高考数学常考问题通关36讲
高中数学经典高考难题集锦
《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。
然后，将这些值组成集合A。
2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。
3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。
二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。
解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。
因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。
2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。
解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。
当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。
3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。
解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。
当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。
2014届高考数学一轮复习方案 第36讲 均值不等式课时作业 新人教B版
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2 2B ．2C ．4D ．4 24．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．67．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2a －b的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 28．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．610．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)．14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x的值．难点突破16．(12分)如图K36－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上．(1)设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予以证明．图K36－1课时作业(三十六)【基础热身】1．A [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴y ＝x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2.故选A. 2．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时， M ≤－4.3．C [解析] 1x ＋13y ＝x ＋3y x ＋x ＋3y 3y ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x 3y ＝4.当且仅当3yx＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故选C. 4．B [解析] 因为a >0，b >0，所以a ＋2b ≥22ab ，则ab ＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≥22，即ab ≥8.故选B.【能力提升】5．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xy xy＝4.故选D.6．D [解析] 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6，选D.7．D [解析] 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0，所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.故选D.8．D [解析] 因为x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4y x ＝x y ，2x ＋1y ＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立，由此可得(x ＋2y )min ＝8.依题意，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.故选D.9．C [解析] 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．4 [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝6，∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.11．18 [解析] 由已知等式，运用基本不等式，可得xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，整理得(xy )2－22xy －6≥0，解得xy ≤－2(舍去)或xy ≥32，所以xy ≥18，即xy 的最小值为18.12．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.13．8 [解析] 依题意，设全部货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8. 14．解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0，4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2. 15．解：(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2yx＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. 【难点突破】16．解：(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .① 又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2(y ＞0)， ∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管，y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”号成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2.如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增， 故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3. 即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。
2025年高考数学总复习课件36第四章第七节解三角形应用举例
落实“四基”
自查自测
知识点 测量中的几个有关术语
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)东南方向与南偏东45˚方向相同．( √ ) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关
系．( √ ) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝
在△ACM中，由正弦定理得sinA6C0˚＝siAnM45˚，所以AC＝siAnM45˚·sin 60˚，
所以BC＝AC·sin 60˚＝siAnM45˚·sin260˚＝1002 2 × 34＝150(m)．
2
第七节 解三角形应用举例
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
测量高度问题的求解策略 (1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键． (2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图 形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(方法一)在△ABD与△ACD中，
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
c2=
由余弦定理得൞
b2=
1 4 1 4
a2+1－2×
1 2
a2
+1－2×
1 2
a×1× cos a×1× cos
π－∠ADC ∠ADC，
，
整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2 3.
△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝14(b2＋c2
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
高考数学复习知识点讲解教案第36讲 等比数列及其前n项和
探究点一 等比数列的基本运算
例1（1）
[2023·全国甲卷] 设等比数列{ }的各项均为正数，前项和为 ，
若1 = 1，5 = 53 − 4，则4 =(
15
A.
8
65
B.
8
C
)
C.15
D.40
［思路点拨］（1）根据题意列出关于公比的方程,求出,注意 = 1时的情况，
1,3,9或9,3,1
等比数列为______________.
+
+
=
13,
=
3,
= 3,
1 或ቊ
[解析] 设这个等比数列为 ，，，则൞
解得൝
= 3,
=
⋅ ⋅ = 27,
3
∴ 这个等比数列为1,3,9或9,3,1.
题组二 常错题
◆ 索引：忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.
2
∗
⋅
若 + = + = 2 , , , , ∈ ，则 ⋅ =_________=____.
（2）
（3）若数列{ }，{ }（项数相同）是等比数列，则{ }
{ ⋅
}，{ }仍然是等比数列.
≠0
1
2
，{ }，{ }，
所以数列{ − 1}是首项为1，公比为2的等比数列.
∗
.
