沪教版八年级四边形证明题型
沪教版八年级四边形经典题型
四边形经典题型1、(矩形）如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使C 点与A点重合，则折痕EF的长是（）（A）7．5 （B）6（C）10 （D）52、(矩形）如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．3、（正方形）如图已知正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的点，且AF平分∠DAE。
求证：AE ＝EC ＋CD4、（旋转C ）在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 边上两点，且EF=BE+DF ，∠EAF 的度数是____________5、(梯形B ）直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为．DFECBA6、（平行四边形A）已知，如图，△ABC为任意三角形，△BCD，△AEC，△ABE 都是等边三角形。
求证：四边形CDEF是平行四边形。
7、（正方形B）如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与D、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=DF+EF，∠1=∠2，请判断线段AG与DF有怎样的位置关系，并证明你的结论.提示：先证 DF // BE8、(矩形)：在△ABC 中，BE 、CF 分别是边AC 、AB 上的高，点D 是边BC 上的中点，试说明DE=DF图6F EDCBA219、(正方形）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 .10、（菱形）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求四边形CEFB的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；11、(矩形)如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；⑵若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．CDBAM第22题图FE12、如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( )A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第14讲 命题与证明举例(解析版)
命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．几何证明知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析【例1】 填空：（1） 已知，如图∠ABC =∠ADC ，∠AED =∠EDC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，求证：DE ∥EF证明：因为BF 平分∠ABC ，（________________________），所以∠ABF =12∠ABC （______________________________）．同理∠EDF =12∠ADC ． 因为∠ABC =∠ADC （________），所以∠ABF =∠EDF （________）， 又因为∠AED =∠EDC ，所以∠AED =∠ABF （________________）， 所以DE ∥EF （______________________________）．（2） 已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，EB 交CD 于点F ，且AD =DF ．求证：AC =BF ．证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC （已知），所以∠AEB =∠BDC =∠ADC =90°(______________________________)， 因为∠A +∠B +∠AEB =180°（______________________），同理∠BFD +∠B +∠BDC =180°．所以∠A +∠B +∠AEB =∠BFD +∠B +∠BDC (___________________________)， 所以∠A =∠BFD ．（____________） 在△ADC 与△FDB 中，__________A BFD ADC FDB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩，所以△ADC ≌△FDB （____________） 所以____________________（____________________）（图1）（图2）【答案】略【解析】（1）已知；角平分线的定义；已知；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平例题解析AB CDE FA BCD EFABCD行；（2）垂直的意义；三角形内角和180°；等量代换；等式性质；AD DF =；ASA ；AC BF =；全等三角形的对应边相等．【总结】考查证明题证明过程的依据和相关条件．【例2】 （1）如图，由AB = AC ，AD ⊥BC ，得____________，依据是__________；（2）如图，由A B = AC ，BD = DC ，得________________，依据是__________．【答案】略．【解析】（1）BD CD BAD CAD =∠=∠或，等腰三角形三线合一；（2）AD BC BAD CAD ⊥∠=∠或，等腰三角形三线合一．【总结】考查等腰三角形“三线合一”的性质应用．【例3】 求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等． 【答案】略【解析】已知：如图AB AC =，BD CD =，DE AB ⊥交AB 于点E ， DF AC ⊥交AC 于点F ．求证：DE DF =． 证明：AB AC =，BD CD =，BAD CAD ∴∠=∠DE AB ⊥，DF AC ⊥， 90DEA DFA ∴∠=∠=︒AD AD =， ADE ADF ∴∆≅∆DE DF ∴=【总结】考查等腰三角形性质定理的应用，作图，已知，求证，证明的完整过程．【例4】 求证：等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等． 【答案】略．E ABCDF AMEF【解析】已知：如图AB AC =，AD BC ⊥，M 为线段AD 上任意一点， ME AB ⊥交AB 于点E ，MF AC ⊥交AC 于点F ．求证：ME MF =． 证明：AB AC =，AD BC ⊥，BAD CAD ∴∠=∠．ME AB ⊥，MF AC ⊥，90MEA MFA ∴∠=∠=︒． AM AM =， AME AMF ∴∆≅∆．ME MF ∴=．【总结】考查等腰三角形性质定理的应用，作图，已知，求证，证明的完整过程．【例5】 如图，已知四边形ABCD 是凹四边形，求证：∠D =∠A +∠B +∠C ．【答案】略．【解析】证明：联结BC ． 180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，ACB ABD BDC ∠=∠+∠，ACB ACD DCB ∠=∠+∠180A ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠+∠=︒-∠-∠ 180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒ 180D DBC DCB ∴∠=︒-∠-∠D A ABD ACD ∴∠=∠+∠+∠【总结】考查三角形中的等量代换，利用三角形内角和180°即可解题．【例6】 如图，已知△ABC 中，求证：∠A +∠B +∠C =180°证明：过BC 上一点D ，分别作________，交AB 于点E ，交AC 于点F ， 因为___________________，所以∠A =______．ABCDAB CD E F同理∠B =______，∠C =______． 因为_________________， 所以_________________．因为∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°（），所以_________________． 【答案】略【解析】//DE AC ，//DF AB ；//DF AB ，CFD ∠；FDC ∠，EDB ∠；//DE AC ，EDF CFD A ∠=∠=∠；平角的意义；180A B C ∠+∠+∠=︒．【总结】考查三角形内角和的证明，利用平行线得到相等角等量代换即可．1、 命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．【例7】 判断下列语句是不是命题?例题解析知识精讲模块二：命题、公理、定理（1） 直线AB 和直线CD 垂直； （2） 同旁内角不相等，两直线平行；（3） 天气预报播报，明天下雨的概率较大，大家出门带好雨具； （4） 两点之间，线段最短； （5） 对顶角相等； （6） 请把门关上！【答案】（2）、（4）、（5）是命题，（1）、（3）、（6）不是命题．【解析】根据命题的定义，对某一件事情做出判断的句子叫做命题，（2）（4）（5）是对一件事情做出判断的句子，是命题，（1）（3）（6）不是．【总结】考查对语句是否为命题的判断．【例8】 判断下列命题的真假．（1） 两个钝角的和还是钝角；（2） 两个等腰三角形必定可以拼成一个直角三角形； （3） 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4） 在一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形； （5） 若两个三角形全等，则这两个三角形关于某个点成中心对称； （6） 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）是假命题，（4）是真命题．【解析】（1）两个钝角的和大于180°，不是钝角，是假命题；（2）两个等腰三角形的三边 长都不相等，则不能组合在一起，也不能拼成直角三角形，是假命题；（3）等边三角形 不是中心对称图形，是假命题；（4）这条中线将三角形分成两个等腰三角形，根据等腰 三角形两底角相等，可得这条边的对角为180°÷2=90°，即为直角三角形，是真命题； （5）两全等三角形的对应点不一定交于一点，则不一定关于某点中心对称，是假命题； （6）保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这 点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等，是假命题．【总结】考查判断一个命题的真假，判断命题为假命题举一个反例即可． 【例9】 下列定理中有逆定理的是（）．A ．直角三角形中没有钝角；B ．互为相反数的数的绝对值相等；C ．同旁内角互补，两直线平行；D ．若22a b a b ==，则．【答案】C【解析】没有钝角的三角形可能为锐角三角形，A 错误；绝对值相等的数可能是相等也可能是互为相反数，B 错误；22a b =，a b =±，D 错误；C 选项逆命题为平行线判定定理．【总结】考查定理和相关逆定理，平行线三条性质定理都有逆定理．【例10】以下命题的逆命题为真命题的是（）．A．三个角相等的三角形是等边三角形；B．同角的余角相等；C．在三角形中，钝角所对的边最长；D．对顶角相等．【答案】A【解析】等边三角形三个内角相等，A的逆命题是真命题；余角相等的角是等角，不一定是同角，B的逆命题是假命题；根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是钝角，例如直角三角形，C的逆命题是假命题；相等的角不一定为对顶角，同位角、内错角等，D的逆命题是假命题；故选A．【总结】考查对命题的逆命题的真假的判断，举反例即可．【例11】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）等边对等角；如果____________________，那么______________________________；（2）同角的补角相等；如果____________________，那么______________________________；（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行；如果____________________，那么______________________________；（4）全等三角形对应边相等；如果____________________，那么______________________________．【答案】略．【解析】（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等；（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；（4）一对全等三角形中，如果两条边是这对全等三角形的对应边，那么这两条边相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．【例12】写出以下命题的逆命题，并判断真假：（1）等边三角形的三个内角相等；（2）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（3）等腰三角形的底角相等；（4）全等三角形对应角相等；（5）全等三角形面积相等．【答案】略．【解析】（1）逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形，真命题；（2）逆命题：两个三角形是全等三角形，这两个三角形中两条对应边和其中一个对应角都相等，真命题；（3）逆命题：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题；（4）逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，假命题；（5）逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形，假命题．【总结】考查对命题的逆命题的真假的判断．【例13】以下说法中正确的有（）个．（1）逆定理一定是真命题；（2）一个定理一定有逆定理；（3）互逆命题一定是互逆定理；（4）互逆定理一定是互逆命题．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】逆定理的前提是真命题，（1）正确；定理对应的逆命题不一定为真命题，则没有逆定理，（2）错误；定理一定是命题，但命题不一定是定理，可知互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，（3）错误，（4）正确；综上，（1）（4）正确，故选B．【总结】考查定理和命题的区别和联系．【例14】下列命题是假命题有（）个．（1）若000，则；>>>a b ab（2）两直线相交，只有一个交点；（3）等腰三角形是锐角三角形；（4）等边三角形是等腰三角形．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】（1）正确，是真命题；（2）正确是真命题；等腰三角形顶角有可能为钝角，则为钝角三角形，（3）是假命题；等边三角形是特殊的等腰三角形，（4）是真命题；综上（3）是假命题故选A．【总结】考查命题的真假的判断．【例15】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】略【解析】（1）假命题，组成角的两条射线，一条方向相同，一条相反，则两角互补；（2）假命题，保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等．【总结】考查命题的真假的判断，假命题举反例即可．【例16】写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）等边对等角；（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．【答案】略．【解析】（1）逆命题：如果一个三角形中有两条边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题，不是逆定理；（2）逆命题：两直线平行，内错角相等，真命题，是逆定理；（3）逆命题：等角对等边，真命题，是逆定理；（4）逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行，真命题，不是逆定理．【总结】考查一个命题的逆命题的写法，以及对命题真假的判断．证明两直线平行的一般方法： （1） 平行线的判定和性质；（2） 利用全等得出结论证明两直线平行．【例17】 如图，若AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 和CD 相交于点E 和F ，EP ⊥EF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，且∠BEP =40°，则∠EPF =____________．【答案】65°．【解析】90PEF ∠=︒，40BEP ∠=︒， 130BEF PEF BEP ∴∠=∠+∠=︒ //AB CD ， 180BEF EFD ∴∠+∠=︒ 50EFD ∴∠=︒PF 是EFD ∠的角平分线，1252EFP EFD ∴∠=∠=︒18065EPF PEF EFP ∴∠=︒-∠-∠=︒例题解析模块三：证明举例知识精讲ACEB DFP【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，同旁内角互补．【例18】 已知AB ∥CD ，∠1=2∠GBH ．求证：BH 平分∠DHG ．【答案】略． 【解析】证明：//AB CD1DHG GBH DHB ∴∠=∠∠=∠， 12GBH ∠=∠，1B GHB ∠=∠+∠ GHB GBH DHB ∴∠=∠=∠即证BH 平分∠DHG【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，内错角相等．【例19】 已知：如图，AB ∥CD ，且FH 、EG 分别是∠BFE 、∠CEF 的平分线，求证：FH ∥EG ． 【答案】略 【解析】证明：//AB CD ， CEF BFE ∴∠=∠，GE 是CEF ∠的角平分线，12GEF CEF ∴∠=∠，同理12EFH BFE ∠=∠GEF EFH ∴∠=∠， //FH EG ∴．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．【例20】 如图，已知E 是△ABC 一边AC 的中点，F 是AB 上的一点，FE 的延长线与CD 交于点D ，且FE = DE ．求证：DC ∥AB ． 【答案】略． 【解析】证明：E 是AC 的中点，AE CE ∴=．ACED BFHGCABF DEG CAEFDB1HACFBED G A C EDFBOFE DE AEF DEC =∠=∠，， AEF CED ∴∆≅∆．A ECD ∴∠=∠， //DC AB ∴．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．【例21】 如图，BE 、CE 分别为∠B 、∠C 的平分线，且∠BEC =90°，求证：AB ∥CD ．【答案】略【解析】证明：90BEC ∠=︒， 90EBC ECB ∴∠+∠=︒BE 是ABC ∠的角平分线，2ABC EBC ∴∠=∠，同理2DCB ECB ∴∠=∠，()2180ABC DCB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=︒//AB CD ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．【例22】 如图，已知∠ADE =∠B ，FG ⊥AB ，∠EDC =∠GFB ，求证：CD ⊥AB ． 【答案】略【解析】证明：ADE B ∠=∠， //DE BC ∴， EDC BCD ∴∠=∠ EDC GFB ∠=∠， DCB GFB ∴∠=∠， //GF DC ∴．FG AB ⊥， CD AB ∴⊥．【总结】考查平行线的性质和判定定理的相互转换应用．【例23】 如图，已知BO =OC ，AB =DC ，BF ∥CE ，且A 、B 、C 、D 、O 在同一直线上．求证：DE ∥AF ．【答案】略【解析】证明：//BF CE ， BFO CEO ∴∠=∠ BO OC BOF COE =∠=∠， BOF COE ∴∆≅∆ OE OF ∴= BO OC AB CD ==，BO AB OC CD ∴+=+，即AO OD =AOF DOE ∠=∠ AOF DOE ∴∆≅∆AEDBCAB DFEACEDB 1 2A D ∴∠=∠ //DE AF ∴【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行与全等三角形性质的应用．【例24】 已知：如图所示，AB = AC ，AD = CE ，BD = AE ，∠1=∠2．求证：AE ∥BC ． 【答案】略 【解析】证明：AB AC =， 2ACB ∴∠=∠AB AC AD CE BD AE ===，， ABD CAE ∴∆≅∆，1CAE ∴∠=∠12∠=∠， 12CAE ACB ∴∠=∠=∠=∠//AE BC ∴【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行结合全等三角形性质的应用．【例25】 如图：已知CD 、BE 是三角形ABC 的中线，AB =AC ,求证：DE ∥BC ．【答案】略【解析】证明：CD 是ABC ∆的中线，12AD AB ∴=． 同理12AE AC =．AB AC =， AD AE ABC ACB ∴=∠=∠， ADE AED ∴∠=∠180180A ADE AED A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，()11802ADE A ABC ∴∠=︒-∠=∠， //DE BC ∴．【总结】考查平行线的判定定理和等腰三角形性质的综合应用．【例26】 如图，已知在三角形ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，EF 过点D ，且EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE +CF ． 【答案】略【解析】证明：BD 是ABC ∠的角平分线， EBD DBC ∴∠=∠ //EF BC ， EDB DBC ∴∠=∠， EBD EDB ∴∠=∠BE DE ∴=，同理DF CF =，EF ED DF BE CF ∴=+=+【总结】考查角平分线与平行线结合产生等腰三角形的基本模型． AB CEDABE CDFABCDEF 【例27】 如图所示，在四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∠BAD 和∠BCD 互补，∠DFC 和∠DCF 互余． 求证：∠AEB =∠FCB ． 【答案】略 【解析】证明：AE 平分BAD ∠，12DAE BAD ∴∠=∠．同理12DCF BCD ∠=∠．BAD ∠和BCD ∠互补， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 90DAE DCF ∴∠+∠=︒． DFC ∠和DCF ∠互余， 90DFC DCF ∴∠+∠=︒， DFC DAE ∴∠=∠//AE CF ∴，AEB FCB ∴∠=∠．