排队模型分析
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排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
带优先权排队论模型简介应用案例
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案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
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排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
第3章 排队模型分析法-3-
/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件：
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有 (m-k)个顾客，到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m
列出状态转移平衡方程：
排队越长，进入可能性越小(令 αk＝
1 k 1
)；
顾客所需的服务时间序列{n，n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)＝P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为： Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地，顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}
M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析
M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析摘要:文章阐述了M/M/C/∞排队系统的理论基础,包括排队论的概念,排队系统的基本组成部分以及排队系统的模型。
在理论分析的基础上,文章以建行某储蓄所M/M/C/∞排队系统为例,对该系统进行分析并提出了最优解决方案。
关键词:排队论;银行储蓄所;M/M/C/∞模型;最优解1M/M/C/∞排队系统1.1排队论的概念及排队系统的组成上世纪20年代,丹麦数学家、电气工程师爱尔朗(A. K. Erlang)在用概率论方法研究电话通话问题时,开创了这门应用数学学科。
排队论主要研究各种系统的排队队长,排队的等待时间及所提供的服务等各种参数,以便求得更好的服务。
研究排队问题实质上就是研究如何平衡等待时间与服务台空闲时间。
目前,排队论已经广泛应用于通信工程、交通运输、生产与库存管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域。
任意一个排队系统都是由三个基本部分构成,即输入过程、排队规则和服务机构。
①输入过程是描述顾客来源以及顾客按什么规律达到排队系统。
②排队规则描述的顾客到达服务系统时顾客是否愿意排队,以及在排队等待情形下的服务顺序。
③服务机构描述服务台数目及服务规律。
服务机构可分为单服务台和多服务台;接受服务的顾客是成批还是单个的;服务时间服从何种分布。
1.2M/M/C/∞排队模型①排队系统模型的表示。
目前排队模型的分类采用1953年由D. G. Kendall 提出的分类方法。
他用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。
为了表示其它特征有时也用4～5个字母来表示如A/B/C/D/E。
其中:A 顾客到达间隔时间的概率分布;B 服务时间的概率分布;C 服务台数目;D 系统容量限制(默认为∞);E 顾客源数目(默认为∞);概率分布的符号表示:M:泊松分布或负指数分布,D:定长分布,Ek:k阶爱尔朗分布,C:一般随机分布。
②排队系统的衡量指标。
排队论模型及实例
例10.5
某售票点有两个售票窗口，顾客按参数λ=8人/分钟的
Poisson流到达，每个窗口的售票时间均服从参数μ=5人/分 钟的负指数分布，试比较以下两种排队方案的运行指标.
(1) 顾客到达后,以1/2的概 率站成两个队列，如 右图所示：
(2) 顾客到达后排成一个队列, 顾客发现哪个窗口空时, 他就
ReQ R(1 Plost )2. (4)系统在单位时间内占用服务台(或服务员)的均值Ls
即理发店的空闲率为134顾客的损失率为279每小时进入理发店的平均顾客数为4328人理发店内的平均顾客数队长为2359人顾客在理发店的平均逗留时间是0545小时327分钟理发店里等待理发的平均顾客数等待队长为1494人顾客在理发店的平均等待时间为0345小时207分例109某工厂的机器维修中心有9名维修工因为场地限制中心内最多可以容纳12台需要维修的设备假设待修的设备按poisson过程到达平均每天4台维修设备服从负指数分布每台设备平均需要2天时间求该系统的各项参数指标
解 只需将上例LINGO程序作如下改动：R=0.6,T=1.25 即 可得到结果.程序名:exam1003.lg4.计算结果见运行．
即平均队长为3人，平均等待队长为2.25人，顾客平均逗留 时间5分钟，顾客平均等待时间为3.75分钟，系统繁忙概率 为0.75.
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• S>1的情况(M/M/S/∞) 表示有多个服务台或多名服务员服务的情况
排队论模型及实例
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排队现象是由两个方面构成，一方要求得到服务，另一方设 法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（设备）统称为 顾客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务 台。顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系 统。 显然缺少顾客或服务台任何一方都不会形成排队系统.
