胡不归及费马点问题

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胡不归及费马点问题

一.选择题(共2小题)

1.如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为()

A.+B.+C.4 D.3

2.如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为()

A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)

二.填空题(共5小题)

3.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则线段AP+BP+PD的最小值为.

4.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是13千米.一天,居民点B着火,消防员受命欲前往救火,若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的

最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B.(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)

5.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在Y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为.

6.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(﹣1,0),在y轴上有一动点G,则BG+AG的最小值为.

7.如图所示,已知P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4,则PC的最大值是.

三.解答题(共12题)

8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;

(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为;(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个;

②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.

9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D,B(﹣3,0),A(0,)((1)求抛物线解析式及D点坐标;

(2)如图1,P为线段OB上(不与O、B重舍)一动点,过点P作y轴的平行线交线段AB于点M,交抛物线于点N,点N作NK⊥BA交BA于点K,当△MNK 与△MPB的面积相等时,在X轴上找一动点Q,使得CQ+QN最小时,求点Q 的坐标及CQ+QN最小值;

(3)如图2,在(2)的条件下,将△ODN沿射线DN平移,平移后的对应三角形为△O′D′N′,将△AOC绕点O逆时针旋转到A1OC1的位置,且点C1恰好落在AC上,△A1D′N′是否能为等腰三角形,若能求出N′的坐标,若不能,请说明理由.

10.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现:△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等,此时该点到三个顶点的距离之和最小.

【特例】如图1,点P为等边△ABC的中心,将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE=PC,连接PD得到PD=PA,同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°,∠ADP+∠ADE=180°,即B、P、D、E四点共线,故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中,另取一点P′,易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等,可证明B、P′、D′、E四点不共线,所以P′A+P′B+P′C>PA+PB+PC,即点P到三个顶点距离之和最小.

【探究】(1)如图2,P为△ABC内一点,∠APB=∠BPC=120°,证明PA+PB+PC 的值最小;

【拓展】(2)如图3,△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=30°,且点P为△ABC内一点,求点P到三个顶点的距离之和的最小值.

11.如图1,点O是边长为1的等边△ABC内的任一点,设∠AOB=α°,∠BOC=β°

(1)将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC,连结OD,如图2所示.求证:OD=OC.

(2)在(1)的基础上,将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,连结DE,如图3所示.求证:OA=DE

(3)在(2)的基础上,当α、β满足什么关系时,点B、O、D、E在同一直线上.并直接写出AO+BO+CO的最小值.

12.阅读下列材料:

小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC 内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.

小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,连接PD、BE,则BE的长即为所求.

(1)请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为;

(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:

①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60°,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);

②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.

13.阅读下面材料:

小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.

小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以

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