连续 3．设x x y =,则='y（）A ．)1(ln +x x xB ．)1ln (+x x x xC ．x x x lnD ．x x4．若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，且（）时，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立．A ．()()f a f b =；B ．()()f a f b ≠；C ．0)()(>b f a f ；D ．0)()(<b f a f ． 5．若()f u 可导，且()x y f e =，则有dy（）A ．()x f e dx '；B ．()x x f e de ；C ．[()]x x f e de '；D ．[()]x x f e e dx '．二、填空题（每小题3分，共计15分）1．已知 2ln sin y x =，则y '= ； 2．求极限：1lim1ln xx x xx x→--+= ；3．已知曲线方程为2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩，则()y x ''= ； 4．已知函数410()3f x x e =，则(10)y = ； 5．曲线ln sec y x =在点(,)x y 处的曲率半径为；三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+2．tan 0lim x x x +→3．0limln(1)x x x x→+-4.已知ln(y x =-，求()y x ¢5.已知 y x x y =，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分）1、设曲线)(x f y =与x y sin =在原点处相切，求极限)2(lim nnf n ∞→ 2、当20π<<x 时，证明xx x <<sin 2π.3.若曲线32y ax bx cx d =+++在点0x =处有极值0y =，点(1,1)为拐点，求,,,a b c d 的值.4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？参考答案：一、选择题：（每小题3分，共计15分）1-5． DCAAC二、填空题（每小题3分，共计15分）1．22cot x x ；2． 2；3．34(1)t -；4．0；5．232sec (1tan )xx +三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+222211()11ln(1)11:limlim lim1cot 122limlim1212x x x x x xxx xarc x x x xx x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅-+++==+-+===+解2．tan 0lim xx x+→tan 221ln :lim lim exp tan ln exp lim exp lim cot csc sin exp lim 1xx x x x x x x xx x xx x e x+++++→→→→→===--===解3．0limln(1)x x x x→+-:limtan 1cos lim ln(1)11cos 1sin limlim12ln(1)2111sin (1)1lim22x x x x x x x xx xx x x x xx x x→→→→→=-=⋅+--==+--++==--解原极限4.已知ln(y x =-，求()y x ¢12211(1)2:x xy---⋅'===-解5．已知y xx y=，求d yd x: :ln lnln lnlnlnlnlny x x yy yy x y xx yyyx y yxyx y x xxy=''+=+⋅--'==--解两边取对数得四、解答题（每题8分，共40分）1、解:因为曲线)(xfy=与xy sin=在原点处相切,000,sin0(0)0,cos1,(0)1x xx y fy x f======''===当时且则00lim lim2()()()(0)lim lim lim(0)120limn nn x xnff x f x fn fx xn→∞→∞→∞→∞→→→∞→∞∴==-'====-∴==2、sin,(0,]:()21,0xxf x xxπ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩证明构造函数2cos sin ()[0,](0,),(0,),()<0 222x x xf x x f xx πππ-'∴∀∈=在上连续.在内可导且对于总有2sin ()[0,],(0,),()<()<(0)1,2222s 2s in n <1,i #<x f x x f f x f xx xx x x ππππππ<<∴∀∈===在上单调递减所以有即所以3.32:00,y ax bx cx d x y =+++==解在处有极值232,(0)0,(0)=0(1,1)62(1)=620(1)113,2213,,0,022y ax bx c y c y d y ax b y a b y a b c d a b a b c d '=++'∴===''=+''∴+==+++==-=∴=-===为拐点,解得4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性.22222:(00)lim (00)lim (00)(00)(0)0()0,R (0)lim 1sin1sin1sin1sin1sinlim 0(0)lim 1sinlim 0()0x x x x x x f f f f f f x x f x x xx xx xxx f x x x xf x x -+--++→→-→→+→→-=+=-=+==='==-'====-=--=解所以在处连续从而在上处处连不存在在所以续处不可导5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？:,.744121610162(12)2(12)012,0,12,n x z y nxz x n x nn y n zy n zy n y z n y =--=⇒=---∴=-'=-'''===-<=解设每日来回次每次拖只小船每只小船的运货量为则一天的运货总量为令得故时最大所以每日来回12次,每次拖6只小船能使运货总量达到最大.一元函数微分学测试卷（B ）一、单项选择题：（每小题3分，共计15分） 1．设()f x 在x a =可导，则0()()limx f a x f a x x®+--=（）A ．()f a ¢B ．2()f a ¢C ．