离散数学第一章第一节

定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
无法继续分解的简单陈述句，称为简单命 题或原子命题。(不包含任何“与、或、非” 等联结词的命题)
由一个或几个简单命题通过联结词复合而 成的命题，称为复合命题。
命题一般用大写英文字母表示。表示命题 的符号叫命题标识符。 例如，用Ｐ表示“３是奇数”，记作
“Ｐ：３是奇数”。
3、命题常量和命题变元
2、简单命题由联结词、、、、连接可以表 示复合命题P，PQ，PQ，PQ，PQ，这些复合命 题的真值由真值表定义。
3、析取联结词指的是“可兼或”，而汉语中的 “或”，既可以用于“可兼或”，也可用于“排斥或”。
4、复合命题PQ表示的逻辑关系是：Ｑ是Ｐ的必要 条件,Ｐ是Ｑ的充分条件。在数学中，“如Ｐ，则Ｑ”往往 要求前件为真,后者为真的推理关系。但在数理逻辑中
思维的形式结构包括了概念、判断和推理 之间的结构和联系。判断是对事物有肯定 或否定的一种思维形式，而能够表达判断 的语句叫陈述句。
命题是客观上能判明真假的陈述句。当命 题为真时，称命题的真值为“真”；否则， 说命题的真值为“假”。用T或1表示 “真”，用F或0表示“假”。
例1 判断下列语句是不是命题 (1) 《红楼梦》的作者是曹雪芹。 (2) 沈阳市是吉林省省会。 (3) 外星人曾来过地球
第一章 目录
第一讲 命题和命题联结词 第二讲 命题公式和真值表 第三讲 蕴含式 第四讲 范式 第五讲 推理理论
第1-1讲 命题和命题联结词
1. 命题及其真值 2. 复合命题 3. 命题常量与命题变元 4. 命题联结词 5. 联结词的真值表定义 6. 本讲小结 7. 测试 8. 第1-1讲 作业
1、命题及其真值
解：(1)是感叹句；(2)是疑问句；(3)是祈使 句。它们都不是命题。
(4) 真假要视Ｘ、Ｙ的值而定，因此这个 语句无确定真值。它不是命题。
(5)同样不能判明真假。如说该命题为真， 但原语句却说“本命题为假”；如果说它为假， 却又肯定了它(本命题)是真的，这样造成了自 相矛盾的结果！这是所谓悖论。
2、复合命题
PQ PQ PQ PQ
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1பைடு நூலகம்
1
1
(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
解：Ｐ：2+2＝4。Q：3是奇数。 (1) ＰＱ 真值为1 （因P、Q皆为真） (2) ＰＱ 真值为0 （因P为真，Q为假） (3) ＰＱ 真值为0 （因P为假，Q为真） (4) ＰＱ真值为1 （因P，Q皆为假）
5、 联结词的真值表定义
P Q P 00 1 01 1 10 0 11 0
解：(1) Ｐ∨Ｑ。（相容或）
其中Ｐ:小王是跳远冠军。 Ｑ:小王是百米赛跑冠军。 (2)（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）
其中Ｐ：小王在宿舍。Ｑ：小王在图书馆。 (3)（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）
其中Ｐ：选小王为班长。Ｑ：选小李当班长。 (4) Ｐ∧（（Ｑ∧Ｒ）∨（Ｑ∧Ｒ））∧Ｓ。
设Ｐ，Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ或Ｑ”称 作Ｐ与Ｑ的析取，记作Ｐ∨Ｑ，∨叫析取 联结词。Ｐ∨Ｑ为真，当且仅当Ｐ，Ｑ之 中至少有一为真。
例如，设Ｐ：2是素数。Ｑ：2是偶数。 R： 2是奇数。
则Ｐ∨Ｑ：2是素数或2是偶数。(真值为真) Ｐ∨ R：2是素数或2是奇数。(真值为真)
