2020届湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高三下学期4月联考数学(理)试题

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2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q =U （） A ．[3,4] B ．(3,)-+∞ C ．(,4]-∞ D ．(3,4]-【答案】D【解析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可. 【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2．x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（）A ．2B ．1C ．D ．4【答案】C【解析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模. 【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以x y +=故选：C 【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200 1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B【解析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。

【详解】设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为312x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则22312200x xNx⎛⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N≈故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学试题(解析版)

2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（）A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．{0}D ．∅【答案】B【解析】用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出A B .【详解】因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有{}1,1A B ⋂=-，故本题选B.【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键.2．已知i 为虚数单位，则复数221z i i=-+的虚部是( ) A ．3i B ．iC ．3D ．1【答案】C【解析】根据复数的混合运算，对复数z 进行化简，再求其虚部即可. 【详解】因为221z i i =-+()()()2121311i i i i i -=-=-++-，故可得z 的虚部为3. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及复数虚部的辨析，属基础题.3．已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（） A ．25 B ．90C ．50D ．45【答案】D【解析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.因为数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题. 4．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥. 其中正确的命题有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】①由线面平行的性质定理可知①正确； ②由面面平行的性质定理可知，αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确；③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确. 所以正确的命题有①②④，故选：C . 【点睛】本题主要考查点、线，面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5．若a =，b =2，且（a b -）a ⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=,2cos ||2a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅所以a 与b 的夹角是4π.6．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（）A ．12B ．12-C D ．【答案】B【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒ 1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（） A ．x 2﹣y 2＝1 B ．22x -y 2＝1C ．23x -y 2＝1D ．24x -y 2＝1【答案】C 【解析】12=，解得23a =，即可得到本题答案. 【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，2221x y a-=的其中一条渐近线为0x ay -=，12=，解得23a =，所以双曲线得标准方程为2213x y -=，故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法，其中涉及抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程.8．若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．3【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行，故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3. 故选：D. 【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 9．定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（）A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +【答案】C【解析】∵函数()224sin xxf x a x -=⋅--为奇函数，∴()()f x f x -=-，即()224sin 224sin xx x x a x a x --⋅-+=-⋅--,整理得()()1220xx a --+=在R 上恒成立，∴1a =,∴()224sin xxf x x -=--，∵11(1)224sin10,(0)0,(1)224sin10,f f f ---=-+>==--<23(2)424sin20,(3)824sin30f f --=-->=-->,∴函数()f x 的零点在区间()1,3内．选C ．10．若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为()A ．1528B ．2815C ．1528或1 D ．2815或1 【答案】A【解析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得2d ==，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:(2)(2)4C x y ++-=，其圆心为(2,2)-，半径2r ；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离2d ==，解可得1528a =；故选：A ．【点睛】本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题。

2020年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考(理科)数学(4月份)模拟试卷含解析

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩（∁U B）＝（）A．B．（0，1]C．D．（0，1）2．若复数z满足z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步4．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为﹣20，则判断框中可以填（）A．k＜3？B．k＜4？C．k＜5？D．k＜6？5．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．11B．12C．13D．146．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（）A．m＞0，0＜n＜1B．m＞0，n＞1C．m＜0，0＜n＜1D．m＜0，n＞1 7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠ACA＝45°B．∠ACA＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形8．已知非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（）A．ln|m|＞ln|n|B．C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n|D．m2＞n29．若首项为的数列{a n}满足2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．B．C．D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．D．当时，11．在正方形ABCD中，已知AB＝2，（0≤λ≤1），（0≤μ≤1），||，若≥x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．或2二、填空题（共4小题）13．的展开式中，项的系数为．14．若直线y＝9x+a与曲线y＝x3﹣3x相切，则a＝．15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l1，l2，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P，Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若l1⊥l2，则下列结论正确的是．①|MN|+|PQ|的最小值为32；②以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128；③直线DE过定点（6，0）；④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若b+c＝8，求△ABC的面积．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AB﹣D为直二面角，E为线段SB的中点，∠DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝，AB＝4．（1）求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C﹣AE﹣D的大小．19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表：x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26（1）计算的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少．（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；相关系数．参考数据：，，．20．已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆C的左顶点为P．（1）若△PAB的面积为，求直线l的方程；（2）若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x（x2+8x﹣4）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，且m≠0，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1与x轴交于O，A两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程；（2）若直线l与曲线在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P 在曲线C1上，求|PN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知x，y，z均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；（2）已知实数m，n满足m≥1，，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩（∁U B）＝（）A．B．（0，1]C．D．（0，1）【分析】根据二次不等式的求法先求出集合A，结合指数函数的性质可求B，进而可求．解：依题意得，，B＝{y|y＝3x+1}＝{y|y＞1}，则∁U B＝{y|y≤1}，所以A∩（∁U B）＝（0，1]，故选：B．2．若复数z满足z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：依题意得，，故在复平面内复数z所对应的点为，该点位于第一象限，故选：A．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．解：依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步，问题[三四]中扇形的面积为平方步．故选：B．4．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为﹣20，则判断框中可以填（）A．k＜3？B．k＜4？C．k＜5？D．k＜6？【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a的值正负交替．只需逐次循环，直到得到s＝﹣20，根据k的值判断．解：运行该程序，第一次循环，S＝2，a＝﹣2，k＝2；第二次循环S＝﹣6，a＝2，k＝3；第三次循环，S＝12，a＝﹣2，k＝4；第四次循环，S＝﹣20，a＝2，k＝5，此时输出S 的值，观察可知，仅选项C符合题意，故选：C．5．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．11B．12C．13D．14【分析】依题意得，，从而．令，得，由此能求出使得a n＞6成立的n的最小值．解：∵正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，∴依题意得，，故．令，得3n﹣2＞36，解得，∵n∈N*，∴使得a n＞6成立的n的最小值为13，故选：C．6．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（）A．m＞0，0＜n＜1B．m＞0，n＞1C．m＜0，0＜n＜1D．m＜0，n＞1【分析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m ＜0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可．解：令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即，由图可知，，故m＞0时n＞1，m＜0时0＜n＜1，排除A、D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→+∞时，y→0则f（x）→n2，C明显不合题意，排除C，故选：B．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠ACA＝45°B．∠ACA＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形【分析】推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥平面CC1A1，进而AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，可得A1C⊥平面ABC1，从而A1C⊥AC1，四边形ACC1A1为正方形，进而∠A1CA＝45°，当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C．解：如图，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面CC1A1，因为A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，由AB∩BC1＝B，可得A1C⊥平面ABC1，因为AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥AC1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以∠A1CA＝45°，反之亦然，即当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C，故选：A．8．已知非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（）A．ln|m|＞ln|n|B．C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n|D．m2＞n2【分析】由非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，可得|m|3＞|n|3＞0，|m|＞|n|＞0，进而判断出结论．解：因为非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，所以|m|3＞|n|3＞0，所以|m|＞|n|＞0，所以ln|m|＞ln|n|，，m2＞n2，所以选项A、B、D均正确；对于选项C，当，时，，所以选项C 错误．故选：C．9．若首项为的数列{a n}满足2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．B．C．D．【分析】先根据2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，推得，再令n取n﹣1可得新等式，两等式再结合叠加法求出数列{a n}的通项，即可求解结论．解：依题意得a n≠0，由2（2n+1）a n a n+1＝a n﹣a n+1，可得，则，，……，，以上式子左右两边分别相加可得，即，即＝，故a1+a2+a3+…+a2020＝＝，故选：C．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．D．当时，【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：依题意得，，故函数f（x）在上先减后增，故A错误；因为将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数解析式为，函数g（x）的图象关于原点对称，故B错误；因为，所以是函数f（x）图象的一条对称轴，即，故C正确；当时，，则，故D错误．综上所述，故选：C．11．在正方形ABCD中，已知AB＝2，（0≤λ≤1），（0≤μ≤1），||，若≥x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】可以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设E（2，m），F（n，2），从而得出．根据即可得出，进而可得出（m+n+4）2≥32，从而得出，从而得出，这样即可得出x的范围．解：以A为坐标原点，线段AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设E（2，m），F（n，2），则，由，得，化简可得mn＝4﹣2（m+n），∴，故（m+n+4）2≥32，因为m≥0，n≥0，故，当且仅当时等号成立，∴，故x的取值范围为．故选：A．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．或2【分析】分两种情况讨论A，B在y轴的同侧和两侧，可得圆心M在∠AOB的角平分线上，过M作垂直于OA，AF的垂线，由题意可得四边形MTAN为正方形，再由题意可得FA＝b，所以OA＝a，由题意可得NA，ON的值，求出外接圆的半径，由题意可得a，b的关系求出离心率．【解答】解（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限．如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|＝b，又|OF|＝c，所以|OA|＝a，又，所以，所以，从而可得．（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|＝b，|OF|＝c，|OA|＝a，所以△OAB的内切圆半径为，所以，又因为|OB|2＝|AB|2+a2，所以，|OB|＝2a，所以∠BOA＝60°，∠AOF＝60°，则，从而可得．综上，双曲线C的离心率为或2．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中，项的系数为240．【分析】先求其通项公式，再令x的指数为﹣2求出r即可求解结论．解：依题意可得，的展开式的通项为T r+1＝，令，解得r＝2，故项的系数为．故答案为：240．14．若直线y＝9x+a与曲线y＝x3﹣3x相切，则a＝﹣16或16．【分析】先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标，再代入切线求出a的值．解：设切点坐标为（x0，y0），由y'＝3x2﹣3，得切线斜率，故，解得x0＝±2，故切点为（2，2）或（﹣2，﹣2），分别代入y＝9x+a中，可得a＝﹣16或a＝16．故答案为：﹣16或16．15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为．【分析】先求出4个人都没有完成任务的概率和4个人中有3个没有完成任务的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少2人完成任务的概率．解：4个人都没有完成任务的概率为，4个人中有3个没有完成任务的概率为：，故至少2人完成任务的概率为．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l1，l2，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P，Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若l1⊥l2，则下列结论正确的是①②③．①|MN|+|PQ|的最小值为32；②以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128；③直线DE过定点（6，0）；④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点．【分析】直接利用直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，两点间的距离公式的应用求出结果．解：依题意得直线l1，l2的斜率均存在，且F（2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l1：y＝k（x﹣2），联立方程，得整理可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，所以，则，以代替k可得，|PQ|＝8+8k2，，当且仅当k＝±1时取等号，所以①正确；四边形的面积，当且仅当k＝±1时取等号，所以②正确；因为，E（2+4k2，﹣4k），所以直线DE的方程为＝，即k（x﹣6）﹣（1﹣k2）y＝0，恒过定点（6，0），故③正确；若点F为弦MN的三等分点，不妨设，则（2﹣x2，﹣y2）＝2（x1﹣2，y1），所以2﹣x2＝2x1﹣4，即2x1+x2＝6，又x1x2＝4，解得（舍去）或，代入，得，与两直线垂直矛盾，故④错误．综上所述，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若b+c＝8，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数结合sin B≠0，可求cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值，进而利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，进而可求△ABC外接圆的面积．（2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）依题意得：，故：，则：2b cos A﹣c cos A＝a cos C，所以：2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C），即：2sin B cos A＝sin B，因为：sin B≠0，所以：，因为：A∈（0，π），所以：，所以：（R为△ABC外接圆的半径），则：，故△ABC外接圆的面积．（2）由．及余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，又，b+c＝8，所以：，解得：bc＝12．故．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AB﹣D为直二面角，E为线段SB的中点，∠DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝，AB＝4．（1）求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C﹣AE﹣D的大小．【分析】（1）根据条件利用面面垂直性质得到AD⊥AB，线面垂直定理等即可证明AD ⊥平面SAB，进而得到AD⊥BS，从而BS⊥平面DAE，平面DAE⊥平面SBC．（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE的法向量，平面DAE的一个法向量为，利用二面角公式结合图形即可求出二面角解：（1）∵二面角S﹣AB﹣D为直二面角，∴平面SAB⊥平面ABCD，∴∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，∵平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB，又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS，∵∠ASB＝∠ABS，∴AS＝AB，又E为BS的中点，∴AE⊥BS，又AD∩AE＝A，∴BS⊥平面DAE，∵BS⊂平面SBC，∴平面DAE⊥平面SBC．（2）如图，连接CA，CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系A﹣xyz，∵，∴AD＝2，∴A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，2），，，∴，，设平面CAE的法向量为，则即，令x＝1，则，，∴是平面CAE的一个法向量，∵SB⊥平面DAE，∴平面DAE的一个法向量为，∴，由图可知二面角C﹣AE﹣D的平面角为锐角，故二面角C﹣AE﹣D的大小为60°．19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表：x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26（1）计算的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少．（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；相关系数．参考数据：，，．【分析】（1）直接求解，和，即计算样本中心点，（2）根据相关系数求值，即可判断y与x之间的相关程度；（3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解：（1）依题意，，．（2）依题意，，因为0.997＞0.75，所以y与x之间具有很强的相关性．（3）由，所以所求回归直线方程为，故当x＝3.2时，．20．已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆C的左顶点为P．（1）若△PAB的面积为，求直线l的方程；（2）若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）先用分割法表示出△PAB的面积即S△PAB＝S△PDA+S△PDB，从而得到；设直线l的方程为x＝my+1，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理可用含m的式子表示出|y A﹣y B|，从而建立关于m的方程，解之即可；（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），然后分别表示出直线PA和PB的方程，令x＝3，可分别求得M、N两点的坐标，因为，于是可以用含k，x1，x2的式子表示出点R的坐标，将直线l的方程与椭圆的方程联立，把由韦达定理得到的等式代入R的纵坐标化简可得，在表示出k'，有，故而可得解．解：（1）设A（x A，y A），B（x B，y B）．因为D（1，0），椭圆C的左顶点为P（﹣2，0），所以|PD|＝3，故，故，设直线l的方程为x＝my+1，联立，整理得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，所以，，故，解得m2＝6，，故直线l的方程为或．（2）由题意得，直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），联立，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，则①，②，又P（﹣2，0），所以直线PA的方程为，令x＝3，解得，同理可得，，设R（x R，y R），因为，所以x R＝3，，将①②代入上式并化简可得，所以，故，为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x2+8x﹣4）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，且m≠0，求实数m的取值范围．【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性．（2）令x＝0时求出m≥1，然后求在m≥1时，m的取值范围，分离参数求最值，求出m．【解答】解（1）依题意，x∈R，f'（x）＝e x（x2+8x﹣4+2x+8）＝e x（x2+10x+4），令f'（x）＝0，即x2+10x+4＝0，解得，故当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．注：，处写成闭区间也给分．（2）令，由题意得，当x＝0时，g（0）＝m﹣1≥0，则有m≥1．下面证当m≥1时，对任意x≥0，都有g（x）≥0．由于x∈R时，1﹣sin x≥0，当m≥1时，则有．故只需证明对任意x≥0，都有．易知h（x）＝x﹣sin x在[0，+∞）上单调递增，所以当x≥0时，h（x）≥h（0）＝0，即x≥sin x，所以1﹣x≤1﹣sin x，则，设，x≥0，则．当x≥0时，e x≥1，，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，所以当x≥0时，F（x）≥F（0）＝0，所以对任意x≥0，都有．所以当m≥1时，对任意x≥0，都有，故实数m的取值范围为[1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1与x轴交于O，A两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程；（2）若直线l与曲线在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P在曲线C1上，求|PN|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程2x＝4+y，即2x﹣y﹣4＝0，所以直线l的普通方程为2x﹣y﹣4＝0．由曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2代入上式，可得ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）由解得或，所以M（4，4），由（1）可得A（2，0），因为线段MA的中点为N，所以N（3，2），由（1）可知曲线C1表示圆，其圆心为C1（1，0），半径r＝1，所以，因为点P在曲线C1上，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知x，y，z均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；（2）已知实数m，n满足m≥1，，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．【分析】（1）先利用均值不等式可得，同理可得，，以上三式相乘可得，结合得证；（2）利用分析法，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，而m≥1，，则m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，由此容易得证．【解答】证明：（1）由题可得，当且仅当时取等号；同理可得，，故，当且仅当时取等号，因为，所以（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27，当且仅当时取等号．（2）要证2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n，即证4m2n2﹣4mn2+2n﹣2m2n+m﹣1≥0，即证4mn2（m﹣1）﹣（2mn+2n）（m﹣1）+m﹣1≥0，即证（m﹣1）（4mn2﹣2mn﹣2n+1）≥0，即证（m﹣1）[2mn（2n﹣1）﹣（2n﹣1）]≥0，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，因为m≥1，，所以m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，所以（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，所以2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．。