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
19 72 4 8 1 29 106 1 3 1 39 135 2 4 10
20 80 3 1 0 30 109 2 5 0 40 139 4 3 8
21 81 2 2 2 31 114 1 2 0 41 142 1
9
22 83 3 3 2 32 116 8 1 0
到达间隔分布表
到达间隔 次 (分钟) 数
1
6
2
10
3
8
4
6
5
3
6
2
7
2
8
1
9
1
10以上 1
合计 40
服务时间分布表
服务时间 次 (分钟) 数
1
10
2
10
3
7
4
5
5
4
6
2
7
1
8
1
9以上 1
合计 41
平均间隔时间： =142/40=3.55(分钟/人)
平均服务时间： 127/41=3.12(分钟/人)
平均到达率： 41/142=0.28(人/分钟)
14 52 2 9 3 24 88 5 4 6 34 121 2 6 7
15 61 1 1 0 25 92 1 3 7 35 127 1 2 3
16 62 2 3 0 26 95 3 6 5 36 129 6 1 2
17 65 1 5 0 27 101 2 4 2 37 130 3 3 7
18 70 3 2 0 28 105 2 1 0 38 133 5 2 7
三、排队模型的分类（符号表示）
我们采用Kendall记号 顾客相继到达时间间隔分布/服务时间分布/服务 台数目/排队系统允许的最大顾客容量（系统容 量）/顾客总体数量（顾客源数量）/排队规则
07：排队网络模型的性能分析
一个典型的通信网络8泊松分布过程的一个例子。
10111522 237、局部平衡与时间可逆性30312、Jackson网络－独立性假设几点独立性假设9相互独立的外部到达、泊松过程9相互独立的服务时间、负指数分布•同一个顾客在不同的排队节点遵循相互独立、且有可能不同参数的负指数分布。
9相互独立的路由策略•在某一节点接受完服务后独立地决定下一节点的路由、或者退出该排队网络。
322、Jackson网络－稳态概率()()()111212,,,,mi i j jij m m i r P I Q r r r λλλγλλλγ−=+Λ−Λ∑L L ＝对于节点，顾客到达率如下：用矩阵形式可以表示为：＝其中：＝＝33111212122212m m m mm m P P P P P P QPP P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M M L Q矩阵的性质9对于开环网络来说，至少存在一个节点i有ri>0或者mij 1P 0>∑j=0－343、Jackson定理Jackson 定理9对于一个平稳状态的Jackson网络，在任一节点内的顾客数与其它节点的存在的顾客数无关。
9队长的概率分布Pn=P(n1,n2,…n m )等于每个单个节点队列长度概率分布的积。
353、Jackson定理()()()()()()()121122001100,,,!!!!iii i i i i i mm mn ii i i i i sn s i i i i n s s i i in i i i i ii i iP n n n p n p n p n ap n s n p n a p n s s a a s p n s s a s i a ρλµ−−−==⋅⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎛⎞=+⋅⎜⎟−⎝⎠=∑L L ，，为第个排队节点的服务者数,363、杰克逊网络通信量方程解）非奇异性，存在唯一（）＝－（则＝令稳态总体流量：通信量方程：Q -I Q I }{},{11γλλλλγλγλij i Mi i j Mi jij i i q Q q q ==+=∑∑==iiλiγiq 11λMiM q λ38399虽然外部顾客以泊松过程到达节点i，但实际到达于第i个节点的顾客为非泊松分布过程。
06：简单排队模型的性能分析
15
6、Erlang Loss Performance
16
二、排队论的初步应用
1、电路交换网的设计 2、M/M/s与M/M/s(k) 3、三种排队模型的性能比较
17
1、电路交换网的设计
18
93
1、电路交换网的设计
单方向中继线
aA→B = 0.05*1000 *(1000 /1999) ≅ 25erl aB→A = 0.05*1000 *(1000 /1999) ≅ 25erl E35 (25) = 0.01165 > 0.01 E36 (25) = 0.00802 < 0.01 SA→B ≥ 36 SB→A ≥ 36
PL
=
ps+k
=
as s!
