第五章矩阵范数与矩阵分析

x W 时，显然 x ，因此有 m 0 。又记
d
i2
i 1
n
(x (1 , 2 ,, n ) V )
i d 1，因此 y W ； i 1
n 2
则向量 y
i 1
n
i
d
ei
1 x 的分量满足 d
2013年11月6日5时4分
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§1 向量范数
内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。 线性空间有“长度”？---->“范数”
若V 是实内积空间， , y V 为任意向量，a 为实数域 R 中任一 x
元素，则 V 中向量的长度具有下列三个基本性质：
(1) 当 x 时，都有 | x | 0；
(2) | ax| | a | | x | ；
1-范数
x 1 i
i 1
n
2-范数
x2
∞-范数

i 1
n
2 i
x
p-范数

max i
1 i n
x
2013年11月6日5时4分
p
n p i i 1
1 p
(1 p )
11
北京科技大学自动化学院自动化系
常见的向量范数
1-范数
2013年11月6日5时4分
北京科技大学自动化学院自动化系
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向量范数之间关系
定理1. 对于任何有限维向量空间 V 上定义的任意两种向量范 数 x , x ，都存在两个与 x 无关的正的常数 C1 , C2 ，使得 a b
对 V 中任一向量 x ，都有
x a C1 x b ,
x b C2 x a 。
Third generation: Networked control
Technology: Embedded computers, Wireless and wireline
networks, Software Theory: Multi-agent, Consensus, flocking, cooperative, …
(3) | x y| | x | | y|。
2013年11月6日5时4分
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向量范数
定义1：(向量范数) 设 V是数域 P 上的线性空间。若对于 V 中的任一向量 x ，都有
一非负实数 x 与之对应，并且满足下列三个条件：
(1) 正定性：当 x 时，都有 x 0 ；
x 1 i
i 1
n
证明：(1)当 x 时，则 1 , 2 ,, n 不全为零，从而
x 1 i 0;
(2) 对于任何 a C ，则
i 1
n
ax 1 ai a i a x 1 ;
n (3) 若 y 1,2 ,,n C 为任意向量，则
n
1 p
1 p
1 p
n p 又因为 lim n 1, 故 lim i 1. p p i 1 n p 从而， lim i , p i 1
即， x

1 p
1 p
lim x
p
p
max i 。
1i n
Schur complement
Dualization lemma
Projection lemma Elimilation lemma
State-feedback control Dynamic output-feedback control
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若取 C1 M , C2 1/ m ，则 x C1 x , a b
x b C2 x a 。
因此 x , x 等价。 a E
同理可证 x b , x E： x b C3 x E ,
x a C1C4 x b , x E C4 x b 。 x b C3C2 x b 。
即 x a , x b等价。
系统与控制中的矩阵理论
自动化系 丁大伟
ustb_automation@163.com
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研究范围
系统理论 控制理论
矩阵理论
本课程内容 =系统与控制 矩阵
控制理论的发展阶段
First generation: Analog Control
则称方阵范数 A 与向量范数 x a 是相容的。
注： 1) P nn 上的每一种方阵范数，在 P n 上都存在与它相容的
向量及矩阵范数，矩阵不等式，矩阵方程，矩阵函数，正
定矩阵，矩阵对角化, … Robust control 子空间，特征值及特征向量，矩阵求逆，广义逆，矩阵微 积分，矩阵范数，奇异值分解，LMI，…
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课程内容 1/4
向量范数，矩阵范数 向量和矩阵的极限
i 1 i 1
n
n
x y 1 i i ( i i ) x 1 y 1
即三角不等式成立。
i 1 i 1
n
n
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常见的向量范数
1-范数: p=1 2-范数: p=2
∞-范数： x

