专题09 动态几何(解析版)

专题09 动态几何2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）1．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

【解析】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，

则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，

∥AD∥BC所以AP∥BQ，

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

知：AP＝BQ即可，

即：t＝6﹣2t，

∥t＝2，

当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，

综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．

△，点F落在AD上．2．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE

（1）求证：ABF DFE ∽△△；

（2）若1sin 3

DFE ∠=，求tan EBC ∠的值； （3）设

AB k BC

=，是否存在k 的值，使ABF 与BFE △相似？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：∥四边形ABCD 是矩形，

∥90A D C ∠=∠=∠=︒，

∥BCE 沿BE 折叠为BFE △，

∥90BFE C ∠=∠=︒，

∥90AFB DFE ∠+∠=︒，

又∥90AFB ABF ∠+∠=︒，

∥ABF DFE =∠∠．

∥ABF DFE ∽△△；

（2）解：在Rt DEF △中，1sin 3

DE DFE EF ∠==，

∥

设DE a =，3EF a =，DF =

=，

∥BCE 沿BE 折叠为BFE △， ∥3CE EF a ==，4CD DE CE a =+=，4AB a =，EBC EBF ∠=∠，

又∥ABF DFE ∽△△，

∥2

EF DF BF AB ==，

∥tan 2

EF EBF BF ∠==，

tan tan EBC EBF ∠=∠=

；

（3）存在，k =时，ABF 与BFE △相似 理由：当ABF FBE △∽△时，24∠∠=．

∥45∠=∠，24590∠+∠+∠=︒，

∥24530∠=∠=∠=︒，

∥cos302

AB BF =︒=， ∥BC BF =，

∥2

AB k BC ==；

∥当ABF FEB ∽△△时，26∠=∠，∥4690∠+∠=︒，∥2490∠+∠=︒，这与24590∠+∠+∠=︒相矛盾，

∥ABF FEB ∽△△不成立．

综上所述，k =时，ABF 与BFE △相似．

3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =-(0a ＜)经过点A 和x 轴上的点B ，

2AO OB ==，120AOB ∠=︒．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）联结AM ，求AOM S ；

（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E F 、(点E 在点F 的左侧)，如果MBF 与AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．

【解析】解：（1）过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，

∥2OB =，∥0(2)B ，

∥120AOB ∠=︒

∥60AOH ∠=︒，30HAO ∠=︒．

∥2OA =， ∥112

OH OA ==． 在Rt AHO 中，222OH AH OA +=，

∥AH ==

∥(1A -，

∥抛物线1C ：2y ax bx =+经过点A B 、，

∥

可得：420a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩

，

解得：33a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∥

这条抛物线的表达式为233y x x =-

+；

（2）过M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，

∥233y x x =-+

=21)33

x --+ ∥顶点M

是1,3⎛

⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，得MG =设直线AM 为y=kx+b ，

把(A -

，1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

代入得k b k b =-+=+

，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∥直线AM

为y x =-

令y=0，解得x=12

∥直线AM 与x 轴的交点N 为1

,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

∥111111××222222AOM S ON MG ON AH =⋅-⋅=+ （3）∥0(2)B ，

、M ⎛ ⎝⎭

，

∥在Rt BGM

中，tan MG MBG BG ∠=

=， ∥30MBG ∠=︒．

∥150MBF ∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO MB =，

∥150MBO MOB ∠=∠=︒．

∥120AOB ∠=︒，

∥150AOM ∠=︒

∥AOM MBF ∠=∠．

∥当MBF 与AOM 相似时，有：=OM BM OA BF 或=OM BF OA BM

即332BF =

或32= ∥2BF =或23

BF =． ∥0(4)F ，或803⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

设向上平移后的抛物线2C 为：2y x k =++，

当0(4)F ，时，3

k =，

∥抛物线2C 为：2y x =+

当8

03F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，27

k =，

∥抛物线2C 为：2y x x =++

综上：抛物线2C 为：2y x x 333

=-++或23327y x x =-++ 4．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．

观察猜想

（1）线段PM 与PN “等垂线段”（填“是”或“不是”）

猜想论证

（2）ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．

拓展延伸

（3）把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．