ρk
p0
∑s+k
M (0) =
j=s
pj
= as ⋅1− ρk s! 1− ρ
p0
平均队长
∑ ∑ Lq
=
s+k
( j − s) pj
j=s
k
=[
rρr ] as
r =0
s!
p0
平均等待时间
Wq
=
Lq λ(1− PL )
13
6、M/M/s(0) 与Erlang-B公式
M/M/s(k)中若k=0, 则
请问：1、假设IP包的到达间隔和包长均服从负指数 分布，请问IP包通过该路由器的平均延迟时间为多少？
2、假设IP包的到达间隔和包长均服从负指数分布， 但中继线传输速率由128Kbps扩容到384Kbps，请问IP 包通过该路由器的平均延迟时间为多少？
3、假设IP包的到达过程仍然是泊松过程，但包长 为1280比特的固定长度，请问IP包通过该路由器的平 均延迟时间为多少?
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
( 数学建模)排队论模型
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0t1t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
的分布只取决于 t1,t2, 而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
对互不交接的时间区间序列 a i,b i ( 1 i， n )
x(bi)是x(a一i)组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 liP m xr (a t)x(a ) 1 0
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
P T t 1 r T t 0 P T t 1 r t 0
上式可改写为：对任何 t0 ，0都有
P T t 0 r x T t 0 P T x r
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等 待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
到来 顾客源
排队机构
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型； Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互 独立的随机分布，G——一般随机分布。这里主要讨 论M／M／1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
医院就诊服务系统排队模型分析
过程的转移矩阵， 并利用矩阵分析方法进行求解 ， 得到 了该系统的稳 态概率解及其它相关指标。 关键词 ： 串联排 队； 稳态解 ； 转移 密度矩 阵
ｄｉ１ ．９ ９ ．ｓ ．１ ０ －３ ７ ２ １． ４ ０ ２ ｏ：０ ３ ６ ／Ｊｉ ｎ ０ ４４ ３ ． ０ ０ ０ ． ０ ｓ
医院是一个 由许 多科 室部 门组成 的复杂 的系统 ， 人就 病 医必须经历挂号 、 就诊 、 划价 和取药 每一 个机构 ， 由于 每个部
Ｓ ｔｉ ｎ ｕ ｅ ｈ ｔｎ ｔ ｒ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｏ ｔ ｅｇ ｏ ａ ｐ ｉ ｕ ｉ ｒ ａ ｒ ｂ ｂｌ ｙ，ａ ｄ ｉ ｏ ｅｃ ｍｅ ｈ Ｏｉ ｓｅ ｓ ｒ ｄ ｔ ａ ｅｗｏ ｋ ｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅｔ ｈ ｌｂ ｌ ｔ ｍ ａｇ ｅ ｔｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｏ ｍ ｎ ｉ ｎ ｔ ｖ ｒ ｏ ｓｔ诊 的医生是有限的 ， 当病 人达到一定数 量时 ， 就会 出
现排 队就 医现象 ， 就诊 病人 的数量 和每个 病人 就诊 的时间都 是随机 的， 当诊 室不多 ， 患者过 多时 ， 而 就会 出现病 人等 待时
科 渗 卜 就 人 厂．－０ Ｉ 到 ｌ ］ ｉ ２Ｐ ： 一 室就 ＇ ２诊 ｛科
Ｚ ａ ａｙｎ ｈ ｏ Ｘｉｏ ａ
（ ｏ ｎ ａｉｎ ｄ ｃ ｌＣ ｌ ｇ ｆ Ｎｏｔ ｉｈ ａ ｄ ｃ ｌＣ ｌｅ ｅ ｔｆ ｏ ｏｆ Ｍａｈ ｍ ｔ ｓａ ｄ Ｆ ｕ ｄ ｔ ｉ ｏｌ ｅｏ ｒｈ Ｓ ｃ ｕ ｎＭｅ ｉａ ｏｌｇ ，Ｓ ａ ｆ Ｒｏｍ ｔｅ ａ ｉ ｎ ｏ Ｍｅ ａ ｅ ｃ
・ 医学数 学模型探讨 ・
医 院 就 诊 服 务 系 统 排 队模 型分 析
王 松 建
（ 州 医学 院数 理教研 室 徐
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
(完整版)排队论模型
排队论模型排队论也称随机服务系统理论。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：➢有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