()f x ¢D ．(2)f a ¢ 2．下列结论错误的是（） A ．如果函数()f x 在x a =处连续，则()f x 在x a =处可导B ．如果函数()f x 在x a =处不连续，则()f x 在x a =处不可导C ．如果函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处连续D ．如果函数()f x 在x a =处不可导，则()f x 在x a =处也可能连续 3．在曲线ln y x =与直线x e =的交点处，曲线ln y x =的切线方程是（）A ．0x ey -=B ．20x ey --=C ．0ex y -=D ．0ex y e --=4. 若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，则()f x '在(),a b 内（）A ．只有一实根B ．至少有一个实根C ．至少有两个实根D ．没有实根 5．2cos 2y x =，则dy =( )A ．2(cos 2)(2)x x dx ''B ．2(cos 2)cos 2x d x 'C. 2cos 2sin 2x xdx -D. 2cos 2cos 2xd x二、填空题（每小题3分，共计15分） 1．已知 1arctan 1x y x+=-，则y '= ；2．求极限： 21sin(1)lim1x x x →--= ；3．已知曲线方程为cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，则()y x '= ；4．已知函数ln y x x =，则(10)y = ；5．椭圆2244x y +=在点(0,2)处的曲率为；三、计算题（每题5分，共30分） 1．求011lim ()1xx xe ®--2．求()1lim 1sin x x x ®+3．0limx ®4. 已知xx xxe e y e e---=+，求()y x ¢5. 已知 ln y x y =+，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分） 1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b 的值.2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性.4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?参考答案：一、单项选择题：（每小题3分，共计15分）1-5 BAABD二、填空题（每小题3分，共计15分）1．211x+；2．2；3．cot b t a-；4．98!x；5．2三、计算题（每题5分，共30分）1．求011lim ()1xx xe ®--1111lim ()limlim1(1)(1)11limlim112xxxxx xx xx xxxxx xe x e xe x e e xeee e xex解： ----==---+===++++2．求()1lim 1sin x x x ®+()()111ln(1sin )lim 1sin lim exp[ln 1sin ]exp lim sin exp limx x xx x x x x x xxe ex解： ®++=+====3．0limx ®1.41.8θ332212limlimlim1sin 236limlim61cos sin x xx x xxxx xxx xx解： ==-===-4. 已知x x xxe e y e e---=+，求()y x ¢22()()()()4()()()x xxx xxxxxxxxe ee e e ee e y x e ee e解：------++---¢==++5. 已知 ln y x y =+，求d y d xln 111y x y dy dy dx y dxdy y dx y 解：=+=+=-四、解答题（每题8分，共40分）1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b22222212ln(1)1limlim22120lim[2]011lim[2]1111212ln(1)(1)1limlimlim22215lim22(1)2x xx x x xx x a bx x ax bxxxxx x a bx xa bx xbbx x ax bxx xxxb x 解：且当为无穷小，即 ®® ®--+--+==甛--=+=-=+----+--++\===-\=-=-+2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.43322122:21462(23)300,2121212(1)0,01y x x y x x x x y x x y x x x x y x =-+'=-=-'===''=-=-''==解令得驻点为时或33311(,),(-,),(,)22216(-,0)(1,),(0,1),(0,1)(1,0).∞∞-∞∞单调增区间为单调减区间为极小值点为凹区间为及凸区间为拐点为及3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 222221:lim ()lim sin(0)0()0,()R 1sin 0()(0)1(0)limlimlim sin()0,()R .x x x x x f x x xf f x x f x x f x f xf x x xxf x x f x →→→→→===∴=--'====-∴=解在处连续则在上处处连续在处可导则在上处处可导4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=[]():()=(),()0,,0,,F(0)=F()=0,,(0,),F ()=0.()()0#x xf x x a a a a f f ξξξξξ''∃∈+=证明令F 则F 在上连续在内可导且从而满足罗尔中值定理条件所以使得即5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?2222222221.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)3.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)0, 2.4(0m,,,, 2.4 ,)m .x x x x x x x x x x 则令得驻点根据问题的实际意义观察者最佳站位存在驻点又唯一因此观察者站在距离墙处看图最解：设观察者清楚与墙的距离为q q q +=-? ---¢=+=++++¢==?1.4 1.8。