（2）
1
求证：
1
+
1
2
+ ⋯+
1
第36讲 等差数列的概念及基本运算36
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)因为 2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54， 所以 2×3a3＋3×2a8＝54，所以 a3＋a8＝9， 所以 S10＝10a12＋a10＝10a32＋a8＝102×9＝45. (2)a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以 a8>0， 因为 a7＋a10＝a8＋a9<0，所以 a9<－a8<0. 所以数列的前 8 项和最大，即 n＝8. 答案：(1)A (2)8
复习目标
课前预习
高频考点
考点二·等差数列性质的应用
课时小结
训练手册
【例 2】(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则
此数列的前 10 项的和 S10 等于(
)
A．45
B．60
C．75
D．90
(2)若等差数列{an}满足 a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n＝ __________时，{an}的前 n 项和最大．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
高考总复习第（1）轮 文科数学
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
第六单元 数列与算法
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
第36讲 等差数列的概念 及基本运算
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式，前 n 项和公式及其性质．
复习目标
课前预习
【变式探究】
高频考点
课时小结
高中数学试讲常考的题目
高中数学试讲常考的题目有很多，以下是一些常见的题目：1. 求函数y=sinx+cosx的取值范围。
2. 求函数y=sinxcosx的最值。
3. 求函数y=log(sinx)的最大值和最小值。
4. 求函数y=x^2+2x+3的最小值。
5. 求函数y=x^3+3x^2+5x+2的单调区间。
6. 求函数y=log(1-x)(x^2-4)的单调区间。
7. 求函数y=sin(wx+φ)+cos(wx+φ)的最小正周期。
8. 求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件。
9. 求不等式ax^2+bx+c<0的解集。
10. 求不等式x^3-3x<0的解集。
除了以上题目，以下是一些其他常考的题目：1. 求函数y=x^3-3x^2+1的单调区间。
2. 求函数y=cos(x^2)的最大值和最小值。
3. 求函数y=log(1+x)的最大值和单调区间。
4. 求函数y=x^4-4x^3+3的最小值和最大值。
5. 求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相交的条件。
6. 求函数f(x)=sin(wx+φ)+1的单调区间和对称轴。
7. 求方程sin(mx+n)=0的根的情况（如有几个实根、是否有正根）。
8. 求解不等式$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0>0$的解集。
9. 求圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}$与圆$x^{2}+y^{2}=4$的位置关系（内切、外切、相交）。
以上题目只是高中数学试讲中常见的一些题目，具体情况还需要根据学生的实际情况和教学目标来选择合适的题目进行讲解。
此外，也可以根据需要自行设计一些具有启发性和探究性的题目，以激发学生的学习兴趣和思维能力。
2023年高考数学一轮总复习第36讲：直线的交点坐标与距离公式
第1页共11页2023年高考数学一轮总复习第36讲：直线的交点坐标与距离公式【教材回扣】1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l 1，l 2，斜率分别为k 1，k 2平行________k 1与k 2都不存在垂直________k 1与k 2一个为零，另一个不存在2.两条直线的交点3．三种距离三种距离条件公式两点间的距离A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)|AB |＝____________点到直线的距离P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d d ＝______________两平行线间的距离直线Ax ＋By ＋C 1＝0到直线Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d d ＝________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．当直线l 1和l 2斜率都存在时，则k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.()2．如果两条直线l 1和l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()3．点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.()4．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.()题组二教材改编1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为()A ．3x ＋4y －5＝0B ．3x ＋4y ＋5＝0C ．3x －4y ＋5＝0D ．3x －4y －5＝02．经过两条直线2x ＋y －8＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y －7＝0的。
高考数学解答题精华
高考数学解答题精华1. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
答案：最小值为 1。
2. 设\( \triangle ABC \) 是直角三角形，\( \cos A = \frac{1}{3} \)，求 \( \sin A \) 的值。
答案：\( \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)。
3. 求解方程组：\( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} \)。
答案：\( x = 3, y = 2 \)。
4. 已知 \( \tan \theta = 3 \)，求 \( \sin \theta \) 和\( \cos \theta \) 的值。
答案：\( \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{3}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)，\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)。
5. 已知 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，求 \( \cos \alpha \) 的值。
答案：\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5} \)。
6. 求函数 \( g(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) 在 \( [1, 2] \) 上的最大值和最小值。
高中数学破题36大招(详例精编)
目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
高三总复习优秀资源课件：第36讲 椭圆
x02
a2 (c2 c2
b2 )
.
求解过程
∵
0
≤
x02
≤
a
2
，即
0
≤
a2
(c2 c2
b2
)
≤
a
2
,
∴c2－b2≥0,即 a2≤2c2,∴ e ≥ 2 . 2
∴ 2 ≤ e 1. 2
回顾反思
解题策略 目标引领;回归定义. 数学思想 转化思想;整体思想. 思维误区 过分依赖图形，缺乏必要的理由.
直角三角形，则 P 到 x 轴的距离 .
P F2 x
思路一 ∵△PF1F2是直角三角形，∴PF1⊥PF2.
1 2
F1F2
hP
1 2
PF1 PF2
思维定势！
怎样求PF1·PF2? PF1 PF2 8, 且PF12 PF22 4c2 28.
变量x,y的 范围
∴PF1·PF2=18，
2a 3 2b，
a2 85，
则 4 a2
9 b2
1.
解之,
得b2
85 . 9
∴椭圆的方程为8y52 +98x52=1.
∴所求椭圆方程为4x52+y52=1 或8y52 +98x52=1.
思路分析
（思2）路与一椭圆4x12 +2y52 =1
共焦点，且过点
联立①②组成方程组，解方程组即可. y
② PF1⊥x 轴，
P
点 P 横坐标为 7 ，
F1 O
F2 x
代入椭圆方程，求出 P 的纵坐标,即可.