➢有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
➢顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。
一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：➢输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
➢排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。
所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。
➢服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。
若以ξn表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn}，n=1，2，…所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。
医院排队论模型(1)
医院排队论模型(1)医院排队论模型指的是人在医院排队就诊的过程中，如何利用排队论模型来优化排队过程，提高就诊效率，降低排队时间。
下面从排队论模型的三要素（到达率、服务率、队列容量）出发，探讨在医院排队过程中如何优化流程。
第一、到达率到达率指的是单位时间内到达就诊的人数。
在医院排队过程中，到达率的分析可以帮助医院预测每天需要接待的患者数量，从而根据就诊人数、科室人员数量等资源来合理安排诊疗流程，避免出现拥堵的情况。
在医院安排就诊计划时，可以根据就诊需求、人员数量、诊室开放时长等来制定排班计划，如早上安排主诊医生接待复杂病人，下午安排副诊医生接待一般患者等。
第二、服务率服务率指的是单位时间内完成服务的人数。
在医院排队过程中，每个病人的就诊时间不同，有的患者需要进行详细检查、化验，需要较长时间，有的患者可能只需要短暂检查，大约十几分钟左右。
因此，为了提高个体效率，医院可以根据病人种类、健康状况等特不同性制定不同的服务时间，避免患者等待时间过久。
医院服务行业，提高服务水平可以吸引更多患者就诊，轻松排队也能提高了患者就诊时的舒适度和安全感。
第三、队列容量队列容量指的是医院可以容纳等待就诊人数和等待空间。
医院到达的患者数量与就诊人数不匹配，往往会造成人流混乱，交通拥堵等问题。
因此，医院应该合理利用队列容量，充分利用场地现有资源，设置等待区域、设立排队标识等措施，通过这些技术手段，既可以避免人流混乱，也可以避免就诊过程中因不注意安全方面出现不必要的伤害。
以上是基本的医院排队论模型，通过对到达率，服务率和队列容量的分析可以合理安排医院就诊计划，优化流程，提高服务水平、减少等待时间，使得医院就诊流程得到良性循环。
银行排队模型期末总结
银行排队模型期末总结1.引言银行是我们日常生活中经常接触到的金融机构之一，而排队是我们进入银行时经常遇到的问题。
银行排队模型是数学中一个重要的应用领域，对于银行的管理和服务质量有着重要的影响。
本期末总结将围绕银行排队模型展开，从排队理论的基本原理、模型假设、模型构建方法、模型的应用等方面进行详细阐述，并结合实际案例进行分析和讨论。
2.排队理论的基本原理排队理论是研究排队系统的数学理论，起源于20世纪初的概率论和统计学。
排队系统的基本组成包括顾客、服务器和队列等。
排队理论的基本原理包括到达过程、服务过程、排队规则和性能度量等。
到达过程描述顾客到达银行的时间间隔模型，服从不同的概率分布。
服务过程则描述了服务员为顾客提供服务的时间间隔模型，也服从不同的概率分布。
排队规则决定了顾客的排队顺序和服务的顺序，如先来先服务、先来后服务等。
性能度量是评价排队系统绩效的指标，包括顾客等待的平均时间、服务器的利用率等等。
3.模型的假设银行排队模型通常基于一些假设条件，这些假设条件用于简化模型，使其易于分析和计算。
常见的假设条件包括：顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布、排队规则为先来先服务、顾客在排队和服务过程中是独立的等。
这些假设条件在一定程度上接近于实际情况，并为模型的分析提供了便利。
4.模型的构建方法构建银行排队模型需要考虑到排队规则、到达过程和服务过程等因素，并利用排队理论和概率统计方法进行建模和求解。
常用的模型构建方法包括马尔可夫模型、离散事件模型和连续时间模型等。
马尔可夫模型是一种基于概率过程的模型，常用于描述排队系统的状态转移和稳定分析。
离散事件模型则将顾客到达和服务过程建模为离散事件的发生和处理过程。
连续时间模型则将时间视为连续的变量，适用于模拟和分析排队系统的动态变化过程。
5.模型的应用银行排队模型在实际中有着广泛的应用。
通过对排队模型的分析和优化，可以帮助银行管理者合理安排窗口开放数量和服务员数量，提高服务效率和客户满意度。
运筹学-第十三章排队系统分析第三节MM1排队模型
n
(m i)!