专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题

第三章一元函数积分学1、计算下列不定积分（1）⎰-942x dx （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+-245xx dx（4）⎰+dx x 922（5）dx xe x⎰-+)12(2（6）dx xx 2)2cos 2(sin ⎰-（7）dx x x x ⎰-)tan (sec sec （8）dx x x x⎰-sin cos 2cos2、计算下列不定积分（1）⎰+-dx xx x )1)(12(（2）dx x ⎰-)32cos(π（3）dx x ⎰-32)12(（4）dx x x ⎰2cos（5）dx x ⎰-232（6）xdx e x cos 2⎰（7）⎰dx x x 2arcsin （8）⎰+22)9(x dx（9）⎰x dx 3sin（10）xdx e x 3sin 2⎰-（11）⎰xdx x 5sin 3sin3、计算下列不定积分（1）dx x x ⎰++3131（2）dx xx⎰+31（3）dx xx⎰-241（4）dx x x ⎰-229（5）dx x x ⎰+222)1( （6）⎰+dx xx )1(1104、计算下列不定积分（1）xdx x cos 2⎰（2）⎰dx e x x 32（3）⎰+dx x x )1ln(4（4）xdx x arccos 2⎰（5）dx xxx ⎰-+11ln（6）⎰xdx arc cot（7）dx x x ⎰++)1ln(2（8）dx xx x ⎰-21arcsin5、求下列极限（1）341limx dt t xx ⎰++∞→（2）2)1ln(limx dt t xx ⎰+→6、计算下列定积分（1）dx x x⎰--+213（2）dx x x ⎰-+1123)3(（3）dx x x ⎰+5231（4）dx xx ⎰-+210211（5）⎰+101xe dx（6）dx x x⎰-743（7）⎰+21ln 1e xx dx（8）dx x )2(cos 02⎰π7、计算下列定积分（1）dx xxe⎰+1ln 1（2）dx e x ⎰-2ln 01（3）dx xx⎰++311 （4）dx ee xx⎰+2ln 021 （5）dx xx ⎰-2121（6）dx x ⎰-1248、计算下列定积分（1）dx x⎰+12)1ln(（2）dx x ⎰31arctan（3）dx ex ⎰-12112（4）xdx x2cos 2⎰-ππ9、求下列图形的面积（1）曲线xxe y e y -==,与直线1=x 所围成的图形（2）曲线x y 22=与022=-+x y 所围成的图形（3）曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形10、设曲线21x y -=，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2ax y =分为面积相等的两部分，其中0>a 为常数，试确定a 的值.11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转，所得的旋转体体积（1）1,12+=+=x y x y（2）e x y x y ===,0,ln（3）1,0,3===x y x y12、在曲线)0(2≥=x x y 上某一点处作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程（3）由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积13、已知曲线三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积14、求由曲线xe y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.习题答案1、（1）C x x +-+942ln 212；（2）C x ++21arctan21；（3）C x x x ++-+-)452ln(2 （4）C x x x x +++++)922ln(42992222；（5）C x e x++arcsin 2；（6）C x x ++cos ；（7）C x x +-sec tan ；（8）C x x +-cos sin 2、（1）C x x x x +--+21232234（2）C x +-)32sin(21π（3）C x +-35)12(103（4）C x +2sin 21（5）C x x x x +-+--233ln 3323222 （6）C x x e x++)cos 2(sin 512（7）C x xx x +-+-22442arcsin )12( （8）C x x x +++3arctan 541)9(182 （9）C x x x x +-+-cot csc ln 21sin 2cos 2 （10）C x x e x++--)3cos 33sin 2(132 （11）C x x ++-2sin 418sin 161 3、（1）C x x +++32)13)(2(51；（2）C x x x x +-+-61216567arctan 625676（3）C xx +--242ln21；（4）C xx x x +---+99ln 22（5）C x xx ++⋅-2121arctan 21 （6）C x x ++10101ln101 4、（1）C x x x x ++-cos 2sin )2(2（2）C e xe e x xx x ++-33322729231 （3）C x x x x ++-+2242arctan )1ln(21 （4）C x x x x +-+-222192arccos 3（5）C xx x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 （6）C x x xarc +++21ln cot （7）C x x x x ++-++1)1ln(22（8）C x x x ++--arcsin 12 5、（1）31；（2）21 6、（1）12ln 3-；（2）2；（3）)26ln 25(21- （4）1236+-π（5）)1ln(2ln 1e +-+ （6）332 （7）)13(2- （8）2π 7、（1）23 ；（2）22π-；（3）35；（4）42arctan π-；（5）33π-；（6）233+π8、（1）2ln 22+-π（2）3165-+π（3）1（4）π9、（1）21-+-e e （2）49（3）32 10、3=a 11、（1）6,157ππ==y x V V ；（2）)1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ；（3）ππ52,7==y x V V 12、（1）)1,1(A ；（2）12-=x y ；（3）30π=x V13、（1）61；（2）4π； 14、)21(21--e π。

