最新等价无穷小量替换定理
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。
它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。
而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。
下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。
我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。
2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。
3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。
5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。
6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。
7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。
这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。
在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。
一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。
那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。
下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。
一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。
举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。
如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。
实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。
再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。
【高等数学】等价无穷小代换
【高等数学】等价无穷小代换定义1. 若 x \to x_0 时，函数f(x) \to 0 , 则称函数f(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。
注. x_0 可以是 \pm \infty ；无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是 0，其实不是常数 0 而是 0 函数。
•有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)•有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)•有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
无穷小与函数极限的关系：\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quadf(x) = A +\alpha(x), \, \,其中, \alpha(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。
二. 无穷小的阶同样是无穷小，在 x \to x_0 时，都趋于 0，但趋于 0 的速度快慢可能是不一样的，为了描述此事，引入无穷小的阶的概念。
定义2. 设 f(x) 和 g(x) 都是 x \to x_0 时的无穷小，（i）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 ，则称f(x) 为 g(x) 的高阶无穷小，此时也称 g(x) 为 f(x) 的低阶无穷小；结合该例来记： \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0 , 故 x \to 0 时， x^2 是 x 的高阶无穷小， x 是 x^2 的低阶无穷小。
（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l, \quad ( l \neq 0, \infty) , 则称 f(x) 为 g(x) 的同阶无穷小；特别地，若 l = 1 , 则称 f(x) 与 g(x) 为等价无穷小。
三. 等价无穷小代换等价无穷小代换，是求极限过程中经常用到的一种方法，它实际上就是泰勒公式展开的前一项或前两项。
其原理，是基于“等价无穷小”的定义以及“极限的乘法、除法运算法则”：定理1. 设 f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则（i）若\lim_{x \to x_0} f(x) h(x) =A ，则 \lim_{x\to x_0} g(x) h(x) =A ；（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} = A , 则\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = A证明: f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1（i）由极限的乘法运算法则，\lim_{x \to x_0} g(x) h(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)} \cdot f(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) h(x) = 1 \cdot A = A（ii）由极限的除法运算法则，\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = A注. 该定理表明求极限时，表达式 f(x)g(x) 的乘法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) ;表达式 \frac{h(x)}{f(x)} 的除法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) .特别注意:用等价无穷小代换求极限时，乘积项可以直接代换，和差项不能直接代换，可以整体代换。
