二次函数PPT教学课件

二次函数
2020/12/10
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二次函数（quadratic function）是指未知 数的最高次数为二次的多项式函数。二次函 数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其 图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
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二次函数定义
二次函数及其图像
一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a， b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数 （quadratic function），其中a称为二次项 系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变 量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数 是2。
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴 右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称 轴是y轴（即直线x=0）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
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顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴
上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。 h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
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开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向 和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；当 a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
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决定位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴 的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴 左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
情况），但是函数中的字母表示的是变量，
意义已经有所不同。从函数的定义也可看出
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几种表达式
一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，
顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 把三个点代入函数解析式得出一个三元
一次方程组，就能解出a、b、c的值。
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其他知识介绍：牛顿插值公式
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](xx0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x) 由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截 距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项 式。
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顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶 点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位 置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图 像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出 让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任 意点(3,10)，求y的解析式。
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与X轴交点的情况
当△=b^2-4ac>0时，函数图像与x轴有 两个交点。
当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴只 有一个交点。
当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没 有交点。
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基本图象
在平面直角坐标系中作出二次函数 y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，在没有特 定定义域的二次函数图像是一条永无止境的 抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次 函数图像将是由一般式平移得到的。
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由一般式变为交点式的步骤： 二次函数(16张) ∵x+x=-b/a x1·x=c/a（由韦达定理得） ∴y=ax^2+bx+c =a（x^2+b/ax+c/a） =a[x^2-(x1+x2)x+x1*x2]=a(x-x1)(x-x2)
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重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决 定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上； a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定 开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的 绝对值越小开口就越大。
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交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0 有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线， 即b^2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0） 和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然 后把第三点代入x、y中便可求出a。
注意：草图要有 :
1. 本身图像，旁边注明函数。
2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 ห้องสมุดไป่ตู้X= -b/2a）
3. 与X轴交点坐标 （2020/1x2/110 ,0）；（x2,014），
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直 线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函 数图像的顶点P。
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三点式
已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)） （x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
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注意：“变量”不同于“自变量”，不
能说“二次函数是指自变量的最高次数为二
次的多项式函数”。“未知数”只是一个数
（具体值未知，但是只取一个值），“变量”
可在一定范围内任意取值。在方程中适用
“未知数”的概念（函数方程、微分方程中
是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，
一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊
解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代
入上式，解得y=2(x-1)^20220/+12/120 。
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解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代 入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移 不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时， -h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴 正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是 向左平移。