湖北省2020届高三4月调研考试数学试卷(理)有答案(加精)

2019年湖北省高三四月调考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅=D.2i 2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y ==+=+=，则AB 中的元素个数为A.0个B. 1个C. 2个D.无数个3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 244.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -= D.2212y x -= 5.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，6x 的系数为A. 15B. 6C. -6D. -156.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=7.设,,a b c 均为非零向量，已知命题:p a c =是a cbc ⋅=⋅的必要不充分条件，命题:1q x >是1x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取A. 4πB. 2πC.πD.2π9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C.3D. 13+11.已知实数,x y 满足()2221x y +-=的取值范围是A.2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2D. ⎤⎥⎝⎦12.过圆2225x y +=内一点)P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形ABCD 的面积的最大值为A.C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第项.15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b=（1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.18.（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥；（2）当M 为1BB 的中点，且4πθ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.20.（本题满分12分）已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9- （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S 的值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.xx f x x x g x e ==（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断12x x +与02x 的大小，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020届湖北省高三4月调研考试数学模拟试卷(理)有答案(加精)

湖北省高三四月调考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅= 2 D.2i2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y ==+=+=，则A B I中的元素个数为A.0个B. 1个C. 2个D.无数个3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 244.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120o ，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -=D.2212y x -= 5.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，6x 的系数为A. 15B. 6C. -6D. -156.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=7.设,,a b c r r r 均为非零向量，已知命题:p a c =r r是a c b c ⋅=⋅r r r r的必要不充分条件，命题:1q x >是1x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取A. 4πB. 2πC.πD.2π9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C.223D. 213+11.已知实数,x y 满足()2221x y +-=223x y+的取值范围是A.3,2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2 D. 3⎤⎥⎝⎦12.过圆2225x y +=内一点)15,0P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 A. 403803 C. 2802第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第项.15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b=（1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.18.（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥；（2）当M 为1BB 的中点，且4πθ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.20.（本题满分12分）已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9- （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S 的值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.xx f x x x g x e ==（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断12x x +与02x 的大小，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2019-2020学年高三年级4月联考理科数学试卷及答案

B．将函数 f (x) 的图象向左平移 5π 个单位长度后关于 y 轴对称 8
C． f (7π x) f ( 7π x)
8
8
D．当
x [π,
π] 时， 2
f
(x) [
2,
2]
11．在正方形 ABCD 中，已知 AB 2 ， BE BC (0 1) ， DF DC (0 1) ， | BE | + | DF || EF | ，
所对的边分别是 a,b, c
，且
2b c
1
2ab cos C b2 c2 a2
，a
2
7．
（1）求 △ABC 外接圆的面积；
（2）若 b c 8 ，求 △ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 S ABCD 中，二面角 S AB D 为直二面角， E 为线段 SB 的中点， DAB CBA 3ASB 3ABS 90 ， tan ASD 1 ， AB 4 .
面 ACC1 A1 ，因为 A1C 平面 ACC1 A1 ，所以 AB A1C ．当异面直线 BC1 与 A1C 相互垂直时，由 AB BC1 B ，可得 A1C 平面 ABC1 ，因为 AC1 平面 ABC1 ，所以 A1C AC1 ，所以四边形 ACC1 A1 为正方形，所以 A1CA 45 ，反之亦然，即当 A1CA 45 时，可得 BC1 A1C ，故选 A．
相互垂直的条件为
A． A1CA 45
B． ABC 45
C．四边形 ABB1 A1 为正方形
D．四边形 BCC1B1 为正方形
8．已知非零实数 m ， n 满足 m2 | m | n2 | n | ，则下列结论错误的是

【2020年数学高考】湖北省武汉市2020届高三毕业生四月调研测试数学(理)

名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51.复数的共轭复数是（）i-2A．2+i B．-2+i C．-2-i D．2-i22.已知集合M={x|x=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为（）A．{1} B．{-1,1} C．{1,0} D．{1,-1,0}3.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-2,2]，则输出的S属于（）A．[-4,2] B．[-2,2] C．[-2,4] D．[-4,0]4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A．3 B．6 C．23 D．265.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）23A． B．51011C． D．510226.若实数a，b满足a>b>1，m=log(log b)，n=(log b)，l=log b，则m，n，l的大aa aa小关系为（）A．m>l>n B．l>n>m C．n>l>m D．l>m>n名师精准押题227.已知直线y=kx-1与双曲线x-y=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）55555A．(0,) B．[1,] C．( ,) D．(1,)22222b+cB+C8.在∆ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：a≤，条件q A≤：，22那么条件p是条件q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1659.在(x+-1)的展开式中，含x项的系数为（）xA．6 B．-6 C．24 D．-242210.若x，y满足x-1+2y+1≤2，则M=2x+y-2x的最小值为（）24A．-2 B． C．4 D．-119π11.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）39π13π25π25πA．[2π,4π] B．[2π,) C．[,) D．[2π,)2666212.过点P(2,-1)作抛物线x=4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则∆PEF与∆OAB的面积之比为（）3313A． B． C． D．2324二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sinα=2cosα，则sinαcosα=．14.已知向量a，b，c满足a+b+2c=0，且a=1，b=3，c=2，则a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=．ππ15.已知x∈(-,)，y=f(x)-1为奇函数，f'(x)+f(x)tan x>0，则不等式f(x)>cos x的22解集为．16.在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，则四面体体积最大时，它的外接球半径名师精准押题R=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 2n-117.已知正数数列{a}满足：a=2，a+a=+2(n 2).n1nn-1a-a nn-1（1）求a，a；2322（2）设数列{b}满足b=(a-1)-n，证明：数列{b}是等差数列，并求数列{a}的通项a.n nn nnn18.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE=CF=1. 1111（1）已知M为棱DD上一点，且DM=1，求证：BM⊥平面AEC. 11111（2）求直线FC与平面AEC所成角的正弦值.11122xy19.已知椭圆Γ：+=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l，l，设l与椭圆Γ交于12142A、B两点，l与椭圆Γ交于C，D两点.2（1）若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；AB（2）记λ ，求λ的取值范围. CD20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. 名师精准押题（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；22（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N(μ,σ)，其中μ，σ分别取考生的平均成绩x2和考生成绩的方差s，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).（精确到0.001）．．．2附：①s=204.75，204.75=14.31；2②zN(μ,σ)，则P(μ-σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.9544；4③0.8413=0.501. x21.已知函数f(x)=xe-a(ln x+x)，a R. （1）当a e时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方⎧x=3cosθ程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）.⎨y=2sinθ⎩（1）写出l和C的普通方程；名师精准押题（2）在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知f(x)=ax-2-x+2.（1）在a=2时，解不等式f(x)≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f(x)≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC二、填空题2 15-13 15. (0,) 16.13. 14. 526三、解答题317.（1）由已知a+a=+2，而a 2，211a-a21222∴a-2=3+2(a-2)，即a-2a-3=0.2222而a>0，则a=3. 225又由a+a=+2，a=3，322a-a3222∴a-9=5+2(a-3)，即a-2a-8=0.3333而a>0，则a=4. 33∴a=3，a=4.2322（2）由已知条件可知：a-a=2(a-a)+2n-1，nn-1nn-12222∴(a-1)-(a-1)=n-(n-1)，nn-12222则(a-1)-n=(a-1)-(n-1)nn-122=⋅⋅⋅=(a-1)-2322=(a-1)-12=0，22而b=(a-1)-n，nn名师精准押题∴b=0，数列{b}为等差数列.nn22∴(a-1)=n.而a>0，n n故a=n+1.n18.解：（1）过M作MT⊥AA于点T，连BT，则AT=1. 111易证：∆AAE≅∆ABT，于是∠AAE=∠ABT. 111111由∠ABT+∠ATB=90，知∠AAE+∠ATB=90，1111111∴AE⊥BT.11显然MT 面AABB，而AE⊂面AABB，11111∴MT⊥AE，又BTMT=T，11∴AE⊥面MTB，∴AE⊥MB. 111连BD，则BD⊥AC. 111111又DM⊥AC，BDDM=D，1111111∴AC⊥面MDB，1111∴AC⊥MB.111由AE⊥MB，AC⊥MB，AEAC=A，111111111∴BM⊥面AEC.111（2）在DC上取一点N，使ND=1，连接EF. 111易知AE//FN.1∴V=V=VA-EFCN-EFCE-NFC1111111=⋅S⨯3=(⨯2⨯3)⨯3=3. NFC332∆AEC，AC=32，AE=10，1对于11111名师精准押题而EC=22，110+18+221由余弦定理可知cos∠EAC==.112⋅10⋅322011193∴∆A EC的面积S=AC⋅AE sin∠EAC=⨯32⨯10⋅=19. 11111122202由等体积法可知F到平面AEC之距离h满足111136V⨯19⋅h=3h=S⋅h=，则，∴，∆AECA-EFC33219FC=10，设FC与平面AEC所成角为θ，1111又111∴sinθ=619=6=3190. 95101902219.解：（1）设直线AB的斜率为k tanα，方程为y-1=k(x-1)，代入x+2y=4中，22∴x+2[kx-(k-1)]-4=0.222∴(1+2k)x-4k(k-1)x+2(k-1)-4=0.2222判别式∆=[4(k-1)k]-4(2k+1)[2(k-1)-4]=8(3k+2k+1). 设A(x,y)，B(x,y)，则1122⎧4k(k-1)x+x=⎪122⎪2k+1. ⎨22(k-1)-4⎪xx=122⎪⎩2k+1∵AB中点为(1,1)，12k(k-1)1∴(x+x)==1，则k=. 12222k+121∴直线的AB方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0. 222（2）由（1）知AB=1+kx-x=(x+x)-4xx 121212名师精准押题1+k⋅8(3k+2k+1)22=. 22k+1设直线的CD方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).1+k⋅8(3k-2k+1)22同理可得CD=.22k+1∴λ==(k≠0). 2AB3k+2k+12CD3k-2k+14k42∴λ=1+=1+. 123k+1-2k3k+-2k1令t=3k+，k4t∈(-∞,-23][23,+∞).则g(t)=1+，t-23][23,+∞)g(t)在(-∞,-2，分别单调递减，∴2-3≤g(t)<1或1<g(t)≤2+3. λ22故2-3≤λ<1或1<≤2+3. 6-26+2λ∈[,1)(1,]. 即2220.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.2+75⨯0.3+85⨯0.15+95⨯0.1=70.5，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分. 2（2）依题意z服从正态分布N(μ,σ)，其中μ=x=70.5，2σ=Dξ=204.75，σ 14.31，22∴z服从正态分布N(μ,σ)=N(70.5,14.31)，名师精准押题而P(μ-σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.6826，1-0.6826∴P(z≥84.81)==0.1587. 2∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587⨯4000=634.8人≈634人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1-0.1587=0.8413. 而ξB(4,0.8413)，44∴P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-C⋅0.8413=1-0.501=0.499.421.解：（1）定义域为：(0,+∞)，x(1+x)(xe-e)当a=e时，f'(x)=.x∴f(x)在(0,1)时为减函数；在(1,+∞)时为增函数.（2）记t=ln x+x，则t=ln x+x在(0,+∞)上单增，且t∈R. xt∴f(x)=xe-a(ln x+x)=e-at=g(t). t∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)=e-at在t∈R上有两个零点. t①在a=0时，g(t) e在R上单增，且g(t)>0，故g(t)无零点；t②在a<0时，g'(t)=e-a在R上单增，又g(0)=1>0，11g()=e-1<0，故g(t)在R上只有一个零点；a a t③在a>0时，由g'(t)=e-a=0可知g(t)在t=ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)=a(1-ln a). 若0<a<e，g=a(1-ln a)>0，g(t)无零点；最小若a=e，g 0，g(t)只有一个零点；最小若a>e时，g=a(1-ln a)<0，而g(0)=1>0，最小ln x ae2x>e时为减函数，可知：a>e时，e>a>a. 由于f(x)=在x名师精准押题a2从而g(a)=e-a>0，∴g(x)在(0,ln a)和(ln a,+∞)上各有一个零点.综上讨论可知：a e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, ). 22.解：（1）由l：ρcosθ+ρsinϕ-10=0，及x=ρcosθ，y=ρsinθ. ∴l的方程为x+2y-10=0. 22xy由x 3cosθ，y=2sinθ，消去θ得+=1. 94（2）在C上取点M(3cosϕ,2sinϕ)，则d==⋅5cos(ϕ-ϕ)-10. 3cosϕ+4sinϕ-101055⎧3cosϕ=⎪0⎪5其中，⎨4⎪sinϕ=0⎪⎩55当ϕ=ϕ时，d取最小值. 09898此时3sinϕ=3cosϕ=2sinϕ=2cosϕ=M(,)，，. 000555523.解：（1）在a=2时，2x-2-x+2≤1. 在x≥1时，(2x-2)-(x+2)≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-(2x-2)+(x+2)≤1，x≥3，∴x无解；11在-2≤x≤1时，-(2x-2)-(x+2)≤1，x≥-，∴-≤x≤1. 331综上可知：不等式f(x)≤1的解集为{x|-≤x≤5}. 3（2）∵x+2-ax-2≤4恒成立，而x+2-ax-2≤(1+a)x，名师精准押题或x+2-ax-2≤(1-a)x+4，故只需(1+a)x≤4恒成立，或(1-a)x+4≤4恒成立，∴a=-1或a=1. ∴a的取值为1或 1.。