0
18
求(1)修理工空闲的概率;(2)5台机器都出故障的概率; (3)出故障机器的平均台数;(4)等待修理机器的平均台数 ;(5)每台机器的平均停工时间;(6)每台机器的平均等待 修理时间.
(4) Lq = 3.76 (1 0.0073) = 2.77(台); (5) Ws = 15 = 46(分钟) 1 (1 0.0073) 12 (6) Wq = 46 12 = 34(分钟). 5
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( ≥ ) = 1 P ( < ) = 1 F ( ) = e W W = e 1.5 = 0.223. 4 4 4 1
7
二.系统容量有限的M/M/1模型(M/M/1/N / ∞)
1.与(M/M/1/ ∞ / ∞)的区别
(1) 系统状态n = 0,L,N ; 1, , λ 当 n < N (2) 进入系统的速率 , 0, 当n ≥ N 故平均到达率λe = λ (1 PN ) + 0 P N = λ (1 PN )
n n 0 N n =0 n 0
1 ρ 再由 ∑ P = P + ρ P + L + ρ P = P 1 ρ
N 0 0 0
N +1
= 1可解得 P ,
0
1 ρ P = 1 ρ 故 P = ρ P
0 N N 0
N +1
9
3. 系统运行指标
ρ ( N + 1) ρ N +1 Ls = ∑ nPn = , 1 ρ 1 ρ N +1 n =0 Lq = Ls (1 P0 ),
∞4ຫໍສະໝຸດ Lq = ∑ ( n 1) P n = ∑ nP n ∑ P n = Ls (1 P0 )
基于博弈论的排队经济学模型及策略分析
基本内容
在建立排队系统的基础上，我们可以计算系统效率和客户服务质量。系统效 率是指排队系统在单位时间内处理客户或货物的数量，而服务质量则是指客户在 接受服务过程中的满意度。通过分析和优化排队系统，我们可以提高系统效率和 客户服务质量。
基本内容
为了提高系统效率和客户服务质量，我们需要对排队系统进行分析，并找出 其中的瓶颈和浪费现象。例如，如果客户服务时间过长，就会导致排队等待时间 增加，降低客户满意度；如果货物运输安排不合理，就会导致运输成本增加，影 响企业利润。针对这些问题，我们可以提出改进建议和优化措施。
基本内容
通过运用排队经济学模型和博弈论，我们可以制定出一种策略，即医院根据 历史数据预测病人到达时间和数量，并据此安排医生出诊时间。这种策略可以在 保证医院服务质量和效率的同时，最大限度地满足病人的需求。
基本内容
通过以上案例分析，我们可以看到排队经济学模型和博弈论在实践中的应用 效果显著。排队现象背后的经济学原理以及如何运用博弈论优化服务流程和人员 安排等问题具有重要的现实意义。在经济学、管理学等领域，排队经济学模型和 博弈论将继续发挥重要作用。
基本内容
在排队经济学模型中，顾客到达和服务流程是两个关键要素。顾客到达的方 式和时间会影响服务机构的排队现象和服务效率。服务流程包括服务时间、服务 窗口数量和服务人员数量等，这些因素都会对排队现象产生影响。通过博弈论， 我们可以进一步分析参与人（如顾客和服务机构）在给定条件下如何最优地选择 策略，以达到自身利益最大化。
基本内容
在未来的研究中，我们建议进一步拓展排队经济学模型的应用范围，将其应 用于更多领域的实际问题。可以结合其他理论或方法，如仿真模拟、优化算法等， 以更加深入地研究排队现象和博弈策略。此外，加强博弈论的普及教育，提高大 众对博弈论的认识和理解，也将有助于推广其在各个领域的应用。
排队论模型总结
排队论模型总结排队论模型可有意思啦！排队论啊，简单来说就是研究排队现象的一种模型。
你看啊，生活里到处都是排队的情况呢。
像去超市结账的时候，好多人推着购物车在收银台前排队，这就是一种典型的排队现象。
排队论模型里有几个很重要的部分哦。
一个就是顾客到达的规律。
顾客可不是随便啥时候来的，有的时候是一群一群来的，就像旅游大巴拉着游客到景点的小吃街，一下子来好多人。
有的时候呢，是稀稀拉拉地来，像图书馆里借书的人，陆陆续续地有。