【总结】考查平行线性质定理和判定定理的综合应用．【例28】 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C ，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ．求证：BE ∥DF ． 【答案】略【解析】证明：BE 平分ABC ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，同理12FDE ADC ∠=∠，360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A C ∠=∠， 3602ABC ADC A ∴∠+∠=︒-∠BED A ABE ∠=∠+∠()1113602180222BED FDE A ABC ADC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒-∠=︒//BE DF ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．【例29】 如图，AB ∥CD ，分别探讨下面4个图形中∠BPD 、∠ABP 、∠CDP 的关系，（直接写出关系即可），并对第3个图得到的关系进行证明（至少用两种方法）．C ABPDABCDP图1图2【答案】图1：+360BPD ABP CDP ∠∠+∠=； 图2：BPD CDP ABP ∠=∠-∠； 图3：BPD ABP CDP ∠=∠+∠； 图4：BPD ABP CDP ∠=∠-∠． 【解析】证明：方法1：延长BP 交CD 于点M ， //AB CD ， ABP PMD ∴∠=∠BPD PMD CDP ABP CDP ∴∠=∠+∠=∠+∠；方法2：过点作射线//PN AB ，则有ABP BPN ∠=∠，//AB CD ， //CD PN ∴， CDP DPN ∴∠=∠BPD BPN DPN ABP CDP ∴∠=∠+∠=∠+∠．【总结】考查平行线的性质定理和三角形外角性质的结合应用，本题中4个小题都可通过作平行或延长简单证明．【例30】 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠DCB ，AB =CD ，AE =DF .（1） 求证：BF =CE ；（2） 当点E 、F 相向运动，形成图2时，BF 和CE 还相等吗?证明你的结论．【答案】（1）略；（2）相等． 【解析】（1）证明：//AD BC ，180180BAD ABC ADC BCD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ABC DCB ∠=∠ BAD ADC ∴∠=∠AE DF =AE AD DF AD ∴+=+，即DE AF = AB CD =EDC FAB ∴∆≅∆ABCDPABCDP图3图4A ABCDFED BC（E ） （F ）图1图2BF CE∴=（2）相等，证明：同（1）可证BAD ADC∠=∠，，==ED AF AB CD∴∆≅∆EDC FABBF CE∴=【总结】考查等腰梯形的性质的证明，实际为后面等腰梯形性质的学习打下基础．随堂检测【习题1】下列命题中，属于公理的有（）．A．三角形的内角和为180°B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．等腰三角形两个底角相等D．在所有联结两点的线中，线段最短【答案】D【解析】公理是人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据，D是公理，A、B、C都是定理．【总结】考查对公理的判断．【习题2】下列判断错误的是（）．A．底角对应相等的两个等腰三角形全等B．有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等C．腰相等的两个等腰直角三角形全等D．边长相等的两个等边三角形全等【答案】A【解析】由A只能确定两个等腰三角形的三个内角对应相等，缺少边相等的条件，不能判定全等，故选A．【总结】考查与等腰三角形结合的全等三角形的判定．【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）等角对等边；（2）同角的余角相等；ACED B 1 2 CBAFME（3）全等的三角形的对应边上的高相等． 【答案】略【解析】（1）如果一个三角形中有两个相等的角，那么这两个角所对的边也相等； （2）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； （3）如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应边上的高相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．【习题4】 如图，已知AC ∥DE ，∠1=∠2，求证：AB ∥CD ． 【答案】略 【解析】证明：//AC DE ， 2ACD ∴∠=∠．12∠=∠， 1ACD ∴∠=∠，//AB CD ∴．【总结】考查平行线的性质定理和判定定理的综合应用，等角转化．【习题5】 如图，AM 是△ABC 底边BC 上的中线，点F 在AM 上，点E 在AM 的延长线上，且EM =MF ． 求证：//CE BF ． 【答案】略 【解析】证明：AM 是ABC ∆的中线， BM CM ∴=EM MF CME BMF =∠=∠， CME BMF ∴∆≅∆E MFB ∴∠=∠ //CE BF ∴【总结】考查三角形的全等证明与平行线的判定定理的综合应用．【习题6】 如图，已知AF ∥BE ∥CD ，∠A =∠D ．求证：AB ∥ED ．【答案】略 【解析】证明：////AF BE CD ，180180A ABE D DEB ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，．A D ∠=∠， ABE DEB ∴∠=∠，ADBECF//AB ED ∴．【总结】考查平行线的性质和判定定理的结合应用，先利用性质再进行判定．【习题7】 如图，已知B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ∥DE ，且AB =DE ，BE =CF ．求证：AC ∥DF . 【答案】略 【解析】证明：//AB DE ， B DEF ∴∠=∠．BE CF =，BE EC EC CF ∴+=+，即BC EF =．AB DE =，ABC DEF ∴∆≅∆． ACB F ∴∠=∠ //AC DF ∴【总结】考查全等三角形的判定和平行线的性质和判定定理的综合应用．【习题8】 如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2．求证：∠BEF =∠EFC ．证明：__________________________． 因为_________________________（），所以∠ABC =∠BCD （）． 又因为__________________（ ）， 得______________________（ ）， 所以_____________________（），所以∠BEF =∠EFC （）．【答案】略【解析】联结BC ；//AB CD ，已知；两直线平行，内错角相等；12∠=∠；已知；EBC BCF ∠=∠；等式性质；//BE CF ，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【总结】考查平行线的性质和判定定理的综合运用．ABCDEF12ABCDEF【习题9】 如图，一条公路修到湖边时，需绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A 是120°，第二次拐弯的角∠B 是150°，第三次拐弯的角是∠C ，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C 的度数．【答案】150°【解析】延长AB 交DC 延长线于点E ，由两道路平行，可得120E A ∠=∠=︒，150ABC ∠=︒ 18030CBE ABC ∴∠=︒-∠=︒12030150BCD E CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【总结】考查平行线的性质和三角形外角性质的综合应用．【习题10】 已知：如图，∠ABC =∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，且CF =CB ．求证：∠1=∠2【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，12CDE ADC ∴∠=∠，同理12CBF ABC ∴∠=∠，ABC ADC ∠=∠ CDE CBF ∴∠=∠ CF CB = CFB CBF ∴∠=∠ CDE CFB ∴∠=∠ //DE FB ∴12∴∠=∠【总结】考查平行线的性质定理和判定定理的综合应用．DCEABF21 ACBDE【习题11】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．（1） 联结AC 、BD 相交于点O ，若OD = OB ，求证：OA = OC ．（2） 若E 、F 分别是DA 、BC 延长线上的一点，且AE = CF ．联结EF ，交AB 、CD于点G 、H ，交BD 于点O ．求证：OG = OH 且O 是BD 的中点．【答案】略【解析】证明：（1）//AB CD ，AD ∥BC ，ADO CBO DAO BCO ∴∠=∠∠=∠， OD OB = ADO CBO ∴∆≅∆ OA OC ∴=（2）//AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，FHC FGB ∠=∠，//AD BC ，AGE FGB ∠=∠ E F AGE CHF ∴∠=∠∠=∠，ABD BDC ∠=∠AE CF = AGE CHF ∴∆≅∆ EG HF ∴=BD BD = ABD CDB ∴∆≅∆ AD BC ∴= AE CF =AE AD CF BC ∴+=+，即DE BF = EDO FBO ∴∆≅∆ DO BO EO FO ∴==， EO EG FO FH ∴-=-即证OG OH =且O 是BD 的中点【总结】考查根据平行线和三角形的全等证明平行四边形的相关性质，为后面学习平行四边形的性质打好基础．AB CGDEFHO 图2AB CDO图1课后作业【作业1】以下命题的逆命题是真命题的是（）．A．等边三角形的三个角相等；B．同角的补角相等；C．在三角形中，钝角所对的边长最长；D．同位角相等．【答案】A【解析】三个内角相等的三角形是等边三角形，A的逆命题是真命题；补角相等的角相等，但不一定为同角，B的逆命题是假命题；根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是钝角，例如直角三角形，C的逆命题是假命题；相等的角不一定为同位角，D的逆命题为假命题；故选A．【总结】考查命题的逆命题真假的判定，判定为假命题举反例即可．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论判断出命题的真假．（1）轴对称图形都是等腰三角形；（2）等腰三角形顶角的角平分线就是底边上的高；（3）等角的余角相等．【答案】略【解析】（1）如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形是等腰三角形；题设：如果一个图形是轴对称图形，结论：那么这个图形是等腰三角形，假命题；（2）如果过等腰三角形的顶角作顶角的角平分线，那么这条角平分线是等腰三角形底边上的高；题设：如果过等腰三角形的顶角作顶角的角平分线，结论：那么这条角平分线是等腰三角形底边上的高，真命题；（3）如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等；题设：如果两个角是两个相等的角的余角，结论：那么这两个角相等，真命题．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解，同时考查命题真假的判断．【作业3】 以下说法正确的有（）个．①每个命题都有逆命题； ②假命题的逆命题是假命题； ③真命题的逆命题都是真命题； ④每个定理都有逆定理． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①显然正确，②③显然错误，定理的逆命题必须为真命题则为定理，④错误， 综上只有①正确，故选A ．【总结】考查命题和逆命题、定理和逆定理的相关定义．【作业4】 如图，已知：∠AEC =∠A +∠C ．求证：AB ∥CD ． 【答案】略【解析】证明：延长AE 交CD 于点F ，AEC C EFC AEC A C ∠=∠+∠∠=∠+∠， EFC A ∴∠=∠ //AB CD ∴【总结】考查平行线的判定定理和三角形外角性质的综合应用．【作业5】 已知：如图，AB //CD ，∠B =110°，∠C =35°．求∠E 的度数．【答案】105°【解析】延长AB 交CE 延长线于点F ，//AB CD 35F C ∴∠=∠=︒ 110ABE ∠=︒18070FBE ABE ∴∠=︒-∠=︒7035105BEC FBE F ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【总结】考查平行线的判定定理和三角形外角性质的综合应用．【作业6】 已知：如图，A 、E 、F 、D 四点在一条直线上，AE =FD ，AB //CD ，且AB =CD ．EABDCFABCDEFABCONM EDCBA求证：BF //CE ． 【答案】略 【解析】证明：//AB CD ， A D ∴∠=∠AE FD =AE EF FD EF ∴+=+，即AF DE = AB CD = ABF DCE ∴∆≅∆CED BFA ∴∠=∠ //BF CE ∴【总结】考查平行四边形和全等三角形性质的综合应用．【作业7】 已知：如图，已知点O 在直线AB 上，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ，那么OM ⊥ON 吗?为什么? 解：因为OM 平分∠AOC （）， 所以∠MOC=______________________（），同理____________=_________________． 又因为∠AOC+∠BOC=180°（）， 所以0119022AOC BOC ∠+∠=（）， 得____________+____________=090，（ ）所以OM _______________ON （）．【答案】略【解析】已知；12AOC ∠，角平分线的意义；CON ∠，12BOC ∠；平角的意义；等式性质；MOC ∠，CON ∠，等量代换；⊥，垂直的意义． 【总结】考查证明题的判定应用和相应的定理的把握．【作业8】 如图，AC =CE ，DE =BD ，∠AEB =90°．求证：AC //BD ．【答案】略ABCDEF90CEA DEB ∴∠+∠=︒ AC CE =A CEA ∴∠=∠，同理B DEB ∠=∠，180180A CEA C D DEB B ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，18021802C CEA D DEB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，()3602180C D CEA DEB ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒//AC BD ∴【总结】考查平行线的性质定理和等腰三角形性质的综合应用．【作业9】 已知CE 、BD 是△ABC 的高，AB =AC ，求证：DE ∥BC ．【答案】略【解析】证明：CE 、BD 是ABC ∆的高，90ADB AEC ∴∠=∠=︒ A A AB AC ∠=∠=，ABD ACE ABC ACB ∴∆≅∆∠=∠，AE AD ∴= ADE AED ∴∠=∠180180A ADE AED A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，()11802AED A ABC ∴∠=︒-∠=∠//DE BC ∴【总结】考查平行线的判定定理和等腰三角形性质的综合应用．【作业10】 已知：如图，∠B =∠C ， ∠BDE =∠CDF ，BD = CD ，求证：EF //BC ．【答案】略ACBDEFEDCBACABDRQP180180BDE EDC BDF CDF ∠+∠=︒∠+∠=︒，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=︒()11802BDF CDE BDE EDF ∴∠=∠∠=︒-∠，BD CD B C =∠=∠，BDF CDE ∴∆≅∆ DE DF ∴=DEF DFE ∴∠=∠180DEF EDF DFE ∠+∠+∠=︒()11802DEF EDF BDE ∴∠=︒-∠=∠//EF BC ∴【总结】考查三角形的全等，等腰三角形性质，三角形内角和的综合应用．【作业11】 已知：如图在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD ，∠ABC 的角平分线交直线AD 的延长线于点P ，经过点A 与BP 垂直的直线交直线BC 的延长线于点Q ． 求证：PQ ∥CD ．【答案】略【解析】证明：BP 是ABC ∠的角平分线， PBQ PBA ∴∠=∠． AQ BP ⊥， 90BRQ BRA ∴∠=∠=︒．BR BR =， BRQ BRA ∴∆≅∆， BQ BA ∴=．BP BP =， BPQ BPA ∴∆≅∆， BQP BAP ∴∠=∠． BAD BCD ∠=∠， BCD BQP ∴∠=∠//PQ CD ∴【总结】考查三角形的全等判定和平行线的判定的综合应用．。
(黄金题型)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（）A.2B.2C.4D.42、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则EF＋CF的长为（）A.5B.4C.6D.3、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤l34、如图，图①是一个对角线长分别是6和8的菱形，将其沿对角线剪成四个全等的三角形，把这四个三角形无重叠地拼成如图②所示的大正方形，则图②中小正方形的面积为（）A.1B.2C.4D.65、如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF ＝3，则▱ABCD的周长是（）A.12B.C.D.6、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )A. cmB. cmC. cmD.4 cm7、下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A.a＝2，b＝4，c＝6B.a＝4，b＝6，c＝8C.a＝4，b＝8，c＝10 D.a＝6，b＝8，c＝108、在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1， D1E1E2B2， A2B2C2D2， D2E3E4B3，A 3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1， E1， E2，E 3， E4， C3，…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是( )A.( ) 2014B.( ) 2015C.( ) 2015D.( ) 20149、下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A.8，15，17B.1，2，C.7，23，25D.1.5，2，2.510、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定11、如图，点A在双曲线上，且OA＝4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( )A.2B.5C.4D.12、如图，P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，则OP的长为（）A.1cmB.2cmC. cmD. cm13、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于( )A.6B.5C.4D.314、直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点线段的长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.12cm15、如图，数轴上点A，B分别对应实数1，2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的实数的平方是（）A.2B.5C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD=________° .17、已知C是优弧AB的中点，若，则AB=________.18、如图，在直角坐称系中，半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），点P 为直线y＝﹣x+2上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ 的最小值是________.19、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD：DC=3:2，则点D到AB的距离________cm．20、如图，已知是的直径，是的弦，过点作的切线，与的延长线交于点作交直线于点．若则________．21、已知的三边分别为a， b ，c，且a， b 满足，c=13，则=________．22、在中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为________.23、已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A=________度．24、在Rt△ABC中，∠ACB= AC=4，BC=3，CD是AB边上的高.则CD的长为________25、在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则折痕CE的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、已知把长为和的三根细木棒首尾相连，能搭成一个直角三角形.如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的倍，那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形，为什么?28、如图所示的是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图．AC，BC表示铁夹的两个面，O点是轴，OD⊥AC于点D，且AD＝15mm，DC＝24mm，OD＝10mm．已知文件夹是轴对称图形，试利用图②，求图①中A，B两点间的距离．29、如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．30、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC 于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、A4、A5、D6、A7、D8、D9、C10、C11、A12、D13、B14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