2020届湖北省武汉市高三下学期4月质量检测数学(理)

武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学武汉市教育科学研究院命制2020.4.7 本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.选择题的作答；每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内。

5.请学生自行打印答题卡，不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图。

6.答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝A.12B.－12C.2D.－22.已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x(x＋3)≤0}，则M∩N＝A.[－3，2)B.(－3，2)C.(－1，0]D.(－1，0)3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为A.16B.518C.19D.5124.在正项等比数列{a n}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝A.2B.4C.12D.85.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A.53 B.85 C.138 D.21136.已知等边△ABC 内接于圆T ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是2 B.13 D.2 7.已知函数f(x)＝sin 2x ＋sin 2(x ＋3π)，则f(x)的最小值为 A.12 B.143 D.228.已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n ＋a n ＋1－1)2＝4a n a n ＋1，且a n ＋1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ A.2n B.n 2 C.n ＋2 D.3n －2 9.已知a ＝0.80.4，b ＝0.40.8，c ＝log 84，则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、两三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为 A.25 B.35 C.15 D.21511.已知点P 在椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PB PO =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆Γ的离心率e ＝ A.12B.22C.32D.3312.已知关于x 的不等式3ln 1xe x a x x--≥对于任意x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为A.(－∞，1－e]B.(－∞，－3]C.(－∞，－2]D.(－∞，2－e 2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考全国卷 4月联考数学(理科)试题(word版,含解析)

2020高考全国卷4月联考数学(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1(ii i z-=-为虚数单位),则2z=()A.1+ iB.1-iC.2iD. -2i2.已知集合A=2{|13},{|2940},x x B y y y-≤<=-+≤则A∩B=()A.{x|-1≤x≤4}1.{|3}2B x x≤< C.{x|-1≤x<3} D.∅3.实数x,y满足不等式组1,22,22,x yx yx y+≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥-⎩则目标函数z=2x+ y的最大值为()A.3B.4C.5D.64.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一-棵大松树上,一天它们在一起玩智力游戏.小芳说:今天我们三个有的吃了松子;小松说:今天我们三个有的没吃松子;点点说:今天我没吃松子.已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是()A.全吃了B.全没吃C.有的吃了D.有的没吃5.已知3sin(15),5α︒+=则cos(30)α︒-=()72.A2.B-72.C272.D2-6.已知函数||sin()xxf xe=,则函数y= f(x)的大致图象是7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲，甲的困难户最多;另一位志愿者说:不能最后去丁，丁离得最远.他们总共有多少种不同的安排方法( )A.14B.12C.24D.288.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A 0,0,||)2πωϕ>>≤离原点最近的对称轴为0,x x =若满足0||,6x π≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y = 2sin(2x -φ )是"近轴函数" ,则φ的取值范围是( )[,]62A ππ⋅ .[,]26B ππ-- .[,][,]2662C ππππ--⋃ .[,0][0,]66D ππ-⋃ 9.北宋徽宗在崇宁年间(1102年一1106 年)铸造崇宁通宝钱,因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良,钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美日:“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”.崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰铜钱直径3.5厘米,中间穿口为边长为0.9厘米的正方形.用一根细线把铜钱悬挂在树枝上,假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的(箭头的大小不计).这位射手射中穿口的概率最接近()1.6A 1.8B 1.10C 1.12D第9题图第10题图 10.已知四棱锥S- ABCD 的底面是等腰梯形,AB// CD,AD= DC= BC= 1,AB =SA=2,且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S - ABCD 的外接球的体积为( )A.8π 82.3B π .82C π 2.3D π 11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线20x -=与椭圆E 交于点P,与直线2(a x c c ==22a b -)交于点Q,O 为坐标原点,且2,OQ OP =u u u r u u r 则椭圆E 的离心率为() 1.2A 1.4B 3C 3D12.已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y= -12x+ m,若函数f(x)至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A.( -5,27)B.[-5,27]C.(-1,3]D.[-1,3] 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数2,0,()(2),0,x e x f x f x x ⎧+≤=⎨->⎩则f(2020)=____14.已知点O 为坐标原点,向量(1,2),(,),OA OB x y ==u u u r u u u r 且10,OA OB ⋅=u u u r u u u r ||OB uuu r 的最小值____15.已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.满足2230,a c b ABC -+=V 的面积S =且A= 60°,则△ABC 的周长为____ 16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1212,,||10.F F F F =P 为双曲线右支上的一点,直线1PF 交y 轴于点M,交双曲线C 的一条渐近线于点N,且M 是1PF 的中点MN =u u u u r 2,NP uuu r 则双曲线C 的标准方程为____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足242n n n S a a =+.等比数列{}n b 满足1122,.a b a b ==( I )求数列{}n a 与数列{n b }的通项公式;(II )若,n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和.n T18.(12分)如图,已知四棱锥S- ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB// CD,AD ⊥CD,且AB= AD= 1, SC=2,SD CD SA ===E 为SC 的中点.( I )求证: BE//平面SAD;(II)求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的正弦值.19.(12分)已知抛物线2:2(0)C x py p =>与直线l:y= kx+2交于A,B 两点,O 为坐标原点.当k= 1时,OA ⊥OB. ( I )求抛物线C 的标准方程;(II)点F 为抛物线C 的焦点,求△FAB 面积的最小值.20.(12分) 已知函数2()2(1)1x e x e f x x e x e--=+-++ (I)求函数f(x)的单调区间; (II)设函数2ln(1)()()2(1)1x F x f x x e x m x -=-++++-,若F(x)≤0对任意x> 1恒成立,求实数m 的取值范围.21.(12分)2019年6月6日,中国商务部正式下发5G 商用牌照,中国正式进入5G 商用元年.在5G 基站的建设中对零部件的要求非常严格,一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中.从外观看这6个部件是完全一-样的,5 个正品部件一样重,1 个次品部件略轻一些现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来.A 方案:逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件,称重两次,若重量相同则都是正品部件如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重.依次进行,直到挑出次品部件. B 方案:把6个部件任意分成3组,每组2个，然后称重.(I)分析A,B两个方案,分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率;(II)如果称重一次需要2分钟,试比较A, B两个方案哪一个用时更少,并说明原因.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x0y中,已知直线l的参数方程为1cos1sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩(α∈R,t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.( I )求曲线C的直角坐标方程;(II)若曲线C上的点到直线l1,求tanα的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)= |x+a| +|x-1|.( I )当a=2时,解关于x的不等式f(x)- x≥8;(II )若关于x的不等式f(x)≤|x-5|在[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.。

2020年湖北省武汉市江夏一中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)

