上海海洋大学试卷标准答案

上海海洋大学试卷标准答案姓名： 学号： 专业班名： 一、[/30103=⨯'] 选择：将您认为正确的答案代号填入下列表格内。

1、设5)2(,3)2(,1)0(/===f f f ，则dx x xf ⎰2//)(的值为（ ）A ）12B ）8C ）7D ）6 2、设定积分⎰=exdx I 11ln ，⎰=exdx I 122ln ，则（ ）A ）12I I <B ）122I I <C ）122I I >D ）12I I > 3、定积分dx ex⎰1的值为（ ）A ）eB ）21C ）21e D ）24、由1,,===-x e y e y xx所围成的平面图形的面积是（ ） A ）e e 1+B ）e e 1-C ）21-+e eD ）21+-ee 5、曲边梯形b y a yf x ≤≤≤≤≤0),(0绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积为（ ） A ）dy y fba⎰)(2π B ）dy y f b a⎰)(π C ）dy y yf b a⎰)(π D ）dy y yf ba⎰)(2π6、函数)1ln(y x z --=的定义域为 （ ）A ）{}1,1),(<<y x y x ；B ）{}1),(≤+y x y x ；C ）{}1),(<+y x y x ； D ）在xOy 平面上处处无定义。

7、二元函数 ),(y x f z = 在点),(00y x 处可导与可微的关系为（ ）A ）可导必可微；B ）可导一定不可微；C ）可微必可导；D ）可微不一定可导 8、⎰⎰=Ddxdy ( ) 其中 222:a y x D ≤+ A ）2a B ）π C ）2a π D ）不能求9、级数∑∞=--11)1(n pn n 当（ ） A ）1>p 时条件收敛 B ）10≤<p 时绝对收敛 C ）10≤<p 时条件收敛 D ）10≤<p 时发散10、求方程0)(2//=-y yy 的通解时，可令（ ）A ）p y =/，则///p y = B ）p y =/，则dydp py =//C ）p y =/，则dxdp py =//D ）p y =/，则dy dp p y ///=二、[8163'=⨯'] 填空： 1、函数22),(y x xy y x f +=，则=),1(y x f 22xyx y + ；2、=++→→221)ln(limyx e x y y x ln 2 ；3、设)23ln(z y x u +-=，则=du 3232dx dy dzx y z-+-+ ；4、交换积分秩序：dy y x f dx xe ),(ln 01⎰⎰=1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰ ；5、若级数∑∞=1n nu收敛，则)(1n n nu u+∑∞=绝对收敛（填绝对收敛、条件收敛或发散）6、02///=+-y y y 的通解为xe x C C y )(21+= ；三、[//4058=⨯]计算：1、设v u z ln 2=，而y x v y x u 23,-==，求yz x z ∂∂∂∂,； 解：22221232ln 3ln(32)(32)z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y y x y ∂∂∂∂∂=+=+⨯=-+∂∂∂∂∂- （4分） 222232222ln ()(2)ln(32)(32)z z u z v x u x x u v x y y u y v y y v y y x y ∂∂∂∂∂=+=-+⨯-=---∂∂∂∂∂- （8分） 2、),(22xye y xf z -=,其中f 具有连续二阶偏导数,求 22xz ∂∂；解：设22u x y =-，xyv e =，(,)z f u v =122xy z z u z v xf ye f x u x v x∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂ （3分） 因此2122()(2)xy z z xf ye f x x x x∂∂∂∂''==+∂∂∂∂ 2121222xy xy f f f xy e f ye x x''∂∂''=+++∂∂ （4分） 而11111122xy f f f u vxf ye f x u x v x'''∂∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂∂22221222xy f f f u vxf ye f x u x v x'''∂∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂∂ （7分） 所以221212222xy xy f f z f x y e f ye x x x''∂∂∂''==+++∂∂∂2111122212222(2)(2)xy xy xy xy f x xf ye f y e f ye xf ye f ''''''''''=+++++ 222211112222244xy xy xy f x f xye f y e f y e f ''''''''=++++ （8分） 3、⎰⎰+Ddxdy y x )( ，D 是由2y x = ，2-=x y 所围成的闭区域；解：2222221121()()2y yDy x y dxdy dy x y dx x xy dy y+--+⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ （5分）2243131(42)22y y y y dy -=++--⎰ 9.45= （8分）4、⎰⎰+Ddxdy y x 222)( ，D 是由x y 33= ，x y =，122=+y x 及422=+y x （0,0≥≥y x ）所围成的闭区域；解：令θθsin ,cos r y r x ==，则积分区域D 可表示为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<2146r πθπ（2分）所以，22224416()Dx y dxdy d r rdr ππθ+=⎰⎰⎰⎰ （6分） 621()1466r ππ⎡⎤=-⨯⎢⎥⎣⎦637728ππ== （8分） 5、求微分方程 y y x '''=+的通解；解：令,/p y =则,///p y =原方程化为：x p p +=/（2分）因为 )(111⎰+⎰⎰=---C dx xe e p dxdx )(1⎰+=-C dx xe e xxxe C x 11+--= （6分）从而 21212)1(C e C x x dx e C x y x x++--=+--=⎰，即为所求通解。

（8分）四、[21']讨论下列级数的收敛性,若收敛指出绝对收敛还是条件收敛。

1、∑∞=-+-11)1ln()1(n n n解：因为111(1)1ln(1)ln(1)n n n n n -∞∞==-=++∑∑而1ln(1)1ln(1)lim lim n n n n n n→∞→∞+==∞+ （1分）而级数11n n ∞=∑是发散的，因此11ln(1)n n ∞=+∑也发散。

（3分）又因为对于交错级数∑∞=-+-11)1ln()1(n n n 来说满足：11ln(1)ln(11)n n ≥+++，即1n n u u +≥10ln(1)lim n n →∞=+，即0lim n n u →∞= （5分） 根据莱布尼茨定理，交错级数∑∞=-+-11)1ln()1(n n n 收敛，因此∑∞=-+-11)1ln()1(n n n 条件收敛。

（6分）2、2)11(2)1(1n n nn n +-∑∞= 因为2211(1)111(1)(1)22n n n n n n n n n ∞∞==-+=+∑∑，（1分）而11(1)122lim n n n e n →∞→∞=+=> （5分） 因此绝对值级数2111(1)2n n n n ∞=+∑发散，又为根值判别法,因此原级数2)11(2)1(1n n nn n +-∑∞=发散。

（6分）。