我们可以用概率分布来描述顾客到达的时间间隔呢。
比如说泊松分布，这个名字听起来就很高级吧，但其实就是一种能很好地描述顾客随机到达的情况的分布。
还有服务时间也是个关键。
不同的服务人员或者服务设施，服务一个顾客所花的时间不一样。
就像有的收银员动作特别麻利，扫商品条码、收钱找钱，几下子就搞定一个顾客。
而有的可能就会慢一些。
服务时间也可以用概率分布来描述，常见的有指数分布。
排队系统还有不同的类型。
有单服务台的，就像街边那种小小的奶茶店，只有一个店员在做奶茶，大家就在那一个窗口前面排队。
还有多服务台的，大型商场里的收银区，好多收银台同时工作，顾客可以选择排哪个队。
排队论模型的目标呢，就是要让这个排队系统达到一种比较好的状态。
比如说，既不让顾客等太久，不然顾客就会不耐烦啦，也不让服务台闲置太长时间，不然商家就觉得浪费资源了。
要找到一个平衡点。
在实际生活中，排队论模型的应用可广泛了。
比如说在医院里，挂号、看病、缴费的地方都要用到。
医院要是安排不好，病人等得心急火燎的，那多难受呀。
还有在交通领域，收费站的设置、机场安检通道的安排，都得考虑排队论。
要是不考虑好，交通就会乱成一锅粥。
而且啊，排队论模型还在不断发展呢。
随着科技的进步，有了更多的新情况。
比如说现在很多地方有自助服务，像自助售票机、自助收银机。
这就改变了传统的排队模式，排队论模型也要与时俱进地去研究这些新情况。
总之呢，排队论模型虽然听起来有点复杂，但其实就在我们身边的每个角落。
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0.6 1 0.8 那么 3 0.75
1.25
4
1
1
Q
1
1 0.75
0.57
p0
即在稳态时有57％的呼唤得到服务
A
e
1
0.6 1 0.75
0.34
即每条电话线路平均每分钟有0.34次通话
P损 1 Q 1 0.57 0.43
即约43%的呼唤不能接通
00:06:26
00:0❖6:2因6 为到达间隔时间和服务时间都具有无记忆性，因此，4
M/M/…的排队模型
❖ M/M/…的排队系统，系统中顾客数变化是一 种生灭过程
0状态代表系统有0个顾客
1状态代表系统中有1个顾客
2状态代表系统中有2个顾客
…
❖ 生灭过程的增长率和消亡率怎么确定？
增长率取决于到达率和当前系统状态
0消0:06亡:26 率取决于服务率和当前系统状态
5
增长率和消亡率的分析
❖ 假定顾客到达为强度为的泊松流，服务窗的 服务率为，服务时间服从负指数分布。考察 在t（极短）时间内，
若顾客到达间隔时间服从参数为的负指数分布， 则在t（极短）时间内有1个顾客到达的概率为 t＋o(t)，没有顾客到达的概率为1-t＋o(t)
若服务时间服从参数为的负指数分布，则在t
状态0系统中顾客数为0 服务窗空闲 状态1 系统中有1个顾客，此顾客正在接受服务 系统顾客满服务窗忙
00:06:26
12
求解平稳分布
r
Q 0
❖ 根据马氏链、生灭过程求平稳分布的公式：
❖ 列出平p0p衡1 p方1p10程：
1 p0 1
令
p1
1
本书从现在开始用{p0,p1,p2,…}表示平稳分布
00:06:26
13
M/M/1/1的各个目标参量
v P损 p1
v 单位时间内损失的顾客数
L
p1
2
1
v 单位e 时 p间0 内1平均进入系统的顾客数
v 相求对服通务过顾能客力数之Q（比即值单）位Q 时 间e 内 被p0服 务11完的顾客数与请
v 绝对通过能力A（单A位时e 间 内p0被 1服务 完顾客的均值）
00:06:26
10
第一节 单服务窗损失制排队模型
M/M/1/1
00:06:26
11
排队模型分析
❖ M/M/1/1
❖ 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t) et ❖ 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t) et
损失的顾客
0
1
Q
❖ 系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
