高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、 知识清单

1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C

②,则： ①2

+②2

得：AC AD BC AB +=+242

2

22 ；①2-②2

得：AC AD BC AB ⋅=-4422

推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ⋅=⋅=⋅+-2

222

速记方法：⋅==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2

()()2222

2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得

+=+PO BD 2PD PB 42

2

22①+=+PO AC 2

PA PC 422

22 ②

因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222，

速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。

推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2

)(BD 2

2

2

2

22

=-⋅=

-AC AM BC 4

422

=4

1

0，且对于边AB 上任一点P ，恒有⋅≥⋅PB PC P B PC 00

。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC

解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：⋅=-PC PD BC 4

PB 422

则当PD 最小时，PB

⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。

3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ⋅-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由⋅-++=b e a b a ()10,得-⋅-=e b e a ()()0

如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有

+=+OE OC OA OB 222

2，则=OC

==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,]

[2

3

1,231]

高三数学复习微专题之平面向量篇

第三讲：极化恒等式与矩形大法

解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A

B A ⋅

C =_________．

2.（2019山东模拟）在∆ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

4.向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ⋅-++===b e a b a b a ()22,3,0,求-a b ，⋅a b 范围？ 解析：由题得-⋅-=-e b e a ()()1，===OA a OB b OE e ,, ，构造平行四边形ACBE ，

由极化恒等式：-=-⋅-⋅=-=e b e EB EC AB a EA 4

1()()22

由平行四边形大法：+-+=

=--OE OC OA OB EC AB 2

()()22

2

2

2

22

，即=OC 10 =

=+∈-+++=-+-AB EC a b 4[(101)4,(101)4][15210,15210]2222

⋅==∈---+----a b a b a b a b 22

[101,101]()13()2

2

2

2

三、 强化练习

1. 设正∆ABC 的面积为2，边AB AC ,的中点分别为D E ,，M 为线段DE 上的动点，则

⋅+MB MC BC 2

的最小值为 .

2.∆ABC 外接圆O 半径为1，且∠=AOB 120，则⋅AC CB 的取值范围是 . -22

[,0)(0,]31

3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，=AB 2，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足=PC 2，则⋅PA PB 的最小值 .C

A ．-4

B ．-2

C ．0

D ．2

4. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则⋅AC BD 的最大值是 （ ）A

A. 21

5. 已知ABC ∆，满足

AB AC AB AC AB AC AB AC ||||++=+||

3219()

，点D 为线段AB 上一动点，若DA DC ⋅的最小值为-3，则ABC ∆的面积S =（ ）D

A.9

B.

6.记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a b c ,,满足==⋅a b a b =⋅+-=c a b c 222

)

(. 则（ ）A -=

+A a c

2.37max

+=

+B a c 2.37max -=

+C a c

2.37min

+=

+D a c 2

.37

min

7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则

PM PN 的取值范围是 . 0,4][

8．向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量．若==-⋅-=a b a e b e 2,0,)

()(则-a b 的最小值是( )A

A 1

B 1

C ．3

D ．3

9.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足⊥PA PB ，存在

点C 使PACB 构成矩形，则⋅OC OP 的取值范围是 [

10.向量a b c ,,满足===c a b 12,则--⋅c a c b )

()(的最大值是 ； 最小值是 . -8

[,3]1