如何正确理解等价无穷小替换
如何正确理解等价无穷小量替换?等价无穷小量替换是我们进行极限运算的一个重要方法,我们在初学时经常会对无穷小替换的条件理解不够透彻.下面我们试图通过几个定理和例子来加深同学们对等价无穷小量替换方法的理解.先来回顾一下等价无穷小量替换的定理,这里我们把标准教材上的定理做了修改.定理1:设 ,αα是同一极限过程中的无穷小量, αα ,又 lim αβ存在,则lim αβ存在且 lim lim αβαβ=. 证明:直接利用极限的四则运算法则得: lim lim lim ααβαβαβα=⋅=. 也可以利用 ()o ααα=+得: ()lim lim[]lim o ααβαβαβαβα=+⋅=. 注: 因为没有要求 lim 0αβ=,所以这里结论没有写成 αβαβ .另外第二种做法会在处理其它问题时会更具有一般性.从本定理可以看到当因子α与β做乘法时可将α用它的等价无穷小 α来替换,即 lim lim αβαβ=.如果因子α与β做加法,那么能不能用 α来替换呢?(此时要使αβ+是无穷小量,要求β也是无穷小量.)一般来说不可以用 α来替换,请看下面的例子. 例1. 考虑0x →时,22(),x x o x α=+ 2(),x x o x x αβ=+=- . 容易看到虽然 αα,但是22x αβ+=与 2x αβ+=并不是等价无穷小,因而无法用等价无穷小量替换进行极限计算.如果我们仔细的观察例1,会发现22x αβ+=与 2x αβ+=不等价是因为x β=-与 ,αα异号,因而它们相加后改变了原来无穷小量αβ+的阶数.那么自然会想到如果β与 ,αα同号相加之后不就可以不改变原来无穷小量的阶数了,所以我们如下结论.定理2: 设 ,,ααβ是同一极限过程中的无穷小量, αα ,0αβ⋅>,则 αβαβ++ . 证明:不防设0,0αβ>>,因为 αα ,则 0α>.所以 01ααβ<<+,那么()()()111o o o αβααβααααβαβαβααβ+++==+=+⋅→++++.谈到这里,我们会发现其实我们是把αβ+看成一个整体,只要替换不改变αβ+的阶数,那么替换后就是等价的,比如我们把例1中的β稍做修改:例2. 考虑0x →时,22(),x x o x α=+ 2(),2x x x o x αβ=+=- . 此时 222,22x x x x αβαβ+=++=+,那么仍然有 αβαβ++ . 当然如果替换改变αβ+的阶数,也有可能会有 αβαβ++ ,比如下面的例子. 例3. 考虑0x →时,23(),x x x o x α=++ 22(),2x x x o x x αβ=+=-- . 此时 223,22x x x αβαβ+=++=,那么仍然有 αβαβ++ .最后我们来谈一下如果出现因子相加且不能简单地做等价无穷小替换时,那么应该如何处理呢?一般来说,有两个途径.一是通过提取因子化加法为乘法再利用各个因子的等价无穷小来分析,二是利用Taylor 展开直接分析出αβ+的准确的阶数.来看下面的例子. 例4. 考虑0x →时,求无穷小量tan sin x x -的等价无穷小.因为tan ,sin x x x x ,如果同时用x 替换tan ,sin x x ，则改变了无穷小量tan sin x x -的阶数, 那么如何来分析tan sin x x -的阶数呢?方法(1) 化加法为乘法: 23tan sin tan (1cos )22x x x x x x x -=⋅-⋅= . 方法(2) Taylor 展开法:333333sin (),tan (),tan sin ().632x x x x x o x x x o x x x o x =-+=++-=+ 即3tan sin 2x x x - . 方法一的适用范围小,方法二是更一般的方法.从这里可以看到Taylor 公式对无穷小量分析起着很重要的作用,是处理这类问题的一个重要的方法.。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常用的方法，用于求解极限问题。
通过将一个复杂的函数替换为一个等价的简单函数，可以简化计算过程并得到更加精确的结果。
本文将介绍一些常用的等价无穷小替换公式，并说明它们的应用场景。
1. sin(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用sin(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) sin(x)/x 的极限问题。
通过将sin(x) 替换为 x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
2. tan(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用tan(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) tan(x)/x 的极限问题。
通过将tan(x) 替换为x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
3. e^x - 1 ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用 e^x - 1 ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) (e^x - 1)/x 的极限问题。
通过将e^x - 1 替换为x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
4. ln(1 + x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用ln(1 + x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ln(1 + x)/x 的极限问题。
通过将 ln(1 + x) 替换为 x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
5. (1 + x)^n ≈ 1 + nx当 x 趋向于 0 时，可以使用(1 + x)^n ≈ 1 + nx 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ((1 + x)^n - 1)/x 的极限问题。
通过将 (1 + x)^n 替换为 1 + nx，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
6. sin(x) ≈ x - x^3/6当 x 趋向于 0 时，可以使用sin(x) ≈ x - x^3/6 进行等价无穷小替换。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中，我们常常会遇到无穷小的概念。