③ PF2⊥x 轴，同②可得.
2014版高考数学一轮总复习 第36讲 算法、程序框图与算法案例课件 理 新人教A版
【解析】(1)方法 1：辗转相除法： 324＝243×1＋81， 243＝81×3＋0， 则 324 与 243 的最大公约数是 81. 又 135＝81×1＋54， 81＝54×1＋27， 54＝27×2＋0， 则 81 与 135 的最大公约数为 27. 故三个数 324,243,135 的最大公约数为 27.
x1，x2，„，xn，„，x2009；y1，y2，„，yn，„，y2009.
(1)求数列{xn}的通项公式 xn； (2)写出 y1，y2，y3，y4，由此猜想数列{yn}的一个通项公 式 yn，并证明你的结论．
【解析】(1)由程序框图知数列{xn}中，x1＝1，xn＋1＝xn＋2， 所以 xn＋1－xn＝2，为常数， 所以{xn}是等差数列，公差 d＝2， 所以 xn＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*，n≤2009)． (2)因为 y1＝2，y2＝8，y3＝26，y4＝80， 由 此 猜 想 数 列 {yn} 的 通 项 公 式 为 yn ＝ 3n － 1(n ∈ N* ， n≤2009)．
四、基本算法语句 1．输入、输出语句和赋值语句： 输入语句格式：⑬ __________________ ； 输出语句格式：⑭ __________________ ； 赋值语句格式：⑮ _________________ ； 2．条件语句： 框图： 1
2 条件语句格式：
IF条件THEN 语句1 ELSE 语句2 END IF 条件语句的嵌套：条件语句⑯ ___________ ，当出现 3个或3个以上的判断点时，就要用到⑰ __________ ， 其一般格式为：
三、三种基本逻辑结构 1．顺序结构：⑦ ____________ 算法，如下左图：
2．条件结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件 的判断，⑧ ___________________ ，条件结构就是处 理这种过程的结构，如上右图． 3．循环结构：从某处开始，⑨ _______ 的情况，这 就是循环结构．反复执行的处理步骤称为⑩ _______.
高考数学100个热点题型秒解技巧之三点共线定理及其推论的妙用
1化 难 为 易 化 繁 为 简四大特色助快速解题◎ 100个秒解技巧 ◎ 80个精妙二级结论 ◎ 10年高考真题为例◎ 700个例题深入剖析2019年4月版秒解高考数学100招—— 选择、填空篇 ——◆ 例（2016山东理7）函数)cos sin 3()(x x x f +=)sin cos 3(x x -的最小正周期是( )A.2πB.πC.23π D.π2 【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知x x cos sin 3+以及x x sin cos 3-的周期均为π2,则)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f -+=的周期为π,选B .目录 CONTENTS1、集合⇒利用特值逆代法速解集合运算题 (2)2、集合⇒利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………3、集合⇒运用补集运算公式简化集合计算………………………………………4、简易逻辑⇒利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………5、简易逻辑⇒借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………6、复数⇒利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………7、复数⇒利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………8、复数⇒利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………9、复数⇒利用公式快速解决一类复数问题………………………………………10、三视图⇒柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………11、三视图⇒利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………12、不等式⇒利用逆代法巧解求不等式解集问题………………………………13、不等式⇒利用特值法速解比较大小问题……………………………………14、不等式⇒利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………15、不等式⇒用代入法速解f型不等式选择题…………………………………16、不等式⇒利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………17、不等式⇒利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………18、不等式⇒利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………19、不等式⇒利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………20、不等式⇒利用柯西不等式速解最值问题……………………………………21、线性规划⇒利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………22、线性规划⇒高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………23、程序框图⇒程序框图高效格式化解题模式…………………………………24、排列组合⇒排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………25、排列组合⇒利用公式法速解相间涂色问题…………………………………26、排列组合⇒速解排列组合之最短路径技巧…………………………………27、二项式定理⇒二项式定理常见题型大汇总…………………………………28、二项式定理⇒利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………29、平面向量⇒特殊化法速解平面向量问题……………………………………30、平面向量⇒利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………31、平面向量⇒三点共线定理及其推论的妙用…………………………………32、平面向量⇒平面向量等和线定理的妙用……………………………………33、平面向量⇒向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………34、平面向量⇒三角形四心的向量表示及妙用…………………………………35、平面向量⇒利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………36、空间几何⇒利用折叠角公式速求线线角……………………………………37、空间几何⇒求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………38、空间几何⇒空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…39、空间几何⇒利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………40、空间几何⇒利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………41、函数⇒用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………42、函数⇒数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