考研数学二(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷5(题后

考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x 垂直，则=A．-1．B．0．C．1．D．不存在．正确答案：B解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算2．设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A．a=0，b=2．B．a=1，b=-3．C．a=-3，b=1．D．a=-1，b=-1．正确答案：D解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算3．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在，即均存在且相等因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．A．充分必要.B．充分非必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：A解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有A．3个．B．2个．C．1个．D．0个．正确答案：B解析：函数｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=-1不可导且它们处处连续．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可导．因此选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．设f(x+1)=a f(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A．不可导．B．可导且f’(1)=a．C．可导且f’(1)=b．D．可导且f’(1)=ab．正确答案：D解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算填空题8．请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是________无穷小．正确答案：同阶；同阶；高阶解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算9．设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．正确答案：ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef( x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算10．设y=f(x)可导，且y’≠0．若y=f(x)二阶可导，则=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算11．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．正确答案：解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学一元函数微积分学题目与答案A

三、一元函数积分学练习题（ A ）一．选择题1. =+⎰dx x )1(cos （）C x x A ++sin . C x x B ++-s i n . C x x C ++c o s . C x xxD ++-cos .2.=⎰dx x 41（） C x A +-331. C x B +331. C x C +31. C xD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（） A 21x - B 21x + C 22x x - D 22x x +4. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1B -1C 0D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（） A1x B 21x- C ln x D ln x x 6. 定积分⎰1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定7. 曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ⎰--10)2)(1(dx x x x ； .B ⎰--20)2)(1(dx x x x ；.C ⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D ⎰⎰--+--2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x8. 已知dt t x F x ⎰+=021)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9.=⎰-dx x 115（）2.-A 1.-B 0.C D .110.若()211x x F -='，()231π=F ，则()=x F （） A.x arcsin B. c x +arcsin C.π+x arccos D. π+x arcsin二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为 (2) cos x -的原函数为 (3)12t的原函数为(4) 221x--的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +；（4）2x e dx -= 2()x d e -；（5）219dxx =+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dxx =+ (a r c t a n 2)d x ；（7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -；（8）dxx= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -；（10）21xdx x =- 21d x -.3. 若()1x f e x '=+,则()f x =4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ⎰130x d x⎰（2）1x e dx ⎰10(1)x dx +⎰5. _________3=⎰dx e x6.__________1=⎰dx e x 7. ⎰+dx xxln 1=_____________ 8. 已知一阶导数 2(())1f x dx x '=+⎰ ，则(1)f '= 9. 当x = 时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值.10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，()⎰20dx x f =11. 已知⎰=xdt t xf y 0)(，则=dxdy12. dt ttx x x )1sin (1lim3-⎰→=三．计算题 1.不定积分的计算（1）1xxedx e +⎰ （2）12xe dx x ⎰（3）ln dx x x ⎰ （4）211x dx x --⎰（5）3431x dx x-⎰ （6）12dx x -⎰（7）223x dx x -⎰ （8）3x a dx ⎰（9）sin tdt t⎰ （10）2cos ()x dx ωϕ+⎰（11）2cos ()sin()x x dx ωϕωϕ++⎰ （12）22(arcsin )1dxx x-⎰（13）3tan sec x xdx ⎰ （14）sec (sec tan )x x x dx -⎰ （15）11cos 2dx x+⎰ （16）2(4)x x dx -⎰（17）32(32)x dx -⎰ （18）221dx xx-⎰（19）1231dx x -+⎰ （20）sin x xdx ⎰（21）x xe dx -⎰ （22）arcsin xdx ⎰（23）2t te dt -⎰ （24）2arcsin 1x dx x-⎰（25）sin cos x xe dx ⎰ （26）1cos sin xdx x x++⎰（27）dxx 43-⎰ （28）dx x 122-⎰（29）dxx xe e --⎰ （30）e 32x dx +⎰（31）()232xx dx +⎰ （32）1252+⎰x dx（33） sin 5xdx ⎰ （34）cos 25xdx ⎰（35）()()244522x dxx x +++⎰ （36）x dx x 23412-⎰（37）sin cos sin cos x x x x dx +-⎰3 （38）dxx x (arcsin )221-⎰（39）dxx x 222-+⎰ （40）sin cos sin x xx dx 14+⎰（41）2xxe dx ⎰ （42）23523x xxdx ⋅-⋅⎰2.