无穷小是指当自变量趋于某个值时，相应的函数值趋近于零的量。
在数学中，无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。
二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时，我们常常会用到等价无穷小替换公式，这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式：1. 当x趋于零时，sin(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) sin(x)/x = 1。
2. 当x趋于零时，tan(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) tan(x)/x = 1。
3. 当x趋于零时，ln(1+x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。
4. 当x趋于无穷大时，e^x与x^n等价。
这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。
例如，当x 趋于无穷大时，lim(x→∞) e^x/x^n = ∞，其中n为任意正整数。
5. 当x趋于无穷大时，sinh(x)与e^x等价。
这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。
6. 当x趋于无穷大时，(1+1/x)^x与e等价。
这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
以上只是一些常见的等价无穷小替换公式，它们在求极限的过程中起到了重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。
三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。
例一：求极限lim(x→0) sin(3x)/x。
根据等价无穷小替换公式1，我们知道sin(3x)与3x等价，所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。
常用无穷小等价代换公式
常用无穷小等价代换公式无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，它可以帮助我们简化复杂的数学问题。
在求极限、求导数等问题中，经常需要利用无穷小等价代换公式进行转化。
首先，我们来看一些常用的无穷小等价代换公式：1. 当 x 趋向于零时，可以使用以下等价代换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x- e^x - 1 ≈ x- (1 + x)^n ≈ nx (n为常数)2. 当 x 趋向于无穷大时，可以使用以下等价代换公式：- e^x ≈ x^n (n为常数)- ln(x) ≈ x^m (m为常数)- sin(x) ≈ x- cos(x) ≈ 1这些无穷小等价代换公式可以帮助我们快速简化复杂的数学问题，使得求极限、求导数等计算更加高效。
但需要注意的是，这些等价代换公式只在特定情况下成立，不可盲目使用。
例如，当我们在计算极限时遇到形如 lim (sin(x)/x) 的表达式，可以利用无穷小等价代换公式sin(x) ≈ x 进行简化，即将该极限转化为 lim (x/x) = 1。
在计算导数时，无穷小等价代换公式也常被应用。
例如，当需要求函数 f(x) = e^x 的导数时，可以将该函数利用等价代换公式简化为 f(x) = x^n 的形式，并计算导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
总之，无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，能够帮助我们简化复杂的数学问题，提高计算的效率。
但在应用过程中需注意适用条件，并避免盲目使用，以保证计算结果的准确性。
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则（EqualInfinitesimalSubstitutionPrinciple）是非常重要的数学原理，在数学和物理学中都有重要的应用。
它在数学和物理学中都有重要的应用，例如在微积分中，很多重要的定理的证明都离不开这个原理。
该原理有着由巴西数学家兼物理学家米开朗基罗歌德（Leonhard Euler）提出，是他在微积分学中用以证明一些关于微分方程的重要定理。
等价无穷小替换原则的定义简单可以表示如下：在解决某些问题时，可以把一个无穷小量当作另一个无穷小量，以便得出解决的正确结果。
这个原则表达了一个关于无限小量的抽象概念，狭义上讲，它是指当一个无穷小量可以被另一无穷小量取代时，它们是等价的，即它们在某种意义上是相同的，因此可以互换使用。
这种等价性是在特定条件下产生的，即在取极限时，它们是等价的，只要极限值也等价即可，两个无穷小量可以被替换等价。
此原则在我们的实际生活中有广泛的应用。
例如，在财政方面，可以利用此原则来替换同等量的收入，以进行相应的计算。
因此，在确定税收时，可以把具有相同税前收入的个体替换成其他的个体，而不会影响征税的效果。
此外，此原则也可以用来证明一些方程的正确性。
例如，当通过等价无穷小替换原则证明某个方程的结果时，可以将无穷小量替换成
另一个无穷小量，而不影响证明的结果。
因此，由于等价无穷小替换原则的重要性和实用性，它在数学和物理学研究中都有重要的作用。
它是实现精确计算的重要依据，也是微分方程中一些重要定理的证明方法。
总而言之，它是数学和物理学研究的重要基础，在大量的研究中发挥着重要作用。
第7节 利用等价无穷小量代换求极限
常用等价无穷小量: 常用等价无穷小量: 当x → 0时, 时
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e − 1 ~ x,
x
1 2 1 − cos x ~ x . 2
用等价无穷小量可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小量可给出函数的近似表达式 β α−β Q lim = 1, ∴ lim α = 0, 即 α − β = o(α ), α α
于是有 α = β + o(α ). α
例如, 例如 sin x = x +o( x ),
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
tan x ln(1 + x ) 例1 求 lim x→0 sin x 2
解
当x → 0时, sin x 2 ~ x 2 , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x .