………43、函数⇒数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………44、函数⇒函数的周期性的重要结论的运用……………………………………45、函数⇒利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………46、函数⇒通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………47、函数⇒利用结论速解“奇函数＋C”模型问题……………………………48、函数⇒利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………49、函数⇒巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………50、函数⇒利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………51、函数⇒巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………52、函数⇒构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………53、导数⇒特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………54、导数⇒极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………55、导数⇒用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………56、导数⇒隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………57、三角函数⇒利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………58、三角函数⇒利用结论速求三角函数周期问题………………………………59、三角函数⇒巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………60、三角函数⇒海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………61、三角函数⇒借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………62、三角函数⇒特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………63、三角函数⇒齐次式中弦切互化技巧…………………………………………64、三角函数⇒利用射影定理秒解解三角形问题………………………………65、三角函数⇒三角形角平分线定理的妙用……………………………………66、三角函数⇒三角形角平分线长公式的妙用…………………………………67、三角函数⇒三角形中线定理及其推论的妙用………………………………68、三角函数⇒利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………69、三角函数⇒利用公式法速解三角函数平移问题……………………………70、数列⇒利用公式法速解等差数列n a与nS……………………………………71、数列⇒利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………72、数列⇒用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………73、数列⇒等差数列性质及其推论的妙用………………………………………74、数列⇒观察法速解一类数列求和选择题……………………………………75、数列⇒巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………76、数列⇒代入法速解数列选项含n型选择题…………………………………77、数列⇒一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………78、统计与概率⇒估算法速解几何概型选择题…………………………………79、直线与圆⇒利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………80、直线与圆⇒利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………81、直线与圆⇒利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………82、圆锥曲线⇒利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………83、圆锥曲线⇒用点差法速解有关中点弦问题…………………………………84、圆锥曲线⇒用垂径定理速解中点弦问题……………………………………85、圆锥曲线⇒用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………86、圆锥曲线⇒焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………87、圆锥曲线⇒利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……88、圆锥曲线⇒用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………89、圆锥曲线⇒巧用通径公式速解离心率等问题………………………………90、圆锥曲线⇒巧用三角形关系速求离心率……………………………………91、圆锥曲线⇒构造相似三角形速解离心率……………………………………92、圆锥曲线⇒用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………93、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………94、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………95、圆锥曲线⇒椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………96、圆锥曲线⇒双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………23⇒⇒97、圆锥曲线 ⇒ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用………………………… 98、圆锥曲线 ⇒ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………99、圆锥曲线 ⇒ 用特值法巧解圆锥曲线选填题………………………………… 100、圆锥曲线 ⇒ 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………31、平面向量 ⇒ 三点共线定理及其推论的妙用 【结论】（1）向量三点共线定理：在平面中C B A 、、三点共线的充要条件是：（为平面内任意一点）,其中.(证明略)特别地,当2=x )2OC +时,点A 为BC 的中点. （2）向量三点共线定理拓展：如果为平面内直线BC 外任意一点,则 ①当时A 与点在直线BC 同侧,②当时, A 与点在直线BC 的异侧.◆ 例1 （2014全国I 理15）已知C B A 、、是圆上的三点,若,则与的夹角为 .【秒解】为中点,为圆的直径与的夹角为.◆ 例2 (2006江西理7) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若OC a OA a OB 2001+=且C B A 、、三点共线（该直线不过原点）,则=200S （ ） A.100 B.101 C.200 D.201【秒解】由平面三点共线的向量式定理可知：12001=+a a ∴,选A.