2022年精品解析沪科版八年级数学下册第19章 四边形专题攻克试题(含详细解析)
沪科版八年级数学下册第19章 四边形专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝6，OA ＝4．则这个矩形的面积为（ ）A ．24B ．48C ．D ．2、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（ ）A ．测量对角线是否互相平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否相等D ．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3、如图，已知在正方形ABCD 中，10AB BC CD AD ====厘米，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4AE =厘米，如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以a 厘米/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．若存在a 与t 的值，使BPE与CQP全等时，则t的值为（）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或24、如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km5、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（）A．内角和比外角和大180°B．外角和比内角和大180°C．内角和比外角和大360°D．内角和与外角和相等6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（）A．16 B．24 C．32 D．407、下列正多边形中，能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正七边形D．正九边形8、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（）A．22 B．24 C．48 D．449、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（）A．7 B．8 C．9 D．1010、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（）A．6 B．8 C．12 D．13第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，BD=4，将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点B′处，那么DB′的长为_________2、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为___________．4、在边长为4dm的正方形纸片（厚度不计）上，按如图的实线裁剪，将阴影部分按虚线折叠成一个有盖的正方体盒子，则这个盒子的容积为______3dm．5、如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．（1）求证：DEF是等腰三角形；（2）若60∠=︒，2ADE=，求BC的长．2、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．3、如图，AM//BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D， DE⊥BD，交BN 于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积．4、（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝1，b＝2；（2）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．证明：四边形AECF 是矩形．5、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD 是长方形，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ．请写出∠ECB 和∠ACB 的数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得28AC OA ==，进而勾股定理求得BC ，再根据AB BC ⨯即可求得矩形的面积．【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，12OA AC ∴=，90ABC ∠=︒ AB ＝6，OA ＝4BC ∴∴矩形ABCD 的面积为：6AB BC ⨯=⨯故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．2、D【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．3、D【分析】根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.【详解】a=，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，解：当2BE=CP，∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，∴BE=CP=6厘米，∴BP=10-6=4厘米，∴运动时间t=4÷2=2（秒）；当2a≠，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B=∠C=90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．BP÷=÷=（秒）.∴点P，Q运动的时间t=252 2.5综上t的值为2.5或2.故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．4、D【详解】AB，即可求出CM．根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝12【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，AB，∴CM＝12∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5、D【分析】直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．【详解】解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．6、C【分析】由中点的定义可得AE =CE ，AD =BD ，根据三角形中位线的性质可得DE //BC ，DE =12BC ，根据平行线的性质可得∠ADE =∠ABC =90°，利用ASA 可证明△MBD ≌△EDA ，可得MD =AE ，DE =MB ，即可证明四边形DMBE 是平行四边形，可得MD =BE ，进而可得四边形DMBE 的周长为2DE +2MD =BC +AC ，即可得答案．【详解】∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴AE =CE ，AD =BD ，DE 为△ABC 的中位线，∴DE //BC ，DE =12BC ，∵∠ABC ＝90°，∴∠ADE =∠ABC =90°，在△MBD 和△EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△MBD ≌△EDA ，∴MD =AE ，DE =MB ，∵DE //MB ，∴四边形DMBE 是平行四边形，∴MD =BE ，∵AC ＝18，BC ＝14，∴四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．7、A【分析】根据使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面，即可求解．【详解】解：A、∵正方形的内角和为360︒，∴正方形的每个内角为90°，而904=360︒⨯︒，∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；B、正五边形的每个内角为()521801085-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；C、正七边形的每个内角为()7218090077-⨯︒⎛⎫=︒⎪⎝⎭，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；D、正九边形的每个内角为()921801409-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了用正多边形铺设地面，熟练掌握给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面是解题的关键．8、B【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．解： 菱形ABCD ，6,AC =,3,2,5,,AD BC OA OC BD BO AB BC AD AC BD ∥在Rt △BCO 中，224,BOBC OC 即可得BD =8，,AC DE ∥ ∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC =DE =6，5,CE AD∴ BE =BC +CE =10，222100,BE BD DE∴△BDE 是直角三角形，90,BDE ∠=︒∴S △BDE =12DE •BD =24．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD 的长度，判断△BDE 是直角三角形，是解答本题的关键．9、D【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：∵360°÷36°=10，∴这个多边形的边数是10．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．10、B【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC 的值，由AC ⊥BC ，可得ABCD SAC BC =⋅，代入即可求出BC 边长.【详解】解：∵在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA =OC ，∵OA =3，∴AC =2OA =6，∵AC ⊥BC ，∴648ABCDS AC BC BC =⋅==， ∴BC =8.故选：B【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.二、填空题1、2【分析】BD=2．连接B′O．证明△B′OD是等边三角形，即可求得B′D=OD=12【详解】解：如图，连接B′O．∵∠AOB=∠B′OA=60°，∴∠B′OD=60°，∵OB=OB′=OD，∴△B′OD是等边三角形，BD=2，∴B′D=OD=12故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠变换的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的判定和性质；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质是解题的关键．2、12【分析】n-⨯︒=︒，然后解方程即可．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到()21801800【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得()21801800n-⨯︒=︒，∴210n-=，∴12n=．故答案为：12．【点睛】考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为()2180n-⨯︒解答．3、10825或185或3【分析】过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB＝BP＝3，②AB＝AP＝3，③AP＝BP，分别画出图形，再求出面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由勾股定理得：5AC，有三种情况：①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，S △ABC＝1122AB BC AC BM⋅=⋅，1134=5 22BM∴⨯⨯⨯⨯，解得：125 MB=，∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，∴95 AM PM===，∴AP＝AM+PM＝185，∴△PAB的面积＝111812108 225525 AP BM⋅=⨯⨯=；②当AB＝AP＝3时，如图2，∵BM＝125，∴△PAB的面积S＝11121832255 AP BM⋅=⨯⨯=；③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝13322=⨯，∵四边形ABCD 是矩形，NQ ⊥AC ，∴PN ∥BC ，∵AN ＝BN ，∴AP ＝CP ， ∴122PN BC ==， ∴△PAB 的面积1132322S AB NP =⋅=⨯⨯=; 即△PAB 的面积为10825或185或3． 故答案为：10825或185或3． 【点睛】 本题主要是考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理求边长，熟练掌握矩形的性质，利用等腰三角形的判定，分成三种情况讨论，是解决本题的关键．4、【分析】根据题意可得，设正方体的棱长为a dm ，则减去的部分为2个边长为a dm 的正方形，将阴影部分按虚线折叠成一个有盖的正方体盒子，则四个角折叠后刚好凑成1个边长为a dm 的正方形，据此列一元二次方程求解，进而即可求得正方体的容积【详解】解：设正方体的棱长为a dm ()0a >，则222426a a -=解得a ∴这个盒子的容积为3dm故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，立方体展开图，正方形的性质，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．5、6【分析】根据题意把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD ，交CD 于点G ，证明△AEF ≌△AGF 即可求得EF ＝DF ﹣BE ＝7﹣1＝6．【详解】解：如图，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到DA ，交CD 于点G ，由旋转的性质可知，AG ＝AE ，DG ＝BE ，∠DAG ＝∠BAE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠DAG +∠BAF ＝45°，又∵∠BAD ＝90°，∴∠GAF ＝45°，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ）∴EF ＝GF ，∵BE ＝1，DF ＝7，∴EF ＝GF ＝DF ﹣DG ＝DF ﹣BE ＝7﹣1＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，注意旋转性质的应用．三、解答题1、（1）见解析；（2）4【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得1802BFE EBF ∠=︒-∠，1802DFC DCF ∠=︒-∠，进而证得DFE ∠=60°，则△DEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质求得2DE DF EF ===即可求解．【详解】（1）证明：∵BD ，CE 分别是AB 、AC 边上的高，∴90BDC BEC ∠=∠=︒，∵点F 是BC 中点， ∴12EF BC =，12DF BC =，12BF CF BC == ∴EF DF BF CF ===，∴DEF 是等腰三角形；（2）解：∵EF DF BF CF ===，∴EBF BEF ∠=∠，FDC DCF ∠=∠∴1802BFE EBF ∠=︒-∠，同理1802DFC DCF ∠=︒-∠，∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，∴180120ABF ACF A ∠+∠=︒-∠=︒，∴()180DFE BFE DFC ∠=︒-∠+∠()18036022EBF DCF =︒-︒-∠-∠218060EBF DCF =∠+∠-︒=︒（）又DEF 是等腰三角形，∴DEF 是等边三角形．∴2DE DF EF ===，∴24BC EF ==．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB CD ∥，AB =CD ，然后根据CE =DC ，得到AB =EC ，AB EC ∥，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；（2）由（1）得的结论得四边形ABEC 是平行四边形，再通过角的关系得出FA =FE =FB =FC ，AE =BC ，可得结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB =CD ，∵CE =DC ，∴AB =EC ，AB EC ∥，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵由（1）知，四边形ABEC 是平行四边形，∴FA =FE ，FB =FC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC =∠D ．又∵∠AFC =2∠ADC ，∴∠AFC =2∠ABC ．∵∠AFC =∠ABC +∠BAF ，∴∠ABC =∠BAF ，∴FA =FB ，∴FA =FE =FB =FC ，∴AE =BC ，∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．3、（1）见解析（2）【分析】（1）由ASA 可证明△ADO ≌△CBO ，再证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明AD =AB ，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC ⊥BD ，证明四边形ACED 是平行四边形，得出AC =DE =2，AD =EC ，由菱形的性质得出EC =CB =AB =2，得出EB =4，由勾股定理得BD=【小题1】解：证明：∵点O 是AC 的中点，∴AO =CO ，∵AM ∥BN ，∴∠DAC =∠ACB ，在△AOD 和△COB 中，DAO BCO AO COAOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADO ≌△CBO （ASA ），∴AD =CB ，又∵AM ∥BN ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AM ∥BN ，∴∠ADB =∠CBD ，∵BD 平分∠ABN ，∴∠ABD =∠CBD ，∴∠ABD =∠ADB ，∴AD =AB ，∴平行四边形ABCD 是菱形；【小题2】由（1）得四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD =CB ，又DE ⊥BD ，∴AC ∥DE ，∵AM ∥BN ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC =DE =2，AD =EC ，∴EC =CB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴EC =CB =AB =2，∴EB =4，在Rt △DEB 中，由勾股定理得BD=∴S 菱形ABCD ＝12AC •BD ＝122⨯⨯ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．4、（1）22b ab -+，0；（2）证明见解析．【分析】（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简，然后代入求解即可；（2）首先根据菱形的性质得到AD BC ∥，AD BC =，然后根据E 、F 分别是BC 、AD 的中点，得出AF CE =，根据一组对边平行且相等证明出四边形AECF 是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出AE BC ⊥，即可证明出四边形AECF 是矩形．【详解】（1）（a +b ）（a ﹣b ）﹣a （a ﹣2b ）222222a b a abb ab =--+=-+将a ＝1，b ＝2代入得：原式＝222120-+⨯⨯=；（2）如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，且AD BC =，又∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，即90AEC ∠=︒，∴平行四边形AECF 是矩形．【点睛】此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理．5、∠ACB ＝3∠ECB ，见解析．【分析】由矩形的对边平行可得∠F =∠ECB ，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC =2∠F ，那么∠ECB ＝∠F ，所以∠ACB =3∠ECB ．【详解】解：∠ACB =3∠ECB ．理由如下：在△AGF 中，∠AGC ＝∠F +∠GAF ＝2∠F ．∵∠ACG ＝∠AGC ，∴∠ACG ＝2∠F ．∵AD//BC ，∴∠ECB ＝∠F ．∴∠ACB ＝∠ACG +∠BCE ＝3∠F ．故∠ACB ＝3∠ECB ．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。
2021-2022学年基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形同步测试试题(含详解)