2020年湖北省武汉市江夏一中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={y|y=2x,x∈R}，B={x|x≥2}，则A∩(∁U B)=()A. ⌀B. {0,1}C. (0,2)D. (−∞,2)2.已知复数z满足(1+i)z=−1+i，则在复平面内，z对应的点Z的坐标为()A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)3.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为()平方米．A. 60B. 120C. 240D. 4804.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填()A. k>4B. k>5C. k>6D. k>75.已知等差数列{a n}中，a2=1，a3+a5=4，则该数列公差为()A. 12B. 1 C. 32D. 26.已知函数f(x)和g(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(g(x))=1和g(f(x))=0的实数根的个数分别为m和n，则m+n=()A. 15B. 13C. 12D. 107. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC =AC ，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1,②A 1B ⊥NB 1 ，③平面AMC 1⊥平面CBA 1，其中正确结论的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3 8. 若1a <1b <0,则下列不等式：(1)a +b <a ⋅b ；(2)|a |>|b |；(3)a <b 中，正确的不等式有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个 9. 在数列{a n }中，a n a n+1=12，a 1=1，则a 98+a 101=( )A. 6B. 1C. 2D. 32 10. 已知f(x)=sin2x −cos2x ，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，则( )A. p 是假命题，¬p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0B. p 是假命题，¬p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)≥0C. p 是真命题，¬p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0D. p 是真命题，¬p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)≥011. 已知△EFH 是边长为1的正三角形，动点G 在平面EFH 内．若EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ <0，|HG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A. [−1,−12)B. [−1,−12]C. (−32,−√34]D. (−32,−12)12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右项点为A ，过A 作双曲线C 的一条渐近线的平行线，且该直线与另一条渐近线交于点M ，若(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为( )A. √6B. √5C. 2D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −√x )n (n ∈N ∗)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为______14. 若直线y =3x +1是曲线y =ax 3的切线，则a =_________．15. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12，23，23，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．16. 已知抛物线E ：x 2=8y 的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，若A为线段CF 的中点，则|BF|=________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b =√2，c =1，cosB =34．(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．18. 如图，在三棱锥S −ABC 中,SB ⊥底面ABC ，且SB =AB =2,BC =√6∠ABC =π2,D,E 分别是SA,SC 的中点．(Ⅰ)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(Ⅱ)求二面角S −BD −E 的平面角的大小．19. 某公司的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据 x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂其中b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2，a ̂=y −b ̂x ． (1)根据表中提供的数据，求出y^与x 的回归方程； (2)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，其左、右焦点分别为F1,F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，ΔABF2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(−1,1)且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点(异于A，B点)，证明：直线BM和BN的斜率和为定值．21.已知函数f(x)=e x−(mx2+x+1)．(1)若m=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求m的取值范围．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ+π6)−3=0，曲线C的参数方程是{x=2cosφy=2sinφ(φ为参数)．(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23.已知x，y均为正数，且x>y，求证：x+4x2−2xy+y2≥y+3．【答案与解析】1.答案：C解析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．解：A={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}，∵B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x<2}，则A∩(∁U B)={x|0<x<2}，故选：C2.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其坐标表示，是基础题．利用复数的除法运算化简，则答案可求．解：由(1+i)z=−1+i，得z=−1+i1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i.∴在复平面内z对应的点的坐标是(0,1).故选A．3.答案：B解析：本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用扇形面积计算公式即可得出．解：由题意可得：弧长l=20，半径r=12，扇形面积S=12lr=12×20×12=120(平方米)，故选B．4.答案：A解析：解：执行程序框图，可得k =2，S =4；k =3，S =11；k =4，S =26；k =5，S =57；根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S 的值为57．故判断框内应填k >4．故选：A ．执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k =5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S 的值为57，从而即可判断．本题主要考察了程序框图，正确得到退出循环时k ，S 的值是解题的关键，属于基础题． 5.答案：A解析：解：∵等差数列{a n }中，a 2=1，a 3+a 5=4，∴{a 2=a 1+d =1a 1+2d +a 1+4d =4，解得d =12，a 1=12，∴该数列公差为12．故答案为：12．由等差数列的通项公式列出方程组，能求出公差和首项．本题考查数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 6.答案：A解析：先根据图象，先求出f(x)=1和g(x)=0的根，然后利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断，结合函数与方程之间的关系，研究函数图象是解决本题的关键．解：由f(t)=1得t1∈(0,1)，t2∈(−1,0)，当t1=g(x)，此时有3个根；当t2=g(x)，此时有3个根．故f(g(x))=1共有6个根，即m=6．由g(t)=0得t1=0，0<t2<1，−1<t3<0，当t1=f(x)=0，此时有3个根；当t2=f(x)，此时有4个根；当t3=f(x)，此时有2个根．故g(f(x))=0共有3+4+2=9个根，即n=9．则m+n=6+9=15，故选：A．7.答案：D解析：本题考查线面垂直的判定和性质定理以及面面垂直的判定，利用线面垂直判断定理判断A；利用线面垂直的性质定理判断B；根据面面垂直的判定定理判断C，属于中档题．解：①：因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所以面A1B1C1⊥面ABB1A1;因为BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因为M为A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1，因为面A1B1C1∩面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥面ABB1A1，故①正确；②：由①知，C1M⊥A1B，又因为AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥面AMC1，所以A1B⊥AM，因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AM//NB1，因为A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正确；③：由②知A1B⊥面AMC1，又因为A1B⊂面CBA1，所以面AMC1⊥面CBA1，故③正确．综上所述，正确结论的个数为3，故选D．8.答案：A解析：本题考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的性质是解题关键.由1a <1b <0，可得b <a <0.利用不等式的性质即可得出．解：∵1a <1b <0，∴b <a <0．则下列不等式：(1)a +b <0<a ⋅b ，正确；(2)|a|>|b|不正确；(3)a <b 不正确．故正确的不等式只有1个．故选A ．9.答案：D解析：解：∵在数列{a n }中，a n a n+1=12，a 1=1，∴a n+1=12a n ， ∴a 2=12，a 3=12×12=1， a 4=12，…∴a n ={1,n 为奇数12,n 为偶数， ∴a 98+a 101=12+1=32．故选：D ．由已知条件利用递推公式依次求出数列的前4项，从而得到a n ={1,n 为奇数12,n 为偶数，由此能求出a 98+a 101．本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用． 10.答案：C解析：本题考查了命题的真假，考查了全称命题与特称命题的否定，f(x)=sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)，求出函数的最小值，则命题的真假可以判定，由全称命题与特称命题的关系可以求出命题p 的否定．解：f(x)=sin2x −cos2x =√2(√22sin2x −√22cos2x)=√2sin(2x −π4) 所以当x ∈(0,π2)时，2x −π4∈(−π4,34π)，当2x −π4=−π6时，f(x)=−√22<0，所以命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x)<0是真命题，¬p ：∀x 0∈(0,π2)，f(x)≥0，故选C ． 11.答案：A解析：解：以EF 的中点为坐标原点，EF 所在直线为x 轴，建立如图的直角坐标系，则E(−12,0)，F(12,0)，H(0,√32)，设G(x,y)，由|HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可得x 2+(y −√32)2=1，即有−1≤x ≤1①又EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +12,y)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −√32). 由EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，可得x +12<0，即有x <−12②由①②可得−1≤x <−12．则HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ×1+(y −√32)×0=x ，则所求范围为[−1,−12).故选A ．以EF 的中点为坐标原点，EF 所在直线为x 轴，建立如图的直角坐标系，设出E ，F ，H ，G 的坐标，以及相应向量的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，结合圆的性质，可得x 的范围为−1≤x ≤1，再由条件即可得到计算得到．本题考查向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，同时考查圆的性质和不等式的性质，属于中档题．12.答案：C解析：解：过A 作双曲线C 的一条渐近线的平行线，则该平行线的方程为：y =b a (x −a)联立{y =b a (x −a)y =−b a x，可得M(a 2,−b 2) ∵(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则OM =OA =a ，∴√(a 2)2+(−b2)2=a ⇒b 2=3a 2，则C 的离心率为√1+b2a 2=√1+3=2．故选：C ．可得M(a 2,−b2)，由(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得OM =OA =a ，⇒b 2=3a 2，可得离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题． 13.答案：560解析：【试题解析】解：由题意可得∁n 2=∁n 5，求得n =7，故展开式第r +1项为T r+1=∁7r ⋅(−2)r ⋅x 7−32r ；r =0，1，…，7；令7−32r =1⇒r =4，∴展开式中x 的系数为：∁74⋅(−2)4=560，故答案为：560．利用二项式系数的性质求得n =7，再利用二项式展开式的通项公式令x 的指数为1求出人r ，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.答案：4解析：本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．设切点为(x 0,y 0)，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可求解．解：设切点为(x 0,y 0)，则y 0=ax 03①，y 0=3x 0+1②，∵y′=3ax 2，∴切线斜率k =3ax 02=3③，解①②③可得x 0=−12，a =4．故答案为4. 15.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设事件A 表示“甲命中”，事件B 表示“乙命中”，事件C 表示“丙命中”，则P(A)=12，P(B)=23，P(C)=23，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：P =++P(ABC)+P(ABC)，由此能求出结果．解：设事件A 表示“甲命中”，事件B 表示“乙命中”，事件C 表示“丙命中”，则P(A)=12，P(B)=23，P(C)=23，∴他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=12×23×13+12×13×23+12×23×23+12×23×23=1218=23．故答案为23． 16.答案：6解析：本题主要考查了直线与圆锥曲线相交的弦长，考查了抛物线的性质，属于中档题．先求出抛物线的焦点F 的坐标，设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )(x A >0,x B <0)，根据A 为线段CF 的中点，可求出点A 的坐标，即可求出直线l ，联立直线方程和抛物线方程，可求出点B 的坐标，然后利用两点的距离公式可求出|BF|．解：抛物线E ：x 2=8y 的焦点为F 的坐标为(0,2)，∵过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )(x A >0,x B <0)，∵A 为线段CF 的中点，则y A =1，x A =√8=2√2，∴A(2√2,1)，则直线l 的斜率为2√2−0=−√24， ∴直线l ：y =−√24x +2，联立{x 2=8y y =−√24x +2,解得{x A =2√2y A =1,{x B =−4√2y B =4, ∴|BF|=√(−4√2)2+(4−2)2=√36=6．故答案为6． 17.答案：(本题满分为12分)解：(1)∵b =√2，c =1，cosB =34．∴sinB =√1−cos 2B =√74， ∴由正弦定理可得：sinC =csinB b =1×√74√2=√148…4分 (2)∵c <b ，C 为锐角，∴由(1)可得：cosC =√1−sin 2C =5√28， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√74×5√28+34×√148=√144， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×1×√144=√74…12分解析：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，由正弦定理可得sin C 的值．(2)由c <b ，可得C 为锐角，由(1)可得cos C ，利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：证明：(I)∵∠ABC =π2，∴BA ⊥BC ，建立如图所示的坐标系，则C(0,√6,0)，A(2,0，0)，D(1,0，1)，E(0,√62,1)，S(0,0，2)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,0)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)⋅(0，√6，0)=0， AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)⋅(1，0，1)=−1+1=0，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，∵BC ∩BD =B ，∴AD ⊥平面BCD ；∵AD ⊂平面BCD ；∴平面ACD ⊥平面BCD ；(II)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√62,1)，则设平面BDE 的法向量n⃗ =(x,y ，1)，则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{√62y +1=0x +1=0，解得x =−1，y =−√63，即n ⃗ =(−1,−√63,1)，又平面SBD 的法向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,0)，∴cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√6⋅√83=−24=−12，则<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=2π3，即二面角S −BD −E 的平面角的大小为π3．解析：本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理证明AD ⊥平面BCD 即可证明平面ACD ⊥平面BCD ．(Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S −BD −E 的余弦值．19.答案：解：(1)根据题意，计算x =15×(2+4+5+6+8)=5，y =15×(30+40+60+50+70)=50，∴∑x i 5i=1y i =2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，∑x i 25i=1=22+42+52+62+82=145，b ̂=∑x i 5i=1y i −nxy ∑x i 25i=1−nx 2=1380−5×5×50145−5×52=6.5； â=y −bx =50−6.5×5=17.5； ∴线性回归方程为ŷ=6.5x +17.5； (2)由题得：ŷ=115，即6.5x +17.5=115，解得x =15．即大约需要15万元广告费．解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属于基础题．(1)根据题意，计算x 、y ，求出回归方程的对应系数，写出回归方程；(2)利用回归方程计算ŷ=115时x 的值即可． 20.答案：解：(1)c a =√22，a 2=2c 2，b 2=c 2，又bc =1，∴b =c =1,a =√2，所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．(2)证明：如图所示：设直线l的方程为y=k(x+1)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=k(x+1)+1x22+y2=1得(2k2+1)x2+4k(k+1)x+2k2+4k=0，∴x1+x2=−4k(k+1)2k2+1,x1x2=2k2+4k2k2+1，∴K BM+K BN=y1+11+y2+12=k(x1+1)+21+k(x2+1)+22=2k+k+2x1+k+2x2=2k+(k+2)(x1+x2)x1x2．=2k−(k+2)4k(k+1)2k2+4k=2k−2(k+1)=−2．∴直线BM与BN的斜率之和为定值．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．(2)联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．21.答案：解：(1)若m=0，f(x)=e x−x−1，f′(x)=e x−1．当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)f′(x)=e x−2mx−1．由(1)知e x≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，故f′(x)≥x−2mx=(1−2m)x，从而当1−2m≥0，即m≤12时，f′(x)≥0(x≥0)．所以f(x)在[0,+∞)上单调增加．而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥0．由e x >x +1(x ≠0)，可得e −x >1−x(x ≠0)，从而当m >12时，f′(x)=e x −1−2mx <e x −1+2m(e −x −1)=e −x (e x −1)(e x −2m)，令e −x (e x −1)(e x −2m)<0，得1<e x <2m ，故0<x <ln2m ．故当x ∈(0,ln2m)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,ln2m)上单调减少．而f(0)=0，于是当x ∈(0,ln2m)时，f(x)<0，不符合要求．综上可得m 的取值范围为(−∞,12]．解析：(1)若m =0，f(x)=e x −x −1，f′(x)=e x −1.然后利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间．(2)f′(x)=e x −2mx −1.f′(x)≥x −2mx =(1−2m)x ，推出m ≤12时，f′(x)≥0(x ≥0)．m >12时，f′(x)=e −x (e x −1)(e x −2m)，令e −x (e x −1)(e x −2m)<0，0<x <ln2m.转化求解m 的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力． 22.答案：解：(1)直线l 的极坐标方程2ρsin(θ+π6)−3=0，化为√3ρsinθ+ρcosθ−3=0，即l 的普通方程为x +√3y −3=0，曲线C 的参数方程是{x =2cosφy =2sinφ(φ为参数)．消去φ，得C 的普通方程为x 2+y 2=4．(2)在x +√3y −3=0中，令y =0得P(3,0)，∵k =−√33， ∴倾斜角α=5π6，∴l 的参数方程可设为{x =3+tcos 5π6y =0+tsin 5π6即{x =3−√32t y =12t (t 为参数)，代入x 2+y 2=4得t 2−3√3t +5=0，Δ=7>0，∴方程有两解，t 1+t 2=3√3，t 1t 2=5>0，∴t 1，t 2同号，|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系的应用，难度适中．(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)将直线的普通方程转化为参数方程，与圆的普通方程联立整理，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．23.答案：证明：x −y +4x 2−2xy+y 2=(x −y)+4(x−y)2，=x−y 2+x−y 2+4(x−y)2，因为x >y ，x −y >0，所以x−y 2+x−y 2+4(x−y)2≥3×√x−y 2×x−y 2×4(x−y)23=3，当且仅当x−y 2=x−y 2=4(x−y)2取等号，此时x −y =2．故命题得证．解析：根据基本不等式的性质证明即可．考查对于不等式：a +b +c ≥3√abc 3的运用，是一道基础题．。

【精准解析】湖北省2020届高三下学期4月线上调研考试数学(理)试题

【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的前 n 项和为 Sn ．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】解：若 q 1 时， S6 6a1 3S2 3 2a1 6a1 ，
q 1 时， S6 3S2 0 ，符合题意，是充分条件；
反之也成立，
故“ | q | 1”是“ S6 3S2 ”的充要条件，
C. ,3
D. ,3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，讨论 a 的取值范围，结合二次函数的图像与性质及一次函数解析式，即
可求得 a 的取值范围.
【详解】函数
f
(x)
x2 ax, x 1
3ax
7,
x
1
，若存在 x1, x2
R ，且 x1
x2
，使得
f
( x1 )
f
(x2 ) 成
立，
当
，
令 x 0 可得：1 a0 ；
令 x 1 可得： a0 a1 a2 a3 a2020 (1 21)2020 1；
故 a1 a2 a3 a2020 1 1 0 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给
二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
a2
a
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中
档题．
11.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为 2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点 P 出发，
绕圆锥表面爬行一周后回到 P 点，蚂蚁爬行的最短路径为 2 3m ，则圆锥的底面圆半径为

湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2019-2020学年高三年级4月联考理科数学全解全析

