换元法

换元法
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

换元的种类有：等参量换元、非等量换元。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。

x ≥0,x ≤
1
4
三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。

均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。

例1. 分解因式
分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。

解：法一：对和换元，用换元法解 设
则原式
法二：用换元法来解
设，则
原式
法三：将原式整理成关于x的二次三项式
原式
在函数中的应用
1、求函数的定义域
例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x²)的定义域。

解：设x²=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x²≦3,所以
-√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3]
2、求函数的解析式
例3、已知f(x+1)=x²-2x,求f(x)的解析式
解：设x+1=t,则x=t-1, 所以
f(t)=(t-1)²-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x²-4x-1。

例4、已知f(x+1/x)=x²+1/x², 求f(x)的解析式
解：设x+1/x =t，则x²+1/x²=(x+1/x)²-2，即x²+1/x²=t²-2
故f(t)=t²-2, 因此f(x)=x²-2
化简求值：
例5. 计算
分析：通过观察发现，
，
显然，在待定计算的式子中，均以的形式出现，故可用换元法来解
解：设
原式
例6 若x，y，z满足方程组，求的值。

分析：本题中有三个未知数，而仅有两个方程，不可能求出x，y，z的值，因此只能把看成一个整体来替换
解：设
则
得
说明：换元法是数学解题中的重要方法，较复杂的因式分解、计算、化简，方程、方程组等题目摆在面前时，应该考虑到换元法。

例7. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （①式），设S＝x2＋y2，求＋
的值。

【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。

其它换元法（和差换元）
例8．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，
求cos的值。

【注】均值换元法。

结合三角形角的关系与三角公式进行运算。

例9. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。

【注】局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。

例9. 设对所有实数x，不等式x2log
2＋2x log
2
＋log
2
>0恒
成立，求a的取值范围。

【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。

例10. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。

【注】等量换元，减少变量个数。

例11. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

【注】三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。