必修五 第三章 不等式习题 (含答案)

第三章 不等式

一、选择题.

1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )． A. a 2 + 1＞a

B.

1

1

2

+a ＜1 C. a 2 + 9＞6a D. lg (a 2 + 1)＞lg|2a |

2. 下列函数中，最小值为 2 是( )． A. y =

x

x 5

5+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x +

x

lg 1

，1＜x ＜10 C. y = 3x + 3-x ，x ∈R D. y = sin x +

x

sin 1，2π0＜＜x

3. 不等式组3

020x x y x y ≤⎧⎪

+≥⎨⎪-+≥⎩

表示的平面区域的面积等于( )．

A. 28

B. 16

C.

4

39 D. 121

4. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )． A. ⎪⎭⎫

⎝⎛11001， B. (100，＋∞)

C. ⎪⎭

⎫

⎝⎛11001，∪(100，＋∞) D. (0，1)∪(100，＋∞)

5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．

A. x ≥2或 x ≤-2

B. -2≤x ≤2

C. x ＜-3或 x ＞3

D. -2＜x ＜2

6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )． A. 10

B.

C.

D.

7. 若 x ＞0，y ＞0，且 28

1x y

+=，则 xy 有( )． A. 最大值 64

B. 最小值164

C. 最小值1

2

D. 最小值 64

8. 若2

21x y x y ≤⎧⎪

≤⎨⎪+≥⎩

，则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( )．

A. [0，6]

B. [2，4]

C. [3，6]

D. [0，5]

9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )． A. α

1

＜x ＜β1

B. -β1＜x ＜-α1

C. -α

1

＜x ＜-β1

D.

β1＜x ＜α

1 10. 若 a ＞0，b ＞0 ，且 1a b +=，则⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．

A. 9

B. 8

C.7

D. 6

二、填空题. 1. 函数 2

64y x

=-

的定义域是 ．

2. 若 x ，y 满足 ，则x y

的最大值为_____ __，最小值为____ __．

3. 函数 21y x x =-的最大值为 ．

4. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 ．

5. 若集合 A = {(x ，y )| |x | + |y |≤1}，B = {(x ，y )|(y - x )(y + x )≤0}，M = A ∩B ，则 M 的面积为___________．

6. 若不等式 2x - 1＞m (x 2 - 1)对满足 -2≤m ≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围是 ． 三、解答题．

1. 若奇函数 f (x )在其定义域(-2，2)上是减函数，且 f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．

2. 已知 a ＞b ＞0，求216()

a b a b +-的最小值．

(选)3. 设实数 x ，y 满足不等式组 ．

（1）作出点(x ，y )所在的平面区域；

（2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．

4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m 2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．

x + 2y - 5≤0

x ≥1 y ≥0

x + 2y - 3≥0

1≤x + y ≤4

y + 2≥|2x - 3|

参考答案

一、选择题． 1. A

【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2 - a +4341+=2

21⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．

B ：当 a = 0 时，左 = 右．

C ：当 a = 3 时，左 = 右．

D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C

【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．

lg x =1，即x =10时，y min = 2． 此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +

x

31

≥2． x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2

π

， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2． 当 sin x =x

sin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π．

3. B

【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）. 解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)． ∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 2

1

×8×4 = 16． 4. D

x 2＞0，