八年级数学第二学期第二十二章四边形同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，把BAE 以点B 为中心顺时针旋转一定角度后，得到BFG ，已知点F 在BC 上，连接DF ．若70ADC ∠=︒，15CDF ∠=︒，则DFG ∠的大小为（ ）A ．140°B ．155°C ．145°D ．135°2、下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）A ．正方形B ．正五边形C ．正七边形D ．正九边形3、下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720°B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形4、在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<125、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（）A．内角和比外角和大180°B．外角和比内角和大180°C．内角和比外角和大360°D．内角和与外角和相等6、如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将ADE绕点A顺时针旋转90︒到ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点.G若2CG=，则CE的长为（）A．54B．154C．4D．9 27、如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（）A．12 B．15 C．18 D．248、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（）A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF9、将一块三角尺和一张矩形纸片如图排放，若∠1=25°，则∠2的大小为（）A．55°B．65°C．45°D．75°10、下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（）．A．1，1，2，B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系中，已知反比例函数1(0)y xx=>，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 _____．2、已知一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，则它的边数为 _____．3、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．4、如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，9），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A和点C重合．若x轴上有一点P，使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为________．5、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：在ABC∆中，点D、点E、点F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．=，求证：四边形DECF为菱形；（1）如图1，若AC BC∥交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况（2）如图2，过C作CG AB∆面积相等的平行四边形．下，请直接写出图中所有与ADG2、（1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．3、如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为对角线的正方形AEBF，点E、F在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出以CD 为斜边的等腰直角三角形CDM ，连接BM ，并直接写出BM 的长．4、如图，在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =．30B ∠=︒．点P 在BC 上由点B 向点C 出发，速度为每秒2cm ；点Q 在边AD 上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ．当点P 运动到点C 时，点P ，Q 同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形ABPO 为平行四边形？（2）设四边形ABPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）当t 为何值时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三？求出此时PQD ∠的度数．（4）连接AP ，是否存在某一时刻t ，使ABP △为等腰三角形？若存在，请求出此刻t 的值；若不存在，请说明理由．5、如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 在线段BD 上，且DE ＝BF ．求证：AE ∥CF ．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．【详解】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，∴∠ADF=55°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠BFD=125°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=20°，由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．2、A【分析】根据使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面，即可求解．【详解】解：A、∵正方形的内角和为360 ，∴正方形的每个内角为90°，而904=360︒⨯︒，∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；B、正五边形的每个内角为()521801085-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；C、正七边形的每个内角为()7218090077-⨯︒⎛⎫=︒⎪⎝⎭，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；D、正九边形的每个内角为()921801409-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了用正多边形铺设地面，熟练掌握给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面是解题的关键．3、B【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．4、C【分析】 作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===，然后在ABE ∆中，利用三角形三边的关系即可确定m 的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===， 在ABE ∆中，AB m =，∴19121912m -<<+，即731m <<，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．5、D直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．【详解】解：A ．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；B ．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；C ．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；D ．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．故选：D ．【点睛】本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．6、B【分析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG FG =，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG EG x ==-，再根据Rt CEG △中，222CE CG EG +=，即可得到CE 的长．【详解】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，ADE ≌ABF ，AE AF ∴=，DE BF =，又AG EF ⊥，H ∴为EF 的中点，AG ∴垂直平分EF ，EG FG ∴=，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG x =-，8EG x ∴=-，90C ∠=︒，Rt CEG ∴中，222CE CG EG +=，即2222(8)x x +=-， 解得154x =， CE ∴的长为154， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7、B【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB ＝OD ，又因为E 点是CD 的中点，可得OE 是△BCD 的中位线，可得OE ＝12BC ，所以易求△DOE 的周长．【详解】解：∵▱ABCD 的周长为36，∴2（BC ＋CD ）＝36，则BC ＋CD ＝18．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝12，∴OD ＝OB ＝12BD ＝6．又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE ＝12CD ，∴OE ＝12BC ，∴△DOE 的周长＝OD ＋OE ＋DE ＝12BD ＋12（BC ＋CD ）＝6＋9＝15，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．8、B【分析】首先根据方程x 2+x -1=0，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF =0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG =m ，则GC =1-m ，从而可以用m 表示等式．【详解】解：设DG =m ，则GC =1-m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG =GH =m ，FC =0.5．∵S 正方形=S △ABF +S △ADG +S △CGF +S AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1-m ）+12×m ，∴m ．∵x2+x-1=0的解为：x∴取正值为x．∴这条线段是线段DG．故选：B．【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．9、B【分析】延长CE，交矩形边于点B，利用三角形外角性质，平行线的性质计算．【详解】延长CE，交矩形边于点B，∴∠ABE=90°-∠1=65°，∵纸片是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠2=65°，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角板的特点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10、C【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．二、填空题1、【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m A2的坐标为．【详解】解：∵反比例函数的解析式为1(0)y xx=>，∴A3所在的正方形的边长为1，∴A 3（1，1），设A 2所在的正方形的边长为m ，则A 2（m ，m +1），∴m （m +1）＝1，解得m ，∴A 2的坐标为，故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方形的性质，一元二次方程的计算，准确计算是解题的关键．2、6【分析】根据多边形内角和公式及多边形外角和可直接进行求解．【详解】解：由题意得：()18022360n ︒⨯-=⨯︒，解得：6n =，∴该多边形的边数为6；故答案为6．【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形内角和及外角和是解题的关键． 3、12【分析】n-⨯︒=︒，然后解方程即可．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到()21801800【详解】解：设这个多边形的边数是n，n-⨯︒=︒，依题意得()21801800n-=，∴210n=．∴12故答案为：12．【点睛】n-⨯︒解答．考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为()21804、（8，0）或（-2，0）-2，0）或（8，0）【分析】由矩形的性质可得BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，由折叠的性质可得AE=CE，由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形OABC矩形，且点A（3，0），点C（0，9），∴BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，∵将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．∴AE=CE，∵CE2=BC2+BE2，∴CE2=9+（9-CE）2，∴CE=5，∵△AEP 为等腰三角形，且∠EAP =90°，∴AE =AP =5，∴点E 坐标（8，0）或（-2，0）故答案为：（8，0）或（-2，0）【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化-对称，求出AE 的长是本题的关键．5、50︒ 130︒ 50︒【分析】利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，B 、D ∠是A ∠的邻角，C ∠是A ∠的对角，∴50∠=∠=︒B D ，130C ∠=︒，故答案为：50︒ ，130︒，50︒．【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．三、解答题1、（1）证明见详解；（2）与ADG 面积相等的平行四边形有ADFE 、DEFB 、DECF 、EFCG ．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得：∥DE BC ，DF AC ∥，12DE BC =，12DF AC =，依据平行四边形的判定定理可得四边形DECF 为平行四边形，再由BC AC =，可得DE DF =，依据菱形的判定定理（2）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理可得四边形DEFB 、DECF 、ADFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得出ADE 与各平行四边形面积之间的关系，再根据平行四边形的判定得出四边形EGCF 是平行四边形，根据其性质得到EG FC DE ==，根据等底同高可得2=ADG ADE S S ，据此即可得出与ADG 面积相等的平行四边形．【详解】解：（1）∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴∥DE BC ，DF AC ∥，12DE BC =，12DF AC =，∴四边形DECF 为平行四边形，∵BC AC =，DE DF ∴=，∴四边形DECF 为菱形；（2）∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴∥DE BC ，DF AC ∥，EF AB ∥，12DE BC =，12DF AC =，12EF AB =， 且AD BD =，AE CE =，BF CF =，∴四边形DEFB 、DECF 、ADFE 是平行四边形， ∴111222======ADE DEF EFC DBF ADFE DEFB DECF S S S S S S S ，∵∥DE BC ，∥∥CG EF AB ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴EG FC DE ==，∴2=ADG ADE S S ，S S S S S∴====ADG ADFE DEFB DECF EFCG∴与ADG面积相等的平行四边形有ADFE、DEFB、DECF、EFCG．【点睛】题目主要考查菱形及平行四边形的判定定理和性质，中位线的性质等，熟练掌握平行四边形及菱形的判定定理及性质是解题关键．2、（1）四边形CODP是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP 是正方形，理由见解析【分析】（1）先证明四边形CODP是平行四边形，再由矩形的性质可得OD=OC，即可证明平行四边形OCDP是菱形；（2）先证明四边形CODP是平行四边形，再由菱形的性质可得∠DOC=90°，即可证明平行四边形OCDP是矩形；（3）先证明四边形CODP是平行四边形，再由正方形的性质可得BD⊥AC，DO=OC，即可证明平行四边形OCDP是正方形；【详解】解：（1）四边形CODP是菱形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴平行四边形OCDP是菱形；（2）四边形CODP是矩形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠DOC=90°，∴平行四边形OCDP是矩形；（3）四边形CODP是正方形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，DO=OC，∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形，∴菱形OCDP是正方形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定条件．3、（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，以AB为对角线的正方形AEBF，根据正方形的性质求出正方形边长AE，根据勾股定理构造直角三角形横1竖3，或横3竖1，利用点A平移找到点E，点F即可完成求解；（2）根据勾股定理求出CD的长，△CDM为等腰直角三角形，设CM=DM=x，再利用勾股定理x=根据勾股定理构造横1竖2，或横2竖1直角三角形，利用点C平移得到点M，即可得到答案．【详解】（1）根据勾股定理AB=∵以AB 为对角线的正方形AEBF ，∴S 正方形=(22111022AB =⨯=，∵正方形AEBF 的边长为AE ，∴AE 2=10，∴AE根据勾股定理可知构造横1竖3或横3竖1的直角三角形作线段AE 、AF ，点A 向下平移1格，再向左平移3格得点E ，点A 向右平移1格，再向下平移3格得点F ， ∴连结AE ，BE ，BF ，AF ，则正方形ABEF 作图如下：（2）根据勾股定理CD ，∵△CDM 为等腰直角三角形，设CM =DM =x ，根据勾股定理222CD CM DM =+，即222x x =+，解得x =∴CM =DM根据勾股定理构造横1竖2，或横2竖1直角三角形作线段CM 、DM ，点C 向右移动2格，再向上移动1格得点M ，连结CM ，DM ，则△CDM 为所求如图．【点睛】本题考查了正方形性质、正方形面积，边长，等腰直角三角形、腰长，勾股定理，一元二次方程，平移；解题的关键是熟练掌握正方形性质、等腰直角三角形性质，勾股定理，一元二次方程，平移，从而完成求解．4、（1）163；（2）y ＝S 四边形ABPQ ＝2t ＋32（0＜t ≤8）；（3）t ＝8，75PQD ∠=；（4）当t ＝4或或ABP △为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）利用平行四边形的对边相等AQ ＝BP 建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE ，再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t ，即可求出DQ ，进而判断出DQ ＝PQ ，即可得出结论；（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =，由运动知，AQ ＝16−t ，BP ＝2t ，∵四边形ABPQ 为平行四边形，∴AQ ＝BP ，∴16−t ＝2t∴t＝163，即：t＝163s时，四边形ABPQ是平行四边形；（2）过点A作AE⊥BC于E，如图，在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，∴AE＝4，由运动知，BP＝2t，DQ＝t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝16，∴AQ＝16−t，∴y＝S四边形ABPQ＝12（BP＋AQ）•AE＝12（2t＋16−t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；（3）由（2）知，AE＝4，∵BC＝16，∴S四边形ABCD＝16×4＝64，由（2）知，y＝S四边形ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三∴2t＋32＝34×64，∴t＝8；如图，当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，∵CD＝AB＝8，∴DP＝DQ，∴∠DQC＝∠DPQ，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠DQP＝75°；（4）①当AB＝BP时，BP＝8，即2t＝8，t＝4；②当AP＝BP时，如图，∵∠B＝30°，过P作PM垂直于AB，垂足为点M，∴BM＝4，22242BPBP⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：BP，∴2t，∴t③当AB＝A P时，同（2）的方法得，BP＝∴2t＝∴t＝所以，当t＝4或ABP为等腰三角形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用AQ＝BP建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题．5、见解析【分析】首先根据平行四边形的性质推出AD＝CB，AD∥BC，得到∠ADE＝∠CBF，从而证明△ADE≌△CBF，得到∠AED＝∠CFB，即可证明结论．【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，B A ADEC F F B E BD C D =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质等，掌握平行四边形的基本性质，准确证明全等三角形并利用其性质是解题关键．。
沪教版八年级数学上册 命题和证明
证明：“相等的两个角是对顶角”是假命题。
证明：如图，∠1=30°，∠2=30°， 但∠1与∠2不是对顶角。
1 2
判断下列命题是真命题还是 假命题，如果是假命题，请 （证1）明若：∣a∣=∣b∣,则a=b；
（2）如果ab>0，那么a、b都是正数；
（3）互为补角的两个角都是锐角。