◆ 例3 已知P 是的边BC 上的任一点,且满足 则的最小值是 . 【秒解】由平面三点共线的向量式定理, ∴, 当时取“=”,又, ∴符合题意.∴最小值为9..O A xOB yOC =+O 1x y +=O 1x y +<O 1x y +>O O 1()2AO AB AC =+AB AC 1()2AO AB AC =+⇒O BC BC ⇒AB AC 090O 10022002001200=+=）（a a S ABC ∆R y x AC y AB x AP ∈+=,,yx 41+1=+y x 954))(41(41≥++=++=+yx x y y x y x y x yx x y 4=1=+y x 32,31==y x y x 41+4AAA◆ 例4 (2007江西理15)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为 ．【秒解1】∵是BC 的中点,连接AO ,由向量加法的平行四边形法则可知∵ ∴, 又M,O,N 三点共线,∴, 【秒解2】由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知1,1==n m ,故◆ 例5（2006湖南文10） 如图：AB OM //,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且,则实数对)(y x ，可以是( ) A. B. C. D.【秒解】根据向量三点共线定理拓展结论,点P 点与点Ｏ在直线AB 同侧,则 ,又根据平行四边形法则,要使即用 来表示,需反向延长OA,∴,选C.◆ 例6(2006湖南理15) 如图, ,点P 在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动,且,则的取值范围是 .当时,的取值范围是 .ABC △O BC O AB AC M N ，AB mAM =AC nAN =m n +O ）（AC AB AO +=21AN n AC AM m AB ==,AN nAM m AN n AM m AO 22)(21+=+=122=+nm m n +2=m n +2=OB y OA x OP +=)43,41()32,32(-43,41(-57,51(-10<+<y x OB y OA x OP +=OB OA 、OP 0x <AB OM //OM OB AB OP xOA yOB =+x 12x =-y5【秒解】根据向量加法平行四边形法则及扩展定理,则有：,且当,有：,即,答案：,（,）◆ 练1（2007全国II 理5）在中,D 是AB 边上一点,=2,=,则λ=( ) A.B. C.－ D.－【答案】A◆ 练2（2015全国I 理7）设为所在平面内一点,则( ) A. B.C. D.【答案】A◆ 练3（2008广东理8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若则( )A. B. C. D. 【答案】B0x <12x =-1O x y <+<1131222O y y <-+<⇒<<0x <1232ABC ∆AD DB CD CB CA λ+3132313132D ABC ∆3BC CD =1433AD AB AC =-+1433AD AB AC =-4133AD AB AC =+4133AD AB AC =-,,b BD a AC ===AF b a 2141+b a 3132+b a 4121+b a 3231+。
36节课打造高考备战全方位：高三一轮复习36讲精编教案
36节课打造高考备战全方位：高三一轮复习36讲精编教案讲精编教案高考，是每一个学生都不可避免的一场考试，它能够决定一个人的未来。
但是，面对如此重要的一次考试，大多数学生都感到十分手足无措，不知该如何备考。
那么，如何才能在短短的一年时间里备战高考呢？36节课打造高考备战全方位：高三一轮复习36讲精编教案，或许能够帮助你。
什么是36节课？36节课是指“36节课打造高考备战全方位：高三一轮复习36讲精编教案”这套复习资料，它由高考名师刘诗帆主讲，共分为数学、物理、化学、英语四个科目，每个科目都有9节课，共36节课。
这套资料旨在帮助学生全面复习，且准确地把握高考大纲要求，查缺补漏，做到细致入微，提高学生的高考成绩。
36节课打造高考备战全方位：高三一轮复习36讲精编教案这套资料，主要有以下几个特点：1.严格按照高考大纲要求精选，确保学生复习的内容准确、完整。
2.每一课都有相应的教案，教案中详细记录了本节课的整体安排、重点难点分析、习题讲解等内容。
3.课程内容详细、严谨，全方位覆盖高考范围，使学生对考试内容形成了全面的认识。
4.通过对高考历年真题的分析，使学生对考试有更加深入的理解。
此外，36节课还为学生准备了大量的习题，并提供答案和详细解析。
这让学生能够更好地掌握知识点，巩固所学知识，同时更好地提升解题能力。
那么，在36节课的学习过程中，我们应该如何进行复习呢？先要明确自己的优劣势，并对自己的时间进行规划。
由于36节课分为四个科目的课程，所以学生需要提前看清自己的强项、弱项科目，有针对性地安排时间。
要按照教案内容进行学习。
大多数学生都会有这样的经历：看不完整套复习资料、看不懂知识点、做不出习题，这就需要在学习过程中注意，一定要按照教案上的安排进行学习。
同时，要注意课后练习，进行巩固。
要注重做题技巧。
不只要掌握知识点，还要了解做题技巧，在考试中才能更好地掌握节奏。
比如数学中究竟是直接代入数据计算，还是先对方程简化等等。
2024年高考数学三角函数不等式历年题目解析
2024年高考数学三角函数不等式历年题目解析数学是高中阶段学生所必修的一门学科，其中三角函数不等式是数学中的一个重要部分。
在高考数学考试中，三角函数不等式题目经常出现。
本文将对2024年高考数学三角函数不等式历年题目进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握该知识点。
1. 题目一解：题目一可能涉及到绝对值不等式。
我们先来看一个例子：已知函数f(x) = |sinx - cosx|，求f(x)的取值范围。
解答中用到图像的不等式解法，以及余弦和正弦的和差化积等相关知识点，采用文字描述和公式推导辅以图表解析的方式来进行说明。
同时，通过列举特殊角和借助图像来直观地理解和解释问题。
2. 题目二解：题目二可能涉及到三角函数的性质和对数函数的运用。
我们来看一个例子：已知函数f(x) = \sqrt{2\sin x + 1}，求f(x)的最大值。
解答中用到了三角函数的性质和对数函数的运用，同时结合求导法和辅助角的概念，详细解释了每一步的推导过程。
通过计算和图像分析，得出函数f(x)的最大值。
3. 题目三解：题目三可能涉及到三角函数的周期性和不等式的证明。
我们来看一个例子：证明：当0 < x < \pi 时，有 \sin^2 x > \sin 2x解答中通过三角函数的周期性和性质，将不等式两边进行转换，并进行推导证明。
解答中逐步给出每一步的推理和运算过程，详细解释了每个步骤的原理和依据，确保推理过程的准确性和可信度。
通过以上三个例题的解析，我们可以看到在高考数学中，三角函数不等式题目的解答要求同学们运用到数学知识的多个方面，并进行综合运用。
在解答过程中，需要进行推导、图像分析、化简等操作，同时注重推导过程的准确性和合理性。
总结起来，掌握三角函数不等式的相关知识点，理解其性质和运用方法，以及熟练掌握解题的技巧和方法，对于应对数学高考考试是非常重要的。
通过对历年高考数学三角函数不等式题目的解析和练习，同学们可以更好地理解和掌握该知识点，并在考试中取得好成绩。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列十(立体几何典例剖析及资源推送)
6
如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中， EF FG2 EG2 22 22 2 2 ，即 R 2 ，
取最大值,最大值为
64 3
,
又l
3
时, V
27 4
,
l
3
3
时, V
81 ,所以正四棱锥的体积V 4
的最小值为
27 4
,
所以该正四棱锥体积的取值范围是
27 4
，64 3
.故选
C.