定积分的计算（1）10e x x dx -⎰ （2）e1ln x xdx ⎰（3）41ln x dx x ⎰ （4）324sin xdx xππ⎰（5）220e cos x xdx π⎰ （6）221log x xdx ⎰（7）π2(sin )x x dx ⎰ （8）e1sin(ln )x dx ⎰（9）121ln(1)x x dx -++⎰ （10）41xdx ⎰（11）dx x x x )1(241+⎰ （12）dx xx ⎰+10241 （13）dx x⎰+20241（14）dx x x ⎰40tan sec π（15）xdx ⎰242cot ππ （16）⎰--112d x x x（17）dx ⎰2121)-(3x1 （18）dx ⎰+3ln 0x x e 1 e（19）dx x x ⎰-123 （20）⎰1arctan xdx x3.反常积分的计算（1）2048dxx x +∞++⎰ （2）21arctan x dx x+∞⎰ （3）11(1)dx x x -⎰ （4）1ln e dx x x ⎰4. 比较下列各对积分的大小：（1）⎰40arctan πxdx 与⎰402)(arctan πdx x（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x（3）dx x ⎰-+1141与dx x ⎰-+112)1(（4）⎰-2)cos 1(πdx x 与⎰2221πdx x四．综合题 1.求导数（1）201x d t dt dx +⎰ （2）5ln 2x t d t e dt dx -⎰（3）cos 20cos()x d t dt dx π⎰ （4）sin x d t dt dx tπ⎰ (0x >).2. 验证下列等式 (1) 2311d 2-=-+⎰x x C x ； (2) (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰.3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++⎰；(2) 21()1f x dx C x=++⎰.4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积： (1) 2y x =与22y x =-(2) x y e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x==轴，分别绕x轴与y轴；(3) 22,y x x y==，绕y轴；(4) 22(5)1x y-+=，绕y轴．(5).32y x=，x=4 ,绕y轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散?7. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰．8. 求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()baf a b x dx +-⎰．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x e -，求此曲线方程．11. 设3()1x x f e e '=+,且(0)1f =,求()f x .12. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ.13. 设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dxx f .14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x .三、一元函数积分学练习题（ A ）参考答案一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 因为5x 为奇函数 10. D二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1-（8）31；（9）1-；（10）1-3. ()(1ln )ln f x x dx x x C =+=+⎰4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）11230x dx x dx >⎰⎰；∵ 当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x 3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰（2）11(1)x e dx x dx >+⎰⎰；令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以11(1)x e dx x dx >+⎰⎰5. C e x+33 6. C e x +-- 7. c x x ++2ln 21ln 8. 229. 0. 10.3811. )()(0x xf dt t f x+⎰ 12. 181-三．计算题 1.不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11x x x x x e dx d e e C e e=+=++++⎰⎰ （2）11121xxx e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰（3）ln ln ln ln ln dx d xx C x x x==+⎰⎰ （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+⎰⎰⎰（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰ （6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--⎰⎰ （7）22222211(23)123263232323xdx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰（8）33311(3)33ln x x x a dx a d x a C a==+⎰⎰ （9）sin 2sin 2cos tdt td t t C t==-+⎰⎰ （10）21cos(22)cos ()2x x dx dx ωϕωϕ+++=⎰⎰11 cos(22)(22)24x x d x ωϕωϕω=+++⎰ 11sin(22)24x x C ωϕω=+++ （11）221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x ωϕωϕωϕωϕω++=-++⎰⎰31cos ()3x C ωϕω=-++ （12）222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd x C x xx x ==-+-⎰⎰（13）32231tan sec tan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰⎰（14）2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C -=-=-+⎰⎰（15）221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ （16）515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰⎰（17）33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰（18）令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以22222cos 1csc cot sin cos 1dxtdt x tdt t C C t t x xx-===-+=-+⋅-⎰⎰⎰ （19）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以 11(1)ln(1)11231tdt dx dt t t C t t x ==-=-++++-+⎰⎰⎰23ln(231)x x C =---++（20）sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰ （21）x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （22）222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x x x =-⋅=+---⎰⎰⎰ 2arcsin 1x x x C =+-+ （23）2222221111122224t tt t t t te dt tde te e dt te e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （24）22arcsin 1arcsin arcsin arcsin 21xdx xd x x C x ==+-⎰⎰（25）sin sin sin cos sin x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰ （26）1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x ++==++++⎰⎰（27）dx x 43-⎰=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-⎰。