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180° B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
观察下列命题，你能发现这些命题 有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等， 那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形， 那么这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等， 那么这个四边形是矩形；
命题的结构：
在数学中，许多命题是由 题设(条件) 和结论 两部分组成的. 题设是已知事项 ， 结论 是由 已知事项推出的事项 . 这种命题常可写成 “如果 …，那么…”
的形式,“如果”开始的部分是题设,“那么” 开始的部分是结论.
指出下列命题的题设和结论: 1、如果两条直线相交，那么它们只
有一个交点； 题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点
(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18，c=8，则该三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=5B.a=7，b=24，c=25C.a=4，b=5，c=6 D.a=6，b=8，c=103、如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝45°，以BC为弦作⊙O，交AC 于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD＝90°；②DO∥AB；③CD＝AD；④△BDE∽△BCD；⑤正确的有（）A.①②B.①④⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤4、已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△ 绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.5、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（）A.2B.3C.4D.56、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，则的长为（）A.8B.4C.3D.57、在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A.a＝4，b＝5，c＝6B.a＝12，b＝5，c＝13C.a＝6，b＝8，c＝10D.a＝7，b＝24，c＝258、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m9、有一块三角形的草坪△ABC，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 ( )A.△ABC三条角平分线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条中线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点10、下列各组数中，不是勾股数的是（）A.3，4，5B.5，12，13C.6，8，10D.7，13，1811、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD＝8cm，则折痕EF的长为( )A.5cmB. cmC. cmD. cm12、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm13、如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，且点F在长方形ABCD内．将AF延长交边BC于点G．若BG=3CG，则=（）A. B.1 C. D.14、如图，在中，，，点D，E分别是AB, BC的中点，连接DE，CD，如果,那么的周长（）A.28B.28.5C.32D.3615、下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A.2，3，3B.2，3，4C.2，3，5D.3，4，5二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为________17、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________ cm2．18、如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，的平分线交⊙O于D，且，则的长为________．19、在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为________ cm．20、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是________．21、如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=4cm，则⊙O半径为________cm．22、如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，点C均落在格点上，点B 为中点．（Ⅰ）计算AB的长等于________；（Ⅱ）若点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，且BP=CQ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出当PQ最短时，点P，Q的位置，并简要说明画图方法（不要求证明）________．23、如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为________.24、已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC 的距离为4，则点A'的坐标可能为________．25、如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，求△B＇EF的周长________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE 交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．28、如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.29、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）30、由于大风，山坡上的一颗树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、C4、A5、B6、B7、A8、D9、A10、D11、B12、C14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明 含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A.甲、丙正确，乙错误B.甲正确，乙、丙错误C.三人皆正确 D.甲错误，乙、丙正确2、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中有（）A.①②③B.①②③④C.①②D.①3、如图，⊙的直径为10，弦的长为8，且，垂足为，则的长为( )A.1B.2C.3D.44、如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A.4B.5C.D.5、如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD，∠ACB=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，若AB= 6 cm，点D′到BC的距离是（）A. B. C. D.6、如图，在正方形ABCD中，AB＝1，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，则线段AC扫过的面积为（）A. πB. πC. πD. π7、如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于( )A. B. C. D.8、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于A. B. C. D.9、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理得证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为“赵爽弦图”.在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A. B. C. D.10、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离均为1，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，∠C=90°，求AB的长是（）A.3B.C.D.11、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（）A. B. C. D.12、如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A. B.4 C. D.813、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC 的延长线于F，若∠F=30°，BE=4，则AD的长是（）A.1B.2C.6D.214、▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为( )A.60 cm 2B.30 cm 2C.20 cm 2D.16 cm 215、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是________17、若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是________ 度．18、如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是________cm．19、如图，矩形中，点，分别在，上，且，连接，，，且平分，，连接交于点，则线段的长为________.20、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是________ .21、如图，在平行四边形ABCD中，，,将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.22、如图，已知点P是角平分线上的一点，, 于点D,M 是OP的中点，，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为________cm.23、如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=8cm，BC=7cm，则DE=________cm．24、如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE= BE，则长AD与宽AB的比值是________．25、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x 轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，x反比例函数的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB= ，求AB的值．27、如图,直线AE、CE分别被直线EF、AC所截,已知∠1=∠2,AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整.证明：因为∠1=∠2,所以________//________(________),所以∠EAC=∠ACG(________),因为AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,所以________= ,________= ,所以________=________,所以AB//CD( ________).28、一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？29、如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AC=5，AD=3，BC=CD．求点C到AB的距离．30、如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、C5、C6、C7、D8、A9、B10、B11、D12、C13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
沪教版八年级四边形证明题及综合题部分答案
四边形证明题及综合题答案1．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分）∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分）（2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分）∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分）∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分）∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分）2．（1）证明：联结EG ，∵ 梯形ABCD 中，AD BC ∥，且E 、G 分别是AB 、CD 的中点，∴ EG //B C ，且)(21BC AD EG +=，…………………………（2分） 又∵)(21BC AD BF += ∴ EG =BF ．……………………………………………………（1分）∴ 四边形AEFG 是平行四边形．…………………（2分）（2）证明：设AF 与EG 交于点O ，∵ EG //AD ，∴∠DAG =∠AGE∵AG 平分FAD ∠，∴∠DAG =∠GAO∴∠GAO =∠AGE∴ AO=GO ．………………………………（2分）∵四边形AEFG 是平行四边形，∴ AF =EG ，四边形AEFG 是矩形…………………………（2分）3．证明：（1）∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）∵AD = DC ∴ AE=DF …………………………………………（1分）∵BA=AD ∴△BAE ≌△ADF ， …………………………………（1分）∴BE=AF ． …………………………………………………………（1分）（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分）∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ．……………………………………（1分）而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）4、证：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC .∴∠DAC =∠BCA .又∵DN ⊥AC ，BM ⊥AC ，∴∠DNA =∠BMC .∴⊿DAN ≌⊿BCM , ---------------------------------------------------（3分）∴AN =CM . ---------------------------------------------------------------（1分）（2）联结BD 交AC 于点O ，∵AN = NM =2,∴AC = BD =6,又∵四边形ABCD 是矩形，∴AO =DO =3，在⊿ODN 中，OD =3，ON =1，∠OND =︒90,∴DN =2222=-ON OD ,--------------------------------------（2分）∴矩形ABCD 的面积=212=⨯DN AC .-----------------------（1分）5.解：（1）方法1：延长EF 交AD 于G （如图1）.……………1分在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD =.∵EF ∥CA ，EG ∥CA ，∴四边形ACEG 是平行四边形.∴ CE AG =.……………1分 又∵BC CE 21=，BC AD =， ∴ GD AD BC CE AG ====2121.……………1分 ∵AD ∥BC ，∴ECF ADC ∠=∠.在CEF △和DGF △中，∵DFG CFE ∠=∠，ECF ADC ∠=∠，DG CE =， ∴CEF △≌DGF △（A.A.S ）. ∴DF CE =.…………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OF ∥BE . ………………1分方法2：将线段BC 的中点记为G ，联结OG （如图2）. ………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OG ∥CD . …………1分∴FCE OGC ∠=∠.∵EF ∥CA ，∴FEC OCG ∠=∠. A B （第5题图1） D C OEF G A B （第5题图2）D C O EF G∵BC GC 21=，BC CE 21=， ∴CE GC =.在OGC △和FCE △中，∵FEC OCG ∠=∠，CE GC =，FCE OGC ∠=∠，∴OGC △≌FCE △（A.S.A ）. …………………1分∴FC OG =.又∵OG ∥CF ，∴四边形OGCF 是平行四边形. …………………1分∴OF ∥GC . …………………1分其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形. ……………1分∵OF ∥CE ，EF ∥CO ，∴四边形OCEF 是平行四边形.∴OC EF =.……………1分又∵梯形OBEF 是等腰梯形，∴EF BO =.∴OC OB =.（备注：使用方法2的同学也可能由OGC △≌FCE △找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG 是平行四边形找到解题方法）.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC AC 2=，BO BD 2=.∴BD AC =.……………1分∴平行四边形ABCD 是矩形. ……………1分6．证明：（1）∵在正方形ABCD 中，AD //BC ，∴∠A =∠HBE ，∠ADE =∠H ，…（1分）∵AE =BE ，∴△ADE ≌△BHE ．………………………………………（1分）∴BH =AD =BC ．…………………………………………………………（1分）∵CM =GM ，∴BM //GH ．………………………………………………（1分）（2）∵在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠A =∠ADC =90º，又∵DF =21AD ，AE =21AB ，∴AE =DF ．∴△AED ≌△DFC ．………（1分） ∴∠ADE =∠DCF ．………………………………………………………（1分）∵∠ADE +∠GDC =90º，∴∠DCF +∠GDC =90º．∴∠DGC =90º．…（1分）∵BM //GH ，∴∠BMG =∠DGC =90º，即BM ⊥CF ．…………………（1分）7、证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD .又 ∵AE ∥BF ， ∴∠BCA=∠CAD . --------------------------1分∴∠BAC=∠BCA .∴ AB=BC . --------------------1分同理可证AB=AD .∴ AD=BC . ----------------------1分又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. -----1分又AB=BC ，∴□ABCD 是菱形. -----1分8. 证明：（1）∵正方形ABCD∴90A EBH ∠=∠=︒ AD BC =…………1′ ∵E 是AB 的中点 ∴ AB BE =…………1′∵AED BEH ∠=∠∴AED BEH ≅ …………1′∴AD BH = ∴BC BH =…………1′∵M 是CG 的中点 ∴//BM GH …………1′ (2)证AED CDF ≅ …………1′ ∴ADE DCF ∠=∠∵90DCF CDE ∠+∠=︒ ∴90CGH ∠=︒ ………1′∵//BM GH ∴90CMB CGH ∠=∠=︒∴BM CF ⊥ …………1′9．证法一： ∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴AD //DF ，∴∠AEF =∠DFC ．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分）又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF ．……………………………………（1分）∴∠AEB =∠DFC ，……………………………………………………（1分）∴∠AEB =∠AEF ．………………………………………………………（1分）∵∠AEB +∠AEF =180º，∴∠AEF =90º．……………………………（1分）∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）证法二： 联结AF 、DE ．…………………………………………………………（1分）∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） M H G FE D CB A∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分）∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，…………………………（1分）∴△ABF ≌△DCE ．……………………………………………………（1分）∴AF =DE ，………………………………………………………………（2分）∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）10、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分(2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 为直角三角形---1分又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分 又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分11．