【点评】1、球与几何体的切接是高考热点,常作为客观题压轴题出现,但由于同学们对这类问题训练比
较大,对解题套路相对比较熟悉,
面的面积为180．0km2 ,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148．5m 上升到
157．5m 时,增加的水量约为（ 7 2.65 ）
A. 1.0109 m3
B. 1.2109 m3
C. 1.4109 m3 D. 1.6109 m3
【答案】C
【解析】把增加的水量转化为棱台的体积,依题意可知棱台的高为 MN 157.5 148.5 9 (m),
棱台上底面积 S 140.0km2 140 106m2 ,下底面积 S 180.0km2 180 106m2 ,
∴V 1 h S S SS 1 9 140106 180106 1401801012
3
3
3 320 60 7 106 96 18 2.65107 1.437109 1.4109(m3) ．故选 C．
2
圆锥的表面积 S1 πrl πr2 3πr2 ，
2
球的表面积
S2
4πR2
4π
3 2
r
3πr2 ，
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解36---球的切接问题
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第36讲 球的切接问题空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．考点一 空间几何体的外接球例1 (1)(2022·保定模拟)已知三棱锥P －ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝120°，P A ＝AB ＝AC ＝2，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．12π B ．16π C ．20π D ．24π 答案 C解析 ∵P A ⊥平面ABC ，所以把三棱锥P －ABC 补成直三棱柱PB ′C ′－ABC ，如图所示，设E ，F 为上、下底面三角形的外心，则EF 的中点O 为直三棱柱PB ′C ′－ABC 的球心，在△ABC 中， 由余弦定理知BC ＝23， ∵2F A ＝BC sin ∠BAC ＝2332＝4，∴F A ＝2，∵F A ＝2，又OF ＝12P A ＝1，设该三棱锥外接球半径为R ， ∴R ＝OA ＝OF 2＋F A 2＝5， ∴表面积S ＝4πR 2＝20π.(2)(2022·宝鸡模拟)两个边长为2的正三角形△ABC 与△ABD ，沿公共边AB 折叠成60°的二面角，若点A ，B ，C ，D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A.20π9B.52π9 C.16π3D.28π3 答案 B解析 如图，设△ABC 与△ABD 的中心分别为N ，M ，连接DM ，CN 并延长交AB 于E ，连接OE ，OB ，OM ，ON .根据外接球的性质有OM ⊥平面ABD ，ON ⊥平面ABC ， 又二面角D －AB －C 的大小为60°， 故∠DEC ＝60°，又△ABC 与△ABD 的边长均为2， 故DE ＝CE ＝3， 故EM ＝EN ＝13ED ＝33.易得Rt △MEO ≌Rt △NEO ， 故∠MEO ＝∠NEO ＝30°， 故OE ＝ME cos 30°＝23，又EB ＝1，故球O 的半径OB ＝12＋⎝⎛⎭⎫232＝133， 故球O 的表面积为S ＝4π⎝⎛⎭⎫1332＝52π9.规律方法 求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．跟踪演练1 (1)已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝25，AC ＝BD ＝29，AD ＝BC ＝41，则四面体ABCD 的外接球的表面积为______． 答案 45π解析 设四面体ABCD 的外接球的半径为R ，将四面体ABCD 置于长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝20，b 2＋c 2＝29，a 2＋c 2＝41，故R ＝a 2＋b 2＋c 22＝452，故四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝45π.(2)(2022·临川模拟)已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为边长是4的正方形，侧面P AB ⊥底面ABCD ，且△P AB 为等边三角形，则该四棱锥P －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.112π3 B.64π3C ．64πD ．16π 答案 A解析 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，取侧面△P AB 和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，分别过O 1，O 2作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心， 取线段AB 的中点E ，连接O 1E ，O 2E ，O 2D ，OD ， 则四边形O 1EO 2O 为矩形， 在等边△P AB 中，可得PE ＝23， 则O 1E ＝233，即OO 2＝233，在正方形ABCD 中，因为AB ＝4， 可得O 2D ＝22，在Rt △OO 2D 中，可得OD 2＝OO 22＋O 2D 2，即R 2＝OO 22＋O 2D 2＝283， 所以四棱锥P －ABCD 的外接球的表面积为 S ＝4πR 2＝112π3.考点二 空间几何体的内切球例2 (1)(2022·酒泉模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝CD ＝4，BC ＝3，则该三棱锥内切球的体积为( ) A.9π16 B.9π4 C.16π9 D.4π3 答案 A解析 由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB ⊥CD .