全等三角形基本类型

三角形全等的证明方法及基本图形

（一） 截长补短型

1、如图，A B ∥CD,BE,CE 分别平分∠ABC,∠DCB,求证：AB+CD=BC

2、如图，R t △ACB 中，AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于E 点，求证：AD=2DF+CE

3、如图,R T △CDART ≌△CDB,

①、若∠ACD=30°，∠MDN=45°,当∠MDN 绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿

②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM 、MN 、BN 三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿

③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD 与∠MDN 满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。

(二)、中点线段倍长问题：

例：如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。当AE=AF 时，求证BE=CF 。

A B C D E A B C D

E F B A C D M N ①

B D A

C M N ② A B C

D M N ③ A

B C D

E F

蝴蝶形图案解决定值问题：

1、 如图，已知A(4,0).B(0,4)C 为点A 关于y 轴的对称点，连接BC ，Q 是射线OC 上一点，过A 作A H ⊥BQ 于H 点，交直线BO 于E 点，当Ｑ点在射线ＯＣ上（不

含ｃ点）上运动时，有以下两个结论：① BE CQ 的值不变，② BE

BH 的值不变，有且只有一个是正确的，请选择并证明。

练习：1、如图，在R t △ACB 中，∠ACB=90°,CA=CB,D 是斜边AB 的中点，E 是DA 上一点，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，交CD 于点F 。

（1） 求证：DE=DF.（2）若E 是线段BA 的延长线上一点，其它条件不变，DE=DF

成立吗？画图说明。

2、 在△ABC 中，AB=AC,AD 和CE 是高，它们所在的直线相交于H 。

(1)

如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD.

(2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。

3、 如图，等腰直角三角形ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D.求证BE=2CD.

（2） 连接AD ，求证：∠ADB=45°.

（3） 过点D 作DM ⊥AB 交BA 的延长线于M.

①.求 AB BC BM +的值。 ②、求AB

BC AM -的值。

A B C

D E F H

A B C D E H B A

C C

D B A

E D B

A E C

角平分线与轴对称

1、（1）如图①，R t △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD 平分∠ACB ，点E 为AB 上一点，且CE=BE ，PE ⊥AB 交CD 的延长线于P ，求∠PAC+∠PBC 的度数。

（2）如图②，R t △ABC 中，∠ACB=90°，∠BA C ≠45°,CD 平分∠ACB,点E 为AB 上一点，且CE=BE,PE ⊥AB 交CD 的延长线于P 。（1）中结论是否成立，说明理由。

练习：1：如图，直线AB 交x 轴于A(m,o)，交y 轴于B （o,n ）,其中m,n 满足m 2+4m+4+n -1=0.C 为B 点关于x 轴的对称点，当直线OF 的解析式y=kx ，当k 的值发生改变时（但始终保持k ＜0）。过C 点作CE ∥AB 交直线于E 点，下列两

个结论：①AC CE AF +的值不变。②AC CE AF -

确的，请你找出正确的结论并求其值。

2、（倍角与半角问题）（1）如图，R t △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°，求证AD+BE ＞DE.

A B C D E P A B C D E P A B C D E

（2）如图，若将R t △ABC 改为等边三角形，∠DCE=30°,其它条件不变，上述结论成立吗？试证明。

3如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠C=2∠B.求证:AB=AC+CD.

4、 如图，直线l 1∥l 2，直线m 与直线l 1 、l 2交于A 、B 两点。AE 、BE 为其同旁

内角平分线，过E 点作直线l 1 、l

2与交于D 、C 两点，求证AD+BC=AB 。

全等与旋转

例：已知三点A(a,b)、B(3,1)、C(6,0)，其中a,b 满足(a-2)2=-1 b .

（1） 求A 的坐标。（2）点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 的周长和取得

最小值时，求P 点坐标；（3）点P 为x 求∠OAP+∠PBC 的度数。

练习：

1、 已知△ABC 中，∠BAC=45°,以AB,AC 为边在△ABC 外作等腰△ABD 和△ACE ，AB=AD ，AC=AE ，且∠BAD=∠CAE ，连接CD,BE 并交于F 点，连接AF 。

（1） 如图①，若∠BAD=60°，则∠AFE =＿＿＿＿，如图②，若∠BAD=90°, A B C

D E B C D A

l 1 l 2 A B

C D

E m

则∠AFE =＿＿＿＿，如图③，若若∠BAD=120°，则∠AFE =＿＿＿＿。

（2） 如图4，若∠BAD=2°，猜想∠AFE 的度数，并证明。

2、 如图，已知锐角三角形ABC ，分别以AB,AC 为边在△ABC 的形外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EG ，若S △ABC=5，请求S △AEG 。

3、 如图，A 、D 、B 三点在同一直线上，△ADC, △BDO 为等腰直角三角形。（1），AO 与BC 有何关系？证明你的结论。（2）当△ODB 绕顶点D 旋转任一角度到图②的位置，（1）中结论成立吗？请证明。

等腰直角三角形，等边三角形

例：如图，G 为线段AB 上一点，A C ⊥AB,BD ⊥AB,GE ⊥AB,且AC=BG ，BD=AG,GE=AB.

若∠AEB=50°，求∠CEB 的度数。

练习题：

A B C D E F A B C D E F D E F C B A A B C E

D F G A B C O

E B A C

D O A B C D E

F G H