证明：∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠FAE ，∠ADE =∠CFE ．……（1分）又∵AE =EC ，∴△ADE ≌△CFE ．…………………………………………（1分）∴AD =FC ，…………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是平行四边形．……………………………………………（1分）∵BC =2AD ，∴FC =AD =21BC ．……………………………………………（1分） ∵AC ⊥AB ，∴AF =21BC ．…………………………………………………（1分） ∴AF =FC ，……………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是菱形．……………………………………………………（1分）12．（1）解：线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．…………………（1分）证明：∵ AD // BC ，DE // AB ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．∴ AD = B E ．………………………………………………………（2分）同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．即得 AD = FC ．……（1分）又∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD = EF ．……………（1分）∴ AD = BE = EF = FC ．∴ 3B C A D =．……………………………………………………（1分）（2）证明：∵ DE // AB ，∴ ∠B =∠DEC ．…………………………………（1分）∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分）又∵ EF = FC ，∴ DF = EF ．……………………………………（2分）∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ 四边形AEFD 是菱形．…………………………………………（1分）13．（1） ⊿MBN ≌⊿MPN (1)∵⊿MBN ≌⊿MPN∴MB=MP,∴22MP MB =∵矩形ABCD∴AD=CD (矩形的对边相等)∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) ………………………………1 ∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1 Rt ⊿ABM 中，42222+=+=y AB AM MB同理 22222)2()3(x y PD MD MP -+-=+= (1)222)2()3(4x y y -+-=+ (1)∴ 6942+-=x x y ....................................1 （3）︒=∠90BMP (1)当︒=∠90BMP 时，可证DMP ABM ∆≅∆ ………………………………1 ∴ AM=CP ，AB=DM∴ 1,32=-=y y ………………………………1 ∴ 1,21=-=x x ………………………………1 ∴当CM=1时，︒=∠90BMP14．（1）证：过P 作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，交CD 于点N∵正方形ABCD ，∴ PM=AM ，MN=AB ，从而 MB=PN ………………………………（2分）∴ △PMB ≌△PNE ，从而 PB=PE …………（2分）（2） 解：PF 的长度不会发生变化，设O 为AC 中点，联结PO ，∵正方形ABCD ， ∴ BO ⊥AC ，…………（1分）从而∠PBO =∠EPF ，……………………（1分）∴ △POB ≌△PEF ， 从而 PF=BO 22= …………（2分）。
精品试卷沪科版八年级数学下册第19章 四边形专题训练试题(含答案解析)
沪科版八年级数学下册第19章 四边形专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，若∠AOD ＝120°，AC ＝16，则AB 的长为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．42、如图，菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，若点G 恰好为CD 边的中点，则AE 的长为（ ）A ．34 B ．214 C D ．3、如图，菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OA C 的坐标为（ ）A．1）B．（1，1）C．（1D．，1）4、如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）A．20 B．10 C．5 D．25、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP ＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①④6、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A ．AB =BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB =90°D ．CE ⊥DE7、如图菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD ＝8，AC ＝6，则AB 的长是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．108、如图，已知在正方形ABCD 中，10AB BC CD AD ====厘米，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4AE =厘米，如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以a 厘米/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．若存在a 与t 的值，使BPE 与CQP 全等时，则t 的值为（ ）A ．2B ．2或1.5C ．2.5D ．2.5或29、在□ABCD 中，AC =24，BD =38，AB =m ，则m 的取值范围是（ ）A ．24<m <39B ．14<m <62C ．7<m <31D ．7<m <1210、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）A ．两组对边分别相等B ．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对角分别相等D．一组对边平行且相等第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个多边形，每个外角都是60 ，则这个多边形是________边形．2、如图，M，N分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC 上的点E处，连接MC，若AB＝8，AD＝16，BE＝4，则MC的长为________．3、已知一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，则它的边数为 _____．4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝_____cm．5、如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，9），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A和点C重合．若x轴上有一点P，使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．（1）如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；（2）在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF 的面积为y，用含x的代数式表示y；（3）如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．2、已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m．（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n 的代数式表示为，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）直线y＝2x＋b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．3、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．4、如图，矩形ABCD中，E、F是BC上的点，∠DAE=∠ADF．求证：BF=CE．5、如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB=AC时，求证：四边形AFBD是矩形．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，∴OA＝OB＝8，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝8，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．2、B【分析】=，过点D作DH AB⊥，垂足为点H，连接BD和BG，利用菱形及等边三角形的性质，求出DH BG∆中，利用∆中，求出DH的长，进而求出BG 的长，设AE GE x⊥，在Rt ADHBG AB==，在Rt BEG勾股定理，列方程，求出x 的值即可．【详解】解：过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，连接BD 和BG ，如下图所示：四边形ABCD 是菱形，6AD AB CD BC ∴====，60A C ∠=∠=︒，CD AB ∥，ADB ∴∆与BCD ∆是等边三角形，DH AB ⊥且点G 恰好为CD 边的中点，DH ∴平分AB ，BG CD ⊥，CD AB ∥，DH AB ⊥，BG CD ⊥，DH BG ∴=，BG AB ⊥，在Rt ADH ∆中，132AH AB ==，由勾股定理可知：DH ==BG DH ∴==由折叠可知：AEF GEF ∆∆≌，故有AE GE =，设AE GE x ==，则6BE AB AE x =-=-，在Rt BEG ∆中，由勾股定理可知：222BE BG GE +=，即()(2226x x -+=，解得214x =，故选：B．【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这是解决本题的关键．3、B【分析】作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC=OA Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．【详解】：作CD⊥x轴于点D，则∠CDO=90°，∵四边形OABC是菱形，OA∴OC=OA又∵∠AOC=45°，∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，∴∠DOC=∠OCD，∴CD=OD，在Rt△OCD中，OC CD2+OD2=OC2，∴2OD 2=OC 2=2，∴OD 2=1，∴OD =CD =1（负值舍去），则点C 的坐标为（1，1），故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出OD =CD =1是解决问题的关键．4、C【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD 的长．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =10，CD 是AB 边上的中线152CD AB ∴== 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．5、C【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．【详解】∵CM、BN分别是高∴△CMB、△BNC均是直角三角形∵点P是BC的中点∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线∴12 PM PN BC==故①正确∵∠BAC=60゜∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜∴AB=2AN，AC=2AM∴AN：AB=AM：AC=1：2即②正确在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN=故③错误当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形∵CM⊥AB，BN⊥AC∴M、N分别是AB、AC的中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC故④正确即正确的结论有①②④故选：C【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．6、B【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．7、A【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，在Rt△AOB中，由勾股定理得：5AB=，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．8、D【分析】根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.【详解】a=，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，解：当2BE=CP，∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，∴BE=CP=6厘米，∴BP=10-6=4厘米，∴运动时间t=4÷2=2（秒）；当2a≠，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B=∠C=90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t=252 2.5BP÷=÷=（秒）.综上t的值为2.5或2.故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．9、C【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得1122AE CE AC===，1192BE DE BD===，然后在ABE∆中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===， 在ABE ∆中，AB m =，∴19121912m -<<+，即731m <<，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．10、B【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】解：A 、两组对边分别相等是平行四边形；故本选项不符合题意；B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项符合题意．C 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；D 、一组对边平行且相等是平行四边形；故本选不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的判定．注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．二、填空题1、六6【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．【详解】∵一个多边形的每个外角都是60°，∴n =360°÷60°=6，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和，熟练掌握多边形外角和360°是解决问题的关键． 2、10【分析】过E 作EF ⊥AD 于F ，根据矩形ABCD 沿MN 折叠，使点A 恰好落在边BC 上的点E 处，得出△ANM ≌△ENM ，可得AM =EM ，根据矩形ABCD ，得出∠B =∠A =∠D =90°，再证四边形ABEF 为矩形，得出AF =BE =4，FE =AB =8，设AM =EM =m ，FM =m -4，根据勾股定理222+EM FM EF =，即()2224+8m m =-，解方程m =10即可．【详解】解：过E 作EF ⊥AD 于F ，∵矩形ABCD 沿MN 折叠，使点A 恰好落在边BC 上的点E 处，∴△ANM ≌△ENM ，∴AM =EM ，∵矩形ABCD ，∴∠B =∠A =∠D =90°，∵FE ⊥AD ，∴∠AFE =∠B =∠A =90°，∴四边形ABEF 为矩形，∴AF =BE =4，FE =AB =8，设AM =EM =m ，FM =m -4在Rt △FEM 中，根据勾股定理222+EM FM EF =，即()2224+8m m =-，解得m =10，∴MD =AD -AM =16-10=6，在Rt △MD C 中，∴MC 10==．故答案为10．【点睛】本题考查折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理，掌握折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理是解题关键．3、6【分析】根据多边形内角和公式及多边形外角和可直接进行求解．【详解】解：由题意得：()18022360n ︒⨯-=⨯︒，解得：6n =，∴该多边形的边数为6；故答案为6．【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形内角和及外角和是解题的关键．4、2.5##【分析】根据勾股定理求出AC ，根据矩形性质得出∠ABC =90°，BD =AC ，BO =OD ，求出BD 、OD ，根据三角形中位线求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，BD =AC ，BO =OD ，∵AB =6cm ，BC =8cm ，∴由勾股定理得：10BD AC ==（cm ），∴DO =5cm ，∵点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，∴EF =12OD =2.5cm ，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质的应用，勾股定理，三角形中位线的应用，解本题的关键是求出OD长及证明EF=1OD．25、（8，0）或（-2，0）-2，0）或（8，0）【分析】由矩形的性质可得BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，由折叠的性质可得AE=CE，由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形OABC矩形，且点A（3，0），点C（0，9），∴BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，∵将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．∴AE=CE，∵CE2=BC2+BE2，∴CE2=9+（9-CE）2，∴CE=5，∴AE=5，∵△AEP为等腰三角形，且∠EAP=90°，∴AE=AP=5，∴点E坐标（8，0）或（-2，0）故答案为：（8，0）或（-2，0）【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化-对称，求出AE 的长是本题的关键．三、解答题1、（1）见解析x2-3x+18（0＜x＜6）（2）y=12（3）【分析】（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，△ADE≌△DCM即可解决问题；（2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题；（3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题．（1）证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，∵CM∥FG，DE⊥FG，∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE，∴CM=FG，∠CKD=90°∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠DCM，∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE，∴DE=FG．（2）如图2中，∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE=BF，∵AB=BC，∴BE=CF=x，∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB=1 2×（x+6）×6-12×6×x-12×x（6-x）=3x+18-3x+12x2-3xx2-3x+18（0＜x＜6）．=12（3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．