江夏一中、汉阳一中2020年4月高三年级联考试卷理科数学全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BABCCBACCCAD1．B 【解析】依题意得，213{|3130}{|(313)0}{|0}3A x x x x x x x x =-<=-<=<<， {31}{|1}xB y|y y y ==+=>，则{|1}U B y y =≤ð，所以()U A B =I ð(0,1]，故选B ． 2．A 【解析】依题意得，3i (3i)(42i)126i 4i 211i 42i (42i)(42i)2022z +++++-====+--+，故在复平面内复数z 所对应的点为11(,)22，该点位于第一象限，故选A ．3．B 【解析】依题意，问题[三三]中扇形的面积为111630120222lr =⨯⨯=平方步，问题[三四]中扇形的面积为11515049992224lr =⨯⨯=平方步，故选B ． 4．C 【解析】运行该程序，第一次循环，2,2,2S a k ==-=；第二次循环，6,2,3S a k =-==；第三次循环，12,2,4S a k ==-=；第四次循环，20,2,5S a k =-==，此时输出S 的值，观察可知，仅选项C 符合题意，故选C ．5．C 【解析】依题意得，213(1)32n a n n =+-=-，故32n a n =-.令326n ->，得3236n ->，解得383n >；因为*n ∈N ，所以使得6n a >成立的n 的最小值为13，故选C ． 6．B 【解析】令()0f x =，即4mx n =，则4log mx n =，即41log x n m =，由图可知，41log 0n m>，故0m >时1n >，0m <时01n <<，排除A 、D ；当0m <时，易知4mx y =是减函数，且当x →+∞时，0y →，则2()f x n →，C 明显不合题意，排除C ，故选B ．7．A 【解析】如图，因为1AA ⊥平面111A B C ，所以1AA AB ⊥，又AB AC ⊥，1AA AC A =I ，所以AB ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥．当异面直线1BC 与1A C 相互垂直时，由1AB BC B =I ，可得1A C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊂平面1ABC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11ACC A 为正方形，所以145ACA ∠=︒，反之亦然，即当145ACA ∠=︒时，可得11BC AC ⊥，故选A ．8．C 【解析】因为非零实数m ，n 满足22||||m m n n ⋅>⋅，所以33||||0m n >>，所以||||0m n >>，所以ln ||ln ||m n >，11||||m n <，22m n >，所以选项A 、B 、D 均正确；对于选项C ，当2m π=，4n π=时，||||2244|sin ||sin |+>+ππππ，所以选项C 错误．故选C ． 9．C 【解析】依题意得0n a ≠，由112(21)n n n n n a a a a +++=-，可得11142n n n a a +-=+，则11142n n n a a --=-，1211n n a a ---=46n -，L L ，21116a a -=，以上式子左右两边分别相加可得111n a a -=(642)(1)2n n +--，即211(21)(21)222n n n n a -+=-=，即2(21)(21)n a n n =-+121n =--121n +，故1232020a a a a ++++=L 113-+1111140401354039404140414041-++-=-=L ，故选C ． 10．C【解析】依题意得，π()22sin(2)4f x x x x =-，故函数()f x 在3π[,π]4上先减后增，故A 错误；因为将函数()f x 的图象向左平移5π8个单位长度后其图象对应的函数解析式为5ππ()2sin(2)2sin(2π)2sin 244g x x x x =+-=+=-，函数()g x 的图象关于原点对称，故B 错误；因为7π7ππ3π()2sin(2)2sin 28842f =⨯-==-，所以7π8x =是函数()f x 图象的一条对称轴，即7π7π()()88f x f x +=-，故C 正确；当π[π,]2x ∈--时，π24x -∈9π5π[,]44--，则()[f x ∈，故D 错误.综上所述，故选C ．11．A 【解析】以A 为坐标原点，线段,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，设(2,)E m ，(,2)F n ，则2()AE AF m n ⋅=+u u u r u u u r .由||+||||BE DF EF =u u u r u u u r u u u r，得m n +=，化简可得42()mn m n =-+，故242()()2m n m n +-+≤，故2(4)32m n ++≥，因为0,0m n ≥≥，故1)m n +≥，当且仅当1)m n ==时等号成立，所以2()1)AE AF m n ⋅=+≥u u u r u u u r，故x 的取值范围为(1)]-∞，故选A.12．D 【解析】有两种情况：（1）若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限.如图，设△OAB 内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得||FA b =，又||OF c =，所以||OA a =，又||||NA MN =，所以||NO =，所以||tan ||b MN AOF a NO =∠==e =（2）若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限.如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =，所以OAB △的内切圆半径为||||||312AB OA OB a +--=，所以||||23OB AB a a -=-，又因为222||||OB AB a =+，所以||3,||2AB a OB a ==，所以o o 60,60BOA AOF ∠=∠=，则otan603b a==，从而可得21()2be a=+=.综上，双曲线C 232.故选D. 13．240 【解析】依题意可得，621(2)x x 的展开式的通项为61621C (2)()rr r r T x x-+=⋅⋅-=53626C 2(1)r r r r x --⋅⋅-⋅，令5322r -=-，解得2r =，故21x 项的系数为2426C 2(1)1516240⋅⋅-=⨯=． 14．1616-或【解析】设切点坐标为00(,)x y ，由233y x '=-，得切线斜率2033k x =-，故20339x -=，解得02x =±，故切点为(2,2)或(2,2)--，分别代入9y x a =+中，可得1616a a =-=或．15．5372 【解析】4个人都没有完成任务的概率为31111423324⨯⨯⨯=，4个人中有3个没有完成任务的概率为121111311131212C 4233423342339⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故至少2人完成任务的概率为1253124972--=． 16．①②③ 【解析】依题意得直线12,l l 的斜率均存在，且(2,0)F ，设2121(,),(,)x y N y x M ，直线1:(2)l y k x =-，联立方程，得2(2)8y k x y x =-⎧⎨=⎩，整理可得2222(48)40k x k x k -++=，所以212248k x x k ++=，则||MN =122848x x k ++=+，以1k -代替k 可得，2||88PQ k =+，228||||8881616MN PQ k k+=+++≥+32=，当且仅当1k =±时取等号，所以①正确；四边形的面积2211||||=32(2)1282S MN PQ k k=⋅⨯++≥，当且仅当1k =±时取等号，所以②正确；因为244(2,)D k k+，2(24,4)E k k +-，所以直线DE 的方程为22244(224)(4)(4)(24)k y k k x k k k+--+=+--，即2(6)(1)0k x k y ---=，恒过定点(6,0)，故③正确；若点F 为弦MN 的三等分点，不妨设2NF FM =u u u r u u u u r，则2211(2,)2(2,)x y x y --=-，所以21224x x -=-，即1226x x +=，又124x x =，解得1222x x =⎧⎨=⎩（舍去），或1214x x =⎧⎨=⎩，代入212248k x x k ++=，得k =±两直线垂直矛盾，故④错误.综上所述，填①②③． 17．（本小题满分12分）【解析】（1）依题意得，22222cos 1b ab C c b c a -=+-，故2222cos cos 2cos abc C a C b c b c a A-==+-，则2cos cos cos b A c A a C -=，（1分）所以2sin cos sin cos sin cos sin()B A A C C A A C =+=+，即2sin cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =，（3分）所以2sin a R A =(R 为ABC △外接圆的半径)，则R =，故ABC △外接圆的面积228ππ3S R ==.（6分）（2）由π3A =及余弦定理得，22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，（8分）又a =8b c +=，所以2283bc =-，解得12bc =，（10分）故1sin 2ABC S bc A ==△（12分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）∵二面角S AB D --为直二面角，∴平面SAB ⊥平面ABCD ， ∵90DAB ∠=︒，∴AD AB ⊥，∵平面ABCD I 平面SAB=AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面SAB ，又BS ⊂平面SAB ，∴AD ⊥BS ，（2分）∵ASB ABS ∠=∠，∴AS =AB ，又E 为BS 的中点，∴AE ⊥BS ，又AD AE =A I ，∴BS ⊥平面DAE ，（4分）∵BS ⊂平面SBC ，∴平面DAE ⊥平面SBC .（5分）（2）如图，连接CA ，CE ，在平面ABS 内作AB 的垂线，建立空间直角坐标系A xyz -，（6分） ∵1tan 2ASD ∠=，∴2AD=， ∴(000)A ，，，(040)B ，，，(042)C ，，，(2320)S -，，，(310)E ，，， ∴=(042)AC u u u r ，，，=(310)AE u u u r，，，（8分）设平面CAE 的法向量为=()x y z ，，n ，∴00AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r，，n n 即42030y +z x +y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，令1x =，则3,23y z =-=， ∴=(1323)-，，n 是平面CAE 的一个法向量，（10分）∵SB ⊥平面DAE ，∴平面DAE 的一个法向量为(2360)SB =-u u r，，， 23631cos ,2||||443SB SB SB ⋅--∴===-⋅⨯u u r u u ru u r n n n ，由图可知二面角C AE D --的平面角为锐角，故二面角C AE D --的大小为60°.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）依题意，1012.44510ii xx ===∑，1014.73110ii yy ===∑.（2分）（2）依题意，10102211101010222211110()()0.851.220.997104()()10i i i i i i i i i i i bx xx x y y r x x y y y y=====---==≈⨯≈-⋅--∑∑∑∑∑$.，因为0.9970.75>，所以y 与x 之间具有很强的相关性.（8分）（3）14..22 2.445 1.75731a y bx ⨯=≈≈--$$，所以所求回归直线方程为 1.22 1.75y x =+$，（10分）故当 3.2x =时， 1.22 3.2 1.75 5.65y =⨯+≈$．（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（1）设(,),(,)A A B B A x y B x y .因为(1,0)D ，椭圆C 的左顶点为P (−2,0)，所以||3PD =，故3||2PAB PDA PDB A B S S S y y =+=-△△△，故||A B y y -=，（2分）设直线:1l x my =+，代入椭圆C 的方程中，整理得22(2)230m y my ++-=，（4分）所以2223,22A B A Bm y y y y m m +=-=-++，故||A B y y -=，解得26m =，m = 故直线l的方程为10x +-=或10x -=.（6分）（2）由题意得直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立可得22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(21)4240k x k x k +-+-=，设1122(,(1)),(,(1))A x k x B x k x --，则2122421k x x k +=+①，21222421k x x k -=+②，（8分）又P (−2,0)，所以直线PA 的方程为11(1)(2)2k x y x x -=++，令3x =，解得115(1)(3,)2k x M x -+，同理可得，225(1)(3,)2k x N x -+，（10分）设(,)R R R x y .因为MR RN =u u u r u u u r，所以R x =3，1212115()222R x x k y x x --=+++，将①②代入上式并化简可得53R y k=-，所以553316k k k-'==--，故56k k '⋅=-，为定值．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（1）依题意，x ∈R ，22()e (8428)e (104)x x f x x x x x x '=+-++=++，（1分）令()0f x '=，即21040x x ++=，解得5x ==-±（2分）故当(,5x ∈-∞-时，()0f x '>，当(55x ∈---+时，()0f x '<，当(5)x ∈-+∞时，()0f x '>，（4分）故函数()f x 的单调递增区间为(,5-∞-和(5)-+∞，单调递减区间为(55--+.（5分）注：55--.（2）令2e (84)()sin 4x x x g x m m x +-=+-，由题意得，当0x =时，(0)10g m =-≥，则有1m ≥．（6分）下面证当1m ≥时，对任意0x ≥，都有()0g x ≥．由于∈R x 时，1sin 0-≥x ，当1m ≥时，则有21()e (21)1sin 4x g x x x x ≥+-+-．故只需证明对任意0x ≥，都有21e (21)1sin 04+-+-≥x x x x ．（7分）易知()sin h x x x =-在[0,)+∞上单调递增，（8分）所以当0≥x 时，()(0)0h x h ≥=，即sin x x ≥，所以11sin x x -≤-，则2211e (21)1sin e (21)144+-+-≥+-+-x x x x x x x x ，设21()e (21)14=+-+-x F x x x x ，0≥x ，则215()e (1)142'=++-x F x x x ．当0≥x 时，e 1≥x ，2151142++≥x x ，所以()0'≥F x ，所以()F x 在[0,)+∞上单调递增，（10分）所以当0≥x 时，()(0)0F x F ≥=，所以对任意0x ≥，都有21e (21)1sin 04+-+-≥x x x x .所以当1m ≥时，对任意0x ≥，都有2e (84)sin 4x x x m m x +-+≥，故实数m 的取值范围为[1,+)∞．（12分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由22x ty t =-⎧⎨=-⎩可得24x y =+，即240x y --=，所以直线l 的普通方程为240x y --=．（2分）由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩可得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（5分）（2）由22404x y y x --=⎧⎨=⎩，可得12x y =⎧⎨=-⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以(4,4)M ，由（1）可得(2,0)A ，因为线段MA 的中点为N ，所以(3,2)N ，（7分）由（1）可知曲线1C 表示圆，其圆心为1(1,0)C ，半径1r =，所以1||C N r =，因为点P 在曲线1C 上，所以min 1||||1PN C N r =-=．（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）由题可得82811x x +=++≥=18x =时取等号；同理可得82y +≥82z +≥，（2分）故(82)(82)(82)x y z +++≥18x y z ===时取等号，因为1864xyz =，所以(82)(82)(82)27x y z +++≥，当且仅当18x y z ===时取等号．（5分）（2）要证222224142m n mn m n m n ++≤++，即证2222442210m n mn n m n m -+-+-≥，即证24(1)(22)(1)10mn m mn n m m --+-+-≥，即证2(1)(4221)0m mn mn n ---+≥，即证(1)[2(21)(21)]0m mn n n ----≥，即证(1)(21)(21)0m n mn ---≥，（7分）因为1m ≥，12n ≥，所以10m -≥，210n -≥，210mn -≥，所以(1)(21)(21)0m n mn ---≥，所以222224142m n mn m n m n ++≤++．（10分）。