例3 将下列命题符号化： (1) 小王是跳远冠军或百米赛跑冠军。 (2) 小王在宿舍或在图书馆。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 (4) 小王是计算机系的学生。他生于1973年或1974年 ， 是三好学生。
解：(1)是命题。其真值为“真”，因而是真命 题。
(2)是命题。其真值为“假”，因而是假命题。 (3)的真实性目前还无法判明，但在客观上，是 真是假，二者必居其一。因此它是命题。
例2 判断下列语句是不是命题:
(1) 天多蓝啊! (2) 你去哪里？ (3) 帮帮我吧! (4) X+Y＞4。 (5) 本命题为假。
设Ｐ：明天天晴。Ｑ:明天开运动会。 则原命题表示为：Ｐ→Ｑ。
例4 将下列命题符号化： (1) 只要天不下雨，我就骑自行车上班。 (2) 只有天不下雨，我才骑自行车上班。 (3) 如果2+2≠4，则太阳从西边出来。
解：设Ｐ：天下雨，Ｑ：我骑车上班。 (1) Ｐ→Ｑ。天不下雨是骑车上班的充分条件。 (2) Ｑ→Ｐ或Ｐ→Ｑ 。
其中Ｐ：小王是计算机系的学生。Ｑ：小王生于1973年 。Ｒ：小王生于1974年。Ｓ：小王是三好学生。
定义4 条件联结词
设Ｐ，Ｑ是二命题，复合命题“如Ｐ，则 Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的条件命题，记作Ｐ→Ｑ, 其中Ｐ叫前件或前题，Ｑ叫后件或结论。 Ｐ→Ｑ为真当且仅当Ｐ真和Ｑ假不同时成 立。
例如，如果明天天晴就开运动会。
如果骑车上班，一定是天不下雨。但天不下雨也可能 不骑车上班。 (3) 设X：2+2＝4。 Y：太阳从西边出来。
则原命题表示为：X→Y。其真值为1
注： “如Ｐ,则Ｑ”,“因为P,所以Q”,“只要Ｐ就Ｑ”,“Ｐ, 仅当Ｑ”,“只有Ｑ才Ｐ”, “除非Q才P”, “除非Q,否则非 P”等都符号化为Ｐ→Ｑ。
设Ｐ，Ｑ 表示两个命题，复合命题“Ｐ 且Ｑ”叫命题Ｐ与Ｑ的合取，记作Ｐ∧ Ｑ。记号∧叫合取联结词。Ｐ∧Ｑ为真 ，当且仅当Ｐ，Ｑ同时为真。
例如，设Ｐ: 2是素数。 Ｑ: 2是偶数。R： 2是奇数。
则Ｐ∧Ｑ：2既是素数又是偶数。(真值为真) Ｐ∧R：2既是素数又是奇数。(真值为假)
定义3 析取联结词
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
第一章 命题逻辑
数理逻辑是用一套数学符号系统来研究思维 规律的学科。命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑中 最基本的内容。
十九世纪中后期，德国数学家莱布尼兹、英国数学家布 尔和逻辑学家怀海特、罗素为数理逻辑的产生和发展有 突出贡献。
从二十世纪40年代起，数理逻辑成为计算机科学的重要 基础理论之一。如布尔代数在计算机硬件设计中发挥了 重大作用；形式语言的研究为建立计算机语言提供了基 础。
如果一个命题标识符表示某个确定的命 题，则称为命题常量。特别地，真命题 (用T表示)和假命题(用F表示)是命题常 量。
如果一个命题标识符表示不确定的命题， 则称为命题变元。命题变元不是命题。 在命题演算中，对命题变元指定相应的 真值(真或假)，称为对命题变元的真值 指派。 集合{T, F }是命题变元的值域。
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
4、命题联结词
否定联结词 合取联结词∧ 析取联结词∨ 条件联结词 双条件联结词
定义1 否定联结词
设Ｐ为命题，复合命题非Ｐ，叫Ｐ的 否定式，记作Ｐ。记号叫否定联结 词。Ｐ为真当且仅当Ｐ为假。
例如，设Ｐ：今天是星期一。 则Ｐ：今天不是星期一。
定义2 合取联结词