则四边形DGFN是平行四边形，∴∠EDN=∠GHD=45°，∵∠ADC=90°，∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，∴∠NDE=∠NDM，∵DN=DN，DE=DM，∴△NDE≌△NDM（SAS），∴EN=NM，∵AB=6，BE=2AE，∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，∴（x+2）2=（6-x）2+42，∴x=3，在Rt △DCN 中，DN，∴FG =DN =【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2、（1）点D （4,14）；（2）存在第一象限的点D 使△APD 是等腰直角三角形，点D 的坐标202233，⎛⎫ ⎪⎝⎭或283833⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，PF ⊥y 轴于F ，设D 点横坐标为n ，点D 在第一象限且是直线y ＝2x ＋6上的一点，可得点D （n ,2n +6）,根据△APD 是等腰直角三角形，可得∠EDA =∠FAP ，可证△EDA ≌△FAP （AAS ），可得AE =PF ，ED =FA ，再证四边形AFPB 为矩形，得出点D （n ，14），根据点D 在直线y ＝2x ＋6上，求出n =4即可；（2）直线y ＝2x ＋b 过点（3，0），求出b =-6，设点D （x , 2x -6），分三种情况当∠ADP =90°，AD =DP ，△ADP 为等腰直角三角形，证明△EDA ≌△FPD （AAS ），再证四边形OCFE 为矩形，EF =OC =8，得出DE +DF =x+2x-14=8；当∠APD =90°，AP =DP ，△ADP 为等腰直角三角形，先证△ABP ≌△PFD（AAS ），得出CF =CB +PF -PB =6+8-（x -8）=22-x =2x -6；当∠PAD =90°，AP =AD ，△ADP 为等腰直角三角形，先证四边形AFPB 为矩形，得出PF =AB =8，再证△APF ≌△DAE （AAS ），得出2614x -=求解方程即可【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，PF ⊥y 轴于F ，设D 点横坐标为n ，点D 在第一象限且是直线y ＝2x ＋6上的一点，∴x =n ，y ＝2n ＋6，∴点D （n ,2n +6）,∵△APD 是等腰直角三角形，∴DA =AP ，∠DAP =90°，∴∠DAE +∠FAP =180°-∠DAP =90°，∵DE ⊥y 轴，PF ⊥y 轴，∴∠DEA =∠AFP =90°，∴∠EDA +∠DAE =90°，∴∠EDA =∠FAP ，在△EDA 和△FAP 中，DEA AFP EDA FAP DA AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EDA ≌△FAP （AAS ），∴AE =PF ，ED =FA ，∵四边形OABC 为矩形，B 的坐标为（8，6），∴AB =OC =8，OA =BC =6，∠FAB =∠ABP =90°，∵∠AFP =90°，∴四边形AFPB 为矩形，∴PF =AB =8，∴EA =FP =8，∴OE =OA +AE =6+8=14，∴点D （n ，14），∵点D 在直线y ＝2x ＋6上，∴14＝2n ＋6,，∴n =4，∴点D（4,14）；（2）直线y＝2x＋b过点（3，0），∴0＝6＋b，∴b =-6，∴直线y＝2x-6，设点D（x, 2x-6），过点D作EF⊥y轴，交y轴于E，交CB延长线于F，要使△ADP为等腰直角三角形，当∠ADP=90°，AD=DP，△ADP为等腰直角三角形，∴∠ADE+∠FDP=180°-∠ADP=90°，∵DE⊥y轴，PF⊥y轴，∴∠DEA=∠AFP=90°，∴∠EDA+∠DAE=90°，∴∠EAD=∠FDP，在△EDA和△FPD中，DEA PDF EAD FDP DA PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EDA ≌△FPD （AAS ），∴AE =DF =2x-6-8=2x -14，ED =FP =x ，∵四边形OABC 为矩形，AB =OC =8，OA =BC =6，∴∠OCF =90°，∴四边形OCFE 为矩形，EF =OC =8，∴DE +DF =x+2x-14=8，解得x =223， ∴2226262633x -=⨯-=， ∴点D 222633⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当∠APD =90°，AP =DP ，△ADP 为等腰直角三角形，∴∠APB +∠DPF =90°，过D 作DF ⊥射线CB 于F ，∴∠DFP =90°，∵四边形OABC 为矩形，∴AB =OC =8，OA =CB =6，∠ABP =90°，∴∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠FPD ，在△ABP 和△PFD 中，ABP PFD BAP FPD AP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABP ≌△PFD （AAS ），∴BP =FD =x -8,AB =PF =8，∴CF =CB +PF -PB =6+8-（x -8）=22-x =2x -6，解得x =283， ∴2838262633x -=⨯-=， ∴点D 283833⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当∠PAD =90°，AP =AD ，△ADP 为等腰直角三角形，∴∠EAD +∠PAF =90°，过D 作DE ⊥y 轴于E ，过P 作PF ⊥y 轴于F ，∴∠DEA =∠PFA =90°，∴∠FAP +∠FPA =90°，∴∠FPA =∠EAD ，∵四边形OABC 为矩形，∴AB =OC =8，OA =CB =6，∠ABP =∠BAO =90°，∵∠PFA =90°，∴四边形AFPB 为矩形，∴PF =AB =8，在△APF 和△DAE 中，APF DAE AFP DEA AP DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APF≌△DAE（AAS），∴FP=AE=8，AF=DE=6-m，∴OE=OA+AE=6+8=14，∴2614x-=，解得：10x=，∵PC＝m≥0，∴AF=6-m≤6＜10，∴此种情况不成立；综合存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形，点D的坐标222633⎛⎫⎪⎝⎭，或283833⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质，掌握等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质是解题关键．3、（1）证明见解析；（2）73°．【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系可得：ABE CBF ∠=∠，由全等三角形的判定定理可得AEB CFB ≌，再根据其性质即可得证；（2）根据垂直及等腰三角形的性质可得45BEF EFB ∠=∠=︒，再由三角形的外角的性质可得EGC GFC BCF EBG BEF ∠=∠+∠=∠+∠，由此计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，AB BC =，∵BE BF ⊥，∴90FBE ∠=︒，∵90ABE EBC ∠+∠=°，90CBF EBC ∠+∠=︒，∴ABE CBF ∠=∠，在AEB 和CFB 中，AB BC ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEB CFB ≌，∴AE CF =；（2）解：∵BE ⊥BF ，∴90FBE ∠=︒，又∵BE BF =，∴45BEF EFB ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，∵62ABE ∠=︒，∴906228EBG ∠=︒-︒=︒，∴452873EGC GFC BCF EBG BEF ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．∴GFC BCF ∠+∠的值为73︒．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，理解题意，熟练运用各个定理性质是解题关键．4、见解析【分析】先证明=AEB DFC ∠∠，然后证明△ABE ≌△DCF ，再根据全等三角形的性质得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，90B C ∠=∠=︒，AD ∥BC ，∴∠ADF =∠CFD ，∠DAE =∠AEB ，∵=DAE ADF ∠∠，∴=AEB DFC ∠∠．在ABE △和DCF 中，=AEB DFC B CAB DC ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABE DCF AAS △≌△，∴BE CF =，∴BE -FE =CF -EF ，即BF =CE ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）首先证明△AEF ≌△DEC （AAS ），得出AF =DC ，进而利用AF ∥B D 、AF =BD 得出答案；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案．【小题1】解：证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFC =∠FC D ．在△AFE 和△DCE 中，AEF DEC AFE DCE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△DEC （AAS ）．∴AF =DC ，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形；【小题2】∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥B C．∴∠ADB=90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定方法、全等三角形的判定与性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．。
上海市春沪教版数学八年级下册《四边形》练习题(有答案)
四边形证明题及综合题1已知：如图，在正方形 ABCDK 点E 、F 分别在边 BC 和CD 上，/ BAE =/ DAF (1) 求证：BE = DF ;(2) 联结AC 交EF 于点O 延长0C 至点M 使0M = OA 联结EM FM求证：四边形AEMF1菱形.2、如图8,已知梯形 ABCD 中，AD // BC ,1边 BC 上，且 BF (AD BC).(1) 求证：四边形 AEFG 是平行四边形； (2) 联结AF ,若AG 平分 FAD , 求证：四边形AEFG 是矩形.E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在A3、如图，在等腰梯形 ABCD 中，/ C =60° , AD// BC 且AD=AB=DC E 、F 分别在AD DC 的延长线上，且DE=CF AF BE 交于点P 。
(1) 求证：AF=BE(2) 请猜测/ BPF 的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形 ABCDK BMLAC DNLAC M N 是垂足.(1) 求证：AN =CM(2) 如果AN =MN 2,求矩形 ABC 啲面积•DAEPC(第3题图)DE 、CB 的延长线相交于点 H ，点M 是CG 的中点.5.如图.在平行四边形 ABCD 中，0为对角线的交点，点 E 为线段BC 延长线上的一点,1 且CE BC .过点E 作EF // CA ，交CD 于点F ,联结OF .2 (1)求证：OF / BC ; (2)如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形 并给出证明. (图5)6、如图，在正方形 ABCDK 点E 、F 分别是边 AB AD 的中点，DE 与CF 相交于 G DE CB的延长线相交于点 H 点M 是CG 的中点. 求证：(1) BM//GH J (2) BML CF. DC7.已知：如图， AE// BF, AC 平分/ BAD 交BF 于点C, BD 平分/ ABC 交AE 于点D 联结CD 求证：四边形 ABCD1菱形. 第21题图&如图，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别是边AB 、AD 的中点,DE 与CF 相交于G ,求证：(1) BM//GH (2) BM CF9.已知：如图，在梯形 ABCDK AD / BC AB=CQ 点 E 、F 在边 BC 上，BE =CF, EF =AD 求证：四边形AEFD 是矩形.且四边形AEFD 是平行四边形.(1) 试判断线段 AD 与 BC 的长度之间有怎样的数 量关系？并证明你的结论；(2) 现有三个论断：① AD = AB ②/ B +/C =90 °③/ B = 2 / C.请从上述三个论断中选择一 个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形.10.如图，在 口ABCDK E 、F 分别为边 ABCD 勺中点, 的延长线于点G. (1) 求证：DE// BF ；(2) 若/ 4 90，求证：四边形 DEBF 1菱形.BD 是对角线，过 A 点作AG / DB 交CB 11•已知：如图，在梯形 ABCD 中, AD / BC BC=2AD AC 丄AB 点E 是AC 的中点，DE 的延 长线与边BC 相交于点F .求证：四边形AFCD1菱形.12.(本题共2小题，每小题6分，满分12分)已知：如图，在梯形 ABCDK AD /BC 点 E 、F 在边 BC 上, DE // AB A F //「CD（第 9 题）(第11题图)(第12题图)13•已知：如图，矩形纸片ABCD勺边AD=3, Ct=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M折痕交边BC 于点N .（1 ）写出图中的全等三角形•设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；（2）试判断/ BMP是否可能等于90° .如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由•P14、已知边长为1的正方形ABCDh P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE丄PB , PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图10）,①求证：PB=PE②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1 ）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，"PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.C（图1）15、如图，直线y 3x 4 3与x轴相交于点A，与直线y 、3x相交于点P .(1) 求点P的坐标.(2) 请判断△ OPA的形状并说明理由•(3) 动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF x轴于F , EB y轴于B.设运动t秒时，矩形EBOF与厶OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式16•已知：如图，梯形ABCD 中，AD // BC , A 90 , C 45 , AB AD 4. E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EF BE交直线CD于点F •联结BF .(1)若点E是线段AD上一点(与点A、D不重合)，(如图1所示)①求证：BE EF .②设DE x, △ BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域.(2)直线AD上是否存在一点E，使△ BEF是厶ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由.17•已知：0为正方形 ABCD 寸角线的交点，点 E 在边CB 的延长线上，联结 EQ 0吐0E 交 BA 延长线于点F ,联结EF （如图4）。
2022年最新精品解析沪科版八年级数学下册第19章 四边形综合训练试卷(无超纲带解析)
沪科版八年级数学下册第19章四边形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）A．10 B．25 C．50 D．752、如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90 时，它是矩形3、下列命题是真命题的是（）A．有一个角为直角的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．有一组邻边相等的矩形是正方形4、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5、若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．106、若一个直角三角形的周长为31，则此直角三角形的面积为（）A B C．3D．7、下列正多边形中，能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正七边形D．正九边形8、下列说法不正确．．．的是（）A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角B．四边形的内角和与外角和相等C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条D．全等三角形的周长相等，面积也相等9、平行四边形ABCD中，60A∠=︒，则C∠的度数是（）A．30B．60︒C．90︒D．120︒、于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以10、如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM ONOA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC 和DEC 都是等边三角形，连接AD ，BD ，BE ，30EBD ∠=︒．下列四个结论中：①ACD △≌BCE ；②180ADC BDE ∠+∠=︒；③222BE BD BC +=；④90BED ∠=︒，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．2、如图，在ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，M ，N 为BC 上的两个动点，且MN =AM AN +的最小值是________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____．4、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．5、如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4cm，则BC＝_____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF 上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．2、在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝，b＝，ba＝；（2ABCD，你画出的菱形面积分别为，．3、如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，连接EC，过点A作AD∥EC，过点C作CD∥EA，AD与CD交于点D．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝8，∠DAE＝60°，则△ACB的面积为（直接填空）．4、综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．∠MBN＝12（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝1∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为．25、如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状，并直接写出它的面积．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据题意知点F是Rt△BDE的斜边上的中点，因此可知DF=BF=EF=5，根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y，因此在Rt△CDF中，CD2+CF2=DF2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°，又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=5，∴BF=DF=EF=5，∴CF=5-BC=5-y，∴在Rt△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（5-y）2=52=25，∴x2+（y-5）2=x2+（5-y）2=25，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF的长度．2、C【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选不项符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．3、D【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，结合选项进行判断即可．【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项为假命题；B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项为假命题；C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项为假命题；D.有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项为真命题．故选：D．【点睛】考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．4、A【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．【详解】解：多边形的外角和是360度，又多边形的外角和是内角和的2倍，∴多边形的内角和是180度，∴这个多边形是三角形．故选：A．【点睛】考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．5、D【分析】根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．【详解】∵正多边形的每一个外角都等于36°，∴正多边形的边数＝36036＝10．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．6、B【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，可得斜边为2，然后利用两直角边之间的关系以及勾股定理求出两直角边之积，从而确定面积．【详解】解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，得AC =2BD =2．∵一个直角三角形的周长为∴AB +BC等式两边平方得（AB +BC ）2 2，即AB 2+BC 2+2AB •BC∵AB 2+BC 2=AC 2=4，∴2AB •BC AB •BC即三角形的面积为12×AB •BC 故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，巧妙求出AC•BC的值是解此题的关键，值得学习应用．7、A【分析】根据使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面，即可求解．