2020届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学(理)试题

2020届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学(理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}2log 0B x x =>，则A B =I （） A ．{}12x x << B ．{}02x x << C ．{}13x x << D ．{}01x x << 2．i 为虚数单位，复数()2121i z i -=+的虚部为（） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则59S S =（） A ．59 B ．95 C ．53 D ．527 4．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22x f x x a =+-，则()1f -=（）A ．3B ．3-C ．2-D ．1-5．已知实数,x y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（）A ．－7B ．－6C ．1D ．6 6．已知()5131x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为14，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．45D ．45- 7．若2tan 3tan 7πα=，则3cos 142sin 7παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知ln3a =，2b =，3log 2c =，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若1AB AC ==，1AA =23BAC π∠=，则球O 的体积为（） A ．323π B ．3π C ．43π D ．243π 10．如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设3DF FA =，则（）A ．36246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．36126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r C ．48246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．48126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是12PF F △的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若14PF a =，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．2CD 12．已知一个正方形的四个顶点都在函数()3912f x x x =-+的图像上，则此正方形的面积为（）A ．5或172B ．5或10C ．5或17D ．10或1713．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1143n n n a a -++=⨯，则2020S =______.14．有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某次冷饮店日销售额y （百元）的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是··1.2y t a =+，给出下列说法：①·32.4a =-；②日销售额y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关；③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元.其中正确说法的序号是______.15．已知F 是抛物线218y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()3,2-，则PF PA的最小值是______. 16．已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______.17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a c C a b--=+. （1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC V 的面积.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，122AB AD DC BC ====，PB AC ⊥.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若4PA =，PB =B PC D --的余弦值.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦,PA PB 分别与椭圆C 交于点,A B ，求点P 到直线AB 距离的最大值.20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：（1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；（3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.21．已知函数()()ln f x e x x =-（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点，以及曲线()y f x =在其零点处的切线方程；（2）若方程()()0f x m m =≠有两个实数根12,x x ，求证：1211em x x e e -<---. 22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos 32sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ是参数），以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）曲线2C 与x 轴交点P ，与曲线C 交于点,A B 两点，求11PA PB+的值. 23．（1）解不等式239x x -++≥；（2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+.参考答案1．C【解析】【分析】由题意分别计算出集合A 、B ，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>，则{}{}{}13113A B x x x x x x ⋂=-<<⋂>=<<.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式、对数不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．B【解析】【分析】由复数的运算法则可得112z i =--，再由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()22121212112221i i ii z i i i i -⋅--====--+，所以复数z 的虚部为12-. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题.3．D【解析】【分析】由等差数列前n 项和公式及等差数列的性质结合题意可得539559S a S a =，即可得解. 【详解】由题意1553552a a S a +=⨯=，1995992a a S a +=⨯=，3513a a =，则5395551599327S a S a ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式及等差数列性质的应用，属于基础题.4．B【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得()010f a =-=，解出1a =后利用()()11f f -=-即可得解.【详解】Q 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()010f a =-=，∴1a =，又当0x >时，()221xf x x =+-，∴()()()112213f f -=-=-+-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用及指数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．A【解析】【分析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由图可知向上平移直线30x y -=，到边界()2,3B 的位置时，z 取得最小值，此时2337z =-⨯=-故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6．B【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得二项式511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()5151r r r r T C x -+=⋅-⋅，分别令51r -=-、50r -=即可得3514a ⨯-=，即可得解.【详解】由题意二项式511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()55155111r r rr r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令51r -=-即4r =，()()4455115r r C C ⋅-=⋅-=，令50r -=即=5r ，()()5555111r r C C ⋅-=⋅-=-，所以()5131x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为3514a ⨯-=，解得1a =.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.7．B【解析】【分析】由题意结合诱导公式、三角恒等变换可得322cos sin cos cos sin 1477222sin cos cos sin sin 777πππαααπππααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由题意332cos sin sin 141427222sin sin sin 777ππππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222sin coscos sin tan tan 4tan 777722222sin cos cos sin tan tan 2tan 7777ππππαααππππααα++====--. 故答案为：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系、诱导公式及三角恒等变换的应用，属于中档题. 8．B【解析】【分析】由对数的运算法则与对数函数的单调性可得3log 21ln 32<<<，即可得解.【详解】由题意2ln b ==Q 852*******=>=，∴8523>，∴8523>>，∴ln ln 31>>，33log 2log 31c =<=，∴3log 2ln 32<即c a b <<.故选：B.本题考查了对数运算法则和对数函数单调性的应用，属于基础题. 9．A 【解析】【分析】设ABC V 外接圆圆心为1O ，半径为r ，由正弦定理可得22r =，利用OA =求得球的半径后，由球的体积公式即可得解. 【详解】设ABC V 外接圆圆心为1O ，半径为r ，连接1O O ，如图，易得1O O ⊥平面ABC ，Q 1AB AC ==，1AA =23BAC π∠=， ∴1221sin 2AB r ACB ===∠即11O A =，1112O O AA ==，∴2OA ===， ∴球O 的体积343233V OA ππ=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查了直棱柱的几何特征及外接球体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 10．D 【解析】建立直角坐标系，设1AB =，33DF FA x ==，由余弦定理求得BD x ==后，再由余弦定理得cos DAB ∠=，由同角三角函数的平方关系可得sin DAB ∠=，进而可得点67D ⎛ ⎝⎭，由672μλ⎧=+⎪⎪=. 【详解】如图建立直角坐标系，由题意易知AFC △≌BDA V ，则BD AF =，120ADB ∠=o ，不妨设1AB =，33DF FA x ==，则4AD x =，BD x =，所以12AC ⎛= ⎝⎭u u u r ，()1,0AB =u u u r，在ADB △中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，所以2221164x x x =++解得BD x ==，4AD x ==，则222cos 2AB AD BD DAB AB AD +-∠=⋅即16112121cos 421DAB +-∠==⨯，所以sin DAB ∠=== 所以点()cos ,sin D AD DAB AD DAB ⋅∠⋅∠即67D ⎛ ⎝⎭，所以67AD ⎛= ⎝⎭u u u r ，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则672212μλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得164821634122163λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以48126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r. 故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理和平面向量的综合应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题. 11．A 【解析】【分析】不妨设点()()000,0P x y y >，()1,0F c -，()2,0F c ，由题意00,33x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，则点N 到直线1PF 、2PF 、12F F 的距离均为3y ，点P 到12F F 的距离为0y ，利用三角形面积公式可得()0033y a c y c +=，再由ce a =即可得解.【详解】不妨设点()()000,0P x y y >，()1,0F c -，()2,0F c ，则122F F c =，Q 14PF a =，∴2422PF a a a =-=， Q 由点M 是12PF F △的重心，∴点00,33x c c y M +-⎛⎫⎪⎝⎭即00,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又MN 与x 轴平行，点N 是12PF F △的内心，∴点N 到直线1PF 、2PF 、12F F 的距离均为03y ，点P 到12F F 的距离为0y ， ∴()()1200112213233PF F y y S PF PF F F a c ++=⋅=+△，又12100212PF F S F F y y c =⋅=△，∴()0033y a c y c +=，∴23a c =，∴32c e a ==.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，属于中档题. 12．D 【解析】【分析】由题意可得正方形的中心为()0,1P ，设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k =-+，联立方程组可得2192x k =+，22192x k =-+，再由PA PB =可得2220k k +-=或2410k k +-=，最后利用22S PA =化简即可得解.【详解】设正方形ABCD ，31119,12A x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，32229,12B x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，33339,12C x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，34449,12D x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴1324x x x x +=+，333311332244999911112222x x x x x x x x -++-+=-++-+， ∴()()()()2222131133242244x x x x x x x x x x x x +-+=+-+，又()()331313221133139922ACxx x x kx x x x x x ---==-+--，()()332424222244249922BD xx x x k x x x x x x ---==-+--，当13240x x x x +=+=时，3311339911222x x x x -++-+=，又函数()3912f x x x =-+的图象可看做是由奇函数()392g x x x =-的图象向上平移一个单位所得，∴函数()3912f x x x =-+的图象的对称中心为()0,1， ∴正方形的中心为()0,1P ，符合题意；当13240x x x x +=+≠时，则222211332244x x x x x x x x -+=-+即可得1324x x x x =，此时AC BD k k =，不合题意；不妨设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k=-+，则31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得392x x kx -=，由10x ≠可得2192x k =+，同理可得22192x k =-+， ∴()()22222221111111PA x y x k x x k =+-=+=+，()2222222222221111PB x y x x x k k ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由PA PB =可得()222122111x k x k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即()2229191122k k k k k +⎛⎫⎛⎫++=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得2219102k k k k ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2191202k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112k k -=-或14k k-=-即2220k k +-=或2410k k +-=， ∴正方形面积()()()()2222219221212912S PA x k k k k k ⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，当2220k k +-=时，()()22236291172k k S k k --+=++==；当2410k k +-=时，()()()22291841810S k k kk =++=-++=；所以此正方形的面积为10或17. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题. 13．20202020312S -=【解析】【分析】由题意结合分组求和法以及等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意得()()()()202012345620192020S a a a a a a a a =++++++⋅⋅⋅++()()202020200242018211331433334132⨯--=⨯+++⋅⋅⋅+=⨯=-. 故答案为：20202020312S -=. 【点睛】本题考查了分组求和法和等比数列前n 项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题. 14．①② 【解析】【分析】由$ 1.2ay t =-计算后可判断①，由统计表可判断②，由线性回归方程的概念可判断③，即可得解.【详解】由统计表可得3132333435335t ++++==，5678107.25++++==y ，则$ 1.27.2 1.23332.4ay t =-=-⨯=-，故①正确；由统计表可得日销售额y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关，故②正确；由线性回归方程的概念可得当日平均气温为33摄氏度时，日销售额的预计值为1.23332.47.2y =⨯-=，故③错误.故答案为：①②. 【点睛】本题考查了线性相关关系及回归直线方程的应用，属于基础题. 15【解析】【分析】由题意02PF y =+，PA =PFPA=，按照03x =、03x >、03x <分类讨论，结合基本不等式求得0032x y -+的最值即可得解. 【详解】由题意218y x =可变为28x y =，其准线为2x =-，设点()00,P x y ，则()0022PF y y =--=+，PA =所以PFPA==当03x =时，1PF PA=；当03x ≠时，()()0002200000833382521636238x x x x y x x x ---===++-+++-；当03x >时，()0025366163x x -++≥=-，当且仅当002533x x -=-时，等号成立，此时0038102162x y -<≤=+，所以PFPA≥=；当03x <时，()002536643x x -++≤-=--，当且仅当002533x x -=-时，等号成立，此时003202x y --≤<+，所以PFPA≥=；综上所述，PF PA. . 【点睛】本题考查了抛物线性质及两点之间距离公式的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题. 16．33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦U U 【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质可得24T πω=≤，()()13,42131413142x k k k ππππωπππωπππω⎧⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎡⎤++≥⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤+-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎩，整理后按照0k =、1k =、2k =、3k =分类讨论即可得解.【详解】Q 函数()f x 的图像在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴，0>ω，∴函数()f x 的周期22T πππ≥-=，∴24Tπω=≤，令()42x k k Z ππωπ-=+∈，则()134x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， ∴()()()13,42131,413142x k k k Z k ππππωπππωπππω⎧⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎡⎤++≥∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤+-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎩，整理得()()3243143142k k k ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，()k Z ∈，∴0k ≤≤3且k Z ∈，当0k =时，原不等式可化为3243143142ωωωω⎧<<⎪⎪⎪+≥⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3342ω<<；当1k =时，原不等式可化为()()3124311431142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，解得71144ω<≤；当2k =时，原不等式可化为()()3224321432142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，解得71524ω≤≤；当3k =时，原不等式可化为()()3324331433142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，无解；综上所述，实数ω的取值范围是33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦U U .故答案为：33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦U U . 【点睛】本题考查了三角函数性质的应用，考查了运算求解能力和分类讨论思想，属于中档题. 17．（1）3B π=（2【解析】【分析】（1）由正弦定理得a b a cc a b--=+，化简后再利用余弦定理即可得解；（2）由余弦定理得22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD+-+-=-⋅⋅，化简可得2250a c +=，结合222a c b ac +-=即可得14ac =，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得a b a c c a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD+-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯，所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11sin 1422S ac B ==⨯=【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）由题意可得AB AC ⊥，结合PB AC ⊥利用线面垂直的判定即可得AC ⊥平面PAB ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）过点D 作DE BC ⊥于E ，过E 作EF PC ⊥交PC 于F ，由题意可得PB ⊥平面ABCD ，进而可得平面PBC ⊥平面ABCD ，DFE ∠为所求二面角的平面角，求出EF =、DF =cos EF DEF DF ∠=即可得解.【详解】（1）证明：因为//AD BC ，122AB AD DC BC ====，所以90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，因为PB AC ⊥，PB AB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）因为4PA =，PB =，2AB =，所以PB BA ⊥.由（1）知平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PB ⊥平面ABCD ，由BC ⊂平面ABCD ，PB ⊂平面PBC ，所以PB BC ⊥，平面PBC ⊥平面ABCD . 过点D 作DE BC ⊥于E ，则DE ⊥平面PBC .过E 作EF PC ⊥交PC 于F ，则DF PC ⊥即DFE ∠为所求二面角的平面角，在梯形ABCD 中，求得1EC =，DE ==在Rt PBC V 中，sin PB PBC PC ∠===，所以EF EC =EF =，在Rt DEF △中，DF ==，在Rt DEF △中，求得cos EF DFE DF ∠==，故二面角B PC D --.【点睛】本题考查了面面垂直的判定及二面角的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.19．（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）由题意224112a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩结合222a b c =+解出26a =，23b =后，即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程得122412km x x k -+=+，21222612m x x k-=+，由1PA PB k k ⋅=-化简可得()()212310k m k m +-++=，进而可得直线AB 方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可得点到直线距离的最大值为PM ；当直线AB 斜率不存在时，设其方程为xn =，求出n 后即可得点到直线的距离；即可得解.【详解】（1）由题意，得224112a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合222a b c =+，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124260kxkmx m +++-=，由>0∆得22630k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以121211122y y x x --⋅=---，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入整理得22483210k mk m m ++--=，即()()212310k m k m +-++=，当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意；所以2310k m ++=，此时满足>0∆，则直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以当PM AB ⊥时，点P 到直线AB 的最大距离3d PM ===；当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =，由12x x n ==，12y y =-，代入()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-可得221144y n n -+=-+-，结合221163y n +=可得23n =或2n =（舍去），当23n =时，点P 到直线23x =的距离为43，综上，点P 到直线AB . 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 20．（1）75元（2）见解析，910（3）6 【解析】【分析】（1）由题意直接计算1244517⨯+⨯+⨯即可得解；（2）由超几何分布的概率公式求得()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、()3P ξ=，即可列出分布列，由期望公式计算即可求得期望，即可得解；（3）由二项分布的概率公式可得()10103255k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由题意列出不等式()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即可得解. 【详解】（1）若某居民用水17吨，则需交费124451775⨯+⨯+⨯=（元）；（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===.故ξ的分布列是所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由题可知从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的户数X 满足3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是为()10103255kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得11010110102332k k k k C C C C +-⎧≥⎨≥⎩，解得283355k ≤≤. 因为*k ∈N ，所以6k =. 【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.21．（1）零点为1,e ；()()11y e x =--；y x e =-+；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可得函数()f x 的零点为1，e ，求导后，求出()11f e '=-，()1f e '=-，再求出()()10f f e ==，利用点斜式即可求得切线方程；（2）利用导数证明()()()ln 11e x x e x -≤--、()ln e x x x e -≤-+，设()()()()3124g x f x f x h x m ====，由函数单调性可知13x x >、42x x >，利用1243x x x x -<-即可得证.【详解】（1）由()()ln 0f x e x x =-=，得1x =或x e =，所以函数()f x 的零点为1，e ，因为()ln 1ef x x x'=--，所以()11f e '=-，()1f e '=-. 又因为()()10f f e ==，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()11y e x =--，在x e =处的切线方程为y x e =-+；（2）证明：因为函数()f x 的定义为()0,∞+，()ln 1ef x x x'=--，令()()ln 10e p x x x x =-->，则()210ep x x x'=--<，所以()p x 即()f x '单调递减，由()110f e '=->，()10f e '=-<，所以存在()01,x e ∈，使得()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减；不妨设102x x x <<，且11x ≠，2x e ≠，令()()()()110g x e x x =-->，()()0h x x e x =-+>，记()()()()11ln m x e x e x x =----，则()ln em x x e x'=-+，令()()ln 0e q x x e x x =-+>，则()210eq x x x'=+>，所以()m x '单调递增，且()10m '=，故()m x 在()0,1单调递减，()m x 在()1,+∞单调递增，所以()()10m x m ≥=，即()()()ln 11e x x e x -≤--；记()()ln n x x e e x x =-+--，则()ln en x x x'=-，所以()n x '单调递增，且()0n e '=，故()n x 在()0,e 单减，()m x 在(),e +∞单增. 则()()0n x n e ≥=，即()ln e x x x e -≤-+；不妨设()()()()3124g x f x f x h x m ====，因为()()()113g x f x m g x >==，且()()()11g x e x =--为增函数，所以13x x >. 由()()()3311g x e x m =--=，得311mx e =+-；同理42x x >，4x e m =-；所以312411mx x x x e m e +=<<<=--. 所以12431111m em x x x x e m e e e ⎛⎫-<-=--+=-- ⎪--⎝⎭，所以1211em x x e e -<---. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.22．（1）曲线1C 的普通方程()2234x y +-=，曲线2C 的普通方程4x y +=，（2）3【解析】【分析】（1）消去参数即可得曲线1C 的普通方程；变2C 的极坐标方程为sin cos 4ρθρθ+=，利用sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得曲线2C 的普通方程；（2）写出直线2C的参数方程可写为422x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=后，利用1111A BPA PB t t +=+即可得解. 【详解】（1）消去参数后可得曲线1C 的普通方程为()2234x y +-=；由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos ρθθ= 即sin cos 4ρθρθ+=，由sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线2C 的曲线方程为4x y +=；（2）由题意可知点()4,0P ，则直线2C的参数方程可写为42x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=得2210t -+=，140∆=>，0A B t t +=>，210A B t t =>，所以111111213A B A B A B A B t t PA PB t t t t t t ++=+=+===【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23．（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证. 【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-；当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立；当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥；所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--，因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+，所以1ab a b +>+. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。

湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2020届高三年级4月联考数学(理)试题解析版

湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2020届高三年级4月联考（理科）数学一、选择题（共12小题）.1. 已知全集U R =，集合{}2|3130A x x x =-<，{}|31xB y y ==+，则()U AC B =I （）A. 131,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. (]0,1C. 131,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()0,12. 若复数z 满足()423z i i ⋅-=+，则在复平面内复数z 所对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A. 问题[三三]中扇形的面积为240平方步B. 问题[三四]中扇形的面积为50494平方步 C. 问题[三三]中扇形的面积为60平方步D. 问题[三四]中扇形的面积为50492平方步 4. 运行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为2时，输出的S 的值为-20，则判断框中可以填（）A. 3?k <B. 4?k <C. 5?k <D. 6?k <5. 已知正项数列{}n a 的首项为1，{}2n a 是公差为3的等差数列，则使得6n a >成立的n 的最小值为（）A. 11B. 12C. 13D. 146. 若函数()()24mx f x n=-的大致图象如图所示，则（）A. 0m >，01n <<B. 0m >，1n >C. 0m <，01n <<D. 0m <，1n >7. 在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AA ⊥平面111A B C ，则下列选项中，能使异面直线1BC 与1A C 相互垂直的条件为（） A. 145ACA ∠=︒B. 45ACA ∠=︒C. 四边形11ABB A 为正方形D. 四边形11BCC B 为正方形8. 已知非零实数m ，n 满足22m m n n ⋅>⋅，则下列结论错误的是（） A. ln ln m n >B. 11m n< C. sin sin m m n n +<+ D. 22m n >9. 若首项为23的数列{}n a 满足()11221n n n n n a a a a ++++=，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A. 80804041 B. 40784040 C. 40404041 D. 4039404010. 已知函数()2f x x x =，则下列说法正确的是（） A. 函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B. 将函数()f x 的图象向左平移58π个单位长度后关于y 轴对称C. 7788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈⎣11. 在正方形ABCD 中，已知2AB =，()01BE BC λλ=≤≤u u u r u u u r ，()01DF DC μμ=≤≤u u u r u u u r，BE DF EF +=u u u r u u u r u u u r ，若AE AF x ⋅≥u u u r u u u r，则x 的取值范围为（）A. )(,81⎤-∞⎦B. )(),81-∞C. )(,81⎤-∞⎦D. )(),81-∞12. 过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B .已知O 为坐标原点，若OAB △，则双曲线C 的离心率为（）A.B.1C.D.或2 二、填空题（共4小题）13. 621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，21x 项的系数为 . 14. 若直线9y x a =+与曲线33y x x =-相切，则a = .15. 某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为14，乙完成任务的概率为12，丙、丁完成任务的概率均为23，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为 . 16. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，直线1l ，2l ，过点F 且与抛物线C 分别交于点M ，N 和点P ，Q ，弦MN 和PQ 的中点分别为D ，E ，若12l l ⊥，则下列结论正确的是 .①MN PQ +的最小值为32；②以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为128； ③直线DE 过定点()6,0；④焦点F 可以同时为弦MN 和PQ 的三等分点.三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22222cos 1b ab C c b c a -=+-，27a =. （1）求ABC △外接圆的面积；（2）若8b c +=，求ABC △的面积.18. 如图，四棱锥S ABCD -中，二面角S AB D --为直二面角，E 为线段SB 的中点，3390DAB CBA ASB ABS ∠=∠=∠=∠=︒，1tan 2ASD ∠=，4AB =.（1）求证：平面DAE ⊥平面SBC ；（2）求二面角C AE D --的大小.19. 2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x （单位：万件）以及销售总额y （单位：十万元）之间的关系如表：x2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y4.254.374.404.554.644.754.925.035.145.26（1）计算x ，y 的值；（2）计算相关系数r ，并通过r 的大小说明y 与x 之间的相关程度；（3）求y 与x 的线性回归方程$$y bxa =+$，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少.（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程$$y bxa =+$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$；相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑.参考数据：10221100.85ii xx =-≈∑，1022110 1.04ii yy-=-≈∑， 1.22b ≈r.20. 已知斜率存在且不为0的直线l 过点()1,0D ，设直线l 与椭圆C ：22142x y +=交于A ，B 两点，椭圆C 的左顶点为P .（1）若PAB △的面积为8，求直线l 的方程；（2）若直线PA ，PB 分别交直线3x =于点M ，N ，且MR RN =u u u r u u u r，记直线AB ，RD 的斜率分别为k ，'k .探究：'k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21. 已知函数()()284xf x exx =+-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()284sin 4x e x x m m x +-+≥在[)0,+∞上恒成立，且0m ≠，求实数m 的取值范围.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 与x 轴交于O ，A 两点.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 的普通方程及曲线1C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线2C ：24y x =在第一象限交于点M ，且线段MA 的中点为N ，点P 在曲线1C 上，求PN 的最小值.[选修4-5：不等式选讲]23.（1）已知x ，y ，z 均为正数，且1864xyz =，求证：()()()82828227x y z +++≥；（2）已知实数m ，n 满足1m ≥，12n ≥，求证：222224142m n mn m n m n ++≤++.参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2020届高三年级4月联考（理科）数学解析1-5：BABCC6-10：BACCC11-12：AD1.【分析】根据二次不等式的求法先求出集合A ，结合指数函数的性质可求B ，进而可求.解：依题意得，{}(){}2|3130|3130A x x x x x x =-<=-<13|03x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， {}{}|31|1x B y y y y ==+=>，则{}|1U C B y y =≤，所以()(]0,1U A C B =I ，故选：B.2.【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案. 解：依题意得，3(3)(42)126421142(42)(42)2022i i i i i z i i i i +++++-====+--+，故在复平面内复数z 所对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点位于第一象限，故选：A.3.【分析】利用扇形面积计算公式即可得出.解：依题意，问题[三三]中扇形的面积为111630120222lr =⨯⨯=平方步，问题[三四]中扇形的面积为11515049992224lr =⨯⨯=平方步.故选：B.4.【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a 的值正负交替.只需逐次循环，直到得到20s =-，根据k 的值判断.解：运行该程序，第一次循环，2S =，2a =-，2k =；第二次循环6S =-，2a =，3k =；第三次循环，12S =，2a =-，4k =；第四次循环，20S =-，2a =，5k =，此时输出S 的值，观察可知，仅选项C 符合题意，故选：C.5.【分析】依题意得，()213132n a n n =+-=-，从而n a =.6>，得383n >，由此能求出使得6n a >成立的n 的最小值.解：∵正项数列{}n a 的首项为1，{}2n a 是公差为3的等差数列，∴依题意得，()213132n a n n =+-=-，故n a =.6>，得3236n ->，解得383n >， ∵*n N ∈，∴使得6n a >成立的n 的最小值为13，故选：C.6.【分析】通过函数值为0，求出x 的表达式，判断m ，n 的范围，排除选项AD ，通过0m <，利用函数的单调性，结合x 与y 的关系，判断排除选项C ，即可. 解：令()0f x =，即4mx n =，则4log mx n =，即41log x n m=，由图可知，41log 0n m>，故0m >时1n >，0m <时01n <<，排除A 、D ；当0m <时，易知4mxy =是减函数，且当x →+∞时，0y →则()2f x n →，C 明显不合题意，排除C ，故选：B.7.【分析】推导出1AA AB ⊥，AB AC ⊥，从而AB ⊥平面11CC A ，进而1AB A C ⊥.当异面直线1BC 与1A C相互垂直时，可得1A C ⊥平面1ABC ，从而11A C AC ⊥，四边形11ACC A 为正方形，进而145ACA ∠=︒，当145ACA ∠=︒时，可得11BC AC ⊥. 解：如图，因为1AA ⊥平面111A B C ，所以1AA AB ⊥，又AB AC ⊥，1AA AC A =I ，所以AB ⊥平面11CC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB A C ⊥. 当异面直线1BC 与1A C 相互垂直时，由1AB BC B =I ，可得1A C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊂平面1ABC ，所以11A C AC ⊥，所以四边形11ACC A 为正方形，所以145ACA ∠=︒，反之亦然，即当145ACA ∠=︒时，可得11BC AC ⊥，故选：A.8.【分析】由非零实数m ，n 满足22m m n n ⋅>⋅，可得330m n >>，0m n >>，进而判断出结论. 解：因为非零实数m ，n 满足22m m n n ⋅>⋅，所以330m n >>，所以0m n >>，所以ln ln m n >，11m n<，22m n >，所以选项A 、B 、D 均正确；对于选项C ，当2m π=，4n π=时，sinsin2244ππππ+>+，所以选项C 错误.故选：C.9.【分析】先根据()11221n n n n n a a a a ++++=，推得11142n nn a a +-=+，再令n 取1n -可得新等式，两等式再结合叠加法求出数列{}n a 的通项，即可求解结论. 解：依题意得0n a ≠，由()11221n n n n n a a a a ++++=，可得11142n nn a a +-=+，则11142n n n a a --=-，121146n n n a a ---=-，……，21116a a -=，以上式子左右两边分别相加可得111(642)(1)2n n n a a +---=，即211(21)(21)222n n n n a -+=-=，即211(21)(21)2121n a n n n n ==--+-+，故123202011111133540394041a a a a -+-++-+++⋅⋅⋅+=L 14040140414041=-=，故选：C.10.【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果.解：依题意得，()222sin 24f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，故A 错误；因为将函数()f x 的图象向左平移58π个单位长度后其图象对应的函数解析式为5()2sin 22sin(2)2sin 244g x x x x πππ⎛⎫=+-=+=- ⎪⎝⎭，函数()g x 的图象关于原点对称，故B 错误；因为7732sin 22sin 28842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以78x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，即7788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，952,444x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()2f x ⎡⎤∈⎣⎦，故D 错误.综上所述，故选：C.11.【分析】可以点A 为原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，并设()2,E m ，(),2F n ，从而得出()2AE AF m n ⋅=+u u u r u u u r.根据BE DF EF +=u u u r u u u r u u u r 即可得出m n +=进而可得出()2432m n ++≥，从而得出)41m n +≥，从而得出)81AE AF ⋅≥u u u r u u u r，这样即可得出x 的范围.解：以A 为坐标原点，线段AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设()2,E m ，(),2F n ，则()2AE AF m n ⋅=+u u u r u u u r，由BE DF EF +=u u u r u u u r u u u r，得m n +=()42mn m n =-+，∴242()2m n m n +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，故()2432m n ++≥，因为0m ≥，0n ≥，故)41m n +≥，当且仅当)21m n ==时等号成立，∴())281AE AF m n ⋅=+≥u u u r u u u r，故x 的取值范围为)(,81⎤-∞⎦.故选：A.12.【分析】分两种情况讨论A ，B 在y 轴的同侧和两侧，可得圆心M 在AOB ∠的角平分线上，过M 作垂直于OA ，AF 的垂线，由题意可得四边形MTAN 为正方形，再由题意可得FA b =，所以OA a =，由题意可得NA ，ON 的值，求出外接圆的半径，由题意可得a ，b 的关系求出离心率. 【解答】解（1）若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限.如图，设OAB △内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，又12NA MN a ==，所以32NO a =，所以tan MN b AOF a NO =∠==3e ==.（2）若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知FA b =，OF c =，OA a =，所以OAB △的内切圆半径为122AB OA OB a +-=，所以2OB AB a -=，又因为222OB AB a =+，所以AB =，2OB a =，所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒，则tan 60b a =︒=2e ==.综上，双曲线C 的离心率为3或2. 故选：D.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 240 14. -16或16 15.537216. ①②③ 13.【分析】先求其通项公式，再令x 的指数为-2求出r 即可求解结论.解：依题意可得，621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项为(()563621662121rrr r rr rr T C C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5322r -=-，解得2r =，故21x 项的系数为()2246211516240C ⋅⋅-=⨯=. 故答案为：240.14.【分析】先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标，再代入切线求出a 的值.解：设切点坐标为()00,x y ，由2'33y x =-，得切线斜率2033k x =-，故20339x -=，解得02x =±，故切点为()2,2或()2,2--，分别代入9y x a =+中，可得16a =-或16a =. 故答案为：-16或16.15.【分析】先求出4个人都没有完成任务的概率和4个人中有3个没有完成任务的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少2人完成任务的概率. 解：4个人都没有完成任务的概率为31111423324⨯⨯⨯=， 4个人中有3个没有完成任务的概率为：1211113111312124233423342339C ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故至少2人完成任务的概率为1253124972--=. 故答案为：5372. 16.【分析】直接利用直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，两点间的距离公式的应用求出结果.解：依题意得直线1l ，2l 的斜率均存在，且()2,0F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线1l ：()2y k x =-，联立方程，得()228y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理可得()22224840k x k x k -++=，所以212248k x x k ++=，则122848MN x x k=++=+，以1k -代替k 可得，288PQ k =+，228888161632MN PQ k k+=+++≥+=，当且仅当1k =±时取等号，所以①正确；四边形的面积22113221282S MN PQ k k ⎛⎫=⋅=⨯++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号，所以②正确；因为2442,D k k ⎛⎫+⎪⎝⎭，()224,4E k k +-，所以直线DE 的方程为()()222442244424k y k k x k k k ⎛⎫⎛⎫+--+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2610k x k y ---=，恒过定点()6,0，故③正确；若点F 为弦MN 的三等分点，不妨设2NF FM =u u u r u u u u r，则()()22112,22,x y x y --=-，所以21224x x -=-，即1226x x +=，又124x x =，解得1122x y =⎧⎨=⎩（舍去）或2214x y =⎧⎨=⎩，代入212248k x x k++=，得k =±，与两直线垂直矛盾，故④错误. 综上所述，故答案为：①②③.三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数结合sin 0B ≠，可求cos A 的值，结合范围()0,A π∈，可求A 的值，进而利用正弦定理可求ABC △外接圆的半径，进而可求ABC △外接圆的面积. （2）由已知利用余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.解：（1）依题意得：22222cos 1b ab C c b c a -=+-，故：2222cos cos 2cos abc C a Cb c b c a A-==+-，则：2cos cos cos b A c A a C -=，所以：()2sin cos sin cos sin cos sin B A A C C A A C =+=+，即：2sin cos sin B A B =，因为：sin 0B ≠，所以：1cos 2A =，因为：()0,A π∈，所以：3A π=，所以：2sin 2a R A ===（R 为ABC △外接圆的半径），则：R =，故ABC △外接圆的面积2283S R ππ==. （2）由3A π=.及余弦定理得：()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，又a =8b c +=，所以：(2283bc =-，解得：12bc =.故1sin 2ABC S bc A ==△18.【分析】（1）根据条件利用面面垂直性质得到AD AB ⊥，线面垂直定理等即可证明AD ⊥平面SAB ，进而得到AD BS ⊥，从而BS ⊥平面DAE ，平面DAE ⊥平面SBC .（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE 的法向量，平面DAE 的一个法向量为，利用二面角公式结合图形即可求出二面角解：（1）∵二面角S AB D --为直二面角， ∴平面SAB ⊥平面ABCD ， ∴90DAB ∠=︒， ∴AD AB ⊥，∵平面ABCD I 平面SAB AB =，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面SAB ，又BS ⊂平面SAB ，∴AD BS ⊥， ∵ASB ABS ∠=∠，∴AS AB =，又E 为BS 的中点， ∴AE BS ⊥，又AD AE A =I ， ∴BS ⊥平面DAE ， ∵BS ⊂平面SBC ， ∴平面DAE ⊥平面SBC .（2）如图，连接CA ，CE ，在平面ABS 内作AB 的垂线，建立空间直角坐标系A xyz -， ∵1tan 2ASD ∠=，∴2AD =， ∴()0,0,0A ，()0,4,0B ，()0,4,2C，()2,0S -，)E，∴()0,4,2AC =u u u r，)AE =u u u r ，设平面CAE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r即4200x z y +=⎧⎪+=，令1x =，则y =z =∴(1,n =r是平面CAE 的一个法向量，∵SB ⊥平面DAE ，∴平面DAE的一个法向量为()SB =-u u r，∴1cos ,2n SB n SB n SB⋅===-⋅r u u rr u u r r u ur ，由图可知二面角C AE D --的平面角为锐角，故二面角C AE D --的大小为60︒.19.【分析】（1）直接求解x ，和y ，即计算样本中心点，（2）根据相关系数()()niix x y y r --=∑y 与x 之间的相关程度；（3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论.解：（1）依题意1012.445ii xx x===∑，1014.73110ii yy ===∑.（2）依题意，()()10i i x xy yr --=∑0.851.220.9971.04b=≈⨯≈$，因为0.9970.75>，所以y 与x 之间具有很强的相关性.（3）由$ 4.731 1.22 2.445 1.75ay bx =-≈-⨯≈$，所以所求回归直线方程为$1.22 1.75y x =+，故当 3.2x =时，$1.22 3.2 1.75 5.65y =⨯+≈.20.【分析】（1）先用分割法表示出PAB △的面积即PAB PDA PDB S S S =+△△△，从而得到4A B y y -=；设直线l 的方程为1x my =+，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理可用含m 的式子表示出A B y y -，从而建立关于m 的方程，解之即可；（2）直线l 的方程为()1y k x =-，设()()11,1A x k x -，()()22,1B x k x -，然后分别表示出直线PA 和PB的方程，令3x =，可分别求得M 、N 两点的坐标，因为MR RN =u u u r u u u r，于是可以用含k ，1x ，2x 的式子表示出点R 的坐标，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，把由韦达定理得到的等式代入R 的纵坐标化简可得53R y k=-，在表示出'k ，有553'316k k k-==--，故而可得解. 解：（1）设(),A A A x y ，(),B B B x y .因为()1,0D ，椭圆C 的左顶点为()2,0P -，所以3PD =，故32PAB PDA PDB A B S S S y y =+=-=△△△故4A B y y -=，设直线l 的方程为1x my =+，联立221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222230m y my ++-=，所以222A B m y y m +=-+，232A B y y m =-+，故A B y y -=4==，解得26m =，m =，故直线l 的方程为10x-=或10x -=.（2）由题意得，直线l 的方程为()1y k x =-，设()()11,1A x k x -，()()22,1B x k x -，联立()221142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222214240k x k x k +-+-=，则2122421k x x k +=+①，21222421k x x k -=+②，又()2,0P -，所以直线PA 的方程为()111(2)2k x y x x -=++，令3x =，解得()11513,2x x k M -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得，()22513,2x x k N -⎛⎫⎪+⎝⎭，设(),R R R x y ，因为MR RN =u u u r u u u r，所以3R x =，1212115222R x x k y x x ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭，将①②代入上式并化简可得53R y k=-，所以553'316k k k -==--，故5'6k k ⋅=-，为定值.21.【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性. （2）令0x =时求出1m ≥，然后求在1m ≥时，m 的取值范围，分离参数求最值，求出m . 【解答】解（1）依题意，x R ∈，()()()22'8428104xx f x e xx x e x x =+-++=++，令()'0f x =，即21040x x ++=，解得1052x -==-±故当(,5x ∈-∞-时，()'0f x >，当(55x ∈--时，()'0f x <，当()5x ∈-+∞时，()'0f x >，故函数()f x的单调递增区间为(,5-∞-和()5-++∞，单调递减区间为(55---.注：5--，5-+处写成闭区间也给分. （2）令()()284sin 4x e x x g x m m x +-=+-，由题意得，当0x =时，()010g m =-≥，则有1m ≥. 下面证当1m ≥时，对任意0x ≥，都有()0g x ≥. 由于x R ∈时，1sin 0x -≥，当1m ≥时，则有()21211sin 4xg x e x x x ⎛⎫≥+-+-⎪⎝⎭. 故只需证明对任意0x ≥，都有21211sin 04xe x x x ⎛⎫+-+-≥⎪⎝⎭. 易知()sin h x x x =-在[)0,+∞上单调递增，所以当0x ≥时，()()00h x h ≥=，即sin x x ≥，所以11sin x x -≤-，则2211211sin 21144xx e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-≥+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()212114xF x e x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭，0x ≥，则()215'1142x F x e x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.当0x ≥时，1x e ≥，2151142x x ++≥，所以()'0F x ≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，所以当0x ≥时，()()00F x F ≥=，所以对任意0x ≥，都有21211sin 04xe x x x ⎛⎫+-+-≥⎪⎝⎭. 所以当1m ≥时，对任意0x ≥，都有()284sin 4x e x x m m x +-+≥，故实数m 的取值范围为[)1,+∞. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果. 解：（1）由直线l 的参数方程为22x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程24x y =+，即240x y --=，所以直线l 的普通方程为240x y --=.由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），转换为直角坐标方程()2211x y -+=，即2220x y x +-=，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）由22404x y y x--=⎧⎨=⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以()4,4M ，由（1）可得()2,0A ，因为线段MA 的中点为N ，所以()3,2N ，由（1）可知曲线1C 表示圆，其圆心为()11,0C ，半径1r =，所以1C N r ==>，因为点P 在曲线1C上，所以1min 1PN C N r =-=. [选修4-5：不等式选讲]23.【分析】（1）先利用均值不等式可得82x+≥82y +≥82z +≥式相乘可得()()()828282x y z +++≥1864xyz =得证；（2）利用分析法，即证()()()121210m n mn ---≥，而1m ≥，12n ≥，则10m -≥，210n -≥，210mn -≥，由此容易得证.【解答】证明：（1）由题可得82811x x +=++≥=，当且仅当18x =时取等号；同理可得82y +≥，82z +≥故()()()828282x y z +++≥18x y z ===时取等号，因为1864xyz =，所以()()()82828227x y z +++≥，当且仅当18x y z ===时取等号. （2）要证222224142m n mn m n m n ++≤++，即证2222442210m n mn n m n m -+-+-≥，即证()()()24122110mnm mn n m m --+-+-≥，即证()()2142210m mn mn n ---+≥，即证()()()1221210m mn n n ----≥⎡⎤⎣⎦，即证()()()121210m n mn ---≥，因为1m ≥，12n ≥，所以10m -≥，210n -≥，210mn -≥，所以()()()121210m n mn ---≥，所以222224142m n mn m n m n ++≤++.。