微积分第二章习题参考答案

,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;
又
f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )

一元函数微分学典型例题

⼀元函数微分学典型例题⼀元函数微分学典型例题1. 有关左右极限题求极限+++→x x sin e e lim x x x 41012 ●根据左右极限求极限，●极限xx e lim 1→，x x sin lim x 0→，x tan lim x 2π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在，●A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞→-∞→+∞→●【 1 】2. 利⽤两个重要极限公式求1∞型极限xsin x )x (lim 2031+→● 0→)x (?，e ))x (lim()x (=+??11●A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f )x (e ]))x (lim[(=+??11●【6e 】3. 等价⽆穷⼩量及利⽤等价代换求极限当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-.●等价⽆穷⼩定义：如果1=αβlim，则称β与α失等价⽆穷⼩，记为α∽β，● 0→x 时，（1）nx x ax a xx x x x x x xx e x x x x x nx x ≈-+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈1111121161111123ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα●当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n)x (?∽n)x (?∽∽●【 B 】4. 利⽤单调有界准则求极限设数列{}n x 满⾜n n x sin x ,x =<<+110π。

证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1nxn n n x x lim+∞→●利⽤单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。

证明数列或函数单调；2。

证明数列或函数是有界；3。

等式取极限求出极限。

●定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递增有上界数列必有极限。

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。

第二章微分学答案

f ( x)
(e x ) f (e x ) f ( x )) (e f
x
§2.3隐函数的导数
e y 一.1. y ; y 1 xe ye xy 2 xy cos( x 2 y ) 2. y ; xy 2 2 2 y xe x cos( x y ) y ( x ln y y ) 3. y x ( y ln x x ) 3 4. y t; 2 x x 5. y y (ln 1); 1 x 1 x

切线方程为：y ( x e 2 ) x e 2 法线方程为：y ( x e 2 )