【详解】解：A、∵正方形的内角和为360︒，∴正方形的每个内角为90°，而904=360︒⨯︒，∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；B、正五边形的每个内角为()521801085-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；C、正七边形的每个内角为()7218090077-⨯︒⎛⎫=︒⎪⎝⎭，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；D、正九边形的每个内角为()921801409-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了用正多边形铺设地面，熟练掌握给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面是解题的关键．8、C【分析】根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．【详解】∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，∴A不符合题意；∵四边形的内角和与外角和都是360°，∴四边形的内角和与外角和相等，正确，∴B不符合题意；∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，∴C符合题意；∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．9、B【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∴60A ∠=︒，∴60C ∠=°．故：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．10、B【分析】根据题意得到OA OB AC BC ===，然后根据菱形的判定方法求解即可．【详解】解：由题意可得：OA OB AC BC ===，∴四边形OACB 是菱形．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．二、填空题1、①③【分析】利用等边三角形的性质即可证明出≌ACD BCE ；在四边形BECD 中，根据30EBD ∠=︒，可得150BDE BED ∠+∠=︒，即210180ADC BDE ∠+∠=︒≠︒；先求出90ADB ∠=︒，得222AD BD AB +=，通过等量代换即可；根据150BDE BED ∠+∠=︒即可判断．【详解】解：ABC 和DEC 都是等边三角形，60,,ACB DCE AC BC CD CE ∴∠=∠=︒==，,ACB ACD DCB DCE BCE DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，∴≌ACD BCE ，故①正确；30EBD ∠=︒，在四边形BECD 中，36018030150BDE BED ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，60210180ADC BDE BDE BED ∴∠+∠=∠+∠+︒=︒≠︒，故②错误；270ADC CDE BDE BEC CDE BDE ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，36090ADB ADC CDE BDE ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，222AD BD AB ∴+=，,AD BE AB BC ==，222BE BD BC ∴+=，故③正确；30EBD ∠=︒，150BDE BED ∴∠+∠=︒，BDE∠不一定等于60︒，∴∠=︒不一定成立，90BED故④错误；故答案是：①③．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．2【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，AM AN+最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，∴MD＝AN，AD＝MN，作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，则AM＝A′M，∴AM ＋AN ＝A ′M ＋DM ，∴三点D 、M 、A ′共线时，A ′M ＋DM 最小为A ′D 的长，∵AD //BC ，AO ⊥BC ，∴∠DA A '＝90°，∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，，∴BC＝BO ＝CO ＝AO∴AA '=在Rt△AD A '中，由勾股定理得：A 'D =∴AM AN +【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN 转化为DM 是解题的关键．3、1【分析】根据基本作图，得到EC 是∠BCD 的平分线，由AB ∥CD ，得到∠BEC =∠ECD =∠ECB ，从而得到BE =BC ，利用线段差计算即可．【详解】根据基本作图，得到EC 是∠BCD 的平分线，∴∠ECD =∠ECB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BEC =∠ECD ，∴∠BEC =∠ECB ，∴BE =BC =5，∴AE = BE -AB =5-4=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了角的平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握尺规作图，灵活运用等腰三角形的判定定理是解题的关键．4、10【分析】根据正方形的性质，结合题意易求证AB BC =，BAM CBN ∠=∠，ABM BCN ∠=∠，即可利用“ASA ”证明ABM BCN ≅△△，得出1AM BN ==．最后根据勾股定理可求出22210BC BN CN =+=，即正方形的面积为10．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90ABC ∠=︒，∴90ABM CBN ．根据题意可知：90BAM ABM ∠+∠=︒，90CBN BCN ∠+∠=︒，∴BAM CBN ∠=∠，ABM BCN ∠=∠，∴在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB BC ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABM BCN ASA ≅，∴1AM BN ==．∵在Rt BCN △中，222223110BC BN CN =+=+=，∴正方形ABCD 的面积是10．故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．5、8【分析】运用三角形的中位线的知识解答即可．【详解】解：∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =8cm ．故答案是8．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线等于底边的一半成为解答本题的关键．三、解答题1、∠ACB ＝3∠ECB ，见解析．【分析】由矩形的对边平行可得∠F =∠ECB ，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC =2∠F ，那么∠ECB ＝∠F ，所以∠ACB =3∠ECB ．【详解】解：∠ACB =3∠ECB ．理由如下：在△AGF 中，∠AGC ＝∠F +∠GAF ＝2∠F ．∵∠ACG ＝∠AGC ，∴∠ACG ＝2∠F ．∵AD//BC ，∴∠ECB ＝∠F ．∴∠ACB ＝∠ACG +∠BCE ＝3∠F ．故∠ACB ＝3∠ECB ．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2、（1；（2）4或5．【分析】（1）借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可；（2【详解】解：（1）由题意得：a b∴b a =，（2）如图1，2中，菱形ABCD 即为所求．菱形ABCD 的面积为=12×4×2=4或菱形ABCD 的面积，故答案为：4或5．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，无理数，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形解决问题．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）由AD //CE ，CD //AE ，得四边形AECD 为平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质，得CE =AE ，可知四边形ADCE 是菱形；（2）由菱形的性质可得当∠DAE =60°时，∠CAE =30°，可求BC ，再根据勾股定理求出AC ，最后求面积即可．【详解】解：（1）∵AD ∥CE ，CD ∥AE ，∴四边形ADCE 是平行四边形．∵90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点， ∴12CE AE AB ==， ∴四边形ADCE 是菱形；（2）∵四边形ADCE 是菱形，60DAE ∠=︒，∴1=302CAE DAE ∠=︒∠． ∵在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAE ∠=︒，=8AB ， ∴142CB AB ==， ∴2243AC AB BC ．∴12ACB S AC BC =⋅= 【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形面积，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．4、（1）MN =AM +CN ；（2）MN =AM +CN ，理由见解析；（3）MN =CN -AM ，理由见解析【分析】（1）把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，可得到点M'、C 、N 三点共线，再由∠MBN =45°，可得∠M'BN =∠MBN ，从而证得△NBM ≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，由∠A +∠C ＝180°，可得点M'、C 、N 三点共线，再由∠MBN ＝12∠ABC ，可得到∠M'BN =∠MBN ，从而证得△NBM ≌△NBM'，即可求解；（3）在NC 上截取C M'=AM ，连接B M'，由∠ABC +∠ADC ＝180°，可得∠BAM =∠C ，再由AB ＝BC ，可证得△ABM ≌△CB M'，从而得到AM =C M'，BM =B M'，∠ABM =∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC ，再由∠MBN ＝12∠ABC ，可得∠MBN ＝∠M'BN ，从而得到△NBM ≌△NBM'，即可求解．【详解】解：（1）如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∠ABC，∵∠MBN＝12∠ABC＝∠MBN，∴∠ABM+∠CBN=12∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'，∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC，∠ABC，∵∠MBN＝12∴∠MBN＝1∠MA M'=∠M'BN，2∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N=CN-C M'，∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．5、（1）y=-2.5x+54，x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形；15．【分析】（1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2，从而可判断出MN扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=9，AD=BC=12．∵DG=5，∴GC=4．∵PB=x，PC=12-x，∴y=9×12-×129×x-12×4×(12-x)-12×5×12，整理得：y=-2.5x+54．当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8；（2）存在．∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，∴PA2=AB2+BP2=81+x2，PG2=PC2+GC2=(12-x)2+16，AG2=AD2+DG2=169．∵当AG2=AP2+PG2时，AP⊥PG，∴81+x2+(12-x)2+16=169，整理得：x2-12x+36=0，配方得：(x-6)2=0，解得：x=6；（3）如图所示：∵当点P与点B重合时，点M位于M1处，点N位于点N1处，∴M1为AB的中点，点N1位GB的中点．∵当点P与点C重合时，点M位于M2处，点N位于点N2处，∴M2为AC的中点，点N2位CG的中点．∴M1M2∥BC，M1M2=12BC，N1N2∥BC，N1N2=12BC．∴M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2．∴四边形M1M2N2N1为平行四边形．∴MN扫过的区域为平行四边形．S=12BC•(12AB-12CG)=6×2.5=15，故答案为：平行四边形；15．【点睛】本题主要考查了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用，画出MN扫过的图形是解题的关键．。
沪教版(上海)八年级数学上19.2第6课时 证明举例(6)
沪教版（上海）八年级上19.2第6课时证明举例（6）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题1 . 如图，在中，，平分交于，求证：.2 . 如图，CD平分∠ACB，点D是AB的中点，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°，BC=8.求△ACE的周长.3 . 如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：△ABC≌△EDB．4 . 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接C A．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．5 . 如图1，在中，，，直线经过点，且于点，于点．易得（不需要证明）．（1）当直线绕点旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线绕点旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时之间的数量关系（不需要证明）．6 . （1）以C为顶点，直线AD为一边，在∠DAB的内部作一个角，使它等于∠DAB（不用写做法，保留作图痕迹）（2）猜想所作角另一边和直线AB位置关系，并说明理由7 . 已知：在中，，点在上，连接，.（1）如图1，求证：；（2）如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点于点，若，，求的面积.8 . 等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE⊥BC于E，AE＝BE，BF⊥AE于F，线段B图中的哪一条线段相等．先写出你的猜想，再加以证明.（1）猜想：BF= ；（2）证明．9 . 如图，已知在中，，是延长线上一点，点在上，且，请判断并写出与之间的关系，并进行证明.10 . 如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，（1）求证：QP∥AR；（2）AR、AS相等吗？说明理由.参考答案一、解答题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、。
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我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
FC D
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 12．如图， AOB= 60 ，OP 平分 AOB，PE OA 于 E, PF∥OA 交 OB 于 F，如果 PE=3，求 PF
的长。
A
E P
O
F
B
13．如果，四边形 ABCD 中，E、F 分别为对角线 AC、BD 的中点，如果 ABC= ADC= 90 。 求证：EF BD。
这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。）
★直角三角形的性质及判定
A
定理 1：直角三角形的两个锐角互余。
A
如图： ∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（直角、中点→想一半）
C
B
D
如图： ∵∠ACB=90°， 且点 D 是 AB 的中点
∴ CD 1 AB 2
1、在直角坐标平面内，点 A 坐标为 (1,3) ，点 B 坐标为 (2,2) ，点 C 坐标为 (0,4) ，
1）判断⊿ABC 的形状，并说明理由； 2）求 BC 边上中线的长。
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
2、在直角坐标平面内，已知点 P 坐标为 (m, m) ，且点 P 到点 A(2,3) 、 B(1,2) 的距离相等，求 m
则
∠BCD=
度。
A
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1、如图，在 RT⊿ABC 中，∠B=90°，AD 平分∠BAC，若
AC=8，
BD=3，则⊿ADC 的面积为
。
直角三角形有关内容
BD
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四边形证明题型（1）
1. 如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF GH 、分割成四个小矩形，EF 与GH 交于点P ． （1）若AG AE =，证明：AF AH =； （2）若45FAH ∠=°，证明：AG AE FH +=； （3）若Rt GBF △的周长为1，求矩形EPHD 的面积．
A
E D H
G
P
B
F C
2．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，
求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．
3. 已知：的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．
（1）如图l ，若为锐角三角形，且，过点F 作，交直线AB 于点G ，求证：；
（2）如图 2，若，过点F 作，交直线AB 于点G ，则FG 、
ABC △ABC △45ABC ∠=°FG BC ∥FG DC AD +=135ABC ∠=°FG BC ∥
DC 、AD 之间满足的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，若，，将一个45°角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M 、N 两点（如图3），连接
CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P 、Q 两点，若，求线段PQ 的长．
52AG =3DC =3
2
NG =A
E
C
D
G
B
F
（图1）
A
E C
B
D
F
G
（图2）
A
E
C
D
B Q P
M
N
G
F
（图3）
4. 如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．
（1）试找出一个与AED △全等的三角形，并加以证明；
（2）若83AB DE P ==，，为线段AC 上任意一点，PG AE ⊥于G ，PH EC ⊥于
H ．试求PG PH +的值，并说明理由．
A
B
C
D
P
G
H
E B ′
5. 如图，在ABCD Y 中，32BAD ∠=°，分别以BC CD 、为边向外作BCE △和DCF △，
使BE BC DF DC EBC CDF ==∠=∠，，．延长AB 交边EC 于点H ，点H 在E C 、两点之间，连结AE AF 、．
（1）求证：ABE FDA △≌△．
（2）当AE AF ⊥时，求EBH ∠的度数．
A
F
C
D
B
H E
6. 两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①），CE =2cm ， 将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针 旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AG （如图②），求点D 到AG 的距离； （2）当45α=°时（如图③），求证：四边形MHND 为正方形．
7. 如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
图②
A D B
C
G E
F
l
图①
A
D
B
C H
G
E F
l
图③ A D M C H G E F
l
C
N
（H ）
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在
ABC △的哪条边上相遇？
8. 如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，
A
Q C
D
B
P
BF ⊥AG 于点F .
（1） 求证：DE －BF = EF ．
（2） 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明 理由．
（3） 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写 出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．
9. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．
将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转A D
E
F
B
G C
图①
C
B G
A
D
图②
60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．
连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；
（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行 四边形？为什么？
A
D
F
C
E G
B。