又BC ⊥CD ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC ＝B ， 所以CD ⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ， 所以CD ⊥AC .由AB ＝CD ＝4，BC ＝3， 得AC ＝BD ＝5，所以三棱锥A －BCD 的表面积 S ＝2×12×3×4＋2×12×4×5＝32，三棱锥A －BCD 的体积V ＝13×12×3×4×4＝8.设三棱锥内切球球心为O ，半径为r ，由V ＝V O －ABC ＋V O －ABD ＋V O －ACD ＋V O －BCD ＝13Sr ，得r ＝3V S ＝34，所以该三棱锥内切球的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝⎛⎭⎫343＝9π16.(2)(2022·湖北多校联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，以AC 为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( ) A.49π36B.576π49 C.576π25D.344π25 答案 B解析 旋转体的轴截面如图所示，其中O 为内切球的球心，过O 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，则OE ＝OF ＝r (r 为内切球的半径)， 故AO ＝r sin ∠BAC ＝53r ，CO ＝r sin ∠BCA ＝54r ，故5＝AO ＋OC ＝53r ＋54r ，解得r ＝127，故该旋转体的内切球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫1272＝576π49. 规律方法 空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．跟踪演练2 (1)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝6，则V 的最大值是( ) A ．16π B.32π3C ．36π D.125π3答案 B解析 由题意，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8， 所以AC ＝10，可得△ABC 的内切圆的半径为r ＝6×86＋8＋10＝2，又由AA 1＝6，故在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的内部的球半径最大为R ＝2，所以此时V 的最大值为V ＝43πR 3＝43×π·23＝32π3.(2)(2022·西安模拟)六氟化硫，化学式为SF 6，在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫的分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为( )A.42π3B.83π27C.8π3D.16π3 答案 C解析 设正八面体内切球半径为R ，给正八面体标出字母如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，因为EA ＝EC ，ED ＝EB ， 所以EO ⊥AC ，EO ⊥BD ， 又AC 和BD 交于点O ，所以EO ⊥平面ABCD ，所以O 为正八面体的中心，所以O 到八个面的距离相等，且距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC 切于点H ，所以OH ⊥平面EBC ， 所以OH 即为正八面体内切球半径， 所以R ＝OH ，因为正八面体的棱长为2， 所以EB ＝EC ＝BC ＝2，OB ＝OC ＝2， EO ＝EB 2－OB 2＝2，所以S △EBC ＝3，S △OBC ＝1， 因为V E －OBC ＝V O －EBC ＝13×S △OBC ×EO＝13×S △EBC ×OH ， 所以OH ＝63，即R ＝63， 所以正八面体内切球的表面积为4πR 2＝8π3.专题强化练1．(2022·九江模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O －DEF ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．3π B.6π C ．6π D ．24π 答案 C解析 在正方形ABCD 中，AD ⊥AE ，CD ⊥CF ，BE ⊥BF ，折起后OD ，OE ，OF 两两垂直， 故该三棱锥外接球即以OD ，OE ，OF 为棱的长方体外接球． 因为OD ＝2，OE ＝1，OF ＝1，所以2R ＝OD 2＋OE 2＋OF 2＝6，所以R ＝62， 所以该三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝6π.2.(2022·佛山模拟)如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为( )A ．26πB ．46πC ．16π D.16π3答案 B解析 依题意，做球的轴截图如图所示，其中，O 是球心，E 是圆锥的顶点，EC 是圆锥的母线，由题意可知43πR 3＝36π，解得R ＝3，由于圆柱的高为2， 则OD ＝1，DE ＝3－1＝2， DC ＝32－12＝22， 母线EC ＝22＋8＝23， 故圆锥的侧面积为S ＝π·DC ·EC ＝π×22×23＝46π.3．(2022·济宁模拟)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为( ) A ．2∶1 B ．3∶2 C ．7∶3 D ．