tan x ln(1 + x ) x⋅ x = lim 2 = 1. 2 所以 lim x→0 x→0 x sin x
tan 2 x 例2 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
2
(2 x )2 原式 = lim =8 x →0 1 2 x 2
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
定理(等价无穷小量替换定理) 定理(等价无穷小量替换定理)
β′ β β′ , 设α ~ α′, β ~ β ′且lim 存在 则lim = lim . α′ α α′
证
β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β′ α′ α β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim α β′ α′ β′ = lim . α′
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则是一种重要的数学概念，它是建立在运筹学和无穷维空间中的数学理论基础上研究定义的，它引入了平衡的概念，它的重要性在于它能够解释许多复杂的力学过程。
该原则用于定义和比较给定的空间中的两个无穷小元素的大小，从而获得等价的无穷小元素序列。
该原则也被称为Ulam-Szgel小替换原则，为了理解它，
我们首先要介绍一些基本概念。
无穷小替换原则是指当存在两个无穷小元素组成的序列时，它们可以用相等的无穷小元素序列进行替换。
也就是说，如果一个无穷小元素序列可以用另一个无穷小元素序列替换，那么可以认为这两个无穷小元素序列是等价的。
这个原则有许多重要的用途，例如可以用它来检查无穷多维空间中的某些数学性质，例如，此原则可用于证明线性无穷维空间中的某些数学性质。
它也可以用来研究不同曲线之间的等价关系。
此外，无穷小替换原则也可以用来研究动力学系统的性质。
例如，它可以用来证明动力学系统是收敛的。
它可以用来证明系统会形成某种平衡状态，并且在这个平衡状态中某些量是相互取决的，这种取决关系可以用无穷小替换原则来推断。
另外，无穷小替换原则也可以用来研究不同物理尺度之间的等价性。
它可以用来证明某些尺度上的某些类型的物理过程是相等的，从而可以加深人们对不同尺度物理现象的了解。
因此，无穷小替换原则是一种重要的数学概念，其适用范围极广，
可以说，几乎所有研究了不同尺度物理现象的数学技术都依赖于它。
可以说，它为研究物理现象和力学过程提供了统一的理论框架，从而使研究者更容易理解这些领域的性质和性能，也使这些领域的问题得到更好的解决。
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则《等价无穷小替换原则》是数学分析中一个重要的基本原理。
它是一个研究许多极限问题的重要理论工具，在微积分的许多应用中，都使用到它的思想。
本文介绍了等价无穷小替换原则的概念、原理及其应用。
一、等价无穷小替换原则等价无穷小替换原则，即“等价无穷小法则”，又称“无穷小变换原理”，是不等式知识领域中一种基本的数学原理。
按照这个原理，两个数值等价的无穷小的差异，可以对任何函数取得相同的结果。
如果要想让一个函数取得一个特定的结果，那么可以将函数中的一个偏移量取为无穷小的等量替代，从而使函数的值趋向于预期的结果。
例如，当一个函数的极限值不存在时，我们可以使用等价无穷小替换原则来估算函数值。
设函数f(x)有存在偏导数f(x)，那么可以根据等价无穷小替换法则，将一个无穷小的量Δx替换等价的所有元素，形式为：f(x+Δx)＝f(x)+Δxf(x)。
二、等价无穷小替换原则原理等价无穷小替换原则的基本原理，就是任何无穷小的量都可以等价替换，对于函数取值的结果不会产生影响。
因此，我们可以将函数中的任何一个偏移量取为等量的无穷小，使得函数的值趋向于预期的结果。
比如，当函数的极限值不存在时，我们就可以使用该原理来取得函数的极限值，也可以在证明函数的极限值是常数时，用该原理来得出函数的极限值。
三、等价无穷小替换原则在数学中的应用等价无穷小替换原则在数学中有许多应用，其中最常用的应用领域就是微积分。
（1）函数的连续性：等价无穷小替换原则可以帮助我们判断一个函数的连续性，当函数不存在极限值或者存在极限值，但极限值不是常数时，就可以使用该原理来判断函数是否连续。
（2）函数的导数：函数的导数是函数变化量的快慢程度，它也是判断函数是否连续的一个重要准则，等价无穷小替换原则也可以用来求得函数的导数，方法是将函数中的一个偏移量取为无穷小的等量替代，从而得到函数的导数。
（3）极限的求解：函数的极限是数学分析中的重要概念，它可以帮助我们判断函数是否可以接近特定的值，或者判断函数的变化量是什么。
等价无穷小公式推导
等价无穷小公式推导
等价无穷小公式推导的详细说明如下：
1. 等价无穷小替换定理
在求极限时，我们常常需要使用等价无穷小替换定理，即：当x→0时，ln(1+x)～x，arcsin x～x，tan x～x，sech x～1-2x^2，cosh x～1+2x^2，等等。
这些等价无穷小替换定理可以大大简化极限的计算过程。
2. 泰勒展开式推导等价无穷小公式
我们还可以通过泰勒展开式来推导等价无穷小公式。
例如，我们知道(1+x)^α的泰勒展开式为：
(1+x)^α=1+αx+α(α-1)x^2/2!+α(α-1)(α-2)x^3/3!+……+α(α-1)(α-2)……(α-n+1)x^n/n!+……
当x→0时，该级数的各项均为无穷小，我们可以通过截断该级数来得到不同的等价无穷小。
例如，当x→0时，(1+x)^α～1+αx。