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故选:A
【点睛】
本题考查复数的四则运算和复数的几何意义；考查运算求解能力；属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
根据题意，利用扇形的面积公式求解即可.
【详解】
依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步，
问题[三四]中扇形的面积为平方步.
故选：B
【点睛】
本题考查数学文化和扇形的面积公式;考查运算求解能力；熟练掌握扇形的面积公式是求解本题的关键；属于基础题.
A．11B．12C．13D．14
6．若函数的大致图象如下图所示，则（）
A． B． C． D．
7．在三棱柱中，已知，平面，则下列选项中，能使异面直线与相互垂直的条件为（）
A． B．
C．四边形为正方形D．四边形为正方形
8．已知非零实数满足，则下列结论错误的是（）
A． B．
C． D．
14．或16
【解析】
【分析】
设切点坐标为，对进行求导，利用导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线方程即可求解.
【详解】
设切点坐标为，由题意知，，
由导数的几何意义知，切线斜率，
即，解得，
所以切点为或，
把切点或分别代入中，
可得或 .
故答案为：或16
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线的斜率和切点坐标；考查运算求解能力；属于基础题.
附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
相关系数 .
参考数据：，， .
20．已知斜率存在且不为0的直线过点，设直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为 .
（1）若的面积为，求直线的方程；
（2）若直线分别交直线于点，且，记直线的斜率分别为 .探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【详解】
依题意得，集合 , ，
由集合补集的定义知，，
由集合的交运算可得，，
故选：B
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交、补运算；考查运算求解能力；属于基础题.
2．A
Байду номын сангаас【解析】
【分析】
利用复数的四则运算进行化简，再由复数的几何意义求解即可.
【详解】
依题意得，
，
故在复平面内复数所对应的点为，该点位于第一象限.
因为对数函数为上的增函数，
所以，，，
所以选项A、B、D均正确；
对于选项C，当，时，，所以选项C错误.
故选：C
【点睛】
本题考查不等式的基本性质和对数函数的单调性；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握不等式的基本性质和特殊值检验法是求解本题的关键；属于中档题.
9．C
【解析】
【分析】
依题意得 ,由两边同时除以，利用累加法求出的表达式，再利用裂项相消法对数列进行求和即可.
13．240
【解析】
【分析】
写出二项展开式的通项公式，令的幂指数为，求出通项中的即可求解.
【详解】
依题意可得，的展开式的通项为
，
令，解得，
故项的系数为 .
故答案为：240
【点睛】
本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.
【详解】
依题意得，由，
等式两边同时除以可得，
则，，，，
以上式子左右两边分别相加可得，
即，所以，
故 .
故选:C
【点睛】
本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法对数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对递推式进行变形，利用累加法求出数列的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，利用线面垂直的判定与性质进行求解即可.
【详解】
根据题意，作图如下：
因为平面，所以，
又，，
所以平面，
因为平面，
所以，
当异面直线与相互垂直时，
由，可得平面，
因为平面，所以，
所以四边形为正方形，所以，
反之亦然，即时，可得成立.
函数解析式为，
因为，其为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，故B错误；
因为，
所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
当时，，则，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
（2）若直线与曲线在第一象限交于点，且线段的中点为，点在曲线上，求的最小值.
23．（1）已知均为正数，且，求证：；
（2）已知实数满足，，求证： .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法求出集合 ,利用指数函数的值域求出集合 ,根据集合补集的定义和集合的交运算求解即可.
则下列说法正确的是（）
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步
4．运行如图所示的程序框图，若输入的的值为2时，输出的的值为，则判断框中可以填（）
A． B． C． D．
5．已知正项数列的首项为1，是公差为3的等差数列，则使得成立的的最小值为（）
5．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
依题意得，，故，
令，得，解得，
因为，所以使得成立的的最小值为13.
故选:C
【点睛】
本题考查等差数列通项公式；考查运算求解能力；熟练掌握等差数列通项公式是求解本题的关键；属于基础题.
6．B
【解析】
4．C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出时判断框中可以填的条件.
【详解】
运行该程序：
第一次循环，；
第二次循环；
第三次循环，；
第四次循环，，
此时输出的值，观察可知，仅选项C符合题意.
故选:C
【点睛】
本题主要考查含有当型循环结构的程序框图；考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握含有循环结构的程序框图的运行方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
焦点到渐近线的距离为，
又，所以，
又，
所以，
所以，
从而可得离心率；
（2）若在轴异侧，不妨设在第一象限如图，
易知，，，
因为的内切圆半径为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，，
则，
从而可得离心率 .
综上，双曲线的离心率为或2.
故选：D
【点睛】
本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
10．C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数的表达式，利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质和函数图象的平移变换公式求出函数的解析式即可判断.
【详解】
依题意得，，
所以当时，，
当，即时，函数递减，
当，即时，函数递增，
所以函数在上先减后增，故A错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到
21．已知函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，且，求实数的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线与轴交于两点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线的普通方程及曲线的极坐标方程；
故选:A
【点睛】
本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理证明异面垂直；考查数形结合思想和逻辑推理能力；熟练掌握线面垂直的判定和性质是求解本题的关键；属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质和对数函数的单调性及特殊值法进行判断即可.
【详解】
因为非零实数满足，
所以，
两边同时开立方可得，，
2020届湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高三下学期4月联考数学(理)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知全集，集合，，则（）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】
利用时，和时进行逐项排除即可.
【详解】
令，即，则，即，
由图可知，，
故时，时，排除A、D；
当时，易知是减函数，
且当时，则，C明显不合题意，排除C；
故选：B
【点睛】
本题考查指数函数的性质和解析式较复杂的函数图象的判断；考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力；通过观察图象，选取合适的特殊值点进行排除是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
16．已知抛物线的焦点为，直线，过点且与抛物线分别交于点和点，弦和的中点分别为，若，则下列结论正确的是