二.3.解：两边同时取对数， 1 则有 ln y ln x ln( x 1) 2ln( x 2) 2 方程两边同时对x求导 : y 1 1 2 y x 2( x 1) x 2 1 1 2 y y ( ) x 2( x 1) x 2
§2.2求导法则
一.1.B; 2. y 2. B 1 1 x2 1 . x 二 .1. y tan 2 x . y y x 3( x 1) 1 2 1 4. y y x 1 3x 1 3(2 x ) 5. 1
1 1 三.3.解： y , x 2 x 1 ( 1)n n ! ( 1)n n ! y(n) n1 ( x 2) ( x 1)n1
dy dy dt 2sin t cos t 三.4.解： 2cos t , dx dx sin t dt dy d 2 y d ( dx ) 2sin t 2. 2 dx dx sin t
1 三. 1.(1)解：y 3sec (ln x ) sec(ln x ) tan(ln x ) x 1 sin 2 1 1 1 1 2 sin2 1 v v (2)解：y e ( 2sin cos )( 2 ) 2 (sin )( e ) v v v v v 1 2 (3)解：y (sec t tan t sec t ) sec t sec t tan t 1 x 1 ( x 1) 1 (4)解：y 2 2 2 ( x 1) x 1 x 1 1 x 1 (5)解：y 2 xe x cos x x 2e x cos x x 2e x sin x

微积分上第二章习题参考答案

2 2 dy sin x 2. (1 x 2 )sin x 2 x[cos x 2 ln(1 x 2 ) ] ; 2 dx 1 x
微积分第二章习题参考答案
16
x e x sin e x cos 0 x 三.解: , 2 3 2 0 y
1 S | 2 x0 | | 2 y0 | 2a 2为常数,与切点无关. 2
微积分第二章习题参考答案 6
§2.2求导法则(21-22)
一.1. 2cos x sec x, 3cos x 2sec x; x e sin 2. cos e , ; 2x 1 e
2 2
x 2 x cos2 x sin2 x 1 2 3. , e ( cos3 x 3sin3 x ); 2 x 2
微积分第二章习题参考答案 26

(n)
2
n 1

2. y xe .
x x x x y e xe e ( x 1),
y e x ( x 1) e x e x ( x 2),
t2 2 t2
3. y
1 1 x
2
, y
x (1 x )
2 3 2
;
4. y ( n ) n ! 2n e 2 x 1 ;
5. y e (sin cos ) 2e sin(

4
);
微积分第二章习题参考答案

20
2 dy d y 2 2 2 2 6. 2tf ( t ) , 2 2 f ( t ) 4t f ( t ) ; dt dx
lim f (cos x )( sin x )
x 0

一元函数微分学习题

第二部分一元函数微分学[选择题]容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量.(B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。

(C) y d 是比h 高阶的无穷小量.(D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量.答D2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ，则在),0(+∞内有（）（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

答C3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（）（A ）必要条件。

(B) 充分条件。

（C ）充要条件。

（D ）既非必要，又非充分条件。

答B4．设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数，则=n （） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4答D5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（）（A ）间断点。

（B ）连续而不可导的点。

（C ）可导的点，且0)0(='f 。

（D ）可导的点，但0)0(≠'f 。

答C6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（）（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续（B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续（C ）f （x ）连续，则f （x ）可导（D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导答A7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（）（A ）0x 点的切向量（B ）0x 点的法向量（C ）0x 点的切线的斜率（D ）0x 点的法线的斜率答C8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（）（A ）0x 点的自向量的增量（B ）0x 点的函数值的增量（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限（D）没意义答C9．x(，其定义域是0f=)xx，其导数的定义域是（）≥（A）0x≥（B）0≠x（C）0x>（D）0x≤答C10．设函数)f在点(xx不可导，则（）（A）)(xf在点x没有切线（B）)(xf在点x有铅直切线（C）)f在点(xx有水平切线（D）有无切线不一定答D11．设'=''='''>()(),()f x f x f x00, 则( )000(A) x是'f x()的极大值点是f x()的极大值点(B) x是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题I 的（）（A ）充分但非必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（答 B ）13．初等函数在其定义域内（）（A ）可积但不一定可微（B ）可微但导函数不一定连续（C ）任意阶可微（D ）A, B, C 均不正确（答 A ）14．命题I ）: 函数f 在[a,b]上可积. （命题II ）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命题II 的（）（A ）充分但非必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（答 A ）15．设 )(x u e y = 。