这就是我们常用的等价无穷小替换定理。
同样地，我们也可以通过泰勒展开式来推导其他等价无穷小公式。
例如，我们知道e^x的泰勒展开式为：
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
当x→0时，该级数的各项均为无穷小，我们可以通过截断该级数来得到不同的等价无穷小。
例如，当x→0时，e^x～1+x。
这也是我们常用的等价无穷小替换定理。
等价无穷小替换定理是微积分学中的重要定理之一，通过泰勒展开式推导等价无穷小公式是一种非常有效的方法。
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则等价无穷小替换原则（Equi-infinitesimalReplacementPrinciple），简称EIP，是一种具有学术价值和实用价值的数学原理。
它是微积分学中重要的一种概念，其影响力甚至超越了新统计学中的许多定理。
该原理具有重大的理论意义，在微积分学和新统计学领域具有深远影响。
EIP定义了一种等价替换原则，其直观定义为：一组等价的无穷小值可以完全替代其中任意一个，而不改变结果。
换句话说，无论该无穷小值的大小如何，EIP都建立在“等价小替换”的基础上，这是一种等价的数学方法，用来处理诸如微分和积分等复杂运算。
EIP在微积分学中有着重要的应用，主要用于求微分和积分运算。
它可以让求解过程中减少无穷小值的取值，简化运算过程，有效节约时间和精力。
它也可以结合多变量拓展运算，解决多变量函数的微分、积分和其他运算问题。
此外，EIP在新统计学领域也有广泛的应用，比如在概率论和数理统计中有重要的地位。
在统计学中，EIP可以帮助研究人员通过简单的运算来求解许多统计概念，如概率分布、理论值、置信度等。
他们可以以一种较为简单的方式来分析这些概念，减少计算量并提高计算精度。
另外，EIP也可以用于数理统计学中的一般推理和决策分析中。
它可以用来帮助研究人员更好地理解概率统计和多维统计，并有效地应用它们来分析问题，比如模拟试验和结果预测等。
总的来说，EIP的重要性无法低估。
它有助于推广数学在社会科学和经济学等学科的应用，并帮助研究者发现随着时间的推移，新的数学方法的发展，有助于帮助研究者快速理解一些抽象的概念，并用更简单的方式来解决一些复杂的问题。
最后，等价无穷小替换原则以其卓越的贡献为数学界做出了巨大的贡献，其研究也在不断推进，以期在进一步发现新的数学方法，为社会科学和经济学等学科的应用带来更大的收货。
此外，EIP的研究也可以用于解决实际问题，如决策分析、模拟试验等，帮助现实世界中解决各种棘手的问题。
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§2–6无穷小与无穷大的比较
基础知识导学
1、无穷小的比较
定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 c =α
β
lim
（c 为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；
（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o (α)(读作小欧α)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较
定义2 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，
（1）如果Y Z
lim
= c ≠ 0，则称Y 与Z 是同阶无穷大量； （2）如果Y
Z
lim = ∞时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量；
（3）如果k
Y
Z
lim = c ≠ 0（k ＞0），则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部
定义
3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与
k
α（k ＞0）是同阶的无穷小，即
k
α
β
lim = c ≠ 0，则称β是关于α的k 阶无穷小。
重点难点突破
1．关于无穷小的比较
要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O (α)与β～α的含义
β=O (α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim =α
β
； β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim
=α
β
（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限
等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且αβ''lim
存在，则αβlim =α
β''lim
无穷小量的比较表
2．关于无穷小的阶 当x →0时，由恒等式
（ⅰ）o (x n )+ o (x m )= o (x n ) 0＜n ＜m （ⅱ）o (x n ) o (x m )= o (x m+n ) m ＞0, n ＞0 3．关于无穷小的替换定理
设当0x x →时，)(~)(21x x αα，)(~)(21x x ββ，)()(lim
220
x x x x αβ→存在，则)()
()()(lim 2
2110
x x x x x x αβαβ=→．
解题方法指导
