初三上册数学直升班培优讲义学生版第15讲四点共圆(一)(学生)

四点共圆（一）

模块一辅助圆思想

模块二四点共圆的判定（一）

模块一：辅助圆思想

平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．

则 OC __________

（2）如图 2-2，在 △ ABC 中， ?ACB 90?， AC= BC ，点 P 为△ABC 外一点（ P 与 C 在直线 AB 异侧），且 ?APB 45?．设点 P 关于 AB 的对称点为 E ，连接 PE 、CE ，试判定线段 AB 与 CE 的数 量关系，并给予证明．

1）如图 1-1，四边形 ABCD 中， AB AC BAC ___________ ．

AD ，若 CAD 76 ， BDC 13 ，则 CBD

2）如图 1-2，已知四边形 ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ， BC b ，且 2a b ，求 BD 的值．

1）如图 2-1，平面上有四个点 A 、O 、B 、C ，其中 AOB 120 ， ACB 60 ，AO BO ，AB 2 3 ，

D

图 1-1

图 2-1

E

例题3

如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足CPD 30 ，则( A．点B．点

P 一定在射线P一定在线段BE 上AB 上

例题

4

如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD 线于F．求证：E、F、B、K 四点共

AB于K．E为劣弧AC 上的一点，连接AE交DC延长AB 上

AB 上

例题 5

（1）如图 5-1，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，P 、Q 、R 分别是 AB 、BC 、AD 的中点．连接 PQ 与 DA 的延长线交于 S ，连接 PR 与 CB 延长线交于 T ．求证： S 、T 、Q 、R 四点共圆．

例题 6

证：B 、G 、E 、H 四点共圆．

（2）如图 5-2， △ABC 中， 于 K ，

以 AB 为直径作圆，交 BC 于 H ，交 K 、H 四点共圆．

BAC 的平分线于 D ，作 CK AD

1）如图 6-1，BC AE ，ED AB ，且 BC 、DE 相交于 G ．H 为 AE 延长线上的一点， CH AC ．求

P 为 △ABC 内一点， D 、E 、 （ 2）如图 6-2， 共圆， P 、E 、 A 、F 四点共圆，求

证：

B 、

D

、 F 分别在 BC 、CA 、 AB 边上，已知 P 、D 、C 、 E 四

点 P 、 F 也四点共圆．

C

图 5-2

在△ABC 中， BA BC ， BAC ，M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ ．线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜想 CDB 的大小（用含 的

AD 、BE 、CF 是 △ABC 的三条高，相交于垂心 H ，在 A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 H 七点中，有六组四点

共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？

D

C

代数式表示），并加以证明

演练2

平面上有四个点

A、O、

B、C，其中AOB 120 ，ACB 60 ，AO BO 2 ，则满足题意的OC 长度的整

数的值可以是___________________ ．C

演练3

点，下列说法：

①当AC BD 时，M、E、N、 F 四点共圆．

②当AC BD时，M、E、N、F四点共圆．

③ _____________________ 当AC BD ，且AC BD时，M、E、N、F 四点共圆．其中正确的是 ___ ．

演练4

如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，过于M，求证：A、M、O、P 四点共

圆．

D，过 B 作BE//CD ，连接AE 交PD

如图，在四边形ABCD 中，AC、BD 为对角线，

点

M、E、N、 F 分别为AD 、AB 、BC、CD 边的中

P 作割线交⊙O 于C、

C'

A

F

E

演练5

过两圆交点A、B 之一的点A，引两条直线CAD 、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP 与DQ 的交点为R，求证：B、C、R、 D 四点共

圆．