数分：一元函数微分学习题课

y 1 cos x sin x ln sin x cos x y x sin x
所以
y x(sin x )
cos x
1 ( sin x ln sin x cos x cot x ) x
【例11】设 y 分析
x ( x 5) 2 3 ，求 y 。 ( x 1)
所以切点坐标为 1， 0
再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 x求导，得
e xy y xy 2 y 0
将 x 1 , y 0代入上式, 得 y 1 1
则所求切线方程为
y x 1
1 f ( x) f ( x) f (ln x) f (ln x) x
2
1 x
1 1 x2
所以
dy y dx
1 dx 2 1 x
y x(sin x )cos x ，求y 。【例10】设
分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。
解：应用对数求导法。函数两边取对数得
ln y ln x cos x ln sin x
方程两边对 x 求导得
1 f ( y )
函数 y f
1
( x ) 在对应的 I x 内也可导，且 [ f 1 ( x )]
dy 1 或。 dx dx dy
3．复合函数求导法则设 y f (u) 及 u g( x )都是可导函数，则复合函数 y f ( g( x )) 也是可导函数且 y ( x ) f [ g( x ) ] g ( x ) 。 4．隐函数求导法则由方程 F ( x, y ) 0 确定了y f ( x )，方程两端对 x 求导，在求导过程中牢记 y 是 x 的函数 ( y f ( x )) ，方程中含有 y 的

一元函数微分学练习题

高等数学 ( Ⅰ) 练习第二章一元函数微分学系专业班姓名学号习题一导数概念一．填空题f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )1．若 f ( x 0 ) 存在，则 limx=,x 0f (x 0 h)f ( x 0h) 2 f (x 0 )2．若 f ( x 0 ) 存在， limh=h 03．设 f ( x 0 )2 x14, 则 limf (x 0) )x 0f (x 0 2x). limf ( x 0 3 x)f (x 0 ) 3 f ( x 0 )x=.x 04．已知物体的运动规律为s tt 2 (米 )，则物体在 t2 秒时的瞬时速度为 5m/ s1 3 )1 2 3 ( x) 5．曲线 ycos x 在 x处的切线方程为y( x y22 ，法线方程为23 3336．用箭头或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，极限存在 ?连续?可导。

二、选择题1．设 f ( 0)0 ,且 f (0) 存在，则 limf ( x)=[B]x 0x（ A ） f (x)( B) f(0)(C) f (0)1 f ( 0)(D)22. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则f ( x a x)f ( x b x)[ B ]limx=x 0a b（ A ） f (x)( B) (ab) f ( x)(C) ( ab) f (x)(D) f ( x)23. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件[ B ]（ A ）充分但不是必要（ B ）必要但不是充分（ C ）充分必要（D ）即非充分也非必要4．设曲线 y x 2x2 在点 M 处的切线斜率为3，则点 M 的坐标为[B]（ A ）(0,1)( B)(1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5．设函数 f ( x) | sin x | ，则 f ( x) 在 x0 处[B ]（ A ）不连续。

武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第二章解答

在 x 0 的某邻域内曲线 y f (x) 是凸的，且在其左邻域内曲线 y f (x) 在 x 轴下方，在
其右邻域内曲线 y f (x) 在 x 轴上方.先画 y f (x) 的图形，再画 y f (x) 的图形，由图
可知选（C）.
15.【解】应选（C）. 由 f (x) [ f (x)]3 x2 知, f (x) 3[ f (x)]2 f (x) 2x,

lim
x
x2 x2 1
1 2x2
0 ,则
y

x
为一条斜渐近线，由于该函数
为偶函数，则 y x 为一条斜渐近线.
17.【解】
应选（C）.
lim
x
x2 x2
x 1
1, 则
y
1
为一条水平渐近线.
lim
x1
x2 x2
x 1

,
则
x
1 为一条垂直渐近线.
18.【解】应填 2.
x0 ln(1 x)
x0
得 lim[ f (x) a] 0, 又由 f (x) 二阶可导知 f (x) 连续， x0
所以 lim f (x) f (0) a x0
3
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
f (x) a
f (x) f (0)
lim
lim
8.【解】应选（C）.
x
f (x)
lim
n 1 | x |n
enx
max(1,
x ,ex)

1
n
ex
x 1 1 x 0
x0
f (x) 在 x 1和 x 0 不可导，选（C）

高数第二章习题课二

f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a) K
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证：令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e

在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。解方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,

一元函数微分学习题

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