必修五 第三章 不等式习题 (含答案)
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第三章 不等式
一、选择题.
1. 若 a ∈R ,则下列不等式恒成立的是( ). A. a 2 + 1>a
B.
1
1
2
+a <1 C. a 2 + 9>6a D. lg (a 2 + 1)>lg|2a |
2. 下列函数中,最小值为 2 是( ). A. y =
x
x 5
5+,x ∈R ,且 x ≠0 B. y = lg x +
x
lg 1
,1<x <10 C. y = 3x + 3-x ,x ∈R D. y = sin x +
x
sin 1,2π0<<x
3. 不等式组3
020x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
表示的平面区域的面积等于( ).
A. 28
B. 16
C.
4
39 D. 121
4. 不等式 lg x 2<lg 2x 的解集是( ). A. ⎪⎭⎫
⎝⎛11001, B. (100,+∞)
C. ⎪⎭
⎫
⎝⎛11001,∪(100,+∞) D. (0,1)∪(100,+∞)
5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( ).
A. x ≥2或 x ≤-2
B. -2≤x ≤2
C. x <-3或 x >3
D. -2<x <2
6. 若 x ,y ∈R ,且 x + y = 5,则 3x + 3y 的最小值是( ). A. 10
B.
C.
D.
7. 若 x >0,y >0,且 28
1x y
+=,则 xy 有( ). A. 最大值 64
B. 最小值164
C. 最小值1
2
D. 最小值 64
8. 若2
21x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
,则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( ).
A. [0,6]
B. [2,4]
C. [3,6]
D. [0,5]
9. 若不等式 ax 2 + bx + c >0 的解是 0<α<x <β,则不等式 cx 2 - bx + a >0 的解为( ). A. α
1
<x <β1
B. -β1<x <-α1
C. -α
1
<x <-β1
D.
β1<x <α
1 10. 若 a >0,b >0 ,且 1a b +=,则⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( ).
A. 9
B. 8
C.7
D. 6
二、填空题. 1. 函数 2
64y x
=-
的定义域是 .
2. 若 x ,y 满足 ,则x y
的最大值为_____ __,最小值为____ __.
3. 函数 21y x x =-的最大值为 .
4. 若直角三角形斜边长是 1,则其内切圆半径的最大值是 .
5. 若集合 A = {(x ,y )| |x | + |y |≤1},B = {(x ,y )|(y - x )(y + x )≤0},M = A ∩B ,则 M 的面积为___________.
6. 若不等式 2x - 1>m (x 2 - 1)对满足 -2≤m ≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围是 . 三、解答题.
1. 若奇函数 f (x )在其定义域(-2,2)上是减函数,且 f (1 - a )+ f (1 - a 2)<0,求实数 a 的取值范围.
2. 已知 a >b >0,求216()
a b a b +-的最小值.
(选)3. 设实数 x ,y 满足不等式组 .
(1)作出点(x ,y )所在的平面区域;
(2)设 a >-1,在(1)所求的区域内,求f (x ,y )= y – ax 的最大值和最小值.
4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形,且面积为 200 m 2 的三级污水处理池(平面图如右). 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
x + 2y - 5≤0
x ≥1 y ≥0
x + 2y - 3≥0
1≤x + y ≤4
y + 2≥|2x - 3|
参考答案
一、选择题. 1. A
【解析】A :a 2 - a + 1 = a 2 - a +4341+=2
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-a +43>0. a 2 + 1>a 恒成立.
B :当 a = 0 时,左 = 右.
C :当 a = 3 时,左 = 右.
D :当 a = ±1 时,左 = 右. 2. C
【解析】A :y 没有最小值. B :∵ 1<x <10, ∴ 0<lg x <1. ∴ y ≥2.
lg x =1,即x =10时,y min = 2. 此时不符合1<x <10. C :∵ 3x >0, ∴ y = 3x +
x
31
≥2. x = 0时,y min = 2. D :∵ 0<x <2
π
, ∴ sin x >0. ∴ y ≥2. 当 sin x =x
sin 1时,此时 sin x = 1,x =2π,不符合 0<x <2π.
3. B
【解析】由不等式组,画出符合条件的平面区域(下图阴影部分). 解两两直线方程组成的方程组,可得 A (3,5),B (3,-3), C (-1,1). ∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 2
1
×8×4 = 16. 4. D
x 2>0,