lim x
a a
1 1 e1 a 2 2 e2 a n n en
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向量范数之间关系
由于 ei a是常数，因此当 i 与 i 充分接近时， (1, 2 ,, n ) 就
Discrete- event systems Hybrid systems
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4
系统与控制中的矩阵理论
Linear systems 特征值与特征向量，矩阵对角化，矩阵求逆，矩阵函数，
多项式矩阵，史密斯标准型，子空间, …
Adaptive control
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向量范数之间关系
于是 0 m y a ( , , , ) M。 d d d 由 x dy 得 x dy d y d y 。 a a a a
1 2
n
由上式可得 md x Md , 即 m x x M x 。 E a E a
Lyapunov stability
Dissipativity KYP lemma Bounded real lemma Positive real lemma
H∞
H2
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课程内容 1/4
Some useful lemmas
1 p
p
n p i i 1
n i 1
1 p
1 p
这里 i 1，又至少有一个 i 1 ，所以有 1 i

i p n
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常见的向量范数
p 因此， 1 i n i 1
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Fra Baidu bibliotek
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系统与控制中的矩阵理论
Second generation: Digital Control
Linear systems √
Nonlinear systems
Optimal control Estimation System identification Robust control Adaptive control √ √
设另一向量为 x 1e1 2e2 nen，其范数为
x a (1, 2 ,, n )
则有 (1, 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) x a x
a
x x
a
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en
(2) 齐次性： 对于任何 a P ，有 ax a x ;
(3) 三角不等式：对于任何 x, y V ，都有
xy x y
则称非负实数 x 为向量 x 的范数。简言之，向量的范数是定 义在线性空间上的非负实值函数。
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常见的向量范数 n 对于酉空间向量 x 1, 2 ,, n C
充分接近 (1, 2 ,, n ) ，即 (1, 2 ,, n ) 是连续函数。
根据连续函数的性质，可知，在有界闭集
W x (1 , 2 , , n ) | 12 22 22 1
上，函数 x (1, 2 ,, n ) 可达到最大值 M 和最小值 m。当 a
Technology: Feedback amplifiers
Theory: Frequency domain analysis—Bode, Nyquist, Evans, …
Second generation: Digital Control
Technology: Digital computers Theory: State-space design,Kalman filtering,Optimal control,H∞
注：满足以上两个不等式的向量范数称为等价的。故定理1也 可叙述为：有限维向量空间上的不同向量范数是等价的。 证明：只针对实数域 R 上的 n 维线性空间证明。 设 e1 , e2 ,, en是 V 的一组基，则 V 中的任意向量 x 可以表示为
x 1e1 2e2 nen
矩阵幂级数
矩阵函数
矩阵的微分与积分
常用矩阵函数的性质 矩阵函数的应用一：微分方程 矩阵函数的应用二：线性系统的能控性与能观性
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课程内容 1/4
Introduction to linear matrix inequalities (LMIs) System stability and performance
p
p
max i
1i n
证明：当 x 时，显然成立。故只需对非零向量加以证明。
令 max i ，则有
n p i n i i 1 i 1
1i n 1 p p
p
n i i 1
(3) 三角不等式： A B A B ; (4) AB A B ， 则非负实数 A 称为方阵 A 的范数。
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矩阵范数与向量范数的相容性
定义3. 若对任何 A P nn及 n 维列向量 x P n，方阵范数
A 能与某种向量范数 x a 满足关系式 Ax a A x a
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向量范数之间关系
定义： x
E
12 22 n2，显然是一种向量范数(2范数)。
a
对于向量范数 x a 1e1 2e2 nen
首先证明 x , x 的等价性。 a E
记 (1, 2 ,, n ) x ，则 (1, 2 ,, n )是连续函数： a
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§2 矩阵范数
定义2. (矩阵范数) 在 P nn上定义一个非负实值函数 A (对每个 A P nn )，如果对任意 A, B Pnn 都满足下列
四个条件：
(1) 正定性：若 A (矩阵)，则 A 0;
(2) 齐次性：对任意 a P，有 aA a A ;