材料力学第五章

y
A
*
z
S
z
Fs
（4）切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 S 与y之间的关系确定. z
§5-3 横力弯曲时的切应力
Sz y1dA A1
z y A1 O B1 A B x
两种方法计算静矩

h /2 y
FS S z FS h ( y2 ) I zb 2I z 4
max
F
max
梁的切应力强度条件：
ql/2
max [ ]
ql/2
对等直梁，有
* FS,max Sz ,max
ql2/8
I zb
许用切应力
[ ]
Ⅱ、梁的强度设计
q
E m G mH l/2 C D F
C
max
D
max
l
ql2/8 ql/2
梁上max所在点处于 单轴应力状态，其正 应力强度条件为:
Fs
F1
F2
q(x)
（b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）.
§5-3 横力弯曲时的切应力
（2）分析方法
F1
F2 m
n
q(x)
（a）用横截面m-m , n-n从梁中截取
dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所 以两截面同一y处的正应力也不等； （b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
1. 梁的最大弯矩较小，最大剪力很大；
2. T形、工字形等薄壁截面梁；
3. 焊接、铆接或胶合而成的组合截面梁，对焊缝、铆钉 或胶合面等，一般要进行剪切计算。
梁的切应力强度设计
一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 = 0。不计挤压，max所在点处于纯剪切应力状态
q E m G mH l/2 C D l F E
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
梁的强度设计
例1
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 力也就最大.
F A C 5m FSmax B
FS max FRA F 30kN
强度 足够
截面设计时：
F
C D
l
max [ ]
确定截面尺寸
验 证
ql/2
max [ ]
ql2/8
梁的强度设计
例1
一简易起重设备如图所示.起重量(包 含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用
F A 2.5m 5m C B F
A
dFN σdA
x
dA dA
z
M y z d A 0
A
dM y z dA
M z y d A M
A
dM z y dA
y 纯弯曲时截面右 侧自由弯矩M作 用！
y
z
纯弯曲
M z y d A M
A
O y
z
y E E
x
dA dA


z
§5-3 横力弯曲时的切应力
腹板与翼缘交界处最小: min ( )
h 2
min
FS b h Izd 2
* FS S z ,max
中性轴处最大: max (0)
max
Izd
2 FS b d h h Izd 22 2
A
C
E l
208kN
D
B
FRB
210kN
M max 45 103 3 Wz 281 cm 6 [ ] 160 10
查型钢表，选用22a工字钢，其 Wz＝309cm3
41.8KN.M
8kN
45KN.M
41.8KN.M
梁的强度设计
（3）校核梁的切应力
例2
查表得
Iz S
* z max
max
z
dA
§5-3 横力弯曲时的切应力
2.工字形截面梁 腹板上的切应力仍按矩 形截面的公式计算。 假设 : // 腹板侧边， 并沿其厚度均匀分布
* FS S z ( y) I z
z
* Sz ——下侧部分截面
对中性轴 z 的静矩
§5-3 横力弯曲时的切应力
h0 h h 1 h0 h h S b 2 2 2 2 2 2 2
b h2 y1bdy1 ( y 2 ) 2 4 2
y1
d y1
m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
y
m
n
τmax z
FS h FS h 3 FS max 3 2 bh 8 I z 8 bh 12 3FS max 式中，A=bh为矩形截面的面积. 2A
§5-3 横力弯曲时的切应力
（3）公式推导 假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM， z 两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
A1
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
18.9cm ,
腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN
max
3 FS max S z 210 10 max I zb 18.9 10 2 0.75 10 2
148MPa [ ] 100MPa
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现以25b工字钢进行试 算 查表得
* z
1 h yy 2 2
y
b 2 h2 2 (h0 h ) ( y2 ) 8 2 4
FS 2 ( y) b( h0 h2 ) ( h2 4 y2 ) 8 I z
腹板上的切应力沿腹板 高度按二次抛物线规律变化；
dFS’
A
B1
B FN1
1dA
m’
y
Fx 0
化简后得
FN 2 FN1 dFS 0
'
m
n
dM S dx I z b
z
dM FS dx
FS S Izb
z
§5-3 横力弯曲时的切应力
FS S I zb
z
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩. 矩型截面的宽度. 距中性轴为y的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩. 横截面上的剪力
a. 在翼缘上，切应力的分布比较复杂，但其值很小，并无实际意义，所以通常 不计算。腹板内承受工字梁大部分切应力(总剪力的95％～97％)。 b. 工字梁翼缘的面积都在离中性轴最远处，正应力都比较大，所以翼缘承受截
面上大部分弯矩。
§5-3 横力弯曲时的切应力
二、强度条件 细长梁的强度设计主要取决于正应力，但在以下情况 下，需校核梁的切应力：
纯弯曲
1、纯弯曲变形几何关系
弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面， 且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某一轴转动 了一个角度。
根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸 出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-----称为中性层 。