7∶4 答案 C解析 如图，设O 1，O 2分别为正六棱柱的底面中心，r 为内切球半径，R 为外接球半径， O 为O 1O 2的中点，D 为AB 的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO 1＝O 1D ＝3，即r ＝3，OA 2＝OO 21＋O 1A 2＝7，即R ＝7，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR 2∶4πr 2＝R 2∶r 2＝7∶3.4．(2022·芜湖模拟)半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为V 1的二十四等边体，其外接球体积为V 2，则V 2V 1等于( )A.42π3B.4π5C.22π5D.42π5答案 C解析 设该半正多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，即为二十四等边体，如图所示，其体积V 1＝2×2×2－8×13×12×1×1×1＝203；由二十四等边体的对称性可知，其外接球的球心即为正方体的中心O ，半径为中心到一个顶点的距离，设外接球半径为R ， 则R ＝OA 2＋AB 2＝1＋1＝2，故V 2＝4π3×(2)3＝82π3， 从而V 2V 1＝22π5. 5．(多选)(2022·怀化模拟)已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，AB ＝BC ＝CA ＝2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( ) A ．球O 的半径为32B ．球O 的表面积为6πC ．球O 的内接正方体的棱长为 6D ．球O 的外切正方体的棱长为 6答案 BD解析 设球O 的半径为r ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，半径为R ，则R ＝233， 因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以r 2－19r 2＝43， 得r 2＝32，所以A 不正确； 所以球O 的表面积S ＝4πr 2＝4π×32＝6π，选项B 正确； 设球O 的内接正方体的棱长为a ，则a 满足3a ＝2r ，显然选项C 不正确；设球O 的外切正方体的棱长为b ，则b 满足b ＝2r ，显然选项D 正确．6．(多选)(2022·武汉质检)已知球O 是三棱锥P －ABC 的外接球，P A ＝AB ＝PB ＝AC ＝2，CP ＝22，点D 是PB 的中点，且CD ＝7，则下列说法正确的是( )A ．三棱锥P －ABC 最长的棱的棱长为2 2B ．AC ⊥平面P ABC ．球心O 到底面P AB 的距离为 3D ．球O 的表面积为28π3答案 ABD解析 如图，因为P A ＝AC ＝2，CP ＝22，所以P A 2＋AC 2＝CP 2，得CA ⊥P A ，由D 是PB 的中点，得AD ⊥PB ，AD ＝22－12＝3，又CD ＝7，所以AC 2＋AD 2＝CD 2，得AC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AB ，所以AC ⊥平面P AB ，故B 正确；由AB ＝AP ，得CB ＝CP ＝22，故三棱锥P －ABC 最长的棱的棱长为22，故A 正确；取等边三角形P AB 的中心G ，连接OG ，OA ，则OG ＝12AC ＝1， 即球心O 到底面P AB 的距离为1，故C 错误；底面△P AB 外接圆的半径r ＝233， 外接球的半径R ＝12＋⎝⎛⎭⎫2332＝73＝213， 所以球O 的表面积为S ＝4π×⎝⎛⎭⎫2132＝28π3， 故D 正确． 7．(2022·漳州模拟)某中学开展劳动学习，学习加工制作包装盒．现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋(内切)，则该球形冰淇淋的表面积为________．答案 16π解析 如图，由题意知，∠BAC ＝60°，AO 1＝6，故在Rt △AO 1C 中， AC ＝43，O 1C ＝23，设内切球球心为O ，半径为R ，则OD ＝OO 1＝R ，在Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，所以2R ＝6－R ，解得R ＝2，所以S ＝4πR 2＝16π.8．(2022·烟台质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，△P AD 是边长为4的等边三角形，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，AB ＝AD ，若四棱锥P －ABCD 的体积为24，则四棱锥P －ABCD 外接球的表面积是________．答案208π3解析 如图，分别取BC ，AD 的中点O ′，E ，连接PE ，O ′E ，O ′A ，O ′D .因为△P AD 是边长为4的等边三角形，所以PE ＝2 3.因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ＝AD ＝4，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，所以O ′E ＝23，BC ＝8.因为四棱锥P －ABCD 的体积为24，设四棱锥P －ABCD 的高为h ，所以13×(4＋8)×232h ＝24，所以h ＝2 3. 因为E 是AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为PE ＝h ＝23，所以PE ⊥平面ABCD .因为O ′A ＝O ′B ＝O ′C ＝O ′D ＝4，所以四边形ABCD 外接圆的圆心为O ′，半径r ＝4.设四棱锥P －ABCD 外接球的球心为O ，连接OO ′，OP ，OB ，过点O 作OF ⊥PE ，垂足为F . 易证四边形EFOO ′是矩形，则EF ＝OO ′，OF ＝O ′E ＝2 3.设四棱锥P －ABCD 外接球的半径为R ，则R 2＝OO ′2＋O ′B 2＝OF 2＋PF 2＝O ′E 2＋(PE －OO ′)2， 即R 2＝OO ′2＋42＝(23)2＋(23－OO ′)2，解得R 2＝523，故四棱锥P －ABCD 外接球的表面积是4πR 2＝208π3.。