排队模型回顾
❖ 顾客到达排队系统请求服务
服
务
机
排队机构
构
如果排队系统中顾客数没有满，则进入排队系 统
如果有空闲的服务窗，则直接到服务机构接受 服务
00如:06:2果6 服务窗全部被占用，则排队等候
1
M/M..排队系统的几种可能状态
λ0= λ μ0= 0λ2= Βιβλιοθήκη μ2= 2μ00:06:26
假λ如7=此λ 系统容量为7 (M/M/3/7) λ7μ=7=0 3μ μ7= 3μ
00:06:26
14
书44页
M/M/1/1例题
❖ 设某条电话线，平均每分钟有0.6次呼唤，若 每次通话时间平均为1.25分钟，求相应的Q， A与P损
（电话业务我们通常采用M/M/…排队模型）
00:06:26
15
M/M/1/1例题
❖ 设某条电话线，平均每分钟有0.6次呼唤，若每次通话时间 平均为1.25分钟，求相应的Q，A与P损
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1
总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变 化
❖ M/M/…的排队系统顾客数变化有什么特点？
顾客到达间隔与顾客服务时间均服从负指数分 布
❖因为顾客到达间隔时间是相互独立的，顾客接受服务 也是相互独立的，因此，之前的顾客到达情况、服务 情况不影响当前顾客数变化概率
00:06:26
7
pii(t)增 P长(t内率到达和了0个消，亡离开率了0个的) 分析
P(t内到达了k个，离开了k个,k 1) et (et ) j o(t)
1 ( j)t o(t)
当i 0时 p00 (t) P(t内到达了0个)
P(t内到达了k个，离开了k个,k 1) et o(t)
16
（极短）时间内有1个正在忙的服务窗服务完当
前顾客的概率是t＋o(t)， 1个正在忙的服务
0窗0:06没:26 有服务完的概率是1-t＋o(t)
6
增长率和消亡率的分析 v i状态下，i状态代表排队系统中有i个顾客，假定此时有j个顾客正在 接受服务(ji)，j=i 当i m, j=m 当i>m时,m为服务窗个数
2
排队模型－Kendall记号
A/B/C/D/E
C=D 损失制
顾 服服 客 务务 到 窗窗 达 服个 间 务数 隔时 时间 间的 分分 布布
00:06:26
系顾
统客
中源
允中
许顾
的客
最数
大，
顾默
客 数
认 无 穷
，
默
认
无
穷
队列长度有限 队列最大长度
C<D< 混合制 D= 等待制
3
❖ 考虑整个M排/队M系/…统的中顾排客队数的模变型化
❖ j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在
服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
00:06:26
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
1 t o(t)
00:06:26
8
增长率和消亡率的分析
❖ i
由 此lim，pMi,i/1M(/t…) 型li排m 队模t 型0(，t)在状 态时的增长率和消亡率为：
t0 t
t 0
t
i
lim t 0
pi ,i 1 (t ) t
lim
t 0
jt 0(t)
t
j
j是正在忙的服务窗个数
❖ j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在接 受服务
pi,i1(t) P(t内到达了1个，离开了0个) P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 2)
tet (et ) j o(t) t o(t)
pi,i1(t) P(t内到达了0个，离开了1个) P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 1)
et C1j tet o(t)
jt o(t)