查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
梁的强度设计
例2
简支梁AB如图所示. l＝2m，a＝0.2m. 梁上的载荷为q为10kN/m，F ＝200kN.材料的许用应力为[]=160MPa，[]＝100MPa，试选择工 a F a q F 字钢型号. FRA （2）根据最大弯矩选择工字钢型号 解：（1）计算支反力做内力图.
弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切
应力[]= 100MPa ，试校核梁的强度. 解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在
梁中间位置时有最大正应力 .
+
37.5KN.M
3
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.
z
10
梁的强度设计
例3
D
1.4m
（2）校核突变截面处的正应力， FRA
y

中性层 中性轴
纯弯曲
2、物理关系

对称轴
y

根据胡克定律 E
Ey

直梁纯弯曲时横截面
中性轴
O
上任意一点的正应力， 与它到中性轴的距离 成正比.
x
dA dA
y z
max 发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。
y
z
纯弯曲
3、静力方面
M
内力与外力相平衡可得 O
FN d A 0
y z x
m
n dx
m’ m
y
n x
B
z x
A1 A ḿ y B B1
h
O
A1 B1 A
FN1
FN2
m’
y
m
n
b m
n
dx
§5-3 横力弯曲时的切应力
z y A1 x z B1 B
m’
m
y A1
n x
B
h
O
B1
FN1
dFS’ ḿ
y
A
FN2
τ’
A
m’ τ
m
n
y
b m
n
dx
（c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFS′.故在此面上就有 切应力τ’. 根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等. 各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.
y z
E

A
y dA
2
d.
EIz

M

I z y2 d A
A

曲率
弯曲刚度
M EI z
1
纯弯曲时正应力的计算公式
My Iz
可推广到横力弯曲！
第5章
弯曲应力
§5-3 横力弯曲时的切应力 §5-4 提高弯曲强度的措施
§5-3 横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁 （1）两个假设 （a）切应力与剪力平行；
max [ ]
G H



梁上任意点(G 和H) → 平面应力状态， 若这种应力状态的点需校核强度时不能 分别按正应力和切应力进行，而必须考 虑两者的共同作用（强度理论）。
Ⅱ、梁的强度设计
横力弯曲梁的强度条件： max [ ]
max [ ]
q E m G mH l/2
2
2
§5-3 横力弯曲时的切应力
截面静矩的计算方法 A为截面面积
S z A ydA Ay
A1
y
z
y为截面的形心坐标
(1)τ 沿截面高度按二次抛物线规律 变化； (2) 同一横截面上的最大切应力τ max 在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力 为零。
y1
y
y
2.2m
10
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强度.
上的弯曲正应力； （2）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力. （3）F靠近支座时支座截面上的切应力；
120
200
（1）F位于跨中时跨中截面
z
梁的强度设计
正应力
例3
F
1.41m
（1）校核F位于跨中截面时的弯曲 FRA 最大弯矩值为 M max 62.5kN m 查表得20a工字钢 I z 2370cm 4 跨中截面对中性轴的惯性矩为 A
1.4m
FRB
C B
D
2.2m 2.5m 5m
I z 2370 108 2[10 120 105 10
2 12
]
50Байду номын сангаас0 10 m
8
4
62.5kN· m
cmax
M max 137MPa [ ] Wz
ymax
120
200
抗弯截面系数 W z I z 456 10 6 m3
Iz S
* z max
18.9cm , d=1cm
max
210 103 98.6MPa [ ] 100MPa 2 2 21.3 10 110
所以应选用型号为25b的工字钢.
梁的强度设计
例3
对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故在 20a
号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度 2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲 解：加强后的梁是阶梯状 变截面梁. 所以要校核
dFS’
A
B1
m’
y
B FN2
m
n
式中： A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.
Sz y1dA 为面积A1对中性轴的静矩. A
1
§5-3 横力弯曲时的切应力
M FN1 Sz Iz M dM FN 2 Sz Iz
z
y
A1
x
dFs bdx
由平衡方程
FN2