1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：
例1 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ① x - 3x 3 + x 5 ②sinxtgx
解：①因为当x →0时，在x - 3x 3 + x 5中3x 3 与x 5都是x 的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）
13lim 530=+-→x
x x x x 所以，当x →0时，x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小
②因为当x →0时，sin x ～x ，tg x ～x ，由恒等式（ⅱ）可得 sin x tg x =o (x 2)，即1sin lim 20=→x
xtgx
x 所以，当x →0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 （2）先将原式变形，再判断阶数
例2 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ①x x --+11 ②tg x –sin x 解：①通过分子有理化将原式变形
x x --+11=
x
x x
-++112
由此看出，当x →0时，x x --+11是x 的一阶无穷小，事实上 1)
11(2lim
0=-++→x x x x
x
②通过三角函数的公式将原式变形
x
x x x x x x tgx cos )
cos 1(sin sin cos sin sin -=
-=
- 因为 sin x ～x ， 1-cos x ～2
1
x 2
由此看出，当x →0时，tg x –sin x 是x 的三阶无穷小，事实上
2
1cos 21lim cos )cos 1(sin lim 32
030=••=•-→→x x x x x x x x x x 此题错误解法： 解：因为 0sin lim sin lim
00=⎪⎭⎫
⎝⎛-=-→→x x x
tgx x x tgx x x
所以，当x →0时，tg x –sin x 是x 的一阶无穷小
这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与k
α比的极限不能为零。
2．利用等价无穷小代换求极限
常用等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x
-,
2
2
1~
cos 1x x -,x x x 2tan ~2sin ~2． 例5 求下列函数的极限 （1）203cos 1lim
x x x -→ ， （2）3
0tan sin lim
x x x
x →-．
解 （1）203cos 1lim x x x -→=61321lim 220=→x x
x （221~cos 1,0x x x -→）． （2）x x x x 30sin sin tan lim -→=x
x x x x cos )
cos 1(sin lim 30-→ 2
0sin (1cos )1lim cos x x x x x x →-=⋅⋅ =2
2
2sin 2lim
x x
x →
=21 （ 2
22~2sin ,0⎪⎭
⎫
⎝⎛→x x x ） ． 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式
时，一般不能代换其中一项。
否则会出错．
如上题 0lim sin sin tan lim
3030=-=-→→x
x
x x x x x x , 即得一错误结果．《灌排工程工》知识要点
一、•选择题（共70题）
1、灌溉水进入田间并湿润植物根区土壤的方式与方法，称为( A )。
（A ）灌水方法 （B ）灌水技术 （C ）全面灌溉 （D ）局部灌溉 2、下面( D )不属于全面灌溉。
（A ）沟灌 （B ）淹灌 （C ）波涌灌
（D ）滴灌
3、按照灌溉水是否湿润整个农田、水输送到田间的方式和湿润土壤的方式，通常将灌溉分为全
面灌溉和( D )两类。
（A ）灌水方法 （B ）灌水技术 （C ）全面灌溉 （D ）局部灌溉
4、全面灌溉即灌溉水湿润整个农田植物根系活动层内的土壤的灌溉，包括地面灌溉和( A )两
类。
（A ）喷灌 （B ）渗灌 （C ）涌泉灌
（D ）滴灌
5、地面坡度较平缓的情况下，畦田的长边方向与地面等高线( C )布置。
（A ）平行 （B ）斜交 （C ）垂直 （D ）任意
6、地面坡度较大，为缓解畦田内地面坡度，畦田的长边方向与地面等高线( A )布置。
（A ）平行或斜交 （B ）沿地面最大坡度方向 （C ）垂直
（D ）任意
7、一般自流灌区的畦q í
长以( B )为宜。
（A ）30-5m （B ）50-100m （C ）100-150m （D ）150-200m
8、悬着毛管水达到最大时的土壤含水率称之为( C )。
（A）最大分子持水率（B）毛管持水量
（C）田间持水率（D）饱和含水率
9、作物需水量指( C )。
（A）叶面蒸腾量（B）叶面蒸腾量+深层渗漏量
（C）叶面蒸腾量+棵间蒸发量（D）叶面蒸腾量+棵间蒸发量+深层渗漏10、在缺水地区，把有限的水量用在( A )，能充分发挥水的增产作用，做到经济用水。
（A）需水临界期（B）日需水量
（C）作物需水量（D）作物耗水量
11、单位产量的需水量随产量的增加而( A )。
（A）逐渐减小（B）逐渐增大
（C）不变化（D）不相关
12、不属于农作物灌溉制度主要内容的是( C )。
（A）灌水定额（B）灌水时间
（C）气候（D）灌溉定额
13、当降雨深超过( C )时，即应进行排水。