2020届高三数学(文)小题每日一练(含部分往年真题)+答案详解 (9)

2020届高三数学（文）每日一练13. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝[－1，1]，B ＝{x |ln x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(－1，1)D ．[－1，1]2．已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ＝(1，3)，|b |＝3，且a 与b 的夹角为π3，则|2a ＋b |＝( )A ．5B ．37C ．7D ．374．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ，x ≤0－x 2－2x ＋1，x >0，若f (a －1)≥f (－a 2＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)5．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B ．M 22M 1R C.33M 2M 1RD ．3M 23M 1R7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的标度，用来表示测震仪衡量的地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的震波的振幅就越大，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A ，A 0分别是距震中100公里处接收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅，则7级地震震波的最大振幅是5级地震震波的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍9．已知函数f (x )＝12sin x ＋32cos x ，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6 B ．π4C.π3D ．π210．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 22－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．x 216－y 24＝111．在四面体A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝10，BC ＝2，若四面体A ­BCD 的外接球的表面积为676π9，则四面体A ­BCD 的体积为( )A ．24B ．12C ．8D ．412．对实数m ，n ，定义运算“⊗”：m ⊗n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ，m －n ≥0n ，m －n <0.设函数f (x )＝(x －x 2)⊗(x －1)，x ∈R ，实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1，54)B ．(2，94)C ．(32，74)D ．(14，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．14．已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0中有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________．15．已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP (O 是坐标原点)是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．16.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB ＝2 km ，BC ＝1 km ，∠BAD ＝45°，∠B ＝60°，∠BCD ＝105°，则该绿化区域的面积是________km 2.（答案解析）1．解析：选A.由B ＝{x |ln x <0}得B ＝{x |0＜x ＜1}，∵A ＝[－1，1]，∴A ∩B ＝(0，1)，故选A.2．解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∵|z |＝z ＋1－2i ， ∴a 2＋b 2＝(a ＋1)－(b ＋2)i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝a ＋1b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－2，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.3．解析：选B.∵a ＝(1，3)，∴|a |＝2，∵|b |＝3，a 与b 的夹角为π3，∴a ·b ＝|a |·|b |·cosπ3＝3，∴|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37，∴|2a ＋b |＝37，故选B. 4．解析：选A.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ，x ≤0－x 2－2x ＋1，x >0在区间(－∞，＋∞)上单调递减，所以不等式f (a －1)≥f (－a 2＋1)同解于不等式a －1≤－a 2＋1，即a 2＋a －2≤0，解得－2≤a ≤1，故选A.5．解：选B.A 项，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误；B 项，若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，显然成立；C 项，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；D 项，若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α若n ∥α或n 与α相交，故D 错误．6．解析：选D.由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1（1＋r R ）2＋M 2（r R ）2＝(1＋rR )M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3(r R )3≈M 2M 1，所以r ≈ 3M 23M 1R ，故选D.7．解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－(sin x －1x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充分必要条件．故选C.8．解析：选D.对公式M ＝lg A －lg A 0进行转化得M ＝lg A A 0，即AA 0＝10M ，A ＝A 0·10M . 当M ＝7时，地震震波的最大振幅为A 7＝A 0·107， 当M ＝5时，地震震波的最大振幅为A 5＝A 0·105. 则A 7A 5＝A 0·107A 0·105＝100.故选D. 9．解析：选A.解法一：由题知f (x )＝sin(x ＋π3)，将其图象向左平移m 个单位长度后得到函数g (x )＝sin(x ＋m ＋π3)的图象，∵函数g (x )的图象关于y 轴对称，∴m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π＋π6(k ∈Z )，∵m >0，∴m 的最小值为π6，故选A.解法二：设将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后得到函数g (x )的图象，∵函数g (x )的图象关于y 轴对称，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝m 对称，由题知f (x )＝sin(x ＋π3)，∴sin(m ＋π3)＝±1，∴m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π＋π6(k ∈Z )，∵m >0，∴m 的最小值为π6，故选A. 10．解析：选A.解法一：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，∵点P位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋（2c －a ）2－（2c ＋a ）24c （2c －a ）＝c －2a 2c －a ，又点P 的坐标为(2，3)，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴(c －2a 2c －a )2＋3（2c －a ）2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b 2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选A.解法二：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋（2c －a ）2－（2c ＋a ）24c （2c －a ）＝c －2a 2c －a ，又点P 的坐标为(2，3)，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3（2c －a ）2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，c 2－a 2＝b 2＝1，此时可以排除选项B ，C ，D ，故选A.11．解析：选C.如图，∵四面体A ­BCD 的外接球的表面积为6769π，∴球的半径为133，又AB ＝AC ＝10，BC ＝2，∴cos ∠BAC ＝45，∴sin ∠BAC ＝35，设三角形ABC 面积为S ，外接圆半径为R ，则S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝AB ·AC ·BC 4R ＝3，解得R ＝53，即△ABC的外接圆的半径O 1A ＝53，∴球心O 到平面ABC 的距离OO 1＝⎝⎛⎭⎫1332－⎝⎛⎭⎫532＝4，又AD ⊥平面ABC ，∴AD ＝2OO 1＝8，∴四面体A ­BCD 的体积为13×S △ABC ×8＝8，故选C.12.解析：选B.由定义可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，x －x 2≥x －1x －1，x －x 2<x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，－1≤x ≤1x －1，x <－1或x >1，作出其图象如图所示，若f (x )＝k ，当0<k <14时，f (x )＝k 有三个不相等的实数根，即f (a )＝f (b )＝f (c )，若a <b <c ，则a ＋b ＝1，1<c <54，∴2<a ＋b ＋c <94，故选B.13．解析：设2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加公益活动，共有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)，(A 2，A 1)，(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 2，B 1)12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)4种情况，则发生的概率为p ＝412＝13.答案：1314．解析：因为“有且只有一个正确”，所以采用逐一进行验证，现列表如下：a b c 只有①正确 a ≠2b ≠2c ＝0 与“a 和b 中必有一个2”矛盾 0 只有②正确 a ＝2b ＝2c ＝0 与“a 和b 中只有一个2”矛盾0 只有③正确a ＝2b ≠2c ≠0 21所以100a ＋答案：20115．解析：不妨设点P 在x 轴的上方，∵△AOP 是等腰直角三角形，∴直线P A 的斜率为1，则直线P A 的方程为y ＝x ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a x 2a 2＋y 2b 2＝1得(a 2＋b 2)x 2＋2a 3x ＋a 2c 2＝0，设点Q 的坐标为(x 2，y 2)，则(－a )·x 2＝a 2c 2a 2＋b 2，∴点Q 的横坐标x 2为－ac 2a 2＋b 2，∵PQ →＝2QA →，∴－ac 2a 2＋b 2＝－23a ，∴3c 2＝2a 2＋2b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴5c 2＝4a 2，∴c a ＝255，∴椭圆的离心率e ＝255.答案：25516．解析：如图，连接AC ，由余弦定理可知 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3 km ，则AC 2＋BC 2＝AB 2，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°.由正弦定理得，AC sin ∠ADC ＝ADsin ∠DCA，即AD ＝AC ×sin ∠DCAsin ∠ADC＝3×6－2412＝32－62(km)， 故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×(32－62)